关于Lavie导数的一点注记

A Note on Lavie Derivative

摘要: 阐述了Aharonov不变量、Lavie导数以及Schwarzian导数三者之间的联系，进一步，利用Aharonov不变量给出一个共形映射关于Aharonov不变量的显式表达式，且说明了Lavie导数是属于Banach空间的一个闭子空间。

Abstract: The relations among Aharonov invariants, Lavie derivative and Schwarzian derivative are discussed. Furthermore, using Aharonov invariants to give an explicit formula for a conformal mapping with respect to Aharonov invariants, it is further shown that Lavie derivative belongs to a closed subspace of Banach space.

1. 引言及主要结果

Aharonov不变量，是经典的Schwarzian导数的推广，并且在亚纯函数的单叶性以及拟共形扩张中都起了至关重要的作用。而由Lavie引入的Lavie导数在许多拟共形映射的研究中也有许多漂亮的结果。Lavie导数与Schwarzian导数的高阶导数以及Aharonov不变量之间都存在着密切的联系。除此之外，在本文中我们还将给出有关Aharonov不变量和Lavie导数的一个刻画。

为了叙述相关背景和结果，我们先从一些简单的定义和记号开始。我们用 $ℂ$ 表示复平面， $\Delta$ 表示单位圆盘 $\left\{z\in ℂ:\left|z\right|<1\right\}$ ，而 $S^1=\left\{z\in ℂ:\left|z\right|=1\right\}$ 。对于在复平面 $ℂ$ 内的区域D上一个单叶解析函数f，且在点z处导数 $f^{\prime }\left(z\right)\ne 0$ ，解析函数f在z点处的Schwarzian导数 $S_f$ 定义为

$S_f={\left(N_f\right)}^{\prime }-\frac{1}{2}{\left(N_f\right)}^2,N_f={\left(\log f^{\prime }\right)}^{\prime },$

其中 $N_f$ 称为f的pre-Schwarzian导数。

Schwarzian导数具有下列性质：

性质1 如果f是一个分式线性变换，那么

$S_f=0.$

性质2 如果函数f在定义域上不为0，那么

$S_f=S_{\frac{1}{f}}$

该性质可用于定义局部单射亚纯函数的Schwarzian导数。

性质3 Schwarzian导数满足复合公式

$S_{f°g}=\left(S_f°g\right){g^{\prime }}^2+S_f$

特别地，如果g是一个Möbius变换，那么

$S_{f°g}=\left(S_f°g\right){g^{\prime }}^2$

Schwarzian导数在单叶函数和Teichmüller空间理论中扮演着一个重要的角色，更多研究详见 [1] - [8] 。

设 $B_n\left(\Delta \right)$ 表示 $\Delta$ 内所有的全纯函数 $\phi$ 所组成的Banach空间，具有下列有限范数

${\Vert \phi \Vert }_n=\underset{z\in \Delta }{\sup }\left|\phi \left(z\right)\right|{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^n,n=1,2,\cdots$

设 $B_n\left(\Delta \right)$ 的闭子空间 $B_{n,0}\left(\Delta \right)$ 是由所有的属于 $B_n\left(\Delta \right)$ 的全纯函数 $\phi$ 所组成，并且具有下列有限范数

$\underset{\left|z\right|\to 1}{lim}\left|\phi \left(z\right)\right|{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^n=0,n=1,2,\cdots$

对于在复平面 $ℂ$ 内的区域D上一个单叶函数f，具有 $z\in D$ ， $f\left(z\right)\ne \infty$ ， $f^{\prime }\left(z\right)\ne 0$ ，考虑生成函数

$F\left(f;\zeta ,z\right)=\frac{f^{\prime }\left(z\right)}{f\left(z\right)-f\left(\zeta \right)}-\frac{1}{z-\zeta }\text{.}$

对每一个 $z\in D$ ， $\left|\zeta -z\right|<1-\left|z\right|$ ，展开成幂级数为

$F\left(f;\zeta ,z\right)={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\psi }_n\left[f\right]\left(z\right){\left(\zeta -z\right)}^{n-1}},$

则这个量 ${\psi }_n\left[f\right]\left(z\right)$ 称为Aharonov不变量(见 [3] )。

注意

${\psi }_1\left[f\right]\left(z\right)=\frac{1}{2}\frac{f^{″}\left(z\right)}{f^{\prime }\left(z\right)},{\psi }_2\left[f\right]\left(z\right)=\frac{1}{6}\left[\frac{f^{‴}\left(z\right)}{f^{\prime }\left(z\right)}-\frac{3}{2}{\left(\frac{f^{″}\left(z\right)}{f^{\prime }\left(z\right)}\right)}^2\right].$

因此， $2!{\psi }_1\left[f\right]$ 和 $3!{\psi }_2\left[f\right]\left(z\right)$ 是f的pre-Schwarzian导数 $N_f$ 和Schwarzian导数 $S_f$ 。由此， ${\psi }_n\left[f\right],n=2,3,\cdots$ ，可以看作是高阶Schwarzian导数。

Aharonov在 [3] 中证明了关于 ${\psi }_n\left[f\right]\left(z\right)$ 这个量的下列性质：

1) 当 $n=3,4,\cdots$ 时，

$\left(n+1\right){\psi }_n\left[f\right]\left(z\right)={{\psi }^{\prime }}_{n-1}\left[f\right]\left(z\right)+{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{n-2}{\sum }}{\psi }_k}\left[f\right]\left(z\right){\psi }_{n-k}\left[f\right]\left(z\right).$

2) 对于 $n\ge 2$ ，有Mӧbius变换 $g=\frac{az+b}{cz+d}$ ，使得

${\psi }_n\left[g\circ f\right]\left(z\right)={\psi }_n\left[f\right]\left(z\right).$

设f是 $\Delta$ 中的一个共形映射，由Lavie [9] 引入的Lavie导数可以定义为

${\varphi }_2\left[f\right]={\psi }_2\left[f\right],{\varphi }_n\left[f\right]=\frac{1}{n+1}{{\varphi }^{\prime }}_{n-1}\left[f\right],n\ge 3.$

根据Aharonov不变量的定义，我们由

${\psi }_3\left[f\right]={\varphi }_3\left[f\right]=\frac{1}{4}{{\psi }^{\prime }}_2\left[f\right].$

这表明当 $n=3$ 时，Aharonov不变量的情况和Lavie导数的情况是一致的。

由此当 $n\ge 4$ 时，对于Lavie导数，Harmelin [4] 有如下结果。

定理2 [4] 设f是 $\Delta$ 上的一个共形映射，则我们有

${{\varphi }^{\prime }}_2\left[f\right]=4{\varphi }_3\left[f\right],$

当 $n\ge 4$ 时，则有

${\varphi }_n\left[f\right]=\frac{3!}{\left(n+1\right)!}{\varphi }_2^{\left(n-2\right)}\left[f\right]=\frac{3!}{\left(n+1\right)!}{\psi }_2^{\left(n-2\right)}\left[f\right].$

从上述的两个论断中，我们不难发现，Lavie导数与Schwarzian导数的高阶导数以及Aharonov不变量之间都存在着密切的联系。除此之外，在本文中我们还将给出有关Aharonov不变量和Lavie导数的一个刻画。

我们知道

$\left(n+1\right){\psi }_n\left[f\right]\left(z\right)={{\psi }^{\prime }}_{n-1}\left[f\right]\left(z\right)+{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{n-2}{\sum }}{\psi }_k}\left[f\right]\left(z\right){\psi }_{n-k}\left[f\right]\left(z\right),$

通过计算

${\psi }_3\left[f\right]=\frac{{{\psi }^{\prime }}_2\left[f\right]}{4},$

${\psi }_4\left[f\right]=\frac{{{\psi }^{″}}_2\left[f\right]}{20}+\frac{{\psi }_2^2\left[f\right]}{5},$

${\psi }_5\left[f\right]=\frac{{{\psi }^{‴}}_2\left[f\right]}{5!}+\frac{3{\psi }_2\left[f\right]{{\psi }^{\prime }}_2\left[f\right]}{20}\text{.}$

设 $0<r<1$ ， $f_r=f\left(rz\right)$ ，则 $f_r$ 是在 $\text{<mover accent="true"> Δ <mo> ¯ </mo> </mover>}=\text{Δ}\cup S^1$ 的邻域内的共形映射，设

$B_{n-2}\left[f\right]={\displaystyle \underset{k=4}{\overset{n}{\sum }}{\psi }_k}\left[f\right]\left(z\right){\psi }_{n-k}\left[f\right]\left(z\right),n\ge 4.$

根据Aharonov不变量的定义，我们可以得到共形映射 $f_r$ 关于Aharonov不变量的一个显式表达式。

定理3 当 $n\ge 5$ 时， $f_r$ 是 $\text{<mover accent="true"> Δ <mo> ¯ </mo> </mover>}=\text{Δ}\cup S^1$ 的邻域内的共形映射，则有

${\psi }_n\left[f_r\right]\left(z\right)=\frac{3!}{\left(n+1\right)!}{\psi }_2^{\left(n-2\right)}\left[f_r\right]+\frac{3!}{\left(n+1\right)!}{\left(\frac{18}{5!}{\psi }_2\left[f_r\right]{{\psi }^{\prime }}_2\left[f_r\right]\right)}^{\left(n-5\right)}+\underset{i=6}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}\frac{i!}{\left(n+1\right)!}{B}_{i-2}^{\left(n-i\right)}.$

我们知道一个单位圆盘 $\Delta$ 存在可以拟共形延拓到整个复平面 $ℂ$ 的共形映射f，对此，我们有如下结果。

由Stroethoff [10] 给出了Bloch函数的一些高阶导数的表征。

引理1 [10] 设 $\phi$ 是 $\Delta$ 上的一个全纯函数且 $n\ge 1$ ，则下列表述是等价的：

1) $\phi \in B_2\left(\Delta \right)$ (或 $\phi \in B_{2,0}\left(\Delta \right)$ )，

2) ${\phi }^{\left(n\right)}\in B_{n+2}\left(\Delta \right)$ (或 ${\phi }^{\left(n\right)}\in B_{n+2,0}\left(\Delta \right)$ )。

对于Lavie导数我们得到如下结果。

定理4 设 $n\ge 2$ ，f是 $\Delta$ 上的一个有界共形函数，如果 ${\varphi }_2\in B_{2,0}\left(\Delta \right)$ ，则 ${\varphi }_n\left[f\right]\in B_{n,0}\left(\Delta \right)$ 。

2. 主要结果的证明

本节对本文的主要结果进行刻画，即开始定理3、定理4的证明。

接下来开始定理3的证明。

根据式子

$\left(n+1\right){\psi }_n\left[f\right]\left(z\right)={{\psi }^{\prime }}_{n-1}\left[f\right]\left(z\right)+{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{n-2}{\sum }}{\psi }_k}\left[f\right]\left(z\right){\psi }_{n-k}\left[f\right]\left(z\right),$

又

$B_{n-2}\left[f\right]={\displaystyle \underset{k=4}{\overset{n}{\sum }}{\psi }_k}\left[f\right]\left(z\right){\psi }_{n-k}\left[f\right]\left(z\right),n\ge 4.$

我们有

${\psi }_n\left[f_r\right]=\frac{1}{n+1}\left({{\psi }^{\prime }}_n\left[f_r\right]+B_{n-2}\left[f_r\right]\right),$

重复利用上式递推可得

$\begin{array}{c}{\psi }_n\left[f_r\right]=\frac{1}{\left(n+1\right)n}{{\psi }^{″}}_{n-2}\left[f_r\right]+\frac{1}{\left(n+1\right)n}{B^{\prime }}_{n-3}\left[f_r\right]+\frac{1}{n+1}{B}_{n-2}\left[f_r\right]\\ =\frac{1}{\left(n+1\right)n}\left(\frac{1}{n-1}{{\psi }^{‴}}_{n-2}\left[f_r\right]+\frac{1}{n-1}{B^{\prime }}_{n-4}\left[f_r\right]\right)\\ +\frac{1}{\left(n+1\right)n}{B^{\prime }}_{n-3}\left[f_r\right]+\frac{1}{n+1}{B}_{n-2}\left[f_r\right]\\ =\frac{1}{\left(n+1\right)n\cdots 7}{\psi }_5^{\left(n-5\right)}\left[f_r\right]+\frac{1}{\left(n+1\right)n\cdots 7}{B}_4^{\left(n-6\right)}\left[f_r\right]+\cdots \\ +\frac{1}{\left(n+1\right)n}{B^{\prime }}_{n-3}\left[f_r\right]+\frac{1}{\left(n+1\right)}{B}_{n-2}\left[f_r\right].\end{array}$

因为

${\psi }_5\left[f\right]=\frac{{{\psi }^{″}}_2\left[f\right]}{5!}+\frac{3{\psi }_2\left[f\right]{{\psi }^{\prime }}_2\left[f\right]}{20},$

所以代入可得

$\begin{array}{c}{\psi }_n\left[f_r\right]=\frac{1}{\left(n+1\right)n\cdots 7\cdot 5!}{\psi }_2^{\left(n-2\right)}\left[f_r\right]+\frac{1}{\left(n+1\right)n\cdots 7}{\left(\frac{3{\psi }_2{{\psi }^{\prime }}_2}{20}\right)}^{\left(n-5\right)}\\ +\frac{1}{\left(n+1\right)n\cdots 7}{B}_4^{\left(n-6\right)}\left[f_r\right]+\cdots +\frac{1}{\left(n+1\right)n}{B^{\prime }}_{n-3}\left[f_r\right]+\frac{1}{\left(n+1\right)}{B}_{n-2}\left[f_r\right]\\ =\frac{1}{\left(n+1\right)n\cdots 7\cdot 5!}{\psi }_2^{\left(n-2\right)}\left[f_r\right]+\frac{1}{\left(n+1\right)n\cdots 7}{\left(\frac{18}{5!}{\psi }_2{{\psi }^{\prime }}_2\right)}^{\left(n-5\right)}\\ +\frac{1}{\left(n+1\right)n\cdots 7}{B}_4^{\left(n-6\right)}\left[f_r\right]+\cdots +\frac{1}{\left(n+1\right)n}{B^{\prime }}_{n-3}\left[f_r\right]+\frac{1}{\left(n+1\right)}{B}_{n-2}\left[f_r\right]\\ =\frac{3!}{\left(n+1\right)!}{\psi }_2^{\left(n-2\right)}\left[f_r\right]+\frac{3!}{\left(n+1\right)!}{\left(\frac{18}{5!}{\psi }_2\left[f_r\right]{{\psi }^{\prime }}_2\left[f_r\right]\right)}^{\left(n-5\right)}+\underset{i=6}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}\frac{i!}{\left(n+1\right)!}{B}_{i-2}^{\left(n-i\right)}.\end{array}$

即定理3得证。

接下来对定理4进行证明。

由引理1，我们可以有关系 ${\psi }_2\left[f\right]\in B_{2,0}\left(\Delta \right)$ ，其等价于

$\underset{\left|z\right|\to 1}{\lim }\left|{\psi }_2^{\left(n\right)}\left[f\right]\left(z\right)\right|{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{n+2}=0,n=1,2,\cdots .$

则由Aharonov不变量与Lavie导数之间的关系，即

当 $n=2$ 时有

${\psi }_2\left[f\right]={\varphi }_2\left[f\right]$

故有

$\underset{\left|z\right|\to 1}{\lim }\left|{\varphi }_2^{\left(n\right)}\left[f\right]\left(z\right)\right|{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{n+2}=0,n=1,2,\cdots .$

通过定理2可知

${\varphi }_n\left[f\right]=\frac{3!}{\left(n+1\right)!}{\psi }_2^{\left(n-2\right)}\left[f\right],n\ge 3.$

故

${\psi }_2^{\left(n-2\right)}\left[f\right]=\frac{\left(n+1\right)!}{3!}{\varphi }_n\left[f\right],n\ge 3.$

由此可以推导出

$\underset{\left|z\right|\to 1}{\lim }\left|{\varphi }_n\left[f\right]\left(z\right)\right|{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^n=0,n=3,4,5,\cdots .$

这表明 ${\varphi }_n\left[f\right]\in B_{n,0}\left(\Delta \right)$ ，证毕。