关于一类单叶函数Schwarz导数的注记

A Note on the Schwarz Derivative of a Class of Univalent Functions

摘要: 利用Hilbert空间上的一个有界算子和单叶函数的性质，讨论一类单叶函数的Schwarz导数，并引入一类Grunsky系数。得到有界算子的内积与一类单叶函数Schwarz导数的关系，以及其Schwarz导数在复Hilbert空间下的范数与Grunsky系数的关系。

Abstract: By using a bounded operator on a Hilbert space and the properties of univalent functions, the Schwarz derivative of a class of univalent functions is discussed and a class of Grunsky coefficients is introduced. The relation between the inner product of a bounded operator and the Schwarz de-rivative of a class of univalent functions is obtained, as well as the relation between the norm of its Schwarz derivative in complex Hilbert space and the Grunsky coefficients.

1. 引言及主要结果

1851年Riemann在其博士论文中证明Riemann映射定理，使其在复变函数论中成为一块重要的基石，

即奠定了单叶函数理论的基础。一对一的解析映射，通常称为单叶函数。20世纪初，Koebe $\frac{1}{4}$ -定理、

Koebe偏差定理(见 [1] )、T. H. Gronwall面积定理(见 [2] )等与单叶函数有关的研究正式展开。1916年，随着著名的Bieberbach猜想提出，它成为单叶函数研究的主要对象之一。在半个多世纪里它都吸引着无数的数学家为之努力，产生了研究单叶函数的许多方法与相关论题。

在研究解析函数的单叶性时，1939年Grunsky发现了有关单叶性的一个充要条件(见 [3] )：函数

$\log \frac{f\left(z\right)-f\left(\xi \right)}{z-\xi }=-{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{\infty }{\sum }}{b}_{kl}{z}^{-k}{\xi }^{-l}}}$

在 $\left\{\left|z\right|>1,\left|\xi \right|>1\right\}$ 内解析当且仅当 $f\in \Sigma$ 。从这点出发，人们开始研究Σ类函数而不是S类函数是很自然的，Grunsky不等式表述为

$\left|{\displaystyle \underset{k,l=1}{\overset{\infty }{\sum }}{b}_{kl}{\lambda }_k{\lambda }_l}\right|\le {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left|{\lambda }_k\right|}^2}{k}},{\lambda }_k\in ℂ.$

Grunsky不等式连同它的推广，成为研究单叶函数理论关键的工具之一。

在数学中，Hilbert空间是欧几里得空间的一个推广，我们把完备的内积空间称为Hilbert空间，Hilbert空间和作用在Hilbert空间上的算子的研究都是泛函分析的重要组成部分。

我们知道单叶函数产生了许多有趣的性质，吸引了不少人的注意与研究，也构成了几何函数论的主要研究对象。而人们有兴趣的主要两类单叶函数：S类与Σ类。两类函数在万有Teichmüller空间中也有着重要的研究作用，本文将研究与其相关的一类单叶函数的Schwarz导数，同时引入Hilbert空间上的一个有界算子，对其Schwarz导数作出一些刻画。

我们从一些简单的定义和符号开始。设 $\Delta =\left\{z:\left|z\right|<1\right\}$ 表示复平面 $ℂ$ 内的单位圆盘，复平面 $\overline{ℂ}$ 内一个区域的局部单叶函数的Schwarzian导数用 $S_f$ 来表示，且定义为：

$S_f={\left(\frac{f^{″}}{f^{\prime }}\right)}^{\prime }-\frac{1}{2}{\left(\frac{f^{″}}{f^{\prime }}\right)}^2\text{.}$

对于以上定义的Schwarzian导数有下列性质：

1) 如果函数f在定义域内不等于零，则有

$S_f=S_{\frac{1}{f}}.$

2) Schwarzian导数满足复合公式

$S_{f°g}=\left(S_f°g\right){g^{\prime }}^2+S_g.$

特别地，如果g是一个Möbius变换，则 $S_{f°g}=\left(S_f°g\right){g^{\prime }}^2$ 。关于单叶函数的Schwarzian导数更多的研究可参见 [4] 。

S类是指单位圆Δ内全体具有下列Taylor展开式的单叶函数：

$f\left(z\right)=z+a_2{z}^2+a_3{z}^3+\cdots ,z\in \Delta .$

这里我们要求 $f\left(0\right)=0$ 及 $f^{\prime }\left(0\right)=0$ 是为了规范化。显然，对S类的单叶函数的任何命题可以相应推广至Δ内任意一个单叶函数上。

Σ类是表示单位圆外部 ${\Delta }^{*}=\left\{z:\left|z\right|>1\right\}$ 内的全体具有下列展式的单叶函数

$F\left(z\right)=z+a_0+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+\cdots ,z\in {\Delta }^{*}.$

很容易看出，Σ类单叶函数是 ${\Delta }^{*}$ 内单叶且将 $\infty$ 变为 $\infty$ 并满足规范条件：

$\underset{z\to \infty }{\lim }\frac{g\left(z\right)}{z}=1$

的函数。

为了需要，我们引入文献 [5] 中的两个函数。

设 $S^p\subset S,p=1,2,\cdots$ ，表示p-对称单叶函数类，其中函数可表为：

$f_p\left(z\right)={\left[f\left(z^p\right)\right]}^{\frac{1}{p}}=z+a_{p+1}^{\left(p\right)}{z}^{p+1}+a_{2p+1}^{\left(p\right)}{z}^{2p+1}+\cdots ,f\in S,$

同样，设 ${\Sigma }^p\subset \Sigma ,p=1,2,\cdots$ ，也表示p-对称单叶函数类，但其中函数则表示为：

$F_p\left(z\right)=\frac{1}{f_p\left(1/z\right)}=z+\frac{{\alpha }_{p-1}^{\left(p\right)}}{z^{p-1}}+\frac{{\alpha }_{2p-1}^{\left(p\right)}}{z^{2p-1}}+\cdots ,f_p\in S^p.$

定义1： [6] 给定在 $\left|z\right|<1$ 上的单叶函数 $f\left(z\right)=z+a_2{z}^2+a_3{z}^3+\cdots$ ， $f\left(z\right)$ 的Grunsky系数 $C_{kn}^{\left(p\right)},k,n,p\ge 1$ 由下式定义：

$\log \frac{{\left[f\left(z^p\right)\right]}^{1/p}-{\left[f\left({\zeta }^p\right)\right]}^{1/p}}{z-\zeta }={\displaystyle \underset{k,n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{C}_{kn}^{\left(p\right)}{z}^k{\zeta }^n},$

对于 $C_{kn}^{\left(p\right)}$ 的表达式详见 [6] ，其中当 $z=\zeta =0$ 时对数分支取值为零。

设D是 $ℂ=ℂ\cup \left\{\infty \right\}$ 内的一个区域，对于D上的一个亚纯函数f，设

$S_f\left(z,\zeta \right)=\frac{f^{\prime }\left(z\right)f^{\prime }\left(\zeta \right)}{{\left(f\left(z\right)-f\left(\zeta \right)\right)}^2}-\frac{1}{{\left(z-\zeta \right)}^2},\left(z,\zeta \right)\in D\times D.$

下列引理表明 $S_f\left(z,\zeta \right)$ 是Schwarz导数 $S_f\left(z\right)$ 的自然对称扩展。

引理1： [7] 设f是区域D中的亚纯函数，则

$S_f\left(z,\zeta \right)={\displaystyle \underset{n=2}{\overset{\infty }{\sum }}\left(n-1\right){\psi }_n\left(f,z\right)}{\left(\zeta -z\right)}^{n-2},z\in D,\left|\zeta -z\right|<d\left(z,\partial D\right)$

其中 ${\psi }_n\left(f,z\right),n=2,3,\cdots$ 是Aharonov不变量(它的定义参见 [8] )。特别地，

$S_f\left(z,z\right)={\psi }_2\left(f,z\right)=\frac{1}{6}{S}_f\left(z\right).$

我们将定义1中的式子两边同时关于 $z,\zeta$ 求导可得

$\frac{{\left\{{\left[f\left(z^p\right)\right]}^{1/p}\right\}}^{\prime }{\left\{{\left[f\left({\zeta }^p\right)\right]}^{1/p}\right\}}^{\prime }}{{\left\{{\left[f\left(z^p\right)\right]}^{1/p}-{\left[f\left({\zeta }^p\right)\right]}^{1/p}\right\}}^2}-\frac{1}{{\left(z-\zeta \right)}^2}={\displaystyle \underset{k,n=1}{\overset{\infty }{\sum }}kn{C}_{kn}^{\left(p\right)}{z}^{k-1}{\zeta }^{n-1}}\text{.}$

若由 $\zeta \to z$ ，则

$S_{f_p}\left(z\right)=6{\displaystyle \underset{k,n=1}{\overset{\infty }{\sum }}kn{C}_{kn}^{\left(p\right)}{z}^{k+n-2}},\left|z\right|<1.$

由前文可知

$F_p\left(z\right)=\frac{1}{f_p\left(1/z\right)},$

再根据Schwarzian导数的性质简单计算可得

$S_{F_p}\left(z\right)=\frac{1}{z^4}{S}_{f_p}\left(\frac{1}{z}\right),\left|z\right|>1.$

于是，

$\begin{array}{c}{S}_{F_p}\left(z\right)=\frac{6}{z^4}{\displaystyle \underset{k,n=1}{\overset{\infty }{\sum }}kn{C}_{kn}^{\left(p\right)}{z}^{-k-n+2}}=6{\displaystyle \underset{k,n=1}{\overset{\infty }{\sum }}kn{C}_{kn}^{\left(p\right)}{z}^{-k-n-2}}\\ =6{\displaystyle \underset{k,n=1}{\overset{\infty }{\sum }}kn{C}_{kn}^{\left(p\right)}{z}^{-\left(k+n+2\right)}},\left|z\right|>1.\end{array}$

记 $l^2$ 表示 $x=\left(x_m\right)$ 序列的Hilbert空间且具有下列范数和内积：

$\Vert x\Vert ={\left({\displaystyle \underset{m=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|x\right|}^2}\right)}^{\frac{1}{2}},\langle x,y\rangle ={\displaystyle \underset{m=1}{\overset{\infty }{\sum }}{x}_m{\bar{y}}_m}.$

若 $F_p\in {\sum }^p$ ，定义一个Grunsky算子 $\mathcal{A}\left(F_p\right):l^2\to l^2$ ，具体表示为：

$\mathcal{A}\left(F_p\right):x_k\to \left({\displaystyle \underset{k,n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\sqrt{kn}{C}_{kn}^{\left(p\right)}{x}_n}\right),$

使得

$\langle \mathcal{A}\left(F_p\right)x_z,{\bar{x}}_z\rangle ={\displaystyle \underset{k,n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\sqrt{kn}{C}_{kn}^{\left(p\right)}{x}_k{x}_n}.$

由此我们有如下陈述：

定理1：若 $F_p\left(z\right)\in {\sum }^p$ ，在单位圆外部 ${\text{Δ}}^{\text{*}}$ 上存在 $x_z=\left(x_k\right)$ ，使得

$\langle \mathcal{A}\left(F_p\right)x_z,{\bar{x}}_z\rangle =\frac{1}{6}{S}_{F_p}\left(z\right){\left({\left|z\right|}^2-1\right)}^2$

成立。

定理2：若 $F_p\left(z\right)\in {\sum }^p$ ，则对 $S_{F_p}\left(z\right)$ 在复Hilbert空间下的范数有如下不等式成立：

${\Vert S_{F_p}\left(z\right)\Vert }_2^2\le 12\pi {\displaystyle \underset{k,n=1}{\overset{\infty }{\sum }}kn{\left|C_{kn}^{\left(p\right)}\right|}^2}\text{.}$

特别指出由函数 $\varphi$ 满足

${\Vert \varphi \Vert }_2^2={\displaystyle {\iint }_{{\text{Δ}}^{*}}{\left|\varphi \left(z\right)\right|}^2{\left({\left|z\right|}^2-1\right)}^2\text{d}x\text{d}y}$

组成的空间称为复Hilbert空间。

2. 主要结果的证明

在这一小节，我们将证明定理1、定理2。

定理1的证明：由上文我们知道

$S_{F_p}\left(z\right)=6{\displaystyle \underset{k,n=1}{\overset{\infty }{\sum }}kn{C}_{kn}^{\left(p\right)}{z}^{-\left(k+n+2\right)}},$

则对于任意 $z\in {\Delta }^{*}$ ，不妨设 $x_z=\left(x_k\right)$ 且 $x_k=\sqrt{k}\left({\left|z\right|}^2-1\right)z^{-\left(k+1\right)}$ ，注意有

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}k{t}^k}=\frac{t}{{\left(1-t\right)}^2},\left|t\right|<1,$

我们得到

${\Vert x_z\Vert }^2={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|x_k\right|}^2}={\left({\left|z\right|}^2-1\right)}^2{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}k{\left({\left|z\right|}^2\right)}^{-\left(k+1\right)}}=\frac{{\left({\left|z\right|}^2-1\right)}^2}{{\left|z\right|}^2}\frac{\frac{1}{{\left|z\right|}^2}}{{\left(1-\frac{1}{{\left|z\right|}^2}\right)}^2}=1.$

所以

$\begin{array}{c}\langle \mathcal{A}\left(F_p\right)x_z,{\bar{x}}_z\rangle ={\displaystyle \underset{k,n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\sqrt{kn}{C}_{kn}^{\left(p\right)}{x}_k{x}_n}\\ ={\displaystyle \underset{k,n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\sqrt{kn}{C}_{kn}^{\left(p\right)}\sqrt{k}\left({\left|z\right|}^2-1\right)z^{-\left(k+1\right)}\sqrt{n}\left({\left|z\right|}^2-1\right)z^{-\left(n+1\right)}}\\ ={\displaystyle \underset{k,n=1}{\overset{\infty }{\sum }}kn{C}_{kn}^{\left(p\right)}{z}^{-\left(k+n+2\right)}{\left({\left|z\right|}^2-1\right)}^2}\\ =\frac{1}{6}{S}_{F_p}\left(z\right){\left({\left|z\right|}^2-1\right)}^2.\end{array}$

定理1证明完毕。

定理2的证明：已知

$S_{F_p}\left(z\right)=6{\displaystyle \underset{k,n=1}{\overset{\infty }{\sum }}kn{C}_{kn}^{\left(p\right)}{z}^{-\left(k+n+2\right)}}=6{\displaystyle \underset{m=2}{\overset{\infty }{\sum }}\left({\displaystyle \underset{k+n=m}{\sum }kn{C}_{kn}^{\left(p\right)}}\right)z^{-\left(m+2\right)}},$

则

$\begin{array}{c}{\left|S_{F_p}\left(z\right)\right|}^2=36{\left|{\displaystyle \underset{m=2}{\overset{\infty }{\sum }}\left({\displaystyle \underset{k+n=m}{\sum }kn{C}_{kn}^{\left(p\right)}}\right)z^{-\left(m+2\right)}}\right|}^2\\ =36{\displaystyle \underset{m=2}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|{\displaystyle \underset{k+n=m}{\sum }kn{C}_{kn}^{\left(p\right)}}\right|}^2{\left|z^{-\left(m+2\right)}\right|}^2}\\ =36{\displaystyle \underset{m=2}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|{\displaystyle \underset{k+n=m}{\sum }kn{C}_{kn}^{\left(p\right)}}\right|}^2{z}^{-\left(m+2\right)}{\bar{z}}^{-\left(m+2\right)}}.\end{array}$

我们由文献 [9] 知

${\displaystyle {\iint }_{{\text{Δ}}^{*}}{\displaystyle \underset{m,n=2}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_m{\bar{b}}_n{z}^{-\left(m+2\right)}{\bar{z}}^{-\left(m+2\right)}{\left({\left|z\right|}^2-1\right)}^2\text{d}x\text{d}y}}=2\pi {\displaystyle \underset{n=2}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(n^3-n\right)}^{-1}{a}_m{\bar{b}}_n},$

再结合Schwarz不等式可得

$\begin{array}{c}{\Vert S_{F_p}\left(z\right)\Vert }_2^2={\displaystyle {\iint }_{{\text{Δ}}^{*}}{\left|S_{F_p}\left(z\right)\right|}^2{\left({\left|z\right|}^2-1\right)}^2\text{d}x\text{d}y}\\ ={\displaystyle {\iint }_{{\text{Δ}}^{*}}36{\displaystyle \underset{m=2}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|{\displaystyle \underset{k+n=m}{\sum }kn{C}_{kn}^{\left(p\right)}}\right|}^2{z}^{-\left(m+2\right)}{\bar{z}}^{-\left(m+2\right)}{\left({\left|z\right|}^2-1\right)}^2\text{d}x\text{d}y}}\\ =36{\displaystyle \underset{m=2}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|{\displaystyle \underset{k+n=m}{\sum }kn{C}_{kn}^{\left(p\right)}}\right|}^2{\displaystyle {\iint }_{{\text{Δ}}^{*}}{z}^{-\left(m+2\right)}{\bar{z}}^{-\left(m+2\right)}}}\\ =72\pi {\displaystyle \underset{m=2}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(m^3-m\right)}^{-1}{\left|{\displaystyle \underset{k+n=m}{\sum }kn{C}_{kn}^{\left(p\right)}}\right|}^2}\\ \le 72\pi {\displaystyle \underset{m=2}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(m^3-m\right)}^{-1}}{\displaystyle \underset{k+n=m}{\sum }kn}{\displaystyle \underset{k+n=m}{\sum }kn{\left|C_{kn}^{\left(p\right)}\right|}^2}\\ =12\pi {\displaystyle \underset{k,n=1}{\overset{\infty }{\sum }}kn{\left|C_{kn}^{\left(p\right)}\right|}^2}.\end{array}$

定理2证明完毕。

参考文献