范德蒙德行列式的应用

Applications of Vandermonde Determinant

摘要: 多元多项式在代数学中不但占有重要的地位，而且具有重要的作用。判断两个多元多项式是否相等是被研究的内容。代数学中有很多内容均涉及范德蒙德(Vandermonde)行列式，本文利用范德蒙德行列式给出了两个不同表达形式的多元多项式相等的应用。

Abstract: Multi-variable polynomials are very essential and play an important role in algebra. Determining whether two multi-variable polynomials are equal is what is being studied. Many contents in advanced algebra are related to Vandermonde determinant. In this note, an application is given to determine two multi-variable polynomials with different expressions to be equal by using the Vandermonde determinant.

1. 引言

多元多项式在代数学中占据关键的地位，并且具有很重要的作用，它是代数几何的研究对象。多元多项式的零点集合定义了代数几何中的代数簇，可以具体应用到群论和环论等代数学分支中。

设$F$ 是一个数域，$x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是$n$ 个符号，称表达式

${\displaystyle \sum _{i_1,i_{2,\cdots ,}{i}_n}{a}_{i_1{i}_2\cdots i_n}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}}$

其中，$i_1,i_2,\cdots ,i_n$ 是非负整数，$a_{i_1{i}_2\cdots i_n}\in F$ ，为系数在$F$ 中的$n$ 元多项式，记作

$f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)={\displaystyle \sum _{i_1,i_2,\cdots ,i_n}{a}_{i_1{i}_2\cdots i_n}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}}$

在高等代数[1]中，范德蒙德行列式(Vandermonde determinant)

$D_n=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|={\displaystyle \prod _{n\ge i>j\ge 1}\left(x_i-x_j\right)}$

其中，“${\displaystyle \prod }$ ”表示全体同类因子的乘积，是一个重要的计算公式，并且该行列式具有广泛的应用[2]。

利用范德蒙德行列式证明了若$n$ 次多项式有$n+1$ 个互不相同的不动点，则该多项式是具有无穷多个不动点的一次多项式。在向量空间中，经常遇到需要用范德蒙德行列式转化的问题，例如，若$V$ 是数域$F$ 上的$n$ 维线性空间，在$V$ 中任取$n$ 个向量，可通过范德蒙德行列式来研究这$n$ 个向量的线性相关性。特别地，范德蒙德行列式在Burnside-Brauer定理[3] (Theorem 4.3)的证明中起到了关键作用。

我们可以通过对多元多项式展开和化简并逐项比较来判断多元多项式是否相等，也可通过插值法来选择有限个测试点，验证值是否一致来判断多元多项式是否相等。本文将利用范德蒙德行列式给出多元多项式的两种表达形式相等的应用。

定理1.1 设

$f\left(x_1,x_{2,}\cdots ,x_n\right)=M\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)+x_1{x}_2\cdots x_n{\displaystyle \prod _{1\le s<t\le n}\left(x_t-x_s\right)}$ ，

其中，$M\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)={\displaystyle \sum _{1\le i\le n}\left(x_1\cdots {\widehat{x}}_i\cdots x_n{\displaystyle \prod _{1\le k<l\le n}\left(x_l-x_k\right)}\right)}$ ，当$k=i$ 时，$x_k={\widehat{x}}_i=1$ 。再设

$g\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=\left[2x_1\cdots x_n-{\displaystyle \prod _{i=1}^n\left(x_i-1\right)}\right]{\displaystyle \prod _{1\le s<t\le n}\left(x_t-x_s\right)}$ ，则$f=g$ 。

2. 定理的证明

我们先给出下面的引理。

引理2.1

$\left|\begin{array}{cccc}1+x_1& 1+x_1^2& \cdots & 1+x_1^n\\ 1+x_2& 1+x_2^2& \cdots & 1+x_2^n\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ 1+x_n& 1+x_n^2& \cdots & 1+x_n^n\end{array}\right|=\left[2x_1\cdots x_n-{\displaystyle \prod _{i=1}^n\left(x_i-1\right)}\right]{\displaystyle \prod _{1\le s<t\le n}\left(x_t-x_s\right)}$

证明

$\left|\begin{array}{cccc}1+x_1& 1+x_1^2& \cdots & 1+x_1^n\\ 1+x_2& 1+x_2^2& \cdots & 1+x_2^n\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ 1+x_n& 1+x_n^2& \cdots & 1+x_n^n\end{array}\right|$

将原行列式添加一行一列，可得

$=\left|\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ 1& 1+x_1& 1+x_1^2& \cdots & 1+x_1^n\\ 1& 1+x_2& 1+x_2^2& \cdots & 1+x_2^n\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 1& 1+x_n& 1+x_n^2& \cdots & 1+x_n^n\end{array}\right|$

将行列式第1列的(−1)倍分别加到其余列，可得

$=\left|\begin{array}{ccccc}1& -1& -1& \cdots & -1\\ 1& x_1& x_1^2& \cdots & x_1^n\\ 1& x_2& x_2^2& \cdots & x_2^n\\ ⋮& ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ 1& x_n& x_n^2& \cdots & x_n^n\end{array}\right|$

若行列式中的某一行是两组数的和，则该行列式等于两个行列式的和

$=\left|\begin{array}{ccccc}2& 0& 0& \cdots & 0\\ 1& x_1& x_1^2& \cdots & x_1^n\\ 1& x_2& x_2^2& \cdots & x_2^n\\ ⋮& ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ 1& x_n& x_n^2& \cdots & x_n^n\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& x_1& x_1^2& \cdots & x_1^n\\ 1& x_2& x_2^2& \cdots & x_2^n\\ ⋮& ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ 1& x_n& x_n^2& \cdots & x_n^n\end{array}\right|$

利用两次范德蒙德行列式，可得

$=2x_1\cdots x_n{\displaystyle \prod _{1\le i<j\le n}\left(x_j-x_i\right)}-{\displaystyle \prod _{i=1}^n\left(x_i-1\right)}\cdot {\displaystyle \prod _{1\le i<j\le n}\left(x_j-x_i\right)}$ $=\left[2x_1\cdots x_n-{\displaystyle \prod _{i=1}^n\left(x_i-1\right)}\right]{\displaystyle \prod _{1\le i<j\le n}\left(x_j-x_i\right)}$

现在，我们给出定理的证明。

证明

$\left|\begin{array}{cccc}1+x_1& 1+x_1^2& \cdots & 1+x_1^n\\ 1+x_2& 1+x_2^2& \cdots & 1+x_2^n\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 1+x_n& 1+x_n^2& \cdots & 1+x_n^n\end{array}\right|$

若行列式中的某一行是两组数的和，则该行列式等于两个行列式的和

$=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1+x_2& 1+x_2^2& \cdots & 1+x_2^n\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 1+x_n& 1+x_n^2& \cdots & 1+x_n^n\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{x}_1& x_1^2& \cdots & x_1^n\\ 1+x_2& 1+x_2^2& \cdots & 1+x_n^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 1+x_n& 1+x_n^2& \cdots & 1+x_n^n\end{array}\right|$

将第一个行列式第1行的(−1)倍分别加到其余行，可得

$=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_2& x_2^2& \cdots & x_2^n\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ x_n& x_n^2& \cdots & x_n^n\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{x}_1& x_1^2& \cdots & x_1^n\\ 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 1+x_n& 1+x_n^2& \cdots & 1+x_n^n\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{x}_1& x_1^2& \cdots & x_1^n\\ x_2& x_2^2& \cdots & x_2^n\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ 1+x_n& 1+x_n^2& \cdots & 1+x_n^n\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_2& x_2^2& \cdots & x_2^n\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ x_n& x_n^2& \cdots & x_n^n\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{x}_1& x_1^2& \cdots & x_1^n\\ 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ x_n& x_n^2& \cdots & x_n^n\end{array}\right|+\cdots +\left|\begin{array}{cccc}{x}_1& x_1^2& \cdots & x_1^n\\ x_2& x_2^2& \cdots & x_2^n\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{x}_1& x_1^2& \cdots & x_1^n\\ x_2& x_2^2& \cdots & x_2^n\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ x_n& x_n^2& \cdots & x_n^n\end{array}\right|$

若行列式中的某一行有公因子，则该公因子可以提出去

$=x_2{x}_3\cdots x_n\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1& x_2& \cdots & x_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ 1& x_n& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|+x_1{x}_3\cdots x_n\left|\begin{array}{cccc}1& x_1& \cdots & x_1^{n-1}\\ 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ 1& x_n& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|+\cdots +x_1{x}_2\cdots x_{n-1}\left|\begin{array}{cccc}1& x_1& \cdots & x_1^{n-1}\\ 1& x_2& \cdots & x_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right|$

$+x_1{x}_2\cdots x_n{\displaystyle \prod _{1\le i<j\le n}\left(x_j-x_i\right)}$

利用范德蒙德行列式的转置，可得

$=x_2{x}_3\cdots x_n\left(x_n-1\right)\cdots \left(x_2-1\right){\displaystyle \prod _{2\le i<j\le n}\left(x_j-x_i\right)}+\cdots$

$+x_1{x}_3\cdots x_n\left(x_n-1\right)\cdots \left(x_3-1\right)\left(1-x_1\right){\displaystyle \prod _{1\le i<j\le n,i\ne 2}\left(x_j-x_i\right)}+\cdots$

$+x_1{x}_2\cdots x_{n-1}\left(1-x_{n-1}\right)\cdots \left(1-x_1\right){\displaystyle \prod _{1\le i<j\le n-1}\left(x_j-x_i\right)}$ $+x_1{x}_2\cdots x_n{\displaystyle \prod _{1\le i<j\le n}\left(x_j-x_i\right)}$

注意到，

$M\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=x_2{x}_3\cdots x_n\left(x_n-1\right)\cdots \left(x_2-1\right){\displaystyle \prod _{2\le i<j\le n}\left(x_j-x_i\right)}+\cdots$

$+x_1{x}_3\cdots x_n\left(x_n-1\right)\cdots \left(x_3-1\right)\left(1-x_1\right){\displaystyle \prod _{1\le i<j\le n,i\ne 2}\left(x_j-x_i\right)}$

$+\cdots +x_1{x}_2\cdots x_{n-1}\left(1-x_{n-1}\right)\cdots \left(1-x_1\right){\displaystyle \prod _{1\le i<j\le n-1}\left(x_j-x_i\right)}$

从而，由引理2.1可得，$f=g$ 。

3. 例子

由定理1.1，我们可以得到下面的两个例子，而通过化简也可以判断两个不同表达形式的多元多项式是否相等。

例3.1 令二元多项式$f\left(x_1,x_2\right)=\left[2x_1{x}_2-\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)\right]\left(x_2-x_1\right)$ ，

$$ $$ $g\left(x_1,x_2\right)=x_2\left(x_2-1\right)+x_1\left(1-x_1\right)+x_1{x}_2\left(x_2-x_1\right)$

通过化简，可得

$f\left(x_1,x_2\right)=x_1{x}_2^2-x_1^2{x}_2-x_1^2+x_2^2+x_1-x_2=g\left(x_1,x_2\right)$

例3.2 令三元多项式$f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left[2x_1{x}_2{x}_3-\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)\left(x_3-1\right)\right]\left(x_3-x_2\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_2-x_1\right)$ ，$g\left(x_1,x_2,x_3\right)=x_2{x}_3\left(x_3-1\right)\left(x_2-1\right)\left(x_3-x_2\right)-x_1{x}_3\left(x_3-1\right)\left(x_1-1\right)\left(x_3-x_1\right)+x_1{x}_2\left(x_2-1\right)\left(x_1-1\right)\left(x_2-x_1\right)$ $+x_1{x}_2{x}_3\left(x_3-x_2\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_2-x_1\right)$ ，通过化简，可得

$f\left(x_1,x_2,x_3\right)=x_1{x}_2{x}_3\left(x_3-x_2\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_2-x_1\right)$ $+\left(x_3^3{x}_2^2-x_3^2{x}_2^3-x_3^3{x}_2+x_3{x}_2^3+x_3^2{x}_2-x_3{x}_2^2\right)$

$-\left(x_3^3{x}_1^2-x_3^2{x}_1^3-x_3^3{x}_1+x_3{x}_1^3+x_3^2{x}_1-x_3{x}_1^2\right)$ $+\left(x_2^3{x}_1^2-x_2^2{x}_1^3-x_2^3{x}_1+x_2{x}_1^3+x_2^2{x}_1-x_2{x}_1^2\right)$

$=g\left(x_1,x_2,x_3\right)$

基金项目

河南工业大学项目(lxykc202302, lxycxsy202424, 2024PYJH019)，河南省教育厅项目(YJS2022JC16, 23A110010)，河南省项目(HNGD2024020, 242300421384)以及高校大学数学教学研究与发展中心项目(CMC20240610)资助。

NOTES

^*通讯作者。