一类拟线性椭圆方程的规范基态解

Normalized Ground State Solution for a Class of Quasilinear Elliptic Equations

摘要: 本文研究了拟线性椭圆方程

Abstract: We study the quasilinear elliptic equation

1. 引言

拟线性椭圆方程

$-\Delta u-\Delta \left(u^2\right)u=\lambda u+{\left|u\right|}^{p-2}u,x\in {ℝ}^N$ (1)

模拟了数学物理中的许多现象，可以刻画等离子物理中超流体膜的性态。此外，它在耗散量子力学、凝聚态理论、海森堡铁磁体和磁振子的量子理论中都有着重要的应用，详见文献 [1] [2] [3] 。

当 $\lambda$ 给定时(固定频率问题)，方程(1)解的存在性和多重性在过去几十年得到了广泛且深入的研究。文献 [4] [5] 利用约束极小化方法证明了方程(1)存在正的基态解。文献 [6] [7] 利用变量替换的方法证明了方程(1)正解的存在性。文献 [8] 利用Nehari流形证明了方程(1)正解和变号解的存在性。文献 [9] [10] 利用扰动方法证明了无穷多解和无穷多变号解的存在性。其他相关结果参见这些文献的引用。

近年来，方程(1)规范解的存在性、个数及渐进性质吸引了国内外专家学者的注意。这里，规范解是指满足约束条件

的解，方程中的 $\lambda$ 作为拉格朗日乘子。文献 [11] 证明了 $4+\frac{4}{N}$ 是此类问题的质量临界指标。下面，我们将从质量次临界、质量临界和质量超临界三个方面简要介绍相关结果。

文献 [11] [12] [13] [14] [15] 研究了质量次临界情形，即 $2<p<4+\frac{4}{N}$ 。当 $2<p<2+\frac{4}{N}$ 时，文献 [11] 利用约束极小化方法证明了规范基态解的存在性，而文献 [12] 利用变量替换和指标理论证明了方程(1)存在无穷多规范解。当 $2+\frac{4}{N}\le p<4+\frac{4}{N}$ 时，文献 [11] [13] [14] 证明了：质量较小时，极小能量等于零且不可达；质量较大时，极小能量小于零且可达，从而得到了规范基态解的存在性。文献 [12] 证明了质量越来越大时，方程(1)存在越来越多的规范解。其它结果参见文献 [15] 。

文献 [13] [14] [16] 研究了质量临界情形，即 $p=4+\frac{4}{N}$ 。文献 [13] [14] 证明了极小能量不可达。文献 [16] 证明了质量较小时方程(1)不存在规范解。当质量较大时，文献 [16] 利用扰动方法证明了规范基态解的存在性，并给出了规范解的渐进性质。

对于质量超临界情形，即 $p>4+\frac{4}{N}$ ，相关结果寥寥无几。当 $N\le 3$ 且非线性项是Sobolev次临界的，文献 [16] 应用扰动方法和指标理论证明了规范基态解和无穷多规范解的存在性。其它结果参见文献 [17] 。

上述文献仅仅考虑了特殊的非线性项，当拟线性椭圆方程的非线性项同时涉及质量次临界、质量临界和质量超临界时，尚无相关结果。本文考虑带混合非线性项的拟线性椭圆方程

$-\Delta u-\Delta \left(u^2\right)u=\lambda u+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{\left|u\right|}^{p_i-2}u}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{l}{\sum }}{\left|u\right|}^{q_i-2}u},x\in {ℝ}^N,$ (2)

其中 $N\ge 3$ ， $2<p_i<2+\frac{4}{N}$ ， $\underset{1\le i\le k}{\min }{p}_i<q_i<\frac{4N}{N-2}$ 。我们研究方程(2)规范基态解的存在性。值得注意的是，方程(2)对应的能量泛函更加复杂，研究过程中需要更精细的估计。记

并定义泛函

显然，要获得方程(2)的规范解，需找到泛函 $I$ 限制在 $S_a$ 上的临界点。

定理1.1. 若 $u\in S_a$ 满足

${\left({I|}_{S_a}\right)}^{\prime }\left(u\right)=0且I\left(u\right)=\inf \left\{I\left(v\right)|v\in S_a,{\left({I|}_{S_a}\right)}^{\prime }\left(v\right)=0\right\},$

则称 $u$ 是方程(2)的规范基态解。

本文的主要结果如下：

定理1.2. $\forall a>0$ ，方程(2)存在一个规范基态解。

本文的记号： ${\Vert \cdot \Vert }_{L^q({ℝ}^N)}$ 表示 $L^q\left({ℝ}^N\right)$ 中的标准范数， $\rightharpoonup$ 表示弱收敛， $\to$ 表示强收敛， $o_n\left(1\right)$ 表示当 $n\to \infty$ 时趋于0的量。

2. 定理1.2的证明

首先回顾著名的Gagliardo-Nirenberg不等式(见 [18] , Theorem 2.1)。

引理2.1. 设 $2<p<\frac{4N}{N-2}$ 。若 $u\in L^1\left({ℝ}^N\right)$ 且 $\nabla u\in L^2\left({ℝ}^N\right)$ ，则

其中

$C\left(p,N\right)=\frac{p\left(N+2\right)}{{\left[4N-\left(N-2\right)p\right]}^{\frac{4-N(p-2)}{2(N+2)}}{\left[2N\left(p-2\right)\right]}^{\frac{N(p-2)}{2(N+2)}}}$ ,

$Q_p$ 是方程

$-\Delta u+1=u^{\frac{p}{2}-1},x\in {ℝ}^N$

唯一的非负径向解。

由引理2.1知， $\forall u\in X$ ，有

(3)

其中 $K\left(p,N\right)>0$ 是依赖于 $p$ 和 $N$ 的常数。定义

$m_a=\underset{u\in S_a}{\inf }I\left(u\right)$ .

引理2.2. $m_a>-\infty$ 。

证明：由(3)可知， $\forall u\in S_a$ ，有

因为 $2<p_i<2+\frac{4}{N}$ ，故 $0<\frac{N\left(p_i-2\right)}{2\left(N+2\right)}<1$ 。因此，泛函 $I$ 在 $S_a$ 上是下方有界的。故 $m_a>-\infty$ 。证毕。

引理2.3. $m_a<0$ 。

证明：任取 $u\in S_a$ 。当 $s>0$ 时，记

$\left(s\ast u\right)\left(x\right)=s^{\frac{N}{2}}u\left(sx\right),x\in {ℝ}^N.$

则 $s\ast u\in S_a$ ，并且

由已知条件，

$\underset{1\le i\le k}{\min }\frac{N\left(p_i-2\right)}{2}<\min \left\{2,\frac{N\left(q_1-2\right)}{2},\cdots ,\frac{N\left(q_l-2\right)}{2}\right\}.$

故 $s>0$ 充分小时，有 $I\left(s\ast u\right)<0$ 。因此， $m_a<0$ 。证毕。

为了证明 $m_a$ 的可达性，我们需要如下引理(见 [11] , Lemma 4.3)。

引理2.4. 定义泛函

若在 $X$ 中 $u_n\rightharpoonup u$ ，则

$\Phi \left(u\right)\le \underset{n\to \infty }{\lim \inf }\Phi \left(u_n\right).$

引理2.5. 极小 $m_a$ 是可达的，即存在 $u\in S_a$ 使得 $I\left(u\right)=m_a$ 。

证明：设 $\left\{u_n\right\}\subset S_a$ 是 $m_a$ 的极小化序列。通过Schwarz对称化，不妨设 $\left\{u_n\right\}$ 是径向函数列。因为

并且 $0<\frac{N\left(p_i-2\right)}{2\left(N+2\right)}<1$ ，序列 $\left\{u_n\right\}$ 在 $X$ 中有界。通过取子列，不妨设在 $X$ 中 $u_n\rightharpoonup u$ ，在 $L^r\left({ℝ}^N\right)$ 中 $u_n\to u$ ，这里 $2<r<\frac{4N}{N-2}$ 。因此，由引理2.4可知

$I\left(u\right)\le \underset{n\to \infty }{\lim \inf }I\left(u_n\right)=m_a.$ (4)

我们断言 $u\in S_a$ 。事实上，(4)和引理2.3蕴含了 $u\ne 0$ 。假设

${\Vert u\Vert }_{L^2({ℝ}^N)}^2=\delta \in \left(0,a\right)$ .

令 $\tau =\frac{a}{\delta }>1$ 及 $\tilde{u}\left(x\right)=u\left({\tau }^{-\frac{1}{N}}x\right)$ ， $x\in {ℝ}^N$ 。则 $\tilde{u}\in S_a$ ，并且

这与 $m_a$ 的定义矛盾。因此， ${\Vert u\Vert }_{L^2({ℝ}^N)}^2=a$ ，即 $u\in S_a$ 。

因为 $u\in S_a$ ，故 $I\left(u\right)\ge m_a$ ，结合(4)，得 $I\left(u\right)=m_a$ 。证毕。

定理1.2的证明：由引理2.5知， $m_a$ 可达。设 $u\in S_a$ 是 $m_a$ 的达到函数。由标准的论证，存在 $\lambda \in ℝ$ 使得

$-\Delta u-\Delta \left(u^2\right)u=\lambda u+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{\left|u\right|}^{p_i-2}u}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{l}{\sum }}{\left|u\right|}^{q_i-2}u},x\in {ℝ}^N.$

因此， $u$ 是方程(2)的规范基态解。

注2.1. 规范基态解 $u$ 对应的拉格朗日乘子 $\lambda <0$ 。事实上， $u$ 满足Pohožaev恒等式

故

从而 $\lambda <0$ 。

3. 结语

本文应用变分方法研究了带混合非线性项的拟线性椭圆方程规范基态解的存在性，得到了一个创新性结果。需要指出的是，本文仅考虑了质量次临界的部分情形，即 $2<p_i<2+\frac{4}{N}$ 。对于 $2+\frac{4}{N}\le p_i<4+\frac{4}{N}$ 的情形，仍需进一步研究。