基于太阳能光热发电系统效率问题的方案分析——以2023年全国数学建模竞赛A题为例

Efficiency Analysis of the Solar Energy System for Electric Generation via Light-to-Heat Conversion—A Case Study of Problem A in the 2023 National MathematicalModeling Competition

摘要: 本文以2023年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题为例，分析了“定日镜场的优化设计”的可行方案，利用卷积积分和构建模拟镜场等方法，在定日镜工作原理的基础上，建立了优化模型，并通过遗传算法和多为粒子群算法对模型进行求解，以解决定日镜场优化设计中的关键问题。本文提供的计算与优化方案具有良好的可借鉴性，可为同类问题的分析解决提供参考。由于模型未考虑天气因素、镜面弯曲程度、灰尘覆盖等复杂因素的影响，对所求结果有一定的影响，有待后续分析探讨。

Abstract: This paper presents a feasible resolution to the optimization design of helioscope field, based on the problem A of 2023 Higher Education Press Cup National Undergraduates Mathematical Modeling Competition. Following the working principle of helioscope, an optimization model is established by means of convolutional integral and construction of simulated optical field, and the model is solved by genetic algorithm and multi-particle swarm optimization algorithm to solve the problems in the optimization design of helioscope field. The calculation and optimization scheme proposed provides a good solution for similar problem. Lacking the effects of some practical parameters, i.e. weather conditions, mirror curvature and covering of dust, which may somehow affect the accuracy of the results, further analysis and improvement are still desirable.

1. 引言

面对日益紧缺的能源供应与严重的能源问题，寻求环保持久的新能源代替化石燃料越来越受到重视。近年来，新能源技术不断发展，新能源发电系统应用广泛。在各种新兴能源中，太阳能的来源最稳定持续和丰富。塔式太阳能光热发电是一种低碳环保的新型清洁能源技术 [1] ，其发电系统的效率优于传统的光热发电效率，对实现我国“碳达峰”和“碳中和”的战略目标具有重要意义 [1] 。构建以新能源为主体的新型电力系统，是我国实现“碳达峰”“碳中和”目标的一项重要措施。定日镜是塔式太阳能光热发电站(简称塔式电站)收集太阳能的基本组件，其底座由纵向转轴和水平转轴组成，平面反射镜安装在水平转轴上。纵向转轴的轴线与地面垂直，可以控制反射镜的方位角。水平转轴的轴线与地面平行，可以控制反射镜的俯仰角。两转轴的交点(定日镜中心)离地面的高度称为定日镜的安装高度。塔式电站利用大量的定日镜组成阵列，称为定日镜场。定日镜将太阳光反射汇聚到安装在镜场中吸收塔顶端上的集热器，加热其中的导热介质，并将太阳能以热能形式储存起来，再经过热交换实现由热能向电能的转化。太阳光并非平行光线，而是具有一定锥形角的一束锥形光线，因此太阳入射光线经定日镜任意一点的反射光线也是一束锥形光线 [2] 。定日镜在工作时，控制系统根据太阳的位置实时控制定日镜的法向，使得太阳中心点发出的光线经定日镜中心反射后指向集热器中心。集热器中心的离地高度称为吸收塔高度。

塔式太阳能光热发电系统的效率与定日镜的太阳光追踪技术和定日镜的位置坐标息息相关，定日镜场的优化设计问题至关重要。

2. 问题简析

本文基于定日镜的工作原理，通过卷积积分和构建模拟镜场等方法，建立定日镜的工作优化模型，同时利用多维粒子群算法和遗传算法对建立模型进行求解。

问题1将吸收塔建于圆形定日镜场中心，定日镜尺寸均为6 m × 6 m，安装高度均为4 m，且给定所有定日镜中心的位置(以下简称为定日镜位置)，计算该定日镜场的年平均光学效率、年平均输出热功率，以及单位镜面面积年平均输出热功率。

解决方案：建立光学效率模型，其模型中包含阴影遮挡效率、余弦效率和集热器截断效率等多个影响因素，利用平面投影法计算阴影遮挡效率，然后通过MATLAB编程画出效率云图，再通过云图分析镜场光学效率的分布规律，然后利用模型计算每个定日镜在每一特殊时刻的光学效率，再对所有时间点的数据取平均值，得到年平均光学效率；再建立输出热功率模型。利用定日镜面积、光学效率与DNI计算出总输出热功率，对所有时间点的数据进行平均，求得年平均输出热功率；最后利用总输出热功率除以总镜面面积，对所有时间点数据进行平均，得到单位镜面面积年平均输出热功率。

问题2按设计要求，定日镜场的额定年平均输出热功率(简称额定功率)为60 MW。若所有定日镜尺寸及安装高度相同，设计定日镜场的以下参数：吸收塔的位置坐标、定日镜尺寸、安装高度、定日镜数目、定日镜位置，使得定日镜场在达到额定功率的条件下，单位镜面面积年平均输出热功率尽量大。

解决方案：在第一问的基础上，先建立CAMPO布置仿真镜场，再用粒子群算法优化模型，目标函数为单位镜面面积年平均输出热功率最大，约束条件为吸收塔周围100 m内不安装定日镜，安装高度使镜面绕水平转轴旋转时不触及地面，同时相邻定日镜底座中心间的距离比镜面宽度多5 m以上。然后利用问题1中建立的模型与优化模型进行优化求解，算得定日镜尺寸为4.7064 × 4.5954，定日镜安装高度为4.2006 m，优化后定日镜数目为5128个，优化后定日镜总面积110907.31 m²。

问题3如果定日镜尺寸可以不同，安装高度也可以不同，额定功率设置同问题2，重新设计定日镜场的各个参数，使得定日镜场在达到额定功率的条件下，单位镜面面积年平均输出热功率尽量大。

解决方案：沿用问题1和2建立优化模型，将定日镜尺寸与安装高度变为可变参数，在定日镜场达到额定功率60 MW条件下，应用遗传算法使其单位镜面面积年平均输出热功率尽量大，然后对模型进行优化求解，算得优化后定日镜总片数4610片，单位面积年平均输出功率0.5318 m²，定日镜总面积158,620 m²。

3. 符号说明与模型假设

本文符号及说明如表1所示。

Table 1. Symbols and illustrations

表1. 符号及说明

为了对模型进行合理的简化，本文做出如下假设：

1) 假设镜面反射率η_ref取为0.92；

2) 镜面为理想平面；

3) 不考虑阴雨天气对太阳辐射的影响；

4) 假设本题计算中的春分日为3月21日；

5) 假设阴影与遮挡只发生在目标定日镜周围的一定范围内。

4. 问题1模型的建立与求解

4.1. 问题分析

问题1要求通过附件所给公式，建立模型计算定日镜安装高度为4m，定日镜尺寸大小为6m×6m,且已知定日镜中心位置时定日镜场的年平均光学效率、年平均输出热功率及单位镜面面积年平均输出热功率。首先，对太阳高度角和太阳方位角等后续模型所需数据进行计算，其次，建立光学效率模型，分析阴影遮挡效率、余弦效率和集热器截断效率等多个影响因素，然后通过MATLAB编程画出效率云图，通过云图分析镜场光学效率的分布规律，利用模型计算每个定日镜在每一特殊时刻的光学效率，对所有时间点的数据取平均值，得到年平均光学效率；再建立输出热功率模型，通过定日镜面积、光学效率与DNI计算出总输出热功率，对所有时间点的数据进行平均，求得年平均输出热功率；最后利用总输出热功率除以总镜面面积，对所有时间点数据进行平均，得到单位镜面面积年平均输出热功率 [3] 。

4.2. 模型的建立

4.2.1. 基础数据计算

首先，对后续建立模型经常用到的公式进行处理。

太阳角高度α_s

$\sin {\alpha }_s=\cos \delta \cos \phi \cos \omega +\sin \delta \sin \phi$ (1)

太阳方位角γ_s

$\cos {\gamma }_s=\frac{\sin \delta -\sin {\alpha }_s\sin \phi }{\cos {\alpha }_s\cos \phi }$ (2)

式中，φ为当地纬度，北纬为正；ω为太阳时角

$\omega =\frac{\pi }{12}\left(ST-12\right)$ (3)

其中，ST代表当地时间，δ指太阳赤纬角

$\sin \delta =\sin \frac{2\pi D}{365}\sin \left(\frac{2\pi }{365}\times 23.45\right)$ (4)

D为以春分日作为第0天起算的天数。

因而可以通过日期和当地时间来推导出太阳时角和太阳赤纬角，再通过推导出的数据利用公式(1)和(2)计算出后续计算所需要的太阳高度角与太阳赤纬角。

4.2.2. 光学效率模型

定日镜的光学效率η为：

$\eta ={\eta }_{sb}{\eta }_{\cos }{\eta }_{at}{\eta }_{trunc}{\eta }_{ref}$ (5)

其中，镜面反射率η_ref可取为常数，本题取为0.92。

具体计算如下：

1) 阴影遮挡效率η_sb

Figure 1. Illustration of shadow formation by sheltering

图1. 阴影遮挡示意图

阴影遮挡如图1所示。阴影定日镜在入射坐标系中的坐标：

$\{\begin{array}{l}{X}_i=-X_{so}\sin {\gamma }_s+Y_{so}\cos {\gamma }_s\\ Y_i=-\sin {\alpha }_s\left(S_{so}\cos {\gamma }_s+Y_{so}\sin {\gamma }_s\right)+Z_{so}\cos {\alpha }_s\\ Z_i=\cos {\alpha }_s\left(Y_{so}\sin {\gamma }_s+X_{so}\cos {\gamma }_s\right)+Z_{so}\sin {\alpha }_s\end{array}$ (6)

阴影定日镜在入射坐标系中的坐标：

$\{\begin{array}{l}{X}_u=X_i\\ Y_u=Y_i\\ Z_u=Z_i-\frac{Z_m}{\cos \theta }\end{array}$ (7)

Z_m：阴影定日镜中心在被阴影定日镜面坐标Z坐标，由题知Z_m= 0。

由地面坐标系到镜面坐标系中变换矩阵：

$M=\left[\begin{array}{cccc}-\sin A_H& \cos A_H& 0& 0\\ -\cos E_H\cos A_H& -\cos E_H\sin A_H& \sin E_H& 0\\ \sin E_H\cos A_H& \sin E_H\sin A_H& \cos E_H& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ (8)

由入射坐标系到镜面坐标系中变换矩阵：

$M_4=M_3{M}_2^{\text{T}}$ (9)

阴影定日镜的镜面中心沿入射光方向在被阴影镜面上投影坐标：

$\{\begin{array}{l}{X}_m=X_u\cos \left(A_H-{\gamma }_s\right)\\ Y_m=-X_u\cos E_H\sin \left(A_H-{\gamma }_s\right)+Y_u\left[\cos E_H\sin {\alpha }_s\cos \left(A_H-{\gamma }_s\right)+\sin E_H\cos {\alpha }_s\right]\\ -Z_u\left[\cos E_H\cos {\alpha }_s\cos \left(A_H-{\gamma }_s\right)-\sin E_H\sin {\alpha }_s\right]\end{array}$ (10)

根据下式判断是否存在阴影

$Z_i>0且\{\begin{array}{l}\left|X_m\right|<H_w\\ \left|Y_m\right|<H_l\end{array}$ (11)

其中，H_w为镜面宽度，H_l为镜面高度。

以镜面中心为坐标系原点，其法向量为z轴，镜面两条边建立镜面坐标系，利用矩阵M，可得镜面追迹点在地面系中坐标。

$\{\begin{array}{l}{x}_{mg}=-\left(\sin A_H\right)\cdot x_0-\left(\cos A_H\right)\cdot \cos E_H\cdot y_0+x_0\\ y_{mg}=\left(\cos A_H\right)\cdot x_0-\sin A_H\cos E_H\\ z_{mg}=\sin E_H\cdot y_m+4\end{array}$ (12)

计算相邻定日镜面之间阴影率，以被遮挡的定日镜中心为原点，建立阴影坐标系，X₀指向水平正南，Y₀指向正东，Z₀与X₀OY₀面垂直，阴影定日镜在X₀Y₀Z₀坐标系中的坐标为(x₀，y₀，4)，(X_sg，Y_sg，Z_sg)，(X_0g，Y_0g，Z_0g)表示定日镜及被定日镜在地面坐标系中的坐标。

$\{\begin{array}{l}{X}_{s0}=X_{sg}-X_{0g}\\ Y_{s0}=Y_{sg}-Y_{0g}\\ Z_{s0}=Z_{sg}-Z_{0g}\end{array}$ (13)

以定日镜为中心，入射光线为Z轴建立入射坐标系，由地面坐标系到入射坐标系的变换矩阵为

$M_2=\left[\begin{array}{cccc}-\sin {\gamma }_s& \cos {\gamma }_s& 0& 0\\ -\sin {\alpha }_s\cdot \cos {\gamma }_s& -\sin {\alpha }_s\sin {\gamma }_s& \cos {\alpha }_s& 0\\ \cos {\alpha }_s\cdot \cos {\gamma }_s& \cos {\alpha }_s\cdot \sin {\gamma }_s& \sin {\alpha }_s& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ (14)

${\eta }_{sb}=\{\begin{array}{l}1-H_0\left[\left(H_0+\frac{H_{集}}{2}\right)\tan {\alpha }_s-100\right]\left({\alpha }_s<38.7\right)\\ 1\left({\alpha }_s\ge 38.7\right)\end{array}$ (15)

其中，H₀ = 80 m，为吸收塔的高度，H_集 = 8 m为集热器高度，α_s为太阳高度角。通过参考资料及后续模拟仿真，当太阳高度角达到38.7度左右时，镜场中的阴影遮挡现象完全消失 [4] 。实际计算过程如下：

STEP1：将定日镜均匀划分成m × n网格(图2)，计算网格上各点映射到定日镜场坐标系中的坐标。

STEP2：循环遍历每一块定日镜，对它四周一圈的定日镜进行重合网格点判断并计算重合面积。

STEP3：将所有重合的面积和除以总定日镜面积即得阴影遮挡效率。

${\eta }_{sb}=\frac{阴影遮挡面积}{镜场总面积}$

Figure 2. Illustration of grid-divided helioscopefield

图2. 定日镜网格表示示意图

2) 集热器截断效率η_trunc

集热器截断效率表示在太阳能光热系统中，定日镜将太阳光线聚焦到集热器上时光线因为镜子的截断而失去的概率。这个效率取决于镜面的形状和位置，以及集热器的大小和位置。参考文献 [5] 采用HFLCAL模型计算集热器截断效率效率。

${\eta }_{trunc}=\frac{1}{2\pi {\sigma }_{tot}^2}{\displaystyle {\int }_x{\displaystyle {\int }_y\exp }}\left(-\frac{x^2+y^2}{{\sigma }_{tot}^2}\right)\text{d}y\text{d}x$ (16)

${\sigma }_{tot}=\sqrt{d^2\left({\sigma }_{sun}^2+{\sigma }_{bq}^2+{\sigma }_{ast}^2+{\sigma }_{track}^2\right)}$ (17)

${\sigma }_{bq}^2={\left(2{\sigma }_s\right)}^2$ (18)

${\sigma }_{ast}=\sqrt{\frac{0.5\left(H_t^2+W_t^2\right)}{4d}}$ (19)

$H_t=\sqrt{H_l\cdot H_w}\left|\frac{d}{f}-\cos w\right|$ (20)

$W_s=\sqrt{H_l\cdot H_w}\left|\frac{d}{f}\cos w-1\right|$ (21)

上式中， ${\sigma }_{tot}^2$ 指吸热器表面光斑的总标准差，其受反射距离d、定日镜焦距f，太阳形状误差标准差σ_sun、光束质量误差标准差σ_bp、像散误差标准差σ_ast、及跟踪误差标准差σ_track。σ_s指的是斜率误差标准差；H_t、W_s为吸热器装置上光斑在子午方向与弧矢方向的尺寸大小；H_l、H_w分别为定日镜的高度和宽度；f是定日镜的轴向焦距；w为太阳光线入射角。根据搜集数据，σ_sun = 2.51 mrad、σ_s = 0.94 mrad、σ_track = 0.63 mrad。

3) 余弦效率η_cos (太阳入射角余弦值cosθ)

大部分光学效率损失为镜场的余弦损失，入射光线与镜面反射点处的法线方向存在夹角θ (图3)，其余弦值cosθ即为所求的余弦效率值。利用题中所建立的坐标系，以正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立镜场坐标系，集热器坐标为(0，0，H₀)，镜面A坐标为(x，y，h₀)。

定日镜镜面中心指向集热器的光线的单位法向量 $n$

$n=\frac{\left(-x,-y,H_0-h_0\right)}{\sqrt{x^2+y^2+{\left(H_0-h_0\right)}^2}}$ (22)

入射向量 $i$

$i=\left(-\cos {\alpha }_s\cos {\gamma }_s,-\cos {\alpha }_s\sin {\gamma }_s,-\sin {\alpha }_s\right)$ (23)

反射向量 $\gamma$

$\gamma =\left(-x,-y,80\right)$ (24)

Figure 3. Illustration of incident angle

图3. 入射角示意图

单一定日镜的余弦效率可通过入射光线单位向量与镜面法向量的点积计算：

${\eta }_{cos}=\cos \theta =i\cdot n$ (25)

大气透射率η_at

${\eta }_{at}=0.99321-0.0001176d_{HR}+1.97\times {10}^{-8}\times d_{HR}^2\left(d_{HR}\le 1000\right)$ (26)

d_HR表示镜面中心到集热器中心的距离，故

$d_{HR}=\sqrt{x^2+y^2+{80}^2}$ (27)

带入公式求出大气透射率η_at。

最终建立模型为

$\text{s}\text{.t}.\{\begin{array}{l}\sin {\alpha }_s=\cos \delta \cos \phi \cos \omega +\sin \delta \sin \phi \\ \cos {\gamma }_s=\frac{\sin \delta -\sin {\alpha }_s\sin \phi }{\cos {\alpha }_s\cos \phi }\\ \omega =\frac{\pi }{12}\left(ST-12\right)\\ \sin \delta =\sin \frac{2\pi D}{365}\sin \left(\frac{2\pi }{365}\times 23.45\right)\\ \eta ={\eta }_{sb}{\eta }_{cos}{\eta }_{at}{\eta }_{trunc}{\eta }_{ref}\\ {\eta }_{sb}=\{\begin{array}{l}1-H_0\left[\left(H_0+\frac{H_{集}}{2}\right)\tan {\alpha }_s-100\right]\left({\alpha }_s<38.7\right)\\ 1\left({\alpha }_s\ge 38.7\right)\end{array}\\ {\eta }_{trunc}=\frac{1}{2\pi {\sigma }_{tot}^2}{\displaystyle {\int }_x{\displaystyle {\int }_y\exp }}\left(-\frac{x^2+y^2}{{\sigma }_{tot}^2}\right)\text{d}y\text{d}x\\ {\eta }_{cos}=\cos \theta =i\cdot n\\ n=\frac{\left(-x,-y,H_0-h_0\right)}{\sqrt{x^2+y^2+{\left(H_0-h_0\right)}^2}}\\ i=\left(-\cos {\alpha }_s\cos {\gamma }_s,-\cos {\alpha }_s\sin {\gamma }_s,-\sin {\alpha }_s\right)\\ {\eta }_{at}=0.99321-0.0001176d_{HR}+1.97\times {10}^{-8}\times d_{HR}^2\left(d_{HR}\le 1000\right)\\ d_{HR}=\sqrt{x^2+y^2+{80}^2}\end{array}$ (28)

4.2.3. 平均输出热功率模型

定日镜场的输出热功率E_field

$E_{field}=DNI{\displaystyle {\sum }_i^N{A}_i{\eta }_i}$ (29)

法向直接辐射辐照量DNI为地球中垂直太阳光线的平面单位面积、单位时间内所受到的太阳辐射能量，可用如下公式计算：

$\{\begin{array}{l}DNI=G_0\left[a+b\cdot \exp \left(-\frac{c}{\sin {\alpha }_s}\right)\right]\\ a=0.4237-0.00821{\left(6-H\right)}^2\\ b=0.5055+0.00595{\left(6.5-H\right)}^2\\ c=0.2711+0.01858{\left(2.5-H\right)}^2\end{array}$ (30)

G₀为太阳常数，其值取为1.366 kW/m²，H为海拔高度，本题H = 3 km。

其中DNI为法向直接辐射辐照量，N为定日镜总数，A_i为第i面定日镜采光面积；η_i为第i面镜子的光学效率。

最终建立模型为

$\text{s}\text{.t}\text{.}\{\begin{array}{l}{E}_{field}=DNI{\displaystyle {\sum }_i^N{A}_i{\eta }_i}\\ \{\begin{array}{l}DNI=G_0\left[a+b\cdot \exp \left(-\frac{c}{\sin {\alpha }_s}\right)\right]\\ a=0.4237-0.00821{\left(6-H\right)}^2\\ b=0.5055+0.00595{\left(6.5-H\right)}^2\\ c=0.2711+0.01858{\left(2.5-H\right)}^2\end{array}\\ \{\begin{array}{l}\sin {\alpha }_s=\cos \delta \cos \phi \cos \omega +\sin \delta \sin \phi \\ \cos {\gamma }_s=\frac{\sin \delta -\sin {\alpha }_s\sin \phi }{\cos {\alpha }_s\cos \phi }\\ \omega =\frac{\pi }{12}\left(ST-12\right)\\ \sin \delta =\sin \frac{2\pi D}{365}\sin \left(\frac{2\pi }{365}\times 23.45\right)\\ \eta ={\eta }_{sb}{\eta }_{cos}{\eta }_{at}{\eta }_{trunc}{\eta }_{ref}\\ {\eta }_{sb}=\{\begin{array}{l}1-H_0\left[\left(H_0+\frac{H_{集}}{2}\right)\tan {\alpha }_s-100\right]\left({\alpha }_s<38.7\right)\\ 1\left({\alpha }_s\ge 38.7\right)\end{array}\\ {\eta }_{trunc}=\frac{1}{2\pi {\sigma }_{tot}^2}{\displaystyle {\int }_x^{}{\displaystyle {\int }_y^{}\exp }}\left(-\frac{x^2+y^2}{{\sigma }_{tot}^2}\right)\text{d}y\text{d}x\\ {\eta }_{cos}=\cos \theta =i\cdot n\\ n=\frac{\left(-x,-y,H_0-h_0\right)}{\sqrt{x^2+y^2+{\left(H_0-h_0\right)}^2}}\\ i=\left(-\cos {\alpha }_s\cos {\gamma }_s,-\cos {\alpha }_s\sin {\gamma }_s,-\sin {\alpha }_s\right)\\ {\eta }_{at}=0.99321-0.0001176d_{HR}+1.97\times {10}^{-8}\times d_{HR}^2\left(d_{HR}\le 1000\right)\\ d_{HR}=\sqrt{x^2+y^2+{80}^2}\end{array}\end{array}$ (31)

4.2.4. 模拟镜场的建立及光学效率分布规律

为了更好表达太阳位置变化对定日镜场中各部分光学效率影响规律，参考文献 [5] ，利用MATLAB建立针对本题的模拟镜场。其中每一个黑色空心圆点代表一台定日镜，而在圆心处的红色圆点代指吸热塔。镜场半径为350 m，第一行定日镜距离吸收塔的距离为100 m。横轴为镜场的东西方向且正半轴为正东，为方便将不同日期和不同时间点的仿真结果做对比，仿真结果的效率云图使用相同的颜色表。其中，红色为高的效率值，蓝色为低的效率值，颜色表的取值范围是0~1。

通过建立模拟镜场来研究光学效率的分布规律，在特殊日期的时刻对目标镜场进行效率仿真，记录仿真后各个定日镜的效率值，再绘制镜场在各时间点的效率分布云图和日均效率分布云图。分别计算镜场效率的最高值、均值及最差值，并用百分比来表示。通过不同的颜色来区分定日镜的效率值，绘制镜场效率云图的方式展示镜场光学效率的分布规律。

4.3. 模型的求解

4.3.1. 效率云图的求解

从春分、夏至、秋分和冬至的余弦效率分布云图(图4)可以看出，其在镜场内分布并不均，且镜场中红色区面积和蓝色区面积的占比随着时间而变化。同一天，太阳高度角越大，镜场内红色面积越大，镜场余弦效率越高；总的来看，镜场北半边比南半边的余弦效率高。

Figure 4. Cosine efficiency comparisons

图4. 余弦效率对比图

从图5可看出，在圆形镜场中，同一环上的定日镜大气透效率值是相等的。从整体来看，越靠近吸收塔的定日镜的大气透射率越高，而远离的大气透射率越低。边缘定日镜相比中心定日镜的大气衰减效率值会存在2.2%左右的下降。

Figure 5. Shadow-affected efficiency comparisons

图5. 阴影遮挡效率对比图

Figure 6. Simulation diagrams of atmospheric transmissivity

图6. 镜场大气透射率仿真图

对比不同四个月的综合效率分布云图(图6)可以发现，镜场效率分布不均其主要是余弦效率的影响，其次为大气透射率。并且南半边镜场的光学效率明显低于北半边镜场。

4.3.2. 效率云图的求解

利用建立的模型，通过MATLAB进行编程求解，求解出X年每月21日平均光学效率及输出功率；然后为简化计算，以当地时间每月21日9:00、10:30、12:00、13:30与15:00五个时间点计算出的结果取平均值作为年均指标，所求结果如表2与表3。

Table 2. Average optical efficiency and output power of 21st every month in question 1

表2. 问题1每月21日平均光学效率及输出功率表

Table 3. Average annual optical efficiency and output power in question 1

表3. 问题1年平均光学效率及输出功率表

5. 问题2模型的建立与求解

5.1. 问题分析

问题二是在定日镜场额定功率为60 MV、所有定日镜的尺寸大小和安装高度相同的条件下，对定日镜场进行设计优化。因此在第一问的结果基础上建立优化模型。首先用Campo布置方法，建立仿真定日镜场 [6] ，再用粒子群算法进行优化，先得到定日镜场年工作效率的最大值时，定日镜场里每个镜子的坐标位置，再进行二次优化，将功率限制为60 MV，得到新功率下的定日镜场镜子数目和每个镜子的坐标位置。

5.2. 模型的建立

5.2.1. Campo布置方法模型

问题二在问题一模型的基础上，建立了Campo布置方法模型：

$r_1=\frac{d_m\cdot N_1}{2\pi }$ (32)

其中，r₁为第一行定日镜的半径，d_m为定日镜特征圆的直径，N₁为第一行定日镜的数目。

$\Delta {\phi }_1=2\arcsin \left(\frac{d_m}{2r_1}\right)$ (33)

其中，∆φ₁为第一行定日镜之间的方位角。

$d_m=d_h+d_{安}$ (34)

其中，d_h为定日镜对角线长度，d_安为定日镜之间的安全距离。

因为每行定日镜的数目是相同的，所以连续行之间的径向间隔也固定不变，且奇数行和偶数行连续交替分布。通过这种最密集的排列方式，得到相邻的行半径的最小变化量∆r_min。

$\Delta r_{\min }=d_m\cdot \cos {30}^{\circ }-h$ (35)

$h=r_1-\sqrt{r_1^2-\left(\frac{d_m^2}{4}\right)}$ (36)

因为每行上的定日镜数目是相同的，所以同一行上定日镜之间的间距会随着行数的增加而逐渐变大。规定最后一行上两个相邻的定日镜之间只能放置一个额外的定日镜，然后才能进行下个部分的设置，接下来的这些部分与第一部分的排列原理是相同的。下个部分上的每一行定日镜的数目是上个部分每一行定日镜数目的两倍，所以，在每一部分各行的定日镜数目N_n和每一部分第一行的行半径 $r_1^n$ 能够下面的两个式子计算得出。其中，n为被设置部分的序号。

$N_n=N_1\cdot 2^{n-1}$ (37)

$r_n=r_1\cdot 2^{n-1}$ (38)

因为在相同的部分内相邻两行之间的径向间隔固定不变，所以能够通过这种特殊的设置布局计算第n个部分内能够接受的最大行数N_max。

$N_{\max }=\frac{r_1\cdot 2^{n-1}}{\Delta r_{\min }}$ (39)

根据光热发电站的设计需要，先选择合适的第一行定日镜的数目，然后再通过运算预测定日镜场中每个部分的定日镜行数、每一行上的定日镜数目以及每一行上的行半径，得到由Campo布置方法模型合成的紧密型定日镜场。再通过软件进行仿真，能够看到紧密型定日镜场具有很低的阴影遮挡效率和很高的其他光学效率。

在进行本问的定日镜场的优化布置之前，需先确定定日镜场优化布置的目标函数。国内外学者对定日镜场布置方法，存在较大的差别。但总的来说，塔式光热电站定日镜的优化布置需要遵循一定的设计原则，本问选择以镜场的年均效率最高为设计原则，通过相应的评价准则来判断镜场布置结果的优劣。定日镜场的瞬时光学效率受太阳位置影响，在每个时间点都是不同的。为了综合评价定日镜场的聚光性能，可采用“典型日平均法”或“月平均法”作为定日镜场年均光学效率的评价指标 [7] 。“典型日平均法”指分别在典型日(春分日、夏至日、秋分日、冬至日)内的各时间点计算定日镜场的瞬时光学效率再求平均值以近似代表定日镜场的年均光学效率。计算公式如下：

${\bar{\eta }}_{fielde,f}={\displaystyle {\sum }_{k=1}^4{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{\eta }_{hel,k}\left(t\right)\text{d}t}}/{\displaystyle {\sum }_{k=1}^4{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\text{d}t}}$ (40)

k代表典型日序号，t₁与t₂分别代表镜场的开闭场时间。

“月平均法”指按一定的方式在典型年的12个月中分别选出1天作为本月的代表日。在代表日内分别计算各时间点的瞬时光学效率再求平均值以近似代表定日镜场的年均光学效率。计算公式如下：

${\bar{\eta }}_{fielde,m}={\displaystyle {\sum }_{m=1}^{12}{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{\eta }_{hel,m}\left(t\right)\text{d}t}}/{\displaystyle {\sum }_{m=1}^{12}{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\text{d}t}}$ (41)

m代表月序号，t₁与t₂分别代表镜场的开闭场时间。

“典型日平均法”和“月平均法”均能代表定日镜场的综合聚光效率，不同之处在于“月平均法”计算的样本天数更大，其计算结果更接近真实情况，因此本文中采用“月平均法”计算定日镜场的年均光学效率。

粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)于1995年由EBERHAR和KENNED提出，粒子群算法要解决的大部分问题就是最优化问题。最优化问题通俗来讲就是指在大量众多甚至无数的可行方案中挑选出一种最优的解决方案，或者说花费最小的代价取得最好的结果 [8] 。

粒子群优化算法的流程如下：

STEP1：根据实际情况确定镜场参数；

STEP2：根据步骤一确定的参数，生成初排镜场；

STEP3：根据步骤二初排镜场，用粒子群优化算法对镜场中每台定日镜的坐标位置进行优化计算。

$\max e_{field}=DNI\cdot {\displaystyle {\sum }_i^N{A}_i{\eta }_i}/{\displaystyle {\sum }_i^N{A}_i}$ (42)

$\{\begin{array}{l}2\le H_l\le 8\\ 2\le H_w\le 8\\ 2\le h\le 6\\ H_l\ge H_w\\ \sqrt{{\left(x_i-x_j\right)}^2+{\left(y_i+y_j\right)}^2}\ge H_l+5\left(i\ne j,i和j为定日镜编号\right)\end{array}$ (43)

其中，H_l为镜面宽度，H_w为镜面高度，h为安装高度。

5.2.2. 多维粒子群优化算法

多维粒子群优化算法流程图如图7所示。

Figure 7. Flow sheet of multi-dimensional particle swarm optimization alogrithm

图7. 多维粒子群优化算法流程图

5.3. 模型求解

在第一问求解的基础上，先用Campo布置方法，以简化计算量，建立仿真定日镜场。先得到定日镜场年工作效率的最大值，该值由收敛曲线直观得出。结果如图8，可见迭代70次以上时定日镜场输出热功率趋于稳定，为81 MW。

Figure 8. Convergence curve of particle swarm optimizationalogrithm

图8. 粒子群算法收敛曲线

然后使用MATLAB做出二次优化前的定日镜单位面积年平均输出功率和定日镜年平均输出功率图，如图9、图10。可见南半边输出功率相对北半边低。

目前已得到定日镜热输出功率最大时的效率云图，随即将功率限制为60 MW，得到新的定日镜单位镜面面积年平均输出功率图和定日镜年平均输出功率图，如图11、图12。肉眼可见南半边有很多定日镜并不工作。同时可求出定日镜数量，为8362片。

由于优化后的定日镜总数8362片，但实际很多定日镜并不提供功率，因此筛选掉不工作的定日镜数量，实际工作定日镜数量为5128片。

优化结果见表4~表6。

Figure 9. Annually average output power per unit area of helioscope

图9. 定日镜单位面积年平均输出功率图

Figure 10. Annually average output power of helioscope

图10. 定日镜年平均输出功率图

Figure 11. Optimized annually average output power per unit area of helioscope

图11. 优化后的定日镜年平均输出功率图

Figure 12. Optimized annually average output power of helioscope

图12. 优化后定日镜单位镜面面积年平均输出功率图

Table 4. Average optical efficiency and output power of 21st every month in question 2

表4. 问题2每月21日平均光学效率及输出功率表

Table 5. Average annual optical efficiency and output power in question 2

表5. 问题2年平均光学效率及输出功率表

Table 6. Design parameters in question 2

表6. 问题2设计参数表

6. 问题3模型的建立与求解

6.1. 问题分析

问题3中各定日镜尺寸、安装高度不要求相同，同时定日镜场额定功率达到60 MW时，使单位镜面面积年平均输出热功率最大，要求计算出吸收塔的位置坐标、各定日镜的尺寸、安装高度及位置坐标。本题沿用问题2所建立的优化模型，将定日镜尺寸与安装高度设为可变参数，然后仍然利用问题2所用模型与算法对结果进行优化求解。

6.2. 模型的建立

本题模型同问题2，只需将问题2中固定的定日镜尺寸和定日镜安装高度也转为可变参数，重新对模型进行优化求解即可。

$\text{s}\text{.t}\text{.}\{\begin{array}{l}2\le L_i\le 8,i=1,2,3,\cdots ,N\\ 2\le W_i\le 8,i=1,2,3,\cdots ,N\\ 2\le H_i\le 6,i=1,2,3,\cdots ,N\\ L_i\ge W_i,i=1,2,3,\cdots ,N\\ \sqrt{{\left(x_i-x_j\right)}^2+{\left(y_i+y_j\right)}^2}\ge L+5\left(i\ne j,i和j为定日镜编号\right)\end{array}$ (44)

$\max e_{field}=DNI\cdot {\displaystyle {\sum }_i^N{A}_i{\eta }_i}/{\displaystyle {\sum }_i^N{A}_i}$ (45)

本题采用遗传算法进行求解，遗传算法(Genetic Algorithm，GA)是由美国的John holland根据自然中生物进化规律而设计出来的，是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型，可以通过模拟自然进化搜索出最优解。该算法在求解较为复杂组合优化问题时,比常规的优化算法能较快地获得较好的优化结果。目前，遗传算法已被人们广泛地应用于组合优化、信号处理、机器学习、自适应控制等领域 [9] [10] 。

6.3. 模型的求解

使用MATLAB做出二次优化前的定日镜单位面积年平均输出功率和定日镜年平均输出功率图，如图13、图14。同样南半边输出功率相对北半边低。

Figure 13. Annually average output power of helioscope

图13. 定日镜年平均输出功率图

目前已得到定日镜热输出功率最大时的效率云图，随即将功率限制为60 MW，得到新的定日镜单位镜面面积年平均输出功率图和定日镜年平均输出功率图，如图15、图16。肉眼可见南半边有很多定日镜并不工作。同时可求出定日镜数量，为7169片。

由于优化后的定日镜总数7169片，但实际很多定日镜并不提供功率，因此筛选掉不工作的定日镜数量，实际工作定日镜数量为4610片。

通过MATLAB利用遗传算法进行编程，求解得结果如表7~表9。

Figure 14. Annually average output power per unit area of helioscope

图14. 定日镜单位镜面面积年平均输出功率图

Figure 15. Optimized annually average output power of helioscope

图15. 优化后定日镜年平均输出功率图

Figure 16. Optimized annually average output power per unit area of helioscope

图16. 优化后定日镜单位镜面面积年平均输出功率图

Table 7. Average annual optical efficiency and output power on 21st of every month in question 3

表7. 问题3每月21日平均光学效率及输出功率表

Table 8. Average annual optical efficiency and output power in question 3

表8. 问题3年平均光学效率及输出功率表

Table 9. Design parameters in question 3

表9. 问题3设计参数表

7. 模型的评价与推广

7.1. 模型的优点

问题2中应用多维粒子群算法，操作简单，具有一定的鲁棒性，即使某个粒子出现异常数值，对总体优化结果也不会产生太大影响。问题3应用遗传算法，可以在全局搜索最优解，避免陷入局部最优，同时可以处理大型、复杂的搜索空间。总之，本文提供的计算与优化方案具有良好的可借鉴性，可为同类问题的分析解决提供参考。

7.2. 模型的缺点

对于本题建立定日镜优化模型，未考虑天气因素、镜面弯曲程度、灰尘覆盖等复杂因素的影响，对模型所求结果有一定程度影响。这些问题，有待后续的进一步分析探讨。

8. 结论

定日镜场的设计方案直接决定了塔式太阳能光热发电系统的效率。本文分析了“定日镜场的优化设计”的可行方案，利用卷积积分和构建模拟镜场等方法，在定日镜工作原理的基础上，建立了优化模型，并通过遗传算法和多为粒子群算法对模型进行求解，为解决定日镜场优化设计中的关键问题提供了一种可行方案。同时，本文还对所建立的模型进行了评价，简析了该模型的优缺点。总之，本文提供的计算与优化方案具有良好的可借鉴性，可为同类问题的分析解决提供范例。