基于区间犹豫模糊决策的应急救援中心选址研究

Research on Emergency Rescue Center Siting Based on Interval Valued Hesitant Fuzzy Decision-Making

摘要: 针对不同需求下基于犹豫模糊决策的应急救援中心选址问题，提出了一种基于区间犹豫模糊集(Interval Valued Hesitant Fuzzy Set, IVHFS)的新型混合选址方法。首先，根据决策者在面对多个评价指标、方案和变量时的犹豫性和模糊性做出的评价，构建区间值犹豫模糊集，即一个元素的隶属度用多个数值区间表示的集合，并利用最大偏差法确定各评价属性的权重值；然后，通过对传统的TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)方法进行改进，提出了一种基于HF-TIPSIS (Hesistant Fuzzy Technique for Interval Preference by Similarity to an Ideal Solution)方法的应急救援中心选址模型；最后，结合犹豫模糊最大偏差法和HF-TIPSIS方法，将各备选地址与正负理想解的距离作为目标函数，充分考虑鲁棒偏差指标，采用绝对鲁棒和鲁棒偏差两种指标进行多目标鲁棒优化。通过算例验证了所提出的混合方法不仅能够保证专家评估信息的完整性和犹豫性，还能解决不确定条件下的模型参数扰动问题，从而为应急救援中心选址提供了一个有效的解决方案。

Abstract: In response to the emergency rescue center siting problem under various demands, a novel hybrid location selection method based on Interval Valued Hesitant Fuzzy Sets (IVHFS) is pro- posed. Firstly, the evaluative hesitancy and fuzziness faced by decision-makers when dealing with multiple evaluation criteria, scenarios, and variables are considered. This involves constructing Interval Valued Hesitant Fuzzy Sets, which represent membership degrees using multiple numerical intervals. The maximum deviation method is employed to determine the weights of each evaluation attribute. Subsequently, an improved approach to the traditional TOPSIS method is introduced, known as HF-TIPSIS, for emergency rescue center siting. Finally, integrating the Hesitant Fuzzy Maximum Deviation method and the HF-TIPSIS method, the objective function is defined by the distances between alternative sites and the positive and negative ideal solutions. Robust deviation metrics, including absolute robustness and robust deviation, are employed for multi-objective robust optimization. Case studies validate that the proposed hybrid method not only ensures the integrity and hesitancy of expert assessment information but also addresses model parameter perturbations under uncertain conditions, thereby providing an effective solution for emergency rescue center siting.

1. 引言

我国作为世界上突发事件多发的国家之一，2022年各种自然灾害共造成1.12亿人次受灾，直接经济损失2386.5亿元；同年，我国医疗卫生机构总诊疗人次84.2亿，全国卫生总费用推算为84846.7亿元。包括自然灾害以及公共卫生事件在内的各类突发事件，是影响人类社会稳定发展与正常运行的不稳定因素。由此，构建选址合理的应急救援中心，降低应急突发事件所带来的负面影响，是十分必要的。

应急救援中心选址的问题一直以来都是国内外应急物流领域研究的热点问题。近年来，众多学者围绕应急救援中心的选址问题进行了深入研究，提出了多种模型和算法。倪卫红等[1]基于聚类–重心法建立了应急物流配送中心选址模型；生力军[2]使用量子粒子群算法对物流中心选址问题进行了研究，并且证明了该算法相比于经典粒子群算法具有一定的优越性；别昊田等[3]通过灰色关联评价法对各地区洪涝灾害的相对强度进行评估，构建满足多个约束条件的应急物流配送中心选址优化模型；宋英华等[4]从洪涝灾害的视角出发，采用改进的非支配排序遗传算法Ⅱ (NSGA-Ⅱ)求解模型，对县域应急避难场所进行了选址优化；马丽荣等[5]使用免疫算法对应急救援中心选址进行了研究，结果表明该算法对解决选址问题效果良好。王丹等[6]提出了层次分析法、熵权法和三角模糊数法计算权重指标，用以协调应急供应链中的分配与使用。然而，这些研究仍存在一些局限性，如聚类重心法不适用于密度差异很大的情形；粒子群算法容易陷入局部最优解；遗传算法相较其他传统算法，减少了陷入局部最优解的风险，但有时会过早收敛。由于应急突发事件的特殊性，对应急救援中心选址的灵活性要求更高，本文选取犹豫模糊多属性决策法进行选址。

在多属性决策中，通常采用主观赋权法、客观赋权法及主客观赋权组合法确定指标属性权重。早在1973年，美国学者Srinivasan和Shocker [7]基于多维偏好分析的线性规划方法，提出了LINMAP多属性决策方法；1976年，荷兰学者Paelinck [8]基于级别优先关系决策，对Jacquet-Lagreze’s排序方法进行拓展，提出了QUALIFLEX多属性决策方法；1991年，葡萄牙学者Gomes和Lima [9] [10]基于前景理论的价值函数，构建了某方案对比于其他方案的感知价值函数，这种交互式多属性决策方法即为经典的TODIM方法。1981年，中国台湾学者Hwang [11]提出TOPSIS多属性决策方法，该方法是一种逼近理想点的决策方法，即最优方案应尽可能地接近正理想解而同时尽可能远离负理想解。而经典的TOPSIS方法通常适用于属性权重已知，且属性值为精确数情况下的多属性决策问题。

在以往的研究中，面对应急救援中心选址的问题，不确定条件下的应急需求以及决策者自身认知的犹豫性和模糊性为选址过程带来挑战。传统的选址模型求解方法通常要求对评估结果的精确性有较高的要求，这导致在评估过程中很难保持决策信息的完整性。同时，评估过程中的模糊性和不确定性使得选址问题的解决变得更加困难，模糊参数的变动可能导致最优解的不稳定性。因此，需要采用能够处理模糊和不确定条件的新型选址模型和求解方法，以提高选址决策的鲁棒性和可靠性。

为了解决以上问题，对经典TOPSIS方法进行改进，提出了一种基于HF­TIPSIS方法的区间犹豫模糊鲁棒优化组合选址方法。与传统的选址方法相比，区间犹豫模糊评价的方式保证了专家评估信息的完整性，并保留了决策者评价时犹豫性。同时，采用鲁棒优化法能够有效解决模型参数在模糊环境下的扰动问题，增强了选址决策的稳定性和可靠性。此外，在过去的多属性问题研究中，通常集中于处理数据的不确定性，而忽略了方案属性权重本身可能存在的不确定性。因此，本文针对属性权重的不确定性展开讨论，并基于犹豫模糊集的相关理论，引入犹豫模糊最大偏差法，与所提出的HF­TIPSIS方法相结合，很大程度上减少了决策者的主观性影响，使得处理原始评价信息时更准确客观。

2. 问题描述

假设在不确定需求下的应急救援中心选址过程中，共有n个应急救援中心的备选地址：

$S=\left\{s_1,s_2,\cdots ,s_n\right\}\in \left\{0,1\right\}$ ，0代表该地址未被选中，1代表该地址被选中；目标函数系数向量为$C=\left\{c_1,c_2,\cdots ,c_n\right\}$ ，在此定义为应急救援中心备选地址的属性值矩阵。

考虑到评估专家可能来自不同的行业和领域，其在评估过程中存在认知水平和知识背景的差异，因此评估结果具有一定的犹豫性和模糊性。为了更精确地表达专家的评价信息，本文采用区间犹豫模糊集来表示他们的评估结果。假设一共有$E_i\left(i=1,2,\cdots ,e\right)$ 个专家参与评估，每位专家的权重相等且评价过程理性且独立，彼此评价结果互不影响。各专家对于各备选地址的约束系数进行评价，并集成区间犹豫模糊评价矩阵：

$\tilde{A}=\left[\begin{array}{cccc}{\tilde{a}}_{11}& {\tilde{a}}_{12}& \cdots & {\tilde{a}}_{1n}\\ {\tilde{a}}_{21}& {\tilde{a}}_{22}& \cdots & {\tilde{a}}_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\tilde{a}}_{m1}& {\tilde{a}}_{m2}& \cdots & {\tilde{a}}_{mn}\end{array}\right]$ (1)

其中，${\tilde{a}}_{ij}$ 表示第j个备选地址$s_j$ 在第i个属性下的区间犹豫模糊元素。约束向量为$B=\left\{b_1,b_2,\cdots ,b_m\right\}$ 。

对于备选地址的各个属性，根据属性权重$W={\left({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\right)}^{\text{T}}$ 与相对权重${\omega }_{jr}$ ，构建新的加权区间犹豫模糊评价矩阵，则加权后的区间犹豫模糊元素为${\tilde{x}}_{ij}={\tilde{a}}_{ij}\times {\omega }_{jr}$ ，其中${\tilde{a}}_{ij}$ 是原始的区间犹豫模糊评价矩阵中的元素，${\omega }_{jr}$ 是第j个属性的相对权重。

为了使得所构建的选址模型能适用于各种不同类型、不同地区、不同需求的应急突发事件，引入了备选地址间的依赖关系函数：$Z=\left\{z_1,z_2,\cdots ,z_s\right\}$ ，其中主要有三种依赖关系类型：

1) 强依赖关系：$z=s_i-s_j=0,i,j\in \left[1,n\right]$ ，意为地址i和地址j必须同时选中，否则都不能选中；

2) 排斥关系：$z=s_i+s_j\le 1,i,j\in \left[1,n\right]$ ，意为地址i和地址j最多同时选中一个，不能同时被选中；

3) 协同关系：$z={\displaystyle \sum _{s_i\in S}{s}_i}\ge k,k\in \left[1,n\right]$ ，即该子集合中的备选地址至少选中k个才能使组合方案生效。

初始选址组合方案模型为：

$\begin{array}{l}f\left(S\right)=\max CS\\ \text{s}\text{.t}\text{.}\{\begin{array}{l}A\cdot S\le B\\ f^{\prime }\left(S\right)=Z\end{array}\end{array}$ (2)

表示目标函数使得应急救援中心组合选址的效能最大化，且需要满足约束条件和各备选地址评估之间的依赖关系。

3. 模型构建

3.1. 犹豫模糊最大偏差法

在多属性决策问题中，决策者们提供的决策信息不仅直接影响最终的决策结果，而且各属性的权重值也对决策结果产生重要影响。因此，为了确保决策的科学性和准确性，我们需要采用适当的方法来计算出合理的属性权重。学者们提出了最大偏差法来确定属性的权重值，考虑到决策者们在同一方案的同一属性上可能会因地域性、专业性和社会环境等因素而给出不同的决策信息。该方法认为，在多属性决策中，若某属性在不同方案间的偏差较大，则应赋予较高的权重；反之，若偏差较小，则权重较低。如果某属性在所有备选方案下的性能值完全一致，那么该属性被视为不重要，在决策过程中应予以排除，即赋予该属性权重值为0。根据直觉模糊值的相关运算法则，定义犹豫模糊元的欧式距离测度[12]：

$d\left(a_1,a_2\right)=\sqrt{\frac{1}{l}{\displaystyle \sum _{i=1}^l{\left|a_1^{\sigma \left(i\right)}-a_2^{\sigma \left(i\right)}\right|}^2}}$ (3)

由于考虑的多属性决策问题中的属性值为犹豫模糊集，该集合中包含了多个数值，原本的方法难以比较方案的偏差值。因此，选用犹豫模糊距离测度来度量方案之间的偏差值：

$D_{ij}\left(\omega \right)={\displaystyle \sum _{k=1}^m{\omega }_{j}d\left(a_{ij},a_{kj}\right),i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n}$ (4)

其中$d\left(a_{ij},a_{kj}\right)=\sqrt{\frac{1}{l}{\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^l{\left|a_{ij}^{\sigma \left(\lambda \right)}-a_{kj}^{\sigma \left(\lambda \right)}\right|}^2}}$ 为犹豫模糊元$a_{ij}$ 和$a_{kj}$ 之间的欧式距离测度值。

所有方案在属性$A_j\in D$ 下与其他方案之间的总偏差值为：

$D_j\left(\omega \right)={\displaystyle \sum _{i=1}^m{D}_{ij}\left(\omega \right)}={\displaystyle \sum _{k=1}^m{\omega }_j}\sqrt{\frac{1}{l}{\displaystyle \sum _{\lambda =1}^l{\left|a_{ij}^{\sigma \left(\lambda \right)}-a_{kj}^{\sigma \left(\lambda \right)}\right|}^2}},j=1,2,\cdots ,n$ (5)

为了做出更优化的决策，所有方案的属性权重值应尽可能大，这意味着各方案之间的总偏差值应处于最大化。换句话说，属性权重的分配应该使得各备选方案在各个属性上的差异最为显著。设属性权重

$W={\left({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\right)}^{\text{T}}>0$ ，并满足单位化约束条件${\displaystyle \sum _{j=1}^n{\omega }_j^2=1}$ [13] [14]。于是求解属性权重等价于求解如下

最优化问题：

$\{\begin{array}{l}\max D_j\left(\omega \right)={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{k=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^m{\omega }_j}}}\sqrt{\frac{1}{l}{\displaystyle \sum _{\lambda =1}^l{\left|a_{ij}^{\sigma \left(\lambda \right)}-a_{kj}^{\sigma \left(\lambda \right)}\right|}^2}}\\ \text{s}\text{.t}\text{.}{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\omega }_j^2}=1,{\omega }_j\ge 0,j=1,2,\cdots ,n\end{array}$ (6)

上述模型(6)是一个非线性规划模型，因此假设：

$L\left(\omega ,\xi \right)={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{k=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^m{\omega }_j}}}\sqrt{\frac{1}{l}{\displaystyle \sum _{\lambda =1}^l{\left|a_{ij}^{\sigma \left(\lambda \right)}-a_{kj}^{\sigma \left(\lambda \right)}\right|}^2}}+\frac{\xi }{2}\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{\omega }_j^2-1}\right)$ (7)

其中，$L\left(\omega ,\xi \right)$ 是模型(7)的拉格朗日函数，其中$\xi$ 是一个实数，表示拉格朗日乘子变量。对$L\left(\omega ,\xi \right)$ 求偏导并化简可得：

${\omega }_j=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{k=1}^m\sqrt{\frac{1}{l}{\displaystyle \sum _{\lambda =1}^l{\left|a_{ij}^{\sigma \left(\lambda \right)}-a_{kj}^{\sigma \left(\lambda \right)}\right|}^2}}}}}{\sqrt{{{\displaystyle \sum _{j=1}^n\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{k=1}^m\sqrt{\frac{1}{l}{\displaystyle \sum _{\lambda =1}^l{\left|a_{ij}^{\sigma \left(\lambda \right)}-a_{kj}^{\sigma \left(\lambda \right)}\right|}^2}}}}\right)}}^2}}$ (8)

为了化简公式(8)，设$Y_j={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{k=1}^m\sqrt{\frac{1}{l}{\displaystyle \sum _{\lambda =1}^l{\left|a_{ij}^{\sigma \left(\lambda \right)}-a_{kj}^{\sigma \left(\lambda \right)}\right|}^2}}}},j=1,2,\cdots ,n$ ，因此公式(8)可以被改为：

${\omega }_j^{*}=\frac{{\omega }_j}{{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\omega }_j}}=\frac{Y_j}{{\displaystyle \sum _{j=1}^n{Y}_j}}$ (9)

将属性权重已知信息带入模型(6)中，可得：

$\{\begin{array}{l}\max D_j\left(\omega \right)={\displaystyle \sum _{i=1}^m{\displaystyle \sum _{k=1}^m{\displaystyle \sum _{j=1}^m{\omega }_j}}}\sqrt{\frac{1}{l}{\displaystyle \sum _{\lambda =1}^l{\left|a_{ij}^{\sigma \left(\lambda \right)}-a_{kj}^{\sigma \left(\lambda \right)}\right|}^2}}\\ {\displaystyle \sum _{j=1}^n{\omega }_j=1}\\ {\omega }_j\ge 0,j=1,2,\cdots ,n\end{array}$ (10)

至此，模型(10)是一个线性规划模型，可直接求解，最终确定属性权重值为$W={\left({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\right)}^{\text{T}}$ 。

最终根据所求的多属性权重值，确定属性权重中最大的属性为参考属性$A_r$ ，并计算每一属性$A_j$ 相对于参考属性$A_r$ 的相对权重${\omega }_{jr}$ ：

${\omega }_{jr}={\omega }_j/{\omega }_r,j=1,2,\cdots ,n$ (11)

其中${\omega }_r=\max \left\{{\omega }_j|j=1,2,\cdots ,n\right\}$ 。

3.2. HF-TIPSIS方法

TOPSIS方法的原理是选择出一个距离正理想解最近且距离负理想解最远的方案，在过去的研究中，夏梅梅和徐泽水等人对传统的TOPSIS基本概念已经给出[15]：

设X为一个非空参考集，则称关于X的区间值犹豫模糊集为：

$\tilde{A}=\left\{\langle x_i,{\tilde{h}}_{\tilde{A}}\left(x_i\right)\rangle |x_i\in X\right\}$ (12)

其中，${\tilde{h}}_{A\left(x\right)}$ 为区间值犹豫模糊元素，表示集合X中的元素x隶属于$\tilde{A}$ 的可能区间的集合。其中${\tilde{h}}_{A\left(x\right)}=\left\{\tilde{\gamma }|\tilde{\gamma }=\left[{\gamma }^L,{\lambda }^U\right]\subset \left[0,1\right]\right\}\left({\gamma }^L\le {\gamma }^U\right)$ ，当${\gamma }^L={\gamma }^U$ 时，${\tilde{h}}_{A\left(x\right)}$ 退化为犹豫模糊元。

假设$\tilde{a}=\left[{\tilde{a}}^L,{\tilde{a}}^U\right]$ 和$\tilde{b}=\left[{\tilde{b}}^L,{\tilde{b}}^U\right]$ ，为两个给定的区间数，$l_{\tilde{a}}={\tilde{a}}^U-{\tilde{a}}^L$ ，$l_{\tilde{b}}={\tilde{b}}^U-{\tilde{b}}^L$ ，则$\tilde{a}\ge \tilde{b}$ 的可能度为：

$P\left(\tilde{a}\ge \tilde{b}\right)=\max \left\{1-\max \left(\frac{{\tilde{b}}^U-{\tilde{a}}^L}{l_{\tilde{a}}+l_{\tilde{b}}},0\right),0\right\}$ (13)

传统的TOPSIS方法在计算方案间的距离时采用的是精确数值的形式，不适用于本文所提出的犹豫模糊区间评价。因此，需要对TOPSIS方法进行改进，结合多目标鲁棒优化方法，以解决模糊区间环境下的应急救援中心选址决策问题。本文引入的HF-TIPSIS方法旨在通过最小化与正理想解的距离、最大化与负理想解的距离来确定最佳选址组合。方法的关键在于首先需要构建该系统的正负理想解，然后计算各系统组分与正负理想解的距离，并将其作为目标函数进行求解。由此本文基于TOPSIS方法，对于应急救援条件下所提出的新的HF-TIPSIS方法主要分为以下5个步骤：

第一步，将约束系数进行区间犹豫模糊加权平均算子集成。对于每一个备选地址$s_j$ 都有m个属性即

约束系数，本文将所有的约束系数进行区间犹豫模糊加权平均算子集成，设${\tilde{h}}_j\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$ 为犹豫模糊元素，$\omega ={\left({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\right)}^{\text{T}}$ 为犹豫模糊元素的权重系数，${\omega }_i\in \left[0,1\right]$ ，且${\displaystyle \sum _{i=1}^n{\omega }_i}=1$ ，则区间犹豫模糊加权平均(interval­valued hesitant fuzzy weighted averaging, IVHFWA)算子为[15]：

$\text{IVHFWA}\left({\tilde{h}}_1,{\tilde{h}}_2,\cdots ,{\tilde{h}}_n\right)=\underset{j=1}{\overset{n}{\oplus }}\left({\omega }_j{\tilde{h}}_j\right)=\left\{1-{\displaystyle \coprod _{j=1}^n{\left(1-{\tilde{\gamma }}_j^L\right)}^{{\omega }_j}}|{\tilde{\gamma }}_1\in {\tilde{h}}_1,{\tilde{\gamma }}_2\in {\tilde{h}}_2,\cdots ,{\tilde{\gamma }}_n\in {\tilde{h}}_n\right\}$(14)

可根据犹豫模糊区间，将备选地址$s_j$ 集成之后的结果$\phi \left(s_j\right)$ 改进为：

$\begin{array}{c}\phi \left(s_j\right)=\text{IVHFWA}\left({\tilde{x}}_{1j},{\tilde{x}}_{2j},\cdots ,{\tilde{x}}_{mj}\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\oplus }}\left({\omega }_j{\tilde{x}}_j\right)\\ =\left\{\left[1-{\displaystyle \coprod _{i=1}^m{\left(1-{\tilde{\gamma }}_i^L\right)}^{{\omega }_i}},1-{\displaystyle \coprod _{i=1}^m{\left(1-{\tilde{\gamma }}_i^U\right)}^{{\omega }_i}}\right]|{\tilde{\gamma }}_1\in {\tilde{x}}_{1j},{\tilde{\gamma }}_2\in {\tilde{x}}_{2j},\cdots ,{\tilde{\gamma }}_m\in {\tilde{x}}_{mj}\right\}\end{array}$(15)

第二步，各备选地址组分集成得分。假设有两个长度相等且都为l的区间犹豫模糊元素$\tilde{\alpha }$ 和$\tilde{\beta }$ 已经按照从小到大的顺序进行排列，${\tilde{\alpha }}_{\sigma \left(i\right)}$ 和${\tilde{\beta }}_{\sigma \left(i\right)}$ ，$i=1,2,\cdots ,l$ 表示$\tilde{\alpha }$ 和$\tilde{\beta }$ 中第i小的区间数，区间犹豫模糊元素$\tilde{\alpha }$ 和$\tilde{\beta }$ 之间的距离定义为[15]：

$d\left(\tilde{\alpha },\tilde{\beta }\right)=\sqrt{\frac{1}{l}{\displaystyle \sum _{i=1}^l\left({\left|{\tilde{\alpha }}_{\sigma \left(i\right)}^L-{\tilde{\beta }}_{\sigma \left(i\right)}^L\right|}^2+{\left|{\tilde{\alpha }}_{\sigma \left(i\right)}^U-{\tilde{\beta }}_{\sigma \left(i\right)}^U\right|}^2\right)}}$ (16)

由此，为便于后续计算，可以计算出$\phi \left(s_j\right)$ 的得分为：

$s\left(\phi \left(s_j\right)\right)=\frac{{\displaystyle \sum _{\tilde{\gamma }\in \phi \left(s_j\right)}\tilde{\gamma }}}{l_{\phi \left(s_j\right)}}=\left[\frac{{\displaystyle \sum _{\tilde{\gamma }\in \phi \left(s_j\right)}{\tilde{\gamma }}^L}}{l_{\phi \left(s_j\right)}},\frac{{\displaystyle \sum _{\tilde{\gamma }\in \phi \left(s_j\right)}{\tilde{\gamma }}^U}}{l_{\phi \left(s_j\right)}}\right]$ (17)

第三步，确定备选地址属性得分矩阵。令$\tilde{h}\left(x\right)=\left\{\tilde{\gamma }\left(x\right)|\tilde{\gamma }\left(x\right)\in \tilde{h}\left(x\right)\right\}$ 为一个区间犹豫模糊元素，则$\tilde{h}\left(x\right)$ 的得分函数$s\left(\tilde{h}\left(x\right)\right)$ 为：

$s\left(\tilde{h}\left(x\right)\right)=\frac{{\displaystyle \sum _{\tilde{\gamma }\in \tilde{h}}\tilde{\gamma }}}{l_{\tilde{h}}}=\left[\frac{{\displaystyle \sum _{\tilde{\gamma }\in \tilde{h}}{\tilde{\gamma }}^L}}{l_{\tilde{h}}},\frac{{\displaystyle \sum _{\tilde{\gamma }\in \tilde{h}}{\tilde{\gamma }}^U}}{l_{\tilde{h}}}\right]$ (18)

其中，$l_{\tilde{h}}$ 表示$\tilde{h}\left(x\right)$ 中的区间数的个数，$\tilde{h}\left(x\right)$ 的得分$s\left(\tilde{h}\left(x\right)\right)$ 是一个$\left[0,1\right]$ 的闭子集[15]。

根据式(1)，可以计算出区间犹豫模糊评价矩阵$\tilde{A}$ 所对应的得分矩阵$s\left(\tilde{A}\right)$ ，如式(19)所示

$s\left(\tilde{A}\right)=\left[\begin{array}{cccc}s\left({\tilde{x}}_{11}\right)& s\left({\tilde{x}}_{12}\right)& \cdots & s\left({\tilde{x}}_{1n}\right)\\ s\left({\tilde{x}}_{21}\right)& s\left({\tilde{x}}_{22}\right)& \cdots & s\left({\tilde{x}}_{2n}\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ s\left({\tilde{x}}_{m1}\right)& s\left({\tilde{x}}_{m2}\right)& \cdots & s\left({\tilde{x}}_{mn}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\left[\frac{{\displaystyle \sum _{\tilde{\gamma }\in {\tilde{x}}_{11}}{\tilde{\gamma }}^L}}{l_{{\tilde{x}}_{11}}},\frac{{\displaystyle \sum _{\tilde{\gamma }\in {\tilde{x}}_{11}}{\tilde{\gamma }}^U}}{l_{{\tilde{x}}_{11}}}\right]& \cdots & \left[\frac{{\displaystyle \sum _{\tilde{\gamma }\in {\tilde{x}}_{1n}}{\tilde{\gamma }}^L}}{l_{{\tilde{x}}_{1n}}},\frac{{\displaystyle \sum _{\tilde{\gamma }\in {\tilde{x}}_{1n}}{\tilde{\gamma }}^U}}{l_{{\tilde{x}}_{1n}}}\right]\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \left[\frac{{\displaystyle \sum _{\tilde{\gamma }\in {\tilde{x}}_{m1}}{\tilde{\gamma }}^L}}{l_{{\tilde{x}}_{m1}}},\frac{{\displaystyle \sum _{\tilde{\gamma }\in {\tilde{x}}_{m1}}{\tilde{\gamma }}^U}}{l_{{\tilde{x}}_{m1}}}\right]& \cdots & \left[\frac{{\displaystyle \sum _{\tilde{\gamma }\in {\tilde{x}}_{mn}}{\tilde{\gamma }}^L}}{l_{{\tilde{x}}_{mn}}},\frac{{\displaystyle \sum _{\tilde{\gamma }\in {\tilde{x}}_{mn}}{\tilde{\gamma }}^U}}{l_{{\tilde{x}}_{mn}}}\right]\end{array}\right]$ (19)

第四步，构建正负理想解。由于区间犹豫模糊属性值的特殊性，无法直接用于评估属性的最大和最小值。为了克服这一限制，需要引入得分矩阵来替代传统TOPSIS方法中属性值大小的比较，并根据区间犹豫模糊元素的得分函数及优劣定义，结合式(19)，可得每个属性$a_i$ 所对应的正理想解$s_i^{*}$ 为对应属性值得分最大的备选地址$s_K$ ，即：

$s\left(s_i^{+}\right)=\underset{j}{\max }s\left({\tilde{x}}_{ij}\right),i=1,2,\cdots ,m$ (20)

同样地，负理想解$s_i^{*}$ 为对应属性值得分最小的备选地址$s_K$ ，即：

$s\left(s_i^{-}\right)=\underset{j}{\min }s\left({\tilde{x}}_{ij}\right),i=1,2,\cdots ,m$ (21)

最终，正理想解解和负理想解的构成分别为：

$\begin{array}{l}{s}^{+}=\left\{s_i^{+}|i=1,2,\cdots ,m\right\}\\ s^{-}=\left\{s_i^{-}|i=1,2,\cdots ,m\right\}\end{array}$ (22)

第五步，进行正负理想解集成。

根据式(14)，对正理想解和负理想解进行区间犹豫模糊加权平均算子集成：

$\begin{array}{c}\phi \left(s^{+}\right)=\text{IVHFWA}\left(s_1^{+},s_2^{+},\cdots ,s_m^{+}\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\oplus }}\left({\omega }_i{s}_i^{+}\right)\\ =\left\{1-{\displaystyle \coprod _{i=1}^m{\left(1-{\tilde{\gamma }}_i^L\right)}^{{\omega }_i}},1-{\displaystyle \coprod _{i=1}^m{\left(1-{\tilde{\gamma }}_i^U\right)}^{{\omega }_i}}|{\tilde{\gamma }}_1\in s_1^{+},{\tilde{\gamma }}_2\in s_2^{+},\cdots ,{\tilde{\gamma }}_m\in s_m^{+}\right\}\end{array}$(23)

$\begin{array}{c}\phi \left(s^{-}\right)=\text{IVHFWA}\left(s_1^{-},s_2^{-},\cdots ,s_m^{-}\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\oplus }}\left({\omega }_i{s}_i^{-}\right)l\\ =\left\{1-{\displaystyle \coprod _{i=1}^m{\left(1-{\tilde{\gamma }}_i^L\right)}^{{\omega }_i}},1-{\displaystyle \coprod _{i=1}^m{\left(1-{\tilde{\gamma }}_i^U\right)}^{{\omega }_i}}|{\tilde{\gamma }}_1\in s_1^{-},{\tilde{\gamma }}_2\in s_2^{-},\cdots ,{\tilde{\gamma }}_m\in s_m^{-}\right\}\end{array}$(24)

3.3. 多目标鲁棒优化

根据本文所提出的HF-TIPSIS方法，最优选址方案应选择距离正理想解最小且距离负理想解最大的备选方案。为了实现这一目标，在原有效益目标函数的基础上，引入了备选地址与正负理想解的距离作为新的目标函数。由于专家对于备选地址各属性的评价方式为区间犹豫模糊评价，该犹豫模糊元素无法直接用作多目标优化模型中的约束系数，因此建立区间犹豫模糊评价的得分矩阵$s\left(\tilde{A}\right)$ 来更新约束系数。此时，该模型的不确定参数为约束函数中的系数$s\left(\tilde{A}\right)$ ，由区间组成，需要采用鲁棒优化的方法进行求解。

本文采用了Kouvelis提出的两种鲁棒性指标[16]，即绝对鲁棒和鲁棒偏差，用于处理目标规划模型的求解。其中，鲁棒偏差指标反映了评估方案在各种可能情况下与最优解之间的差距，即所选方案可能在某些情况下与最优解之间存在较大的差异[17]。在HF­TIPSIS方法中，将各备选地址与正理想解之间的距离之和作为衡量方案与最优解偏差的指标，即为鲁棒偏差指标的体现。这种方法不仅能够评估方案的稳定性，还能帮助决策者理解选择某一方案可能面临的潜在风险和后果。

在应急救援中心选址模型中，约束系数$s\left({\tilde{x}}_{ij}\right)=\left[{\gamma }_{ij}^{-},{\gamma }_{ij}^{+}\right]\in s\left(\tilde{A}\right),i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n$ 是一个不确

定的参数区间，因此想要反映所有备选方案里的最优选址方案，选择使用绝对鲁棒指标进行求解。假设约束属性为效益属性，那么采用约束系数$s\left({\tilde{x}}_{ij}\right)$ 的区间下界来确定所有备选方案中的最优解。根据HF­TIPSIS方法，可以计算出各备选地址与正负理想解之间的距离，并作为目标函数的系数。同时前文已经计算出了各备选地址的集成结果$\phi \left(s_j\right)$ ，由式(16)可得，备选地址$s_j$ 与正负理想解的距离分别为：

$d\left(s_j,s^{+}\right)=\sqrt{\frac{1}{l}{\displaystyle \sum _{i=1}^l\left({\left|{\left(s_j\right)}_{\sigma \left(i\right)}^L-{\left(s^{+}\right)}_{\sigma \left(i\right)}^L\right|}^2+{\left|{\left(s_j\right)}_{\sigma \left(i\right)}^U-{\left(s^0\right)}_{\sigma \left(i\right)}^U\right|}^2\right)}}$ (25)

$d\left(s_j,s^{-}\right)=\sqrt{\frac{1}{l}{\displaystyle \sum _{i=1}^l\left({\left|{\left(s_j\right)}_{\sigma \left(i\right)}^L-{\left(s^{-}\right)}_{\sigma (i)}^L\right|}^2+{\left|{\left(s_j\right)}_{\sigma \left(i\right)}^U-{\left(s^{-}\right)}_{\sigma \left(i\right)}^U\right|}^2\right)}}$ (26)

其中，l表示表示区间犹豫模糊元素中的区间数的个数。

至此已经计算出了多目标优化模型所需的参数，因此根据式(2)，将应急救援中心选址优化模型更新为：

$f\left(S\right)=\{\begin{array}{l}\max {\displaystyle \sum _{j=1}^n{c}_j{s}_j}\\ \min {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}d\left(s_j,s^{+}\right)\times s_j}\\ \max {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}d\left(s_j,s^{-}\right)\times s_j}\end{array}\text{s}\text{.t}\text{.}\{\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{j=1}^n{\gamma }_{ij}^{-}\times s_j\le b_i,i=1,2,\cdots ,m}\\ f^{\prime }\left(S\right)=Z\\ s_j\in \left\{0,1\right\}\end{array}$ (27)

至此，将不确定需求下的应急救援中心选址模型转化成了多目标线性规划模型，从而求得最终组合选址方案。

4. 案例分析

当突发事件发生时，当地政府机关需要快速做出紧急应对方案，决策人员面临着判断不确定性和意见分歧的挑战，决策信息的犹豫模糊性尤为突出。因此，区间犹豫模糊决策方法在解决这类问题时展现出显著的优势。首先，犹豫模糊区间评价能有效地处理紧急情况下难以量化的数据，将其转化为可操作的模糊区间；其次，多属性犹豫模糊决策能够全面评估和分析各备选地址的属性，为决策提供更全面的信息支持；最后，犹豫模糊决策方法在处理紧急事件时能够提高决策效率。

以2023年12月18日甘肃省临夏州积石山县地震为案例，当地震发生后当地政府亟需建立能够满足应急救援需求、选址合理的应急救援中心。而本文提出的方法为政府机关提供了一种有效的选址决策方案，通过HF-TIPSIS法对各选址方案进行属性评估，得到最优组合排序，最终确定建设应急救援中心的选址顺序。

假设在需要建设应急救援中心的受灾区域共有10个备选地址方案$S=\left\{s_1,s_2,\cdots ,s_{10}\right\}$ ，各备选地址的评估属性$A=\left\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\right\}$ 分别为：安全系数水平$a_1$ 、人员容纳能力$a_2$ 、基础设施水平$a_3$ 、安全卫生条件$a_4$ 、物资运输能力$a_5$ 。这五种评估属性能够平衡地反映备选地址在决策方案中的贡献，从而使选址方案更具科学性。现有4位专家$E=\left\{E_1,E_2,E_3,E_4\right\}$ 对备选地址的属性进行评估，为了使专家评估的结果更为真实，采用区间评价的方式评价指标。同时，备选地址所对应的效能为集合$C=\left\{c_1,c_2,\cdots ,c_{10}\right\}$ ，且5个属性的约束值分别为$B=\left\{b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\right\}$ ，即选址组合方案的属性值之和不能大于属性约束值。

4.1. 权重确定

集成各专家给出的区间犹豫模糊评价，最终形成了区间犹豫模糊评价矩阵如表1所示。

Table 1. Initial interval hesitation fuzzy evaluation matrix

表1. 初始区间犹豫模糊评价矩阵

地址	a1	a2	a3	a4	a5
S1	[0.3,0.5]	[0.5,0.7]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7]	[0.3,0.5], [0.7,0.9]
S2	[0.1,0.3], [0.3,0.5]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,9]	[0.1,0.3], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.3,0.5]	[0.1,0.3], [0.5,0.7]
S3	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,9]	[0.3,0.5]	[0.1,0.3], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]
S4	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.5,0.7]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.3,0.5]
S5	[0.3,0.5]	[0.3,0.5]	[0.1,0.3], [0.5,0.7]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]
S6	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9]	[0.7,0.9]	[0.7,0.9]
S7	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9]	[0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7]
S8	[0.1,0.3], [0.5,0.7]	[0.3,0.5], [0.5,0.7]	[0.1,0.3]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]
S9	[0.3,0.5]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]
S10	[0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.3,0.5]

在决策过程中，往往会出现由于个别决策人员在某些方面知识经验的欠缺导致无法给出决策信息的情况，这样就会形成区间犹豫模糊元素所包含的元素数量不一致的现象，进而影响决策计算和分析过程。为了后续计算和分析的顺利进行，需要对区间数数量较少的区间进行扩充。扩充评价区间通常有两种方式：分别为悲观原则和乐观原则，即为向其中添加最小的区间直至长度与其他区间犹豫模糊元素相等；或填充最大的区间直至元素个数相等[18]。根据犹豫模糊元素的扩充原则，向区间犹豫模糊评价矩阵中添加最大的区间，使得区间元素个数相等。补充后的矩阵见表2。

根据式(9)，求解可得以上5种属性权重：$W={\left(0.17,0.23,0.23,0.15,0.23\right)}^{\text{T}}$ 。

确定参考属性$A_r=A_2$ ，利用公式(11)计算每一属性$A_j\left(j=1,2,3,4,5\right)$ 相对于参考属性$A_r$ 的相对权重${\omega }_{jr}=\left(0.74,1.00,1.00,0.65,1.00\right)$ 。

Table 2. Expanded interval hesitation fuzzy evaluation matrix

表2. 扩充区间犹豫模糊评价矩阵

地址	a1	a2	a3	a4	a5
S1	[0.3,0.5], [0.3,0.5], [0.3,0.5], [0.3,0.5]	[0.5,0.7], [0.5,0.7], [0.5,0.7], [0.5,0.7]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.5,0.7]	[0.3,0.5], [0.7,0.9], [0.7,0.9], [0.7,0.9]
S2	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.3,0.5], [0.3,0.5]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.5,0.7], [0.7,0.9], [0.7,0.9]	[0.3,0.5], [0.3,0.5], [0.3,0.5], [0.3,0.5]	[0.1,0.3], [0.5,0.7], [0.5,0.7], [0.5,0.7]
S3	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.3,0.5], [0.3,0.5], [0.3,0.5], [0.3,0.5]	[0.1,0.3], [0.5,0.7], [0.7,0.9], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]
S4	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.5,0.7], [0.5,0.7], [0.5,0.7]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.3,0.5], [0.3,0.5], [0.3,0.5], [0.3,0.5]
S5	[0.3,0.5], [0.3,0.5], [0.3,0.5], [0.3,0.5]	[0.3,0.5], [0.3,0.5], [0.3,0.5], [0.3,0.5]	[0.1,0.3], [0.5,0.7], [0.5,0.7], [0.5,0.7]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]
S6	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9], [0.7,0.9]	[0.7,0.9], [0.7,0.9], [0.7,0.9], [0.7,0.9]	[0.7,0.9], [0.7,0.9], [0.7,0.9], [0.7,0.9]
S7	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9], [0.7,0.9]	[0.7,0.9], [0.7,0.9], [0.7,0.9], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.5,0.7]
S8	[0.1,0.3], [0.5,0.7], [0.5,0.7], [0.5,0.7]	[0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.5,0.7], [0.5,0.7]	[0.1,0.3], [0.1,0.3], [0.1,0.3], [0.1,0.3]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]
S9	[0.3,0.5], [0.3,0.5], [0.3,0.5], [0.3,0.5]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.5,0.7], [0.7,0.9], [0.7,0.9]	[0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.7,0.9], [0.7,0.9]
S10	[0.7,0.9], [0.7,0.9], [0.7,0.9], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.5,0.7], [0.5,0.7]	[0.1,0.3], [0.3,0.5], [0.7,0.9], [0.7,0.9]	[0.1,0.3], [0.5,0.7], [0.7,0.9], [0.7,0.9]	[0.3,0.5], [0.3,0.5], [0.3,0.5], [0.3,0.5]

4.2. 结果分析

在本节中，利用HF-TIPSIS决策模型来解决3.1节中提到的应急救援中心选址决策问题，运用鲁棒优化获得最优方案。

第一步，根据式(15)，以$s_1$ 为例，对备选地址的属性$s_j$ 进行区间模糊加权平均算子集成之后的结果$\phi \left(s_j\right)$ 为：$\phi \left(s_1\right)=\underset{l_{s_1}=1024}{\underbrace{\left\{\left[0.30,0.44\right],\left[0.60,0.8\right],\cdots ,\left[0,0.13\right],\left[0.4,0.6\right]\right\}}}$ 。

第二步，根据式(17)，可得到备选地址的得分如表3所示。

Table 3. Scores for each alternative address

表3. 各备选地址得分

备选地址	S1	S2	S3	S4	S5
得分	[0.25,0.71]	[0.15,0.54]	[0.27,0.70]	[0.25,0.72]	[0.25,0.66]
备选地址	S6	S7	S8	S9	S10
得分	[0.15,0.70]	[0.25,0.72]	[0.20,0.64]	[0.25,0.74]	[0.30,0.78]

第三步，根据式(19)，可计算出区间犹豫模糊评价矩阵对应的得分矩阵$s\left(\tilde{A}\right)$ 为：

$s\left(\tilde{A}\right)=\left[\begin{array}{ccccc}\left[0.30,0.50\right]& \left[0.50,0.70\right]& \left[0.45,0.65\right]& \left[0.35,0.55\right]& \left[0.60,0.80\right]\\ \left[0.25,0.45\right]& \left[0.40,0.60\right]& \left[0.50,0.70\right]& \left[0.30,0.50\right]& \left[0.40,0.60\right]\\ \left[0.40,0.60\right]& \left[0.30,0.50\right]& \left[0.50,0.70\right]& \left[0.45,0.65\right]& \left[0.40,0.60\right]\\ \left[0.45,0.65\right]& \left[0.40,0.60\right]& \left[0.45,0.65\right]& \left[0.40,0.60\right]& \left[0.30,0.50\right]\\ \left[0.30,0.50\right]& \left[0.30,0.50\right]& \left[0.40,0.60\right]& \left[0.45,0.65\right]& \left[0.40,0.60\right]\\ \left[0.40,0.60\right]& \left[0.40,0.60\right]& \left[0.45,0.65\right]& \left[0.70,0.90\right]& \left[0.70,0.90\right]\\ \left[0.45,0.65\right]& \left[0.70,0.90\right]& \left[0.40,0.60\right]& \left[0.45,0.65\right]& \left[0.35,0.55\right]\\ \left[0.40,0.60\right]& \left[0.45,0.65\right]& \left[0.10,0.30\right]& \left[0.40,0.60\right]& \left[0.40,0.60\right]\\ \left[0.30,0.50\right]& \left[0.40,0.60\right]& \left[0.40,0.60\right]& \left[0.50,0.70\right]& \left[0.55,0.75\right]\\ \left[0.70,0.90\right]& \left[0.35,0.55\right]& \left[0.45,0.65\right]& \left[0.50,0.70\right]& \left[0.30,0.50\right]\end{array}\right]$

第四步，根据式(20)、(21)、(22)，可以得到得分矩阵$s\left(\tilde{A}\right)$ 中的正负理想解：

$\begin{array}{c}{s}^{+}=\left\{{\tilde{a}}_{101},{\tilde{a}}_{72},{\tilde{a}}_{33},{\tilde{a}}_{64},{\tilde{a}}_{65}\right\}\\ =\left\{\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right]\right\},\\ \left\{\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right]\right\},\\ \left\{\left[0.1,0.3\right],\left[0.5,0.7\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right]\right\},\\ \left\{\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right]\right\},\\ \left\{\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right]\right\}\end{array}$ $\begin{array}{c}{s}^{-}=\left\{{\tilde{a}}_{21},{\tilde{a}}_{32},{\tilde{a}}_{83},{\tilde{a}}_{24},{\tilde{a}}_{45}\right\}\\ =\left\{\left[0.1,0.3\right],\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right]\right\},\\ \left\{\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right]\right\},\\ \left\{\left[0.1,0.3\right],\left[0.1,0.3\right],\left[0.1,0.3\right],\left[0.1,0.3\right]\right\},\\ \left\{\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right]\right\},\\ \left\{\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right]\right\}\end{array}$

第五步，根据式(23) (24)，对正负理想解进行区间犹豫模糊加权平均集成得：

$\phi \left(s^{*}\right)=\underset{l_{s_1}=1024}{\underbrace{\left\{\left[0.62,0.90\right],\left[0.62,0.90\right],\cdots ,\left[0.70,0.90\right]\right\}}}$

$\phi \left(s^0\right)=\underset{l_{s_1}=1024}{\underbrace{\left\{\left[0.19,0.39\right],\left[0.19,0.39\right],\cdots ,\left[0.31,0.51\right]\right\}}}$

第六步，根据式(25) (26)，可以计算出各备选地址与正负理想解之间的距离如表4所示，并将该距离作为目标函数的系数以便后续计算。

Table 4. Distance between alternative addresses and positive and negative ideal solutions

表4. 各备选地址与正负理想解之间的距离

正负理想解	S1	S2	S3	S4	S5
$d\left(s_j,s^{*}\right)$	0.2594	0.4978	0.339	0.3672	0.4366
$d\left(s_j,s^0\right)$	0.7189	0.5616	0.6584	0.627	0.5075
正负理想解	S6	S7	S8	S9	S10
$d\left(s_j,s^{*}\right)$	0.124	0.2158	0.5406	0.3586	0.2774
$d\left(s_j,s^0\right)$	0.8	0.7461	0.4971	0.6667	0.7165

第七步，鲁棒优化求得最终选址方案。$C=\left\{1,5,2,7,4,3,10,6,8,9\right\}$ ，属性约束值为$B=\left\{2,4,5,3,1\right\}$ ，各备选地址间的依赖关系为：$Z=\{\begin{array}{l}{s}_1+s_3+s_5+s_7\ge 2\\ s_2-s_4=0\\ s_7+s_9\le 1\end{array}$ ，至此，不确定需求下的区间犹豫模糊鲁棒优化选址组合模型可写为：

$f\left(S\right)=\{\begin{array}{l}\max \left(s_1+5s_2+2s_3+7s_4+3s_6+10s_7+6s_8+8s_9+9s_{10}\right)\\ \max \left[-\left(0.26s_1+0.5s_2+0.34s_3+0.4s_4+0.44s_5+0.12s_6+0.22s_7+0.54s_8+0.36s_9+0.28s_{10}\right)\right]\\ \max \left(0.72s_1+0.56s_2+0.66s_3+0.63s_4+0.51s_5+0.81s_6+0.75s_7+0.5s_8+0.67s_9+0.72s_{10}\right)\end{array}$

$\text{s}\text{.t}.\{\begin{array}{l}0.4s_1+0.15s_2+0.5s_3+0.5s_4+0.4s_5+0.45s_6+0.45s_7+0.45s_8+0.2s_9+0.8s_{10}\le 2\hfill \\ 0.6s_1+0.45s_2+0.4s_3+0.45s_4+0.4s_5+0.35s_6+0.8s_7+0.35s_8+0.45s_9+0.25s_{10}\le 4\hfill \\ 0.45s_1+0.55s_2+0.55s_3+0.55s_4+0.45s_5+0.55s_6+0.4s_7+0s_8+0.3s_9+0.45s_{10}\le 5\hfill \\ 0.4s_1+0.2s_2+0.4s_3+0.3s_4+0.45s_5+0.55s_6+0.4s_7+0.35s_8+0.55s_9+0.4s_{10}\le 3\hfill \\ 0.7s_1+0.3s_2+0.5s_3+0.2s_4+0.5s_5+0.8s_6+0.4s_7+0.5s_8+0.6s_9+0.2s_{10}\le 1\hfill \\ s_1+s_3+s_5+s_7\ge 2\hfill \\ s_2-s_4=0\hfill \\ s_2+s_4\le 1\hfill \\ s_j\in \left\{0,1\right\},j=1,2,\cdots ,10\hfill \end{array}$

根据多目标优化模型，最终运用Matlab求解出最优方案的5个备选地址分别为$s_6$ ，$s_7$ ，$s_1$ ，$s_4$ ，$s_2$ 。其总收益得分为4.78，与正理想解的距离为2.7，与负理想解的距离为4.2。

4.3. 结果比较

为了验证犹豫模糊最大偏差法与HF-TOPSIS法混合选址方法在合理性和优势性上相对于传统TOPSIS法的优越性，我们进行了以下分析。首先根据传统TOPSIS法计算出该方法下的选址方案。

第一步，当面对模糊环境下的多属性决策问题时，首先确定区间犹豫模糊正理想解$s^{+}$ 和区间犹豫模糊负理想解$s^{-}$ ：

$s^{+}=\left\{x_j,{\max }_{i=1}^m\langle {\tilde{\gamma }}_{ij}^{\lambda }\rangle |j=1,2,\cdots ,n;\lambda =1,2,\cdots ,\tilde{h}\right\}$ (28)

$s^0=\left\{x_j,{\min }_{i=1}^m\langle {\tilde{\gamma }}_{ij}^{\lambda }\rangle |j=1,2,\cdots ,n;\lambda =1,2,\cdots ,\tilde{h}\right\}$ (29)

根据式(28)，(29)可以确定区间犹豫模糊正理想解$s^{+}$ 和区间犹豫模糊负理想解$s^{-}$ 为：

$s^{+}=\left(\begin{array}{l}\tilde{H}\left\{\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right]\right\},\tilde{H}\left\{\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right]\right\},\\ \tilde{H}\left\{\left[0.1,0.3\right],\left[0.5,0.7\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right]\right\},\tilde{H}\left\{\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right]\right\},\\ \tilde{H}\left\{\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right],\left[0.7,0.9\right]\right\}\end{array}\right)$

$s^{-}=\left(\begin{array}{l}\tilde{H}\left\{\left[0.1,0.3\right],\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right]\right\},\tilde{H}\left\{\left[0.1,0.3\right],\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right]\right\},\\ \tilde{H}\left\{\left[0.1,0.3\right],\left[0.1,0.3\right],\left[0.1,0.3\right],\left[0.1,0.3\right]\right\},\tilde{H}\left\{\left[0.1,0.3\right],\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right]\right\},\\ \tilde{H}\left\{\left[0.1,0.3\right],\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right],\left[0.3,0.5\right]\right\}\end{array}\right)$

第二步，用公式(30)和(31)，计算各备选方案$s_j$ 与区间犹豫模糊正理想解$s^{+}$ 和区间犹豫模糊负理想解$s^{-}$ 之间的欧几里得距离$\tilde{D}\left(s\right)$ ：

$\tilde{D}\left(s_i,s^{+}\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^n{d}_E\left({\tilde{h}}_{ij},{\tilde{h}}_j^{+}\right)w_j\sqrt{\frac{\tilde{h}}{2}{\displaystyle \sum _{\lambda =1}^{\tilde{h}}\left({\left({\tilde{\gamma }}_{ij}^{\lambda L}-{\left({\tilde{\gamma }}_j^{\lambda L}\right)}^{+}\right)}^2+{\left({\tilde{\gamma }}_{ij}^{\lambda U}-{\left({\tilde{\gamma }}_j^{\lambda U}\right)}^{+}\right)}^2\right)}}}$ (30)

$\tilde{D}\left(s_i,s^{-}\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^n{d}_E\left({\tilde{h}}_{ij},{\tilde{h}}_j^{-}\right)w_j\sqrt{\frac{\tilde{h}}{2}{\displaystyle \sum _{\lambda =1}^{\tilde{h}}\left({\left({\tilde{\gamma }}_{ij}^{\lambda L}-{\left({\tilde{\gamma }}_j^{\lambda L}\right)}^{+}\right)}^2+{\left({\tilde{\gamma }}_{ij}^{\lambda U}-{\left({\tilde{\gamma }}_j^{\lambda U}\right)}^{-}\right)}^2\right)}}}$ (31)

$D\left(s_1,s^{+}\right)=0.28$ , $D\left(s_2,s^{+}\right)=0.39$ , $D\left(s_3,s^{+}\right)=0.33$ , $D\left(s_4,s^{+}\right)=0.27$ , $D\left(s_5,s^{+}\right)=0.47$ , $D\left(s_6,s^{+}\right)=0.12$ , $D\left(s_7,s^{+}\right)=0.17$ , $D\left(s_8,s^{+}\right)=0.49$ , $D\left(s_9,s^{+}\right)=0.36$ , $D\left(s_{10},s^{+}\right)=0.24$ .

$D\left(s_1,s^{-}\right)=0.30$ , $D\left(s_2,s^{-}\right)=0.19$ , $D\left(s_3,s^{-}\right)=0.24$ , $D\left(s_4,s^{-}\right)=0.31$ , $D\left(s_5,s^{-}\right)=0.12$ , $D\left(s_6,s^{-}\right)=0.45$ , $D\left(s_7,s^{-}\right)=0.40$ , $D\left(s_8,s^{-}\right)=0.10$ , $D\left(s_9,s^{-}\right)=0.22$ , $D\left(s_{10},s^{-}\right)=0.33$ .

第三步，确定${\tilde{D}}_{\min }\left(s_i,s^{+}\right)$ 和${\tilde{D}}_{\max }\left(s_i,s^{-}\right)$ 。因为距离$\tilde{D}\left(s_i,s^{+}\right)\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$ 越小，方案越优；而 $\tilde{D}\left(s_i,s^{-}\right)\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$ 越大，方案越优。所以可得${\tilde{D}}_{\min }\left(s_i,s^{+}\right)=0.12$ ，${\tilde{D}}_{\max }\left(s_i,s^{-}\right)=0.45$ 。

第四步，根据式(32)，计算各备选方案相对于区间犹豫模糊正理想解$s^{+}$ 的贴近度值[19]：

$\tilde{C}{I}^{\prime }\left(s_i\right)=\frac{D\left(s_i,s^{-}\right)}{D_{\max }\left(s_i,s^{-}\right)}-\frac{D\left(s_i,s^{+}\right)}{D_{\min }\left(s_i,s^{+}\right)}$ (32)

$\tilde{C}{I}^{\prime }\left(s_1\right)=-1.67$ , $\tilde{C}{I}^{\prime }\left(s_2\right)=-0.72$ , $\tilde{C}{I}^{\prime }\left(s_3\right)=-1.27$ , $\tilde{C}{I}^{\prime }\left(s_4\right)=-1.56$ , $\tilde{C}{I}^{\prime }\left(s_5\right)=-3.65$ , $\tilde{C}{I}^{\prime }\left(s_6\right)=0.00$ , $\tilde{C}{I}^{\prime }\left(s_7\right)=-0.53$ , $\tilde{C}{I}^{\prime }\left(s_8\right)=-3.86$ , $\tilde{C}{I}^{\prime }\left(s_9\right)=-2.51$ , $\tilde{C}{I}^{\prime }\left(s_{10}\right)=-2.22$ .

第五步，根据所求得的相对贴近度值$\tilde{C}{I}^{\prime }\left(s_i\right)$ ，对各备选方案进行排序，并得出排在前5位的备选地址：

$s_6\succ s_7\succ s_{10}\succ s_4\succ s_1$

同时，计算得出总收益得分为4.33，收益效果明显低于HF-TIPSIS法。相较于本文提出的基于最大偏差模型HF-TIPSIS决策方法获得的方案的排序：$s_6\succ s_7\succ s_1\succ s_4\succ s_2$ ，可以看出，两种方法的最终选址方案不尽相同。二者的不同之处主要在于$s_1$ 和$s_4$ 的顺序和$s_2$ 与$s_4$ 的选择上，产生这种不同的主要原因是前者考虑了各备选地址属性的权重和相互制约条件，且鲁棒优化对于不确定条件下的模型参数扰动问题有一定影响。因此，本文提出的基于犹豫模糊最大偏差法的HF-TIPSIS决策方法具有以下优点：

1) 本文运用犹豫模糊最大偏差法，将属性权重值用客观的方式计算出来，有效避免了专家对于属性权重评价的主观随意性，也解决了备选方案的评价属性缺失的问题，使得最终决策更为科学。

2) 与传统的选址方法相比引入了加权平均算子对备选地址属性进行集成，计算各备选方案的得分，同时鲁棒优化法能够很好地解决模糊环境下模型参数扰动的问题，同时对各备选方案间的相互制约、相互影响的因素纳入了考虑范围，使得最终的选址方案能够因地制宜，更加接近实际需求。

5. 结论

本文引入犹豫模糊最大偏差法，并对传统的TOPSIS方法进行改进，将这两种方法结合起来解决不同需求下的应急救援中心选址问题。首先利用犹豫模糊最大偏差法确定属性权重值，该方法最大的优点就是客观地处理原始决策信息，很大程度上减少了决策者的主观性影响。在求得属性相对权重后，运用犹豫模糊加权平均算子，对备选地址的属性进行集成，得到备选方案的得分。基于改进后的HF-TIPSIS模型，根据计算所得到的备选地址的得分矩阵，将其中得分最高和最低的备选方案作为正负理想解，进而计算各备选地址与正负理想解之间的距离。所求多目标优化模型的目标函数为与正理想解距离最小、与负理想解距离最大，求解该组合选址模型，最终得到应急救援中心组合选址方案。在甘肃省临夏州积石山县地震的案例中，根据改进后的HF-TIPSIS模型保留了区间评价的方式，最终得到了选址方案$s_6$ ，$s_7$ ，$s_{10}$ ，$s_4$ ，$s_1$ ，运用专家评价结果中的原始数据可以解决鲁棒优化中存在的模糊参数扰动的问题，使得模型更为科学。在未来，可以考虑从决策信息与决策者心理入手，以更加科学的方法解决由于决策者心理因素导致的评价信息缺失等问题，并结合语言变量和模糊信息之间的转化关系，使得最终的犹豫模糊选址决策更具科学性。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(71632008, 71840003)；上海市2021度“科技创新行动计划”宝山转型发展科技专项项目(21SQBS01404)；上海理工大学科技发展项目(2020KJFZ038)。