从符号到意义：基于学生理解力的数学语言教学体系有效建构

From Symbols to Meaning: Effective Construction of a Math Language Teaching System Based on Students’ Comprehension Abilities

摘要: 文章探讨了数学语言对学生理解能力的影响，强调了符号与意义之间的桥梁作用。研究指出，传统教学注重符号记忆，将符号简单传递视为终极目标，忽视了符号背后更深层的意义，导致学生难以融会贯通。通过实证研究，提出情境教学法与视觉化策略能有效提升学生对数学语言概念的深层理解。展示了如何将抽象符号与实际情境结合，从而促进学生认知转化。文章提出要构建创新的数学语言教学体系，提升学生思维品质。

Abstract: This paper explores the impact of math language on students’ comprehension abilities, emphasizing the role of the bridge between symbols and meaning. The study points out that traditional teaching focuses on symbol memorization and regards the simple transmission of symbols as the ultimate goal, ignoring the deeper meaning behind the symbols, which makes it difficult for students to integrate the concepts. Through empirical research, it is proposed that contextual pedagogy and visualization strategies can effectively enhance students’ deeper understanding of mathematical language concepts. It demonstrates how to combine abstract symbols with real-world contexts so as to facilitate students’ cognitive transformation. This paper proposes to build an innovative math language teaching system to enhance the quality of students’ thinking.

1. 引言

数学被誉为“科学的语言”，不仅是逻辑推理的工具，更是人类思维深邃与扩展的载体。当前教学体系中，数学语言的教学面临诸多挑战，许多教师在课堂上往往将数学符号与公式视为教学的核心，忽视了符号背后蕴含的深刻意义，导致学生在理解数学概念时，往往停留在表面，难以将抽象的符号与实际情境相结合，影响了他们的数学思维能力的发展。因此，探索数学语言与学生理解力之间的关系，显得尤为重要。

近年来，已有学者和一线优秀教师，为了适应新课程标准和新高考发展需要，在数学语言教学与学生理解能力提升的关系上，进行了一些有意义的初步探究。如在《加强数学语言与逻辑思维能力的培养》中，作者卢宏亮从情境教学法为切入点，从理论上系统探究了数学语言与思维能力的关系，研究分析了数学语言能助推学生的逻辑思维能力。李红侠在《数学语言互译能力提升策略研究》一文中，从视觉化教学策略入手，从文字、图表和图形三种数学语言维度分析了数学语言互译可提升思维能力，但这些研究仍然集中在符号的识别与记忆，缺乏对符号与意义转化机制的系统分析。因此，本文将以实证研究为基础，结合具体的教学实例，揭示数学语言中的认知转化机制，构建一种创新的数学语言教学体系，推动学生在数学学习中实现更高层次的思维发展，为教学实践提供新思路。

在数学教育中，符号不仅仅是数值或公式的简单表示，更是思维和理解的桥梁，连接着抽象的数学概念与具体的现实世界，是一种用教学的眼光观察、分析周围生活中的问题的思维倾向[1]。所以，如何将这些符号成功地转化为意义，这是教育者面临的一个重要挑战，为此，我们需要深入探讨这一转化过程的认知机制。

2. 数学语言的构建

数学语言的构建不仅仅是符号的堆砌，更是一个深邃的认知过程，涵盖了符号的理解与意义构建两个重要方面，通过这两个维度，学生能够更全面地掌握数学知识，形成符号到意义的连接。

2.1. 符号的理解

在数学中，符号是传达信息的工具，每一个符号背后都蕴含着特定的意义，例如，在学习集合的概念时，符号$A\subset B$ 描述的是集合$A$ 是集合$B$ 的子集。而如果教师能够通过实际生活中的集合来引导，例如用水果类比来表达集合概念(如图1“所有苹果的集合是水果的子集”)，这样不仅能帮助学生建立起更形象的理解，还可以激发他们对数学语言的兴趣与好奇心。

Figure 1. Demonstration diagram of the concept of sets

图1. 集合的概念演示图

在数学教学中，符号不仅是表述概念的工具，它们往往能够塑造学生的认知框架，从事物的具体背景中抽象出一般规律，并用数学语言予以表征[2]。例如，对于负数的学习，许多学生常常会感到困惑。以负数的表示为例，符号“−”不仅代表着量的减少，更反映了数轴上的位置。教师可以通过图示(如图2)来讲解：在数轴上，数字“−3”标记的是在零的左侧，而其与正数“3”的关系是基于对称性的概念。这种形象化的展示使得抽象的负数变得生动而易懂，也让学生在真实的数轴中体会到其含义。

Figure 2. Number axis symmetry to demonstrate the concept map of negative numbers

图2. 数轴对称性来演示负数的概念图

2.2. 意义的构建

符号构建是数学学习中更为复杂的部分，它要求学生在理解符号的基础上，将这些符号与现实世界和数学概念联系起来，通过实际问题引导学生去构建意义。例如，以函数的概念为例，假如有一个函数表示汽车的行驶距离与时间的关系$d=\frac{v}{t}$ ，其中$d$ 为距离，$v$ 为速度，$t$ 为时间，通过让学生实际测量不同时间段内汽车行驶的距离，学生不仅能看到$d$ 与$t$ 的关系，还能体会到速度的概念如何影响行驶的距离，这样的实际应用，让学生在具体情境中感受到函数不仅仅是符号的组合，而是生活中普遍存在的规律。

此外，公式与定理的形式也对学生的认知过程产生深远影响。以勾股定理$a^2+b^2=c^2$ 为例，若教师仅仅灌输公式的死记硬背，学生可能在考试中能正确运用，但在面对实际问题时却会无从下手。而如果教师通过几何图形的展示(如下图3)与实际应用的结合，让学生在理解直角三角形各边关系的基础上自己使用这一公式，那么数学语言的“意义”便会在他们的心中生根发芽。

Figure 3. Zhao Shuang’s string diagram demonstration of the Pythagorean theorem diagram

图3. 赵爽弦图演示勾股定理图

2.3. 示例分析

一种有效的数学语言教学，首先应当注重符号的引入与使用。对学生而言，理解这些符号不仅仅是掌握其定义，更重要的是领悟其逻辑结构和内在联系。

以线性方程为例，对于方程$y=mx+b$ ，其中，$m$ 为斜率，$b$ 为截距。这一公式表面上只是一种关系的表示，但它在实际中的意义却极为丰富。若学生仅仅将其视为抽象的符号，他们可能在计算中迷失方向，无法将理论应用于实际情境。然而，通过Geogebra绘制图象(如图4)，让学生观察函数图象的倾斜程度与直线位置，从而给予他们直观的理解，达到从符号到意义的转变。

Figure 4. Linear equations creating slider demo charts with GeoGebra

图4. 线性方程用GeoGebra创建滑动条演示图

在“面积”概念的教学中，以长方形面积公式为例，教师可以通过以下方式利用具体图形展示来引导学生理解其背后的逻辑。首先，教师可以引入一个实际的长方形模型，比如一张长方形的卡片，然后面向全体同学设问：“可以用小正方形铺设在长方形内来确定长方形的大小吗？”，以此问题为背景，组织同学们通过具体的探究情景，引发同学们初步探讨长方形面积概念。接着，请同学到黑板上绘制一个长为5 cm、宽为4 cm的长方形，教师拿出剪切好的边长为1 cm的小正方形。此时，引导学生观察黑板上绘制好的长为5 cm、宽为4 cm的长方形和边长为1 cm的小正方形，启发学生观察思考后，引导同学们主动到黑板上操作，让学生感悟到：这个长方形的长度可以放置5个小正方形，而宽度可以放置4个小正方形。接着提问：“整个长方形可以放下多少个小正方形？”，经过图形演示(如图5)直接观察，让同学们可直观得出：这个长方形可以放置20个小正方形。

Figure 5. Demonstrate the derivation of the area of a rectangle using a square schematic diagram

图5. 用正方形演示推导长方形的面积示意图

教师随后指出：“因此，这个长方形的面积是20平方厘米，因为每个小正方形的面积为1平方厘米。”接着，教师引导学生进一步分析：“我们发现，长方形的长度是5厘米，这相当于5个小正方形的边长；宽度是4厘米，这相当于4个小正方形的边长。因此，总共的小正方形数量等于长度乘以宽度，即5 × 4 = 20。所以，长方形的面积等于长度乘以宽度。”为了加深学生的理解，教师还可以展示不同尺寸的长方形，让学生亲自用小正方形进行铺设，体验推导长方形面积公式的过程。此外，教师可以提出一些富有挑战性的问题鼓励学生思考，如：“如果长方形的长度和宽度都扩大为原来的2倍，面积会怎样变化呢？”此类问题将引导学生运用长方形面积公式进行推理和思考。通过具体的图形展示和互动引导，学生直观地理解长方形面积公式背后的逻辑。通过这样的教学活动，符号与意义的连接更加紧密，学生的认知过程也得到了有效地促进。

反思与总结：课堂观察记录显示，学生在掌握抽象概念时遇到困难，这导致了符号理解与意义构建的障碍。为帮助学生从直观层面理解抽象概念，我们采取了几种有效的教学策略。

首先，采用视觉化教学。通过创建滑动条演示，并借助动态工具GeoGebra，展示符号与图形之间的动态关系，帮助学生直观地理解符号的概念和意义。

其次，实施情境教学。通过用小正方形对长方形进行铺设，帮助学生直观理解长方形的面积，从而促进符号与意义的构建。这种方法有效激发了学生的学习兴趣和参与度。

最后，引导学生进行反思性学习。我们鼓励同学们在学习过程中进行反思，通过反思和内化过程，巩固所学内容。这样的教学策略不仅提升了学生的理解能力，也增强了他们的学习积极性。

3. 符号与意义的转化：认知过程的探究

3.1. 认知过程的探讨

在数学学习中，符号是基础，但如何将这些符号转化为意义则是教育的核心挑战。这一过程不仅涉及符号的理解，更是学生认知能力发展的重要组成部分。符号与意义的转化可以被视为一个多层次的认知活动，要求学生在具体实例、抽象思维和实际应用之间不断游走与反思。以下是这一转化过程的详细探讨，以及相应的流程图框架。

1) 具体实例的体验：学生通过实际操作和观察，接触到数学概念的具体实例。比如，使用物体进行测量，或者通过实验数据来理解概率。

2) 符号的引入与理解：在获得具体实例后，教师引导学生学习相关的数学符号和公式。此时，学生需要理解符号的定义及其在数学语言中的地位。

3) 抽象思维的发展：学生在理解符号后，逐渐过渡到抽象思维阶段，开始将符号与其背后的数学概念建立联系。这一过程需要学生不断进行思考、推理与比较。

4) 实际应用的探索：通过设计与实际生活相关的情境，学生将抽象的数学符号应用于实际问题的解决中，进一步深化对数学概念的理解。

5) 反思与内化：最后，学生需要对整个学习过程进行反思，整合所学知识，形成内化的认知结构。这一阶段有助于学生建立更为复杂的数学思维框架，促进长期记忆的形成。

图6是“符号与意义的转化”过程的流程图框架，展示了认知过程的各个环节及其相互关系：

Figure 6. Flowchart of the process “Transformation of Symbols and Meanings”

图6. “符号与意义的转化”过程的流程图

通过对认知过程的探讨和符号与意义转化流程图的分析，可以看出，符号与意义的转化是数学语言学习中的重要环节，涉及学生认知能力的各个层面。在有效的情境化和视觉化教学中，除了关注转化过程本身，更重要的是将抽象思维与实际情境的应用相结合，帮助学生在反思中内化知识，既提升他们的关键能力，又帮助他们克服了思维障碍。

3.2. 认知过程的案例分析

数学语言的核心在于符号与意义之间的转化，涉及多层次的认知活动。在这一过程中，学生需要对所学内容进行内化与重构。以弧度制的概念为例，高中数学中的弧度制同样涉及符号与意义之间的转化，学生需要通过多层次的认知活动来理解这一概念。弧度制是角度的一种测量单位，定义为圆的弧长与半径的比值。具体来说，当圆的弧长为弧的半径时，所对应的中心角为1弧度。简言之，弧度$\alpha$ 的计算公式为：$\left|\alpha \right|=\frac{s}{r}$ ，其中，$s$ 为圆弧的长度，$r$ 为圆的半径。对于学生而言，理解弧度的真正意义，不仅仅是在于掌握公式本身，更在于能够将这一概念与直观的几何图形联系起来。以下是通过弧度制来帮助学生内化与重构的几个方面：

1) 视觉化：让学生观察一个单位圆(半径为1的圆)，并通过实际测量不同的弧长，理解弧长与半径之间的关系。例如，可借助希沃白板中数学画板(如下图7)，当弧的长度为$\pi$ 时，相应的中心角为$\pi$ 弧度(相当于${180}^{\circ }$ 度)，学生可以通过旋转的视觉模型来加深理解。

Figure 7. Demonstration of radian mapping with the math drawing board in the Seewo whiteboard

图7. 希沃白板中数学画板演示弧度制图

2) 互动活动：通过活动让学生测量不同半径圆的弧长，尝试找出不同角度(如${30}^{\circ }$ ，${45}^{\circ }$ 等)的弧度值。这有助于他们将具体的数值与弦的直观理解结合起来。

3) 公式推导：让学生从圆的周长$C=2\pi \cdot r$ 出发，推导出弧度制的公式，帮助他们理解弧度与圆周之间的关系。这种基于已知知识的推导有助于他们加深对弧度概念的掌握。

4) 应用场景：介绍弧度在实际应用中的重要性，如在物理学、工程学中的应用，让学生明白弧度作为一种测量角度的单位为什么更为便利，尤其是在涉及三角函数的计算时。

总结与反思：根据课堂上学生的表现和观察记录，可以看出学生的学习困难主要集中在以下几个方面：对符号转化为意义的认知思维不足，以及在个别符号与实际情境之间联系不明显时，学生在符号与意义的转化过程中出现思维障碍，无法建立公式与实际意义之间的联系。

为应对这种情况，我们引入了视觉化教学，借助希沃白板中的数学画板或使用几何软件GeoGebra绘制可视化图形，从直观的角度帮助学生理解符号的意义。此外，我们还让同学们上讲台动态演示弧度角的变化，亲身体验弧度制的内涵与外延，进而实现符号到认知过程的转化。

通过这些教学策略，课堂教学达到了事半功倍的效果，学生的理解与参与度显著提升。

3.3. 认知理论的支持

3.3.1. 皮亚杰的认知发展理论

皮亚杰的认知发展理论是引导学生在数学学习中如何从符号到意义转化的关键。他将认知发展分为四个阶段：感知运动阶段、前运算阶段、具体运算阶段和形式运算阶段。每个阶段不仅反映了学生思维的复杂性，也影响了他们对数学符号和概念的理解。

在具体运算阶段，学生通常依赖直观的、具体的事物进行思考。此时，他们的理解往往停留在符号的表面，缺乏对符号背后深层意义的掌握。这一阶段的学生能够处理具体的数学操作。例如，许多学生在学习分数时，可能会正确使用符号，但对分数的实际意义却理解不足。此时，教师的任务是通过具体实例和情境活动，帮助学生从具体的经验转向抽象的理解。教师可以利用具体的物体(如切分苹果)来帮助学生构建对分数的直观理解，从而促进符号与意义之间的转化。

在形式运算阶段，学生的思维能力显著提升，能够灵活运用符号进行更高级的抽象思考。他们开始理解符号不仅仅是数字或公式的代表，更是表达复杂数学关系的工具。在这一阶段，学生能够将抽象的数学概念与实际问题相结合，进行逻辑推理和问题解决。这时，教师应设计与学生生活紧密相关的实际问题，鼓励他们将抽象符号与具体情境相联系，进一步深化对符号意义的理解。

皮亚杰的理论不仅揭示了认知发展的阶段性特征，也为我们理解“符号与意义的转化机制”提供了重要视角。在这一过程中，学生需要在经验、符号和抽象概念之间不断建立联系。

1) 具体到抽象的转化：学生首先通过具体的经验(如测量、实验)接触到数学概念。此时，教师的任务是引导学生从具体的实例中提取出符号，并理解其表达的意义。例如，在教授几何图形时，教师可以通过实际测量物体的边长，引导学生逐步理解相关的几何符号及其背后的概念。

2) 符号的内涵理解：在学生掌握了符号的基本定义后，教师需要帮助他们进行更深层次的思考。学生应学会将符号与其在数学语言中的逻辑结构相联系。比如，在学习函数概念时，教师可以通过图示化的方式，让学生观察不同函数图像的变化，从而理解不同符号所表达的数学关系。

3) 反思与内化：最后，学生需要对他们的学习过程进行反思，将所学的符号和意义整合为一个更为复杂的认知结构。通过反思，学生能够识别自身理解中的误区，从而在后续学习中更有效地应用新知识。

3.3.2. 维果茨基的社会文化理论

维果茨基的理论强调社会文化背景和社会互动在认知发展中的重要性。他提出“最近发展区”，是学生在他人帮助下能够达到的潜在发展水平。这意味着学生不仅依靠个人能力理解符号，还需要通过互动和协作将这些符号转化为有意义的理解。

在数学教育中，符号通常被视为抽象的工具，而维果茨基的理论则鼓励通过互动将其转化为具体的意义。以下是对这一过程的深入分析：

1) 社会互动和意义建构：维果茨基认为，符号的意义通过社会互动逐步构建。在数学课堂中，通过小组讨论和教师指导，学生能够在同伴互助中加深对符号的理解。例如，学生可以通过讨论函数的实际应用，理解其在不同场景中的意义。

2) 语言作为思维工具：维果茨基强调语言在思维发展中的作用。数学符号作为一种特殊的语言，帮助学生进行复杂的思维活动。教师应鼓励学生用自己的语言解释数学符号，这不仅促进了符号意义的内化，也增强了学生的数学表达能力。

3) 协作学习：在协作学习中，教师和学生共同参与，学生通过与同伴的互动探索符号背后的意义。通过这种方式，逐步提升对符号和概念的理解。例如，在学习几何概念时，通过小组合作解决问题，学生能够更好地理解几何符号的实际应用。

4) 情境化学习与认知发展：维果茨基重视情境化学习，即在真实情境中运用知识。通过为学生创造真实的数学应用场景，符号的意义得以在具体情境中显现。例如，通过测量实际物体的体积，学生能够将体积公式从符号转化为实际意义。

在实践中，教师可以设计符合维果茨基理论的活动，将数学符号的抽象性与学生的现实经验相结合，促进符号向意义的转化。这种教学方式不仅能提高学生的理解能力，还能激发他们的学习兴趣和动机，达到更高层次的认知发展。

3.3.3. 建构主义学习理论

建构主义学习理论认为，学习被视为一种积极的建构过程，它不仅在于知识的获取，更在于知识的内化和意义的建构。建构主义强调学习应发生在真实而有意义的情境中，学生通过与情境的互动，逐步建构对知识的理解。在数学语言教学中，这意味着教师需要提供丰富的学习情境和资源，让学生在探索中理解符号的意义。建构主义认为，学习是知识的主动构建者，而不是被动的接受者。在符号与意义的转化中，学生需要经历以下几个阶段：

1) 情境体验：学生通过具体的情境和实例感受数学符号。例如，在学习勾股定理时，通过实际测量和几何图形展示，使学生理解三角形边长之间的关系。

2) 抽象思维：学生逐渐从具体的情境中抽象出一般规律，形成对符号的深刻理解。这一过程需要教师引导学生进行深入思考和推理。

3) 知识内化：通过反思和交流，学生将所学知识内化，形成稳定的认知结构。反思是建构主义学习的重要组成部分。在学习过程中，学生需要不断反思自己的认知过程，以调整和完善对符号的理解。通过质疑和反思，学生能够更深入地理解符号的意义，并在不同情境中灵活运用。

建构主义学习理论为数学语言教学提供了重要的理论支持。通过符号与意义的转化机制，学生能够在实际情境中主动构建知识，实现从符号到意义的深刻理解。这种学习模式不仅提升了学生的认知能力，也促进了其数学思维的发展。

4. 数学语言教学的有效策略

智慧的教育实践者需要拥有高水平的策略能力，其具体包括眼力和策划力[3]。通过案例的教学实践，我们运用情境化和视觉化策略，尝试构建一个基于学生理解能力提升的数学语言教学体系。这种基于情境化和视觉化的教学体系是可行且有效的。因此，在具体的教学实践中，教师需要结合学生的学习情况和教学实际，根据个体差异，适应数学学科核心素养要求，选择并融合这些教学策略，并不断调整和完善。以下是几种推荐的策略：

4.1. 情境教学法

创建实际应用场景，让学生在真实的生活情境中学习，以增强学生的实际应用能力。以立体几何体的体积公式为例，教师可以引导学生测量实际的容器(如水杯、鱼缸等)的体积。通过实际测量和计算，学生能够更好地理解体积的概念。教师可以进一步引导学生使用面积公式来进行计算，鼓励他们思考桌面上放置的物品(如课本、文具等)所占用的空间。在这一过程中，学生不仅学会了如何计算体积，还能意识到数学在日常生活中的重要性，增加了他们的学习动机和兴趣。再如，在教授函数概念时，教师可以通过当日气温变化的图像，让学生观察温度随时间的变化。让学生在图形中找到规律，逐步引导他们理解“函数”这一抽象概念。通过逐步引导，学生才能实现从符号到意义的自然过渡。

4.2. 合作学习

通过小组讨论和合作解决问题，教师可以激发学生之间的交流与思维碰撞，促进深层次的学习，学生在互相解释时，有助于其思想的深化和概念的内化。在一次关于代数方程的课堂上，教师将学生分成小组，每组被要求解决一个实际问题，比如“如果一个篮球的直径是30厘米，求它的表面积。”在这个过程中，学生们需要共同讨论如何应用表面积公式$S=4\pi \cdot r^2$ 来找到答案。通过互相解释自己的思路和计算步骤，学生不仅加深了对公式的理解，还能在小组内分享不同的解题方法和经验。这样的合作氛围使得学生在交流中形成了更为系统的数学思维，并且增强了他们的团队协作能力。

4.3. 视觉化教学

整合“数与形”，助力形象思维[4]，利用图形、图示和动态工具来帮助学生直观地理解抽象的数学概念，能够极大地提升他们的学习效果。以函数的概念为例，教师可以运用动态几何软件(如GeoGebra)来展示函数的变化。当教师输入不同的函数表达式时，学生们可以实时观察到图像的变化和形状的转变。比如，输入二次函数$y=a{x}^2+bx+c$ 时，学生能够看到抛物线的开口方向和宽窄程度随参数$a$ 的变化而变化。通过这种直观的视觉体验，学生不仅能更好地理解函数的性质，还能在思维上形成对数学概念的深刻感悟，进而培养其抽象思维能力。从而缩短完成教学任务的时间，以此促进数学核心素养的发展[5]。

4.4. 反思性学习

这一策略旨在鼓励学生在学习后进行个人反思，帮助他们整理和内化自己的认知过程。在一次关于概率的课后，教师可以要求学生写一篇短文，讨论他们在理解概率概念时遇到的困难，以及他们是如何克服这些困难的。比如，学生可能在计算多个事件的联合概率时感到困惑，此时教师可以引导他们回顾课堂上所使用的公式和实例，让他们重新审视自己的思维过程。通过这种写作或讨论，学生能够理清思路，深化对概念的理解，并将反思的成果转化为未来学习的动力。这一过程不仅有助于学生自我评估，也培养了他们独立思考和解决问题的能力。再如，也可以让学生在学习后鼓励学生讨论，教师可以组织一个反思小组讨论会，通过讨论，学生可以互相帮助，澄清概念，并在讨论中深化自己的理解，提升他们的数学学习效果。

通过多样化的教学策略，能够有效地促进学生对数学语言的理解。在真实的情境中学习、合作中成长、视觉化思考、反思性总结，构成了一幅丰富多彩的数学学习画卷。每一种策略都如同一条通向知识的桥梁，帮助学生跨越从符号到意义的深渊，领略数学的魅力与奥妙。

5. 结论

通过数学语言的认知转化与教学策略创新，我们发现数学语言不仅是数学中符号的简单运用，它更是一个复杂的认知结构与学习过程的体现。通过具体的教学实例与策略，将符号与实际情境(问题)结合，可以帮助学生在思维的渠道中架起一座桥梁，使之更具有生命意义。一旦实现这种教学策略的创新转变，既是对学生认知的引导，又能激发学生对知识渴望与探求，推动学生深层次思维发展。这是新课标和新高考对数学语言教学的要求，也是未来数字化教学的发展趋势。