关于对称同胚的一些结果

Some Results on the Symmetric Homeomorphisms

摘要: 对于一个定义在单位圆周上的拟对称同胚h，在Grunsky核函数的基础上，给出了h是一个对称同胚时的等价刻画。已知基于拟对称同胚生成了一个核函数，并对该核函数在单位圆盘上进行积分，已经有专家借助该积分为对称同胚做出了等价刻画，本文对现有结果进行了推广。

Abstract: For a quasisymmetric homeomorphism h defined on the unit disc, an equivalent characterization is given on the basis of the Grunsky kernel function when h is a symmetric homeomorphism. It is known that a kernel function is generated based on the quasisymmetric homeomorphism and an integral of this kernel function over the unit disc has been made by experts with the help of this integral to make equivalent characterizations for the symmetric homeomorphism, and in this paper we generalize the existing results.

1. 引言及主要结果

为了叙述相关背景知识和结果，我们先从一些简单的定义和记号开始。我们用 $ℂ$ 表示复平面， $\Delta =\left\{z\in ℂ:\left|z\right|<1\right\}$ 表示单位圆盘， $S^1=\left\{z\in ℂ:\left|z\right|=1\right\}$ 表示单位圆周。

定义1.1 令 $h:S^1\to S^1$ 为一个定义在 $S^1$ 上的保向同胚，对 $S^1$ 上所有相邻的且具有相同弧长( $\left|I_1\right|=\left|I_2\right|\le \pi$ )的弧 $I_1$ 与 $I_2$ ，若存在一个常数 $M>0$ 使得

$\frac{1}{M}\le \left|\frac{h\left(I_1\right)}{h\left(I_2\right)}\right|\le M$

成立，则我们称这样的一个保向同胚h是一个拟对称同胚。

我们用 $QS\left(S^1\right)$ 表示单位圆周 $S^1$ 上所有的拟对称同胚的集合。

Beurling和Ahlfors在文献 [1] 中证明了：

定理1.1 [1] 一个保向同胚h是拟对称同胚当且仅当存在一个由∆映到自身的拟共形映射的边界值为h。

现在我们给出对称同胚的定义：

定义1.2 对于一个拟对称同胚h，若对任何一对 $S^1$ 中相邻的子区间 $\left|I_1\right|$ 和 $\left|I_2\right|$ 且 $\left|I_1\right|=\left|I_2\right|$ ，都有

$\frac{\left|h\left(I_1\right)\right|}{\left|h\left(I_2\right)\right|}=1+o\left(1\right),\left|I_1\right|=\left|I_2\right|\to 0^{+}.$

则我们称h为一个对称同胚。

我们 $QSS\left(S^1\right)$ 表示单位圆周 $S^1$ 上所有的对称同胚的集合。

接下来，我们介绍后续需要的一些量。首先对于一个单位圆周 $S^1$ 上拟对称同胚h，一个由它所生成的核函数为

${\Phi }_{h,p}\left(z\right)={\left(\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\left|{\varphi }_h\left(\zeta ,z\right)\right|}^p{\left(1-{\left|\zeta \right|}^2\right)}^{p-2}\text{d}\xi \text{d}\eta }\right)}^{\frac{1}{p}},z\in \Delta .$

其中

${\varphi }_h\left(\zeta ,z\right)=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{S^1}\frac{h\left(\omega \right)}{{\left(1-\zeta \omega \right)}^2\left(1-zh\left(\omega \right)\right)}\text{d}\omega },\left(\zeta ,z\right)\in \Delta \times \Delta .$

显然 ${\varphi }_h\left(\zeta ,z\right)$ 对 $\zeta$ 与z都是全纯的。函数 ${\varphi }_h\left(\zeta ,z\right)$ 由胡韻和沈玉良在文献 [2] 中介绍，当然，在文献 [3] 也出现过。函数 ${\Phi }_{h,2}\left(z\right)$ 已被用于研究Teichmüller空间理论，见文献 [2] [4] [5] 。

胡韻和沈玉良借助 ${\Phi }_{h,2}\left(z\right)$ 在文献 [2] 中得到了对称同胚的等价刻画，证明了：

定理1.2 [2] 令h是一个拟对称同胚，那么 $h\in QSS\left(S^1\right)$ 当且仅当

$\underset{\left|z\right|\to 1}{\lim }\left(1-{\left|z\right|}^2\right){\Phi }_{h,2}\left(z\right)=0.$

唐树安和Wu在文献 [6] 中对这一结果做了推广，证明了：

定理1.3 [6] 令 $p>2$ ，h是一个拟对称同胚，那么 $h\in QSS\left(S^1\right)$ 当且仅当

$\underset{\left|z\right|\to 1}{\lim }\left(1-{\left|z\right|}^2\right){\Phi }_{h,p}\left(z\right)=0.$

也有其他专家对对称同胚做了等价刻画，详见文献 [7] 。

对于一个定义在Δ上的局部单叶函数f，Grunsky核函数定义为

$U\left(f,\zeta ,z\right)=\frac{f^{\prime }\left(z\right)f^{\prime }\left(\zeta \right)}{{\left(f\left(\zeta \right)-f\left(z\right)\right)}^2}-\frac{1}{{\left(\zeta -z\right)}^2},\left(\zeta ,z\right)\in \Delta \times \Delta .$

众所周知， ${\lim }_{\zeta \to z}U\left(f,\zeta ,z\right)=-\frac{1}{6}{S}_f\left(z\right)$ ，可见文献 [8] ，这里的 $S_f\left(z\right)$ 为f的Schwarzian导数，定义为

$S_f={\left(N_f\right)}^{\prime }-\frac{1}{2}{\left(N_f\right)}^2,N_f={\left(\log f^{\prime }\right)}^{\prime }.$

这表明 $U\left(f,\zeta ,z\right)$ 在 $\Delta \times \Delta$ 上是解析的。并且 $U\left(f,\zeta ,z\right)=0$ 当且仅当f在Δ上是一个莫比乌斯变换。因此 $U\left(f,\zeta ,z\right)$ 也可算Schwarzian导数的一种推广。对于Δ上的局部单叶函数f，Harmelin在文献 [8] 中得到了 $U\left(f,\zeta ,z\right)$ 的非常优美的表达式：

$U\left(f,\zeta ,z\right)=\underset{n=2}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}\left(n-1\right){\psi }_n\left(f,z\right){\left(\zeta -z\right)}^{n-2},z\in \Delta .$

其中 ${\psi }_n\left(f,z\right),n=2,3,\cdots$ 为Aharonov不变量，见文献 [9] 。事实上，可以考虑函数

$F\left(f,\zeta ,z\right)=\frac{f^{\prime }\left(z\right)}{f\left(z\right)-f\left(\zeta \right)}-\frac{1}{z-\zeta }=\underset{n=1}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}{\psi }_n\left(f,z\right){\left(\zeta -z\right)}^{n-1}.$

而

$U\left(f,\zeta ,z\right)=\frac{\partial F\left(f,\zeta ,z\right)}{\partial \zeta }.$

在本文中，我们主要考虑函数

${\mathcal{U}}_p\left(f,z\right)={\left(\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\left|U\left(f,\zeta ,z\right)\right|}^p{\left(1-{\left|\zeta \right|}^2\right)}^{p-2}\text{d}\xi \text{d}\eta }\right)}^{\frac{1}{p}},z\in \Delta ,p\ge 2.$

其中

${\mathcal{U}}_2\left(f,z\right)={\left(\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\left|U\left(f,\zeta ,z\right)\right|}^2\text{d}\xi \text{d}\eta }\right)}^{\frac{1}{2}}$

由Bazilevic在1967年引入(见文献 [10] )，在单叶函数研究与Teichmüller空间理论研究中都有着重要作用。Grunsky核函数在单叶函数理论与拟共形映射理论的研究中有着极其重要的作用，可见文献 [4] [5] [8] 。在本文中，我们将通过使用 ${\mathcal{U}}_2\left(f,z\right)$ 给出对称同胚的一个等价刻画。

在介绍本文的结果之前，我们还需了解这样一个事实：对于任何拟对称同胚h，都存在一对唯一的在Δ上的共形映射f和 ${\text{Δ}}^{\ast }$ 上的共形映射g，且f有一个到 $ℂ$ 的拟共形延拓，使得 $f\left(0\right)=f^{\prime }\left(0\right)-1=0$ ， $g\left(\infty \right)=\infty$ 且 $h=f^{-1}\circ g$ (h定义在 $S^1$ 上)。我们称之为h的一个标准分解。相反，对于Δ上的每个f (存在到 $ℂ$ 的拟共形延拓)，存在一个拟对称同胚h，其标准分解为 $h=f^{-1}\circ g$ (h定义在 $S^1$ 上)，见文献 [11] 。我们称其为与f相关的共形粘合同胚。

本文的主要结果如下：

定理1.4 令f是Δ上的一个有界共形映射，并允许一个到全平面 $ℂ$ 的拟共形延拓，h是与f相关的共形粘合同胚，那么下列陈述等价：

(1) $h\in QSS\left(S^1\right)$ ；

(2) $\underset{\left|z\right|\to 1}{\lim }\left(1-{\left|z\right|}^2\right){\mathcal{U}}_2\left(f,z\right)=0$ 。

下面的结果对定理1.2做了一个小的推广：

定理1.5 令 $p>2$ ，h是一个拟对称同胚，若 $h\in QSS\left(S^1\right)$ ，则

$\underset{\left|z\right|\to 1}{\lim }\left(1-{\left|z\right|}^2\right){\Phi }_{h,p}\left(\bar{z}\right)=0.$

本文所采用的方法是运用定理1.2的结果，结合一个已知的不等式，将量 ${\mathcal{U}}_2\left(f,z\right)$ 与量 ${\Phi }_{h,2}\left(z\right)$ 联系起来，体现出它们之间的大小关系，最后得到对称同胚的一个等价刻画；推广部分，主要是将定理1.2中的必要条件中 $p=2$ 的情况推广到了 $p>2$ 的情况，所采用的技巧是得到了 ${\Phi }_{h,p}\left(z\right)$ 与 ${\Phi }_{h,2}\left(z\right)$ 的大小关系进而得到证明。

2. 主要结果的证明

我们将在本节对定理1.4与定理1.5进行证明，为此，我们有必要先介绍一个引理。

引理2.1 [3] 令f为Δ内的共形映射，并且h是与f相关的共形粘合同胚，则有不等式

${\mathcal{U}}_2\left(f,z\right)\le {\Phi }_{h,2}\left(\bar{z}\right)\le \Vert T_h^{+}\Vert {\mathcal{U}}_2\left(f,z\right).$ (1)

其中算子 $T_h^{+}$ 是一个关于h的积分算子，由胡韻和沈玉良在文献 [2] 中介绍，它作用在复的Hilbert空间中的函数 $\psi$ 上，该空间由单位圆Δ上所有的解析函数组成，并定义了范数

$\Vert \psi \Vert ={\left(\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\left|\psi \left(\zeta \right)\right|}^2\text{d}\xi \text{d}\eta }\right)}^{\frac{1}{2}},\zeta =\xi +i\eta .$

算子 $T_h^{+}$ 在这里不需要详细介绍，我们只需要知道它是一个有界算子即可，证明过程详见文献 [2] 。

2.1. 定理1.4的证明

我们先证明(1) $\Rightarrow$ (2)。首先，若 $h\in QSS\left(S^1\right)$ ，由定理1.2可知 $h\in QSS\left(S^1\right)$ 当且仅当

$\underset{\left|z\right|\to 1}{\lim }\left(1-{\left|z\right|}^2\right){\Phi }_{h,2}\left(z\right)=0,$

根据作者在文献 [2] 中对定理1.2的证明过程，通过变量替换，将z换成 $\bar{z}$ ，我们可以很容易得到 $h\in QSS\left(S^1\right)$ 当且仅当

$\underset{\left|z\right|\to 1}{\lim }\left(1-{\left|z\right|}^2\right){\Phi }_{h,2}\left(\bar{z}\right)=0,$

根据(1)式中的第一个不等关系，可推得

$\left(1-{\left|z\right|}^2\right){\mathcal{U}}_2\left(f,z\right)\le \left(1-{\left|z\right|}^2\right){\Phi }_{h,2}\left(\bar{z}\right),$

于是

$\underset{\left|z\right|\to 1}{\lim }\left(1-{\left|z\right|}^2\right){\mathcal{U}}_2\left(f,z\right)=0.$

于是(1) $\Rightarrow$ (2)得证。

相反，若 $\underset{\left|z\right|\to 1}{\lim }\left(1-{\left|z\right|}^2\right){\mathcal{U}}_2\left(f,z\right)=0$ ，因为 $T_h^{+}$ 是一个关于h的有界积分算子，那么

$\underset{\left|z\right|\to 1}{\lim }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\Vert T_h^{+}\Vert {\mathcal{U}}_2\left(f,z\right)=0$

根据(1)式中的第二个不等关系，可推得

$\left(1-{\left|z\right|}^2\right){\Phi }_{h,2}\left(\bar{z}\right)\le \Vert T_h^{+}\Vert \left(1-{\left|z\right|}^2\right){\mathcal{U}}_2\left(f,z\right),$

于是

$\underset{\left|z\right|\to 1}{\lim }\left(1-{\left|z\right|}^2\right){\Phi }_{h,2}\left(\bar{z}\right)=0,$

通过上述的变量替换，这也表明 $h\in QSS\left(S^1\right)$ 。至此，定理证毕。 $■$

2.2. 定理1.5的证明

因为 $h\in QSS\left(S^1\right)$ ，根据定理1.4的证明过程中可知

$\underset{\left|z\right|\to 1}{\lim }\left(1-{\left|z\right|}^2\right){\Phi }_{h,2}\left(\bar{z}\right)=0.$

有一个著名的结果：对任意定义在Δ中的全纯函数 $\tau$ ，下面的不等式成立：

${\left(1-{\left|\zeta \right|}^2\right)}^2{\left|\tau \left(\zeta \right)\right|}^2\le {\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\left|\tau \left(\zeta \right)\right|}^2\text{d}\xi \text{d}\eta },$

见文献 [12] 。因此，若令 $\tau \left(\zeta \right)={\varphi }_h\left(\zeta ,z\right),z,\zeta \in \Delta$ ，则有

${\left(1-{\left|\zeta \right|}^2\right)}^2{\left|{\varphi }_h\left(\zeta ,z\right)\right|}^2\le {\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\left|{\varphi }_h\left(\zeta ,z\right)\right|}^2\text{d}\xi \text{d}\eta }.$

故

${\left(1-{\left|\zeta \right|}^2\right)}^{p-2}{\left|{\varphi }_h\left(\zeta ,z\right)\right|}^{p-2}\le {\left({\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\left|{\varphi }_h\left(\zeta ,z\right)\right|}^2\text{d}\xi \text{d}\eta }\right)}^{\frac{p-2}{2}}.$

因此，

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\Phi }_{h,p}{\left(z\right)}^p{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{p-2}\text{d}x\text{d}y}\\ ={\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\left|{\varphi }_h\left(\zeta ,z\right)\right|}^p{\left(1-{\left|\zeta \right|}^2\right)}^{p-2}\text{d}\xi \text{d}\eta }}{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{p-2}\text{d}x\text{d}y\\ ={\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\left|{\varphi }_h\left(\zeta ,z\right)\right|}^2{\left|{\varphi }_h\left(\zeta ,z\right)\right|}^{p-2}{\left(1-{\left|\zeta \right|}^2\right)}^{p-2}\text{d}\xi \text{d}\eta }}{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{p-2}\text{d}x\text{d}y\\ \le {\displaystyle {\iint }_{\Delta }\left({\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\left|{\varphi }_h\left(\zeta ,z\right)\right|}^2\text{d}\xi \text{d}\eta }\right){\left({\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\left|{\varphi }_h\left(\zeta ,z\right)\right|}^2\text{d}\xi \text{d}\eta }\right)}^{\frac{p-2}{2}}{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{p-2}\text{d}x\text{d}y}\\ \le {\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\left({\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\left|{\varphi }_h\left(\zeta ,z\right)\right|}^2\text{d}\xi \text{d}\eta }\right)}^{\frac{p}{2}}{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{p-2}\text{d}x\text{d}y}\\ ={\displaystyle {\iint }_{\Delta }{\Phi }_{h,2}{\left(z\right)}^p{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{p-2}\text{d}x\text{d}y}.\end{array}$

此过程可表明

${\Phi }_{h,p}\left(z\right)\le {\Phi }_{h,2}\left(z\right),z\in \Delta ,$

于是

${\Phi }_{h,p}\left(\bar{z}\right)\le {\Phi }_{h,2}\left(\bar{z}\right),z\in \Delta ,$

进而

$\left(1-{\left|z\right|}^2\right){\Phi }_{h,p}\left(\bar{z}\right)\le \left(1-{\left|z\right|}^2\right){\Phi }_{h,2}\left(\bar{z}\right),$

那么

$\underset{\left|z\right|\to 1}{\lim }\left(1-{\left|z\right|}^2\right){\Phi }_{h,p}\left(\bar{z}\right)=0.$

至此，定理证毕。 $■$

3. 总结与展望

本文中，定理1.4为对称同胚做了一个等价刻画，这个结果有望在某些证明的过程中能起到过度作用。此外，定理1.5只说明了一个拟对称同胚h是一个对称同胚时的必要条件，那么一个自然且有趣的问题是，相反，若 $\underset{\left|z\right|\to 1}{\lim }\left(1-{\left|z\right|}^2\right){\Phi }_{h,p}\left(\bar{z}\right)=0$ ，能否推出h是一个对称同胚？