Deng式伪度量在格上的推广
Generalization of Deng’s Pseudo-Metric on the Lattices
摘要: 本文研究了Deng式伪度量的一些性质,并给出了它的一种等价形式,由此把定义在Ix上的Deng式伪度量推广到完全分配格Lx上。
Abstract: In this paper, we research some properties of Deng’s pseudo-metric, and show an equivalent form of its axioms. Therefore, we generalize Deng’s pseudo-metric from Ix to completely distributive lattice Lx
文章引用:陈鹏, 郭飞飞. Deng式伪度量在格上的推广[J]. 应用数学进展, 2014, 3(4): 155-159. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2014.34023

1. 引言和预备

格上度量是格上拓扑学研究的重要内容,国外Erceg M.A.在上世纪70年代末给出了较经典的Erceg度量,得到了许多较满意结果[1] ,是无点派的优秀成果;国内邓自克教授上世纪八十年代初提出Deng度量,该度量是国内最早且较系统地研究过的度量,邓曾给出过该度量较漂亮的结果[2] ,是有点派的典范之一,但Deng度量是在这种特殊格上定义且是通过下列模糊点定义的,即

定义1.1 一个模糊点当且仅当是被定义如下[2] :

这里。简记映射,同时,被称为的余点。表示在所有模糊点的集合。

在文[3] [4] [5] 中,刘应明院士与王国俊教授分别对下列模糊点和重域(或远域)(参考后面预备知识)的合理性进行了论证,由此在上现大家广泛接受的模糊点是下列定义1.2,即

定义1.2是一个模糊点,当且仅当被定义如下[3] [4] [5] :

尽管在文[2] 中,邓借助余点的邻域给出过该度量较好的结论。但由于Deng度量是建立在比较特殊的格与特殊的模糊点上,特别是邓给出的该度量公理体系在格上推广非常困难,这极大的局限了该度量的接受。

在文[6] 我们证明了Deng度量一定是Erceg度量,但反之不成立。并证明了Deng度量所诱导拓扑和-一致结构就是Erceg度量诱导拓扑和Hutton一致结构。本文在此基础上,给出了Deng度量的一组等价公理,由此把定义在上的Deng式伪度量很自然地推广到完全分配格上。

为此本文需要下列预备知识:

定义1.3 一个映射被称为Deng伪度量,如果它满足下列条件[2] :

1) 如果,则

2)

3)

4),这里使得

定义1.4  上的Shi伪度量是一个满足下列条件的映射[7] :

(N1)如果,那么

(N2)

(N3)

(N4)使得使得

注 (N4)是等价于下列条件

(N4)*

定理1.5是一个Deng伪度量,如,有,且令那么上是一个Shi伪度量[6] 。

定义1.6是格上拓扑空间。1) 对的重域,若有开集使得;2)的重域族称为基,若对的任一重域,存在使得;3)称为是的,若对每一个有可数基[8] 。

2. 其它预备知识

本文表一个具有逆序对合对应“”的完全分配格。是指标集,是从的全部映射组成的集,且带有点式地被定义并按映射的大小顺序构成的一个偏序集。被叫一个分子,当且仅当对蕴含的全部分子集记为。分子关系。拓扑空间, (即为闭集)。如则称的闭远域,如果有闭远域使,则称的远域。其他未声明概念与符号请参考文[5] 。

3. 本文主要结果

为了推广Deng度量,首先我们证明Deng度量定义可以由下列定理中的(M1) - (M4)代替。

定理3.1 一个映射是Deng伪度量当且仅当它满足下列条件:

(M1) 如果,则

(M2)

(M3);

(M4),使得使得

为证明定理3.1,我们需要证明下列一些引理,这些引理也是该度量的性质的进一步研究。

引理3.1 设映射满足(I)、(III)和(IV),则(M3)成立。

证明 由于根据(I)和(III)得,从而

假设,则,根据(IV),使得,从而矛盾,命题得证。

引理3.2 设映射满足(M3),则(IV)成立。

证明 证明显然。

推论3.3 设映射满足(I)和(III),则(IV) = (M3)。

证明 由引理3.1和引理3.2,结论显然。

引理3.4 设映射满足(I)、(III)、(IV)和(M4),则(II)成立。

证明 取,根据(I)和(III)得

由于(N4)*Û(M4),由(N4)*和引理3.2得:

同理。由上得。从而(II)成立,即命题得证。

推论3.5 设d映射满足(I)、(III)、(IV),则(II) = (M4)成立。

证明 先证明(I) + (III) + (IV) + (II)Þ(M4)成立(由于(N4)*Û(N4)Û(M4))。

证(M4)成立,只需要证明(N4)*成立,设,因为

所以须证

由于

同理可证。根据(II),能知有因此(N4)*成立。

其次有引理3.4 (I) + (III) + (IV) + (M4)Þ(II)成立。

定理3.1的证明 (M1)Û(I),(M2)Û(III),由推论3.3得(M3)Û(IV),再由推论3.5得(II)Û(M4),从而该命题结论成立。

定理3.2 设是一个映射,满足(N3)和(II),则(IV)成立。

证明 取,由(N3)和(II)得

.

从而可知使得,再由(II)得,得即(IV)成立。

由于Deng度量是建立在比较特殊的模糊点上,且邓自克教授给出的公理也不好推广,这局限了该度量的使用和接受,现有了定理3.1,Deng度量很自然从完全分配格上可做如下推广:

定义3.8上的Deng伪度量是一个满足下列条件的映射:

(L1)如果,那么

(L2)

(L3)

(L4)使得使得

这么推广的好处:第一:Deng度量在更加广泛的完全分配格上进行研究;第二:推广的Deng度量与Shi度量比较,两者仅仅(N3)与(L3)不同(Erceg度量一样,参考文[9] ),从而,根据使用不同连续性公理,得到三种Erceg度量,Den度量,Shi度量;第三,根据文[6] [9] 结论,尽管三种度量不同,但地位平行,它们之间既有联系又有差别,从诱导拓扑性质来看,上Deng度量性质优于Erceg度量和Shi度量,且根据定理1.5知:在上Deng度量所诱导的拓扑就是Shi度量诱导的拓扑,从而在上Deng度量是的。

NOTES

*通讯作者。

参考文献

[1] Erceg, M.A. (1979) Metric spaces in fuzzy set theory. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 69, 205- 230.
[2] Deng, Z.K. (1982) Fuzzy pseudo-metric spaces. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 86, 74-79.
[3] Pu, B.M. and Liu, Y.M. (1980) Fuzzy Topology I, neighborhood structure of a fuzzy point and Moore-Smith Convergence. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 76, 571-599.
[4] 王国俊 (1982) 领域方法在Fuzzy拓扑学中的困难. 模糊数学, 1, 113-116.
[5] Wang, G.J. (1988) Theory of L-fuzzy topological space. Shanxi Normal University Publishers, Xian. (In Chinese).
[6] 陈鹏 (2008) L-拓扑中几种度量的性质及其关系. 博士论文, 北京理工大学, 北京.
[7] Shi, F.G. (2001) Pointwise pseudo-metrics in L-fuzzy set theory. Fuzzy Sets and Systems, 121, 200-216.
[8] 梁基华 (1984) 关于不分明度量空间的几个问题. 数学年刊, 1, 59-67.
[9] 陈鹏, 史富贵 (2007) Erceg度量的进一步简化及其性质. 数学进展, 5, 579-586.