1. 引言
Korteweg de Vries方程(简称KdV方程)
(1)
是研究浅水波运动的一个一维数学模型，它是1895年由荷兰数学家Diederik Korteweg和Gustav de Vries [1] 共同发现的。KdV方程的研究一直是一个非常丰富，有趣和活跃的数学领域。特别值得提出的是，它是一个能写出精确解的非线性偏微分方程。KdV方程可以用逆散射变换求解，也可以用Darboux变换，Lie群方法等求解 [2] [3] 。近年来，很多学者关心扰动KdV方程，特别是高阶项是奇异扰动的KS方程。即KdV-KS方程。
(2)
Ercolani [4] 研究了其周期解，T. Ogawa [5] 研究了其同宿轨和孤立波，范兴华等 [6] 分析了具有更复杂非线性项的mKdV-KS方程，用的主要方法是几何奇异摄动理论 [7] [8] 。这种方法也用来分析其他的反映扩散方程 [9] [10] 。和上面提到的传统方法相比，这种方法不需要原始KdV方程的显式解的表达式。几何奇异摄动方法对给出扰动解的第一个图形起着非常特殊的作用，它发展了一种非常具有洞察力的思想，它可以在相对简单的极限形式附近构造非常复杂的动力学行为。一些著名的现象比如松弛振子，鸭解等都能通过几何奇异摄动方法来得到。
显然，具有时滞的扩散方程更加具有实际意义。 [11] [12] 分析了具有不同时滞的扩散方程的行波解。那么时滞KdV-KS方程是否具有孤立波解呢？这篇文章的目的就是建立具有分布时滞的KdV-KS方程
(3)
的孤立波解的存在性。方程中
是时滞，
表示色散效应，
表示向后扩散，
很小时也表示一个扰动。卷积
定义为
其中核函数
满足
，
；
，
。分布时滞的核函数
的平均时滞定义为
。这里，我们考虑
比较小的情况。
(3)的孤立波是一种特殊的行波解
，其中
是速度，且
满足下面的泛函微分方程：
(4)
. (5)
这里
表示对
求导，且
。
选取不同的核函数，我们可以从(3)推导出不同类型的方程。常见的核函数形式有
(6)
其中参数
表示时滞。第一种核起源于具有离散时滞的模型，其中
表示狄拉克
函数。另外两种分
别称为弱和强时滞核。弱时滞
反应了过去的重要性呈指数递减。强时滞
可认为是离散时滞的光滑版本。它暗示着过去的某个特定的时刻，即
个单元之前，比其他时间更加重要，因为核函数在
处取得唯一的最大值。这里，我们将考虑分布时滞核为弱核的情况。
我们的主要思想是当平均时滞
很小时，利用几何奇异摄动理论，将泛函微分方程(4)的存在性问题转化为二维不变流形中同宿轨的存在性问题。
2. 预备知识
首先，我们给出证明孤立波存在性中需要用到的几何奇异摄动理论，它由Fenichel [7] 给出，为了方便起见，我们运用Jones [8] 的定理版本。
引理1：(几何奇异摄动理论)考虑系统：
(7)
其中
，
，
是一个实参数，
，
是定义在
上的
函数，
，
是包含 的一个开区间。如果当
时，系统包含一个紧的正规双曲的奇点流形
，它包含在集合
中，且图形由
函数
给出，其中
，
是
中的一个紧区域，即
，那么对任意的
，当
且充分小时，存在一个流形
：
(I) 位于
的
邻域内，且同胚于
；并且，它在(7)的流下是局部不变的且对
是
的。
(II) 对某个
函数
，
，
。
(III) 存在局部不变稳定和不稳定流形
和
它们与
和
同胚且位于其
邻域中；并且，它在(7)的流下是局部不变的且对
是
的。
其次，我们给出非时滞情况下的对应结果。取
，得非时滞方程：
, (8)
其中，
表示对
求导，利用在
的边界条件，将方程(8)积分一次可化为：
.
进一步做变换
，方程可变为：
, (9)
这里
表示对
求导，它的等价形式为：
(10)
引理2：在
的相平面中，方程(10)在
的区域有一条趋于(0,0)的同宿轨。
证明：方程(10)有两个奇点(0,0)，(2,0)。原点是鞍点，(2,0)是中心。很容易验证方程(10)是一个哈密
顿系统，哈密顿函数为：
。考虑在区域
上的水平曲线
，当
时，它包含趋于(0,0)的同宿轨，即
，
，这正是KdV方程的一个孤立波，因此方程(10)存在一条同宿到(0,0)的同宿轨。
3. 孤立波的存在性
这一节，我们将主要考虑时滞方程(3)的孤立波的存在性。运用行波形式，这个方程可以写为(4)~(5)。为了方便起见，我们分析下面的方程
. (11)
. (12)
其中
。如果我们能找到方程(11)的一个孤立波
，那么对应的
就是方程(4)的孤立波，也即原方程(3)的孤立波解。
下面，我们寻找正向孤立波，取
。特别地，我们考虑核函数是弱时滞
的情况，强时滞的情况非常相似，但是要复杂一点，这里我们略去。主要结果如下：
定理1 对任意充分小的
，存在一个速度
，使得系统(11)有一个孤立波解。
证明：首先，我们把方程化为没有时滞的系统，定义
,
关于
微分，我们得到
运用在
处的边界条件，将方程(11)积分一次可化为：
. (13)
其中
(14)
进一步，设
。则方程(13)~(14)可写为
(15)
从(15)~(14)，我们得到
且
这暗示着
。
下面我们主要考虑系统(15)，它与(11)等价。当
时，
系统(15)简化为：
。这正是具有孤立波解的常微分方程(9)。
当
时，系统(15)定义了一个常微分方程组，其解在四维相平面
中，此时，该系统仍有奇点
和
，且在奇点
的线性化矩阵为：
.
这个矩阵的特征值
满足：
. (16)
考虑
. (17)
由Viete定理，
满足：
很容易得到，(17)有一个正实根
和两个负实根或具有复实部的共轭复根
。显然，(16)有一个
正的特征值
，因此对所有的正数
和
，奇点
都有一个二维的稳定不变流形和一个
二维的不稳定不变流形。但是我们不能很明显的看出同宿轨。
下面，我们将用几何奇异摄动理论和中心流形定理证明，对充分小的
，奇点
有一条同宿轨。
做变换
，系统(15)化为
(18)
其中变量上的 表示对
的微分。一般来讲，系统(15)称为慢系统因为时间尺度
是慢变量，而系统(18)称为快系统因为时间尺度
是快变量。这两个系统当
时是等价的。
考虑慢系统(15)，当
时，这个系统的流定义在集合
上，它是系统(15)的一个二维不变流形。如果
是正规双曲的，则对充分小的
，引理1 保证了我们能得到系统(15)的一个二维不变流形
。在这个流形上研究系统(15)，维数就简化为二维，同宿轨的存在性就能够得到。
事实上，验证
在Fenichel [7] 的意义下是正规双曲的，只要验证快系统(18)的线性化矩阵限制在
上正好有
个特征根在虚轴上，其余的谱都是双曲的。快系统(18)的线性化矩阵限制在
上可表示为：
.
它有四个特征值
，因此，
是正规双曲的。
由几何奇异摄动理论，对充分小的
，存在局部的二维不变流形
，在系统(15)的流下，可以写成如下形式：
, (19)
其中函数
是定义在紧区域上的光滑函数，且满足：
，
。将(19)代入慢系统(15)，得
满足：
(20)
因为
很小，我们试图寻找这个偏微分方程关于
的正则扰动级数解。又因为当
时，
都等于0，所以可设
为
(21)
将(21)代入(20)并对比
的同次幂的系数得：
下面我们将研究系统(15)限制在
上的流，并证明它有一个孤立波。限制在
上的慢系统为
(22)
很容易验证，当
时，系统(22)仍然有一个奇点
。为了方便起见，我们把时滞参数和波速
作为变量，系统(22)等价于
(23)
这时我们能在
上研究流。我们寻找当
很小时系统(23)的同宿轨。由(23)，奇点
可看作一个由
参数化的奇点曲面
，即
。反过来，这个奇点的不稳定流形
和稳定流形
交于
的曲线上。即引理2 中的同宿轨。进一步，由引理1，
和
一定仍交于超平面
上。在集合
上，我们分别参数化
和
为
和
，并定义：
(24)
则
的零点就能产生同宿轨。由引理1，当
时存在与
无关的同宿轨，于是我们有
，设
，则
. (25)
下面我们给出一个引理：
引理3 对任意充分小的
，存在速度
，使得(25)中定义的
满足：
(26)
证明：我们用微分形式来量化这些信息。(23)的变分方程在
时的微分形式为：
对不变流形
和
的切空间
，在
(此时
)处很容易找到切于
和
的三个切向量：
其中
中的
满足
，即
，通过计算
其中 是(1,2,3)的排列。进一步，
类似的，运用到在
，
处的切空间
上，形式
也能够具体计算出来。因为
所以
。于是
.
设
，我们得到
很容易验证：当
时，
。且
.
这就证明了
，即
因此，我们有
.
所以，
于是，存在唯一的值
，使得
。引理得证。
由引理3：和隐函数定理，对充分小的
，
在
附近有唯一的根
，因此，
也有唯一的根
。定理得证。
致谢
感谢评审专家对论文提出的宝贵意见；感谢国家留学基金的资助。