矩阵加权网络下基于自适应控制和动态事件触发策略的多智能体系统一致性

Consensus of Multi-Agent Systems Based on Adaptive Control and Dynamic Event-Triggered Strategies under Matrix-Weighted Networks

摘要: 本文采用自适应控制和事件触发策略研究了矩阵加权网络下多智能体系统的一致性问题。不同于传统的纯量加权网络，智能体及其邻居之间的通信由正定或半正定的矩阵刻画。利用矩阵权值将更有利于反映智能体之间的逻辑依赖关系。结合动态事件触发策略设计了两种不同的自适应控制协议，即基于边的自适应协议和基于节点的自适应协议，这些控制协议具有灵活调整控制输入的性能。给出了实现一致性的充分条件，并分析了芝诺行为的排除。最后，通过数值仿真验证了理论分析的有效性。

Abstract: This paper endeavors to investigate the consensus problem for multi-agent systems under matrix-weighted networks by employing adaptive control and event-triggered strategies. Different from conventional scalar-weighted networks, the interconnections among agents and their neighbors are characterized by positive definite or positive semi-definite matrices. The utilization of matrix weights is more beneficial to reflect the logical inter-dependency among agents. Two different adaptive control protocols, namely edge-based adaptive protocol and node-based adaptive protocol, are designed in combination with dynamic event-triggered strategies. These protocols can facilitate the flexible manipulation of control inputs. Sufficient conditions for achieving consensus are provided and the exclusion of Zeno behavior is analyzed. Finally, the validity of the theoretical analysis is verified through numerical simulation.

1. 引言

多智能体系统(MASs)，是由一组具有通信功能的智能体组成的系统，在自然系统和人工系统中广泛存在。这些系统使个体通过通信、竞争或合作来完成更复杂的任务。近年来，随着计算机网络的快速发展，多智能体系统的相关研究引起了更多的关注，相关成果被广泛应用于各个领域，包括无人机的协同控制[1]、分布式传感器网络[2]、编队控制[3]等。

一致性问题在计算机科学领域具有相当长时间的历史。在一个MAS中，实现所有智能体状态的一致是一个基本的挑战，称为一致性问题[4]。在[5]中，讨论了无领导者情形下具有切换拓扑和时滞的多智能体系统的渐近一致性问题。在[6]中，讨论了具有动态领导者的分布式快速有限时间一致性问题，其中领导者具有非零的外部输入。

然而，现有的大量结果都是基于纯量加权得出的。与传统的纯量加权算法相比，当MAS的个体状态是高维时，矩阵加权算法的引入能够充分刻画智能体之间的相互依赖，使用矩阵来定义多智能体网络边的权值更为高效和准确。例如，在社会学领域中，当一群人讨论多个话题时，矩阵权重的引入有利于刻画话题之间的多维状态，如[7]中利用矩阵权值研究了社会网络中一系列相互关联的观点的演化，并探索了这些观点的最终收敛性。矩阵加权还广泛应用于工程和科学领域中，如可控性[8]、群体控制与估计等，采用矩阵加权算法已成为解决此类问题的一种方案[9]-[11]。在[12]中，基于矩阵加权的零空间理论，给出了MAS全局指数地实现平均一致的充分必要条件，并给出了实现全局一致性的代数条件和拓扑条件，且推导了实现聚类一致的条件。类似地，在[11]中，讨论了矩阵加权交换网络中，关联积分网络中正生成树的存在对平均一致性的实现的作用。在[12]的研究中，给出了在结构平衡图的条件下，通过将矩阵加权拉普拉斯算子进行规范变换能够实现二分一致性。另外，MASs之间的通信交流需要大量的存储空间和交换通道，而在实际应用中，智能体的存储空间和计算能力都是有限的，这产生了矛盾。通过设计有效算法，降低事件触发频率成为研究的一个热点[13]-[15]。

同时，在实际应用中，外部扰动往往会影响系统的性能[16] [17]。自适应控制策略的使用可以帮助智能体适应外界环境和干扰的动态变化[12] [18]。基于上述考虑，本文研究矩阵加权网络下具有自适应控制和事件触发策略的多智能体系统的平均一致性问题。一种新的自适应控制协议被用于解决平均一致性问题，本文在矩阵加权网络的基础上，通过设计动态自适应参数，从而能够更灵活地处理智能体的控制增益，并保证系统趋于一致性的速度。在自适应策略的基础上，结合了一类具有动态辅助变量的动态事件触发策略，通过设置事件触发条件，当误差向量违反事件触发条件时，事件才会触发，从而避免了连续的信息交互。

本文的结构安排如下：首先，对用到的术语进行了解释，并介绍了基础知识和相关引理。其次，提出了矩阵加权网络下基于边的事件触发自适应控制协议，给出了系统在设计的事件触发条件下实现平均一致性的充分条件并排除了芝诺行为。随后，介绍了矩阵加权网络下基于节点的事件触发自适应控制协议，给出了实现一致性的充分条件。最后，仿真结果验证了理论分析的有效性。

符号说明：$R^N$ 和$R^{\text{n}\times N}$ 分别表示n维欧氏空间和$n\times N$ 维实矩阵。$1_N\in R^N$ 是所有元素为$1$ 的列向量，0表示全为零的列向量或矩阵。对于实对称矩阵$A$ ，$A>0$ $\left(\ge 0\right)$ 表示A是正定的(半正定的)。$E_n$ 代表$n$ 维单位矩阵。$\Vert \cdot \Vert$ 分别表示向量的欧氏范数和矩阵的二范数。令${\sigma }_{\max }\left(W\right)$ 表示矩阵$W$ 的最大奇异值，当$W$ 对称时，${\sigma }_{\max }\left(W\right)=\Vert W\Vert$ 。$\otimes$ 代表Kronecker积。定义$x\left(t\right)={\left[x_1^{\text{T}},\cdots ,x_N^{\text{T}}\right]}^{\text{T}}$ ，${\tilde{x}}_i={\left[{\tilde{x}}_1^{\text{T}},\cdots ,{\tilde{x}}_N^{\text{T}}\right]}^{\text{T}}$，$e\left(t\right)={\left[e_1^{\text{T}},\cdots ,e_N^{\text{T}}\right]}^{\text{T}}$ 且$\overline{x}={\left[{\overline{x}}_1^{\text{T}},\cdots ,{\overline{x}}_N^{\text{T}}\right]}^{\text{T}}$，$x_i$ ，${\tilde{x}}_i$ ，$e_i\in {ℝ}^n$ ，$x_i=\frac{1}{N}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{x}_i}$ ，$i=1,\cdots ,N$ 。

2. 预备知识和问题描述

2.1. 矩阵加权图

N阶MASs拓扑图由矩阵加权无向图$\mathcal{G}$ 表示，其中$\mathcal{G}$ 由三元组$(\mathcal{V},ℰ,\mathcal{A})$ 来描述。其中，$\mathcal{V}=\left\{v_1,\cdots ,v_N\right\}$ 表示节点集，$ℰ=\left\{e_{ij}=\left(v_i,v_j\right)|v_i,v_j\in \mathcal{V},i\ne j\right\}$ 表示边集，$\mathcal{A}=\left\{A_{\text{ij}}\in {ℝ}^{{}^{n\times n}}|\left(v_i,v_j\right)\in ℰ,A_{\text{ij}}=A_{\text{ji}}\ge 0\right\}$ 表示邻接矩阵集。

当智能体$i$ 和$j$ 之间存在通信时，边$e_{ij}$ 对应的邻接矩阵$A_{\text{ij}}$ 是半正定的。反之，当智能体$i$ 和智能体$j$ 之间没有通信时，邻接矩阵$A_{\text{ij}}$ 为$0$ 。此外，对任意的$i$ ，$i\in \left\{1,\cdots ,N\right\}$ ，$A_{ii}=0$ 。定义节点$v_i$ 的邻居集为${\mathcal{N}}_i=\left\{v_j\in \mathcal{V}|\left(v_i,v_j\right)\in ℰ\right\}$ 。节点$v_i$ 的出度可定义为${\mathrm{deg}}_{in}\left(v_i\right)={\mathrm{deg}}_{out}\left(v_i\right)={\displaystyle {\sum }_{j=1}^N{A}_{ij}}$ ，系统的出度矩阵定义为$\mathcal{D}=diag\left\{D_1,\cdots ,D_N\right\}$ ，其中$D_i={\displaystyle {\sum }_{j\in N_i}{A}_{ij}}$ 。定义拉普拉斯矩阵为$ℒ=\mathcal{D}-\mathcal{A}$ 。由于拓扑图是无向的，所以$\mathcal{A}$ 和$ℒ$ 都是实对称矩阵。由$ℒ$ 的定义可知，$ℒ1_{nN}=0$ 。令${\lambda }_{\min }$ 和${\lambda }_{\max }$ 分别为$ℒ$ 的最小特征值和最大特征值，且${\lambda }_{\min }=0$ 。图$\mathcal{G}$ 中节点$v_i$ 和节点$v_j$ 之间的路为，其中$\left(v_k,v_{k+1}\right)\in ℰ$ ，$k=i,\cdots ,j-1$ 。如果节点$v_i$ 和$v_j$ 之间存在一条路，则称节点$v_i$ 和$v_j$ 是连通的。如果在$\mathcal{G}$ 的任意两个不同的节点之间都存在一条路，我们就称图$\mathcal{G}$ 是连通的。

2.2. 问题描述

考虑一个由N个智能体组成的MAS，每一个智能体都具有如下动态方程：

${\dot{x}}_i\left(t\right)={\dot{u}}_i\left(t\right)，\forall i=1,\cdots ,N$ (1)

其中，$x_i\left(t\right)$ 、$u_i\left(t\right)\in {ℝ}^n$ 分别是智能体$i$ 在$t\in \left[0,\infty \right)$ 处的状态向量和控制输入。(1)中描述的MAS渐近实现一致当且仅当

$\underset{t\to \infty }{\lim }\Vert x_i\left(t\right)-x_j\left(t\right)\Vert =0，\forall i,j\in 1,\cdots ,N$

对任意的初始条件都成立。定义$ℛ=R\text{ange}\left\{1_N\otimes E_n\right\}$ 为一致性空间，MAS实现全局渐近一致当且仅当$x$ 全局渐近地趋近于$ℛ$ 。我们的目标是设计具有事件触发策略的自适应分布式控制协议来解决基于矩阵加权网络的一致性问题。

2.3. 相关假设和引理

现在，我们给出几个引理，这些引理将在后续的证明中使用。

假设2.1 图$\mathcal{G}$ 是连通的。

引理2.1 [9] [15]矩阵加权拉普拉斯矩阵$ℒ$ 是对称且半正定的，$ℒ$ 的零空间有如下形式：$\mathcal{N}\left(ℒ\right)=ℛ\left(1_N\otimes E_n\right)+\mathcal{S}$ ，其中$\mathcal{S}\triangleq \left\{x={\left[x_1^{\text{T}},\cdots ,x_N^{\text{T}}\right]}^{\text{T}}\in {ℝ}^{nN}|\left(x_i-x_j\right)\in \mathcal{N}\left(A_{ij}\right),\forall \left(v_i,v_j\right)\in \epsilon \right\}$ 。此外，如果$\mathcal{N}\left(ℒ\right)=ℛ\left(1_N\otimes E_n\right)$ ，则对所有的$i=1,\cdots ,N$ ，有$D_i>0$ 。

引理2.2 [5]假设$\mathcal{G}$ 是一个无向连通矩阵加权图，下面的性质成立

${\lambda }_{n+1}=\underset{\begin{array}{c}x\ne 0_{nN}\\ x^{\text{T}}\left(1_N\otimes E_n\right)=0_n^{\text{T}}\end{array}}{\min }\frac{x^{\text{T}}ℒx}{x^{\text{T}}x}$ (2)

引理2.3 [19] (比较原理)考虑微分方程$\frac{\text{d}u}{\text{d}t}=f\left(t,u\right)$ ，$u\left(t_0\right)=u_0$ ，其中$f\left(t,u\right)$ 连续且满足Lipschitz条件。令$\left[t_0,T\right)$ 是$u\left(t\right)$ 的最大存在区间，T可以是无穷大。若对任意的$t\in \left[t_0,T\right)$ ，$v=v\left(t\right)$ 满足$\frac{\text{d}v}{\text{d}t}\le f\left(t,v\right)$ ，$v\left(t_0\right)\le u_0$ ，则$v\left(t\right)\le u\left(t\right)$ ，$t\in \left[t_0,T\right)$ 。

3. 主要结论

在这一部分，我们准备给出MAS (1)实现一致性的相关结论。在结合事件触发策略的背景下，提出了两类控制协议。一种是基于边的事件触发自适应控制协议，其中每条边的权重可以随时间变化；另一种是基于节点的事件触发自适应控制协议，给每一个节点一个可以随时间变动的权重系数。

3.1. 基于边的事件触发自适应控制

在矩阵加权网络下，我们考虑将自适应控制策略和事件触发策略相结合来解决MAS (1)的一致性问题。每个智能体$i$ 的控制输入可以描述如下：

$u_i\left(t\right)=-{\displaystyle \sum _{j=1}^N{z}_{ij}}\left(t\right)A_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)$ (3)

${\dot{z}}_{ij}\left(t\right)=\frac{1}{2}{\zeta }_{ij}{\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)}^{\text{T}}{A}_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)$ (4)

其中，${\zeta }_{ij}$ 是一个正常数且${\zeta }_{ij}={\zeta }_{j\text{i}}$ ，自适应耦合权重$z_{ij}\left(t\right)$ 满足$z_{ij}\left(0\right)=z_{ji}\left(0\right)>0$ 。这里${\tilde{x}}_i\left(t\right)=x_i\left(t_k^i\right),\forall t\in \left[t_k^i,t_{k+1}^i\right)$ ，其中$t_k^i$ 表示第$i$ 个智能体的第$k$ 个事件触发状态。显然，控制输入$u_i\left(t\right)$ 的更新与${\tilde{x}}_i\left(t\right)$ 和${\tilde{x}}_j\left(t\right)$ 有关。事件触发机制描述如下：定义误差向量为$e_i\left(t\right)={\tilde{x}}_i\left(t\right)-x_i\left(t\right),\forall i\in \left\{1,\cdots ,N\right\}$ ，表示当前状态与事件触发状态的差值。显然，在$t_k^i$ 时刻，有$e_i\left(t_k^i\right)=0$ 。当误差向量$e_i\left(t\right)$ 达到某一临界值时，智能体$i$ 被触发，状态向量${\tilde{x}}_i\left(t\right)$ 被更新。同时，智能体$i$ 将信息传递给智能体$j$ ，并更新智能体$j$ 的控制输入$u_j\left(t\right)$ 。类似地，当智能体$j$ 被触发时，它的状态向量${\tilde{x}}_j\left(t\right)$ 被更新，并将信息传递给它的每个邻居。

我们定义事件触发函数$H_i\left(t\right)$ 为：

$H_i\left(t\right)\triangleq e_i^{\text{T}}\left(t\right){\widehat{D}}_i{e}_i\left(t\right)-\frac{1}{8}{{\displaystyle \sum _{j\in {\mathcal{N}}_i}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)}}^{\text{T}}{A}_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)$ (5)

我们定义${\widehat{D}}_i={\displaystyle \sum _{j=1}^N{A}_{ij}}{z}_{ij}^2\left(t\right)$ 为广义的出度。事件触发时间定义如下：

$t_{k+1}^i=\inf \left\{t>t_k^i|H_i\left(t\right)\ge \delta {\eta }_i\left(t\right)\right\}$

其中，${\eta }_i\left(t\right)$ 是辅助动态变量且${\eta }_i\left(0\right)>0$ 满足${\dot{\eta }}_i\left(t\right)=-{\rho }_i{\eta }_i\left(t\right)-H_i\left(t\right)$ ，${\rho }_i>\delta >0$ 是参数。根据上述描述，当事件触发函数$H_i\left(t\right)$ 大于或等于$\delta {\eta }_i\left(t\right)$ 时，智能体$i$ 被触发。

注1 基于事件触发条件$H_i\left(t\right)$ ，智能体$i$ 的事件触发过程满足如下机制：在初始事件触发时刻$t_k^i$ ，成立$e_i\left(t_k^i\right)=0$ ，不等式$H_i\left(t\right)\le \delta {\eta }_i\left(t\right)$ 自然成立。随着时间的推移，误差向量$e_i\left(t\right)$ 继续波动，直到$H_i\left(t\right)\ge \delta {\eta }_i\left(t\right)$ ，智能体$i$ 被触发，产生一个新的事件触发时刻$t_{k+1}^i$ 。在当前时刻$t$ ，智能体$i$ 的状态与其最新事件触发状态的差值满足$e_i\left(t_{k+1}^i\right)={\tilde{x}}_i\left(t_{k+1}^i\right)-x_i\left(t_{k+1}^i\right)=0$ 。此时，它满足临界误差条件，直到下一个事件触发时刻。这样的过程可以重复产生多个事件触发时刻。

定理3.1 假设2.1成立。假设MAS (1)具有一致性协议(3)和(4)，且当$H_i\left(t\right)\ge \delta {\eta }_i\left(t\right)$ 时，智能体$i$ 被触发。当$\mathcal{N}\left(ℒ\right)=ℛ\left(1_N\otimes E_n\right)$ 时，MAS (1)的一致性可以实现。此外，每个自适应耦合权重$z_{ij}\left(t\right)$ 收敛到一个有限的正值。

证明 记${\phi }_i\left(t\right)=x_i\left(t\right)-\overline{x}\left(t\right)$ ，$\phi \left(t\right)=x\left(t\right)-1_N\otimes \overline{x}\left(t\right)$ 。选取如下Lyapunov候选函数

$V\left(t\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\phi }_i^{\text{T}}}\left(t\right){\phi }_i\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \sum _{j=1}^N\frac{{\left(z_{ij}\left(t\right)-\mu \right)}^2}{2{\zeta }_{ij}}}}+\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\eta }_i}\left(t\right)$ (6)

式中，$\mu$ 为大于等于1的常数。定义$V_1\left(t\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\phi }_i^{\text{T}}}\left(t\right){\phi }_i\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \sum _{j=1}^N\frac{{\left(z_{ij}\left(t\right)-\mu \right)}^2}{2{\zeta }_{ij}}}}$ 。$V_1\left(t\right)$ 沿轨迹(1)、(3)和(4)关于时间$t$ 求导可得：

$\begin{array}{c}{\dot{V}}_1\left(t\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left({\dot{\phi }}_i^{\text{T}}\left(t\right){\phi }_i\left(t\right)+{\phi }_i^{\text{T}}\left(t\right){\dot{\phi }}_i\left(t\right)\right)}\\ +{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \sum _{j=1}^N\frac{1}{{\zeta }_{ij}}}}\left(z_{ij}\left(t\right)-\mu \right)\frac{1}{2}{\zeta }_{ij}{\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)}^{\text{T}}{A}_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)\\ =-{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\phi }_i^{\text{T}}}\left(t\right){\displaystyle \sum _{j=1}^N{z}_{ij}}\left(t\right)A_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)\\ +\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \sum _{j=1}^N\left(z_{ij}\left(t\right)-\mu \right)}}{\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)}^{\text{T}}{A}_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)\\ =-\frac{\mu }{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \sum _{j=1}^N{\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)}^{\text{T}}}}{A}_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)\\ +\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\left(e_i\left(t\right)-e_j\left(t\right)\right)}^{\text{T}}}{\displaystyle \sum _{j=1}^N{z}_{ij}}\left(t\right)A_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)\end{array}$

定义${\tilde{q}}_i\left(t\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^N{\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)}^{\text{T}}}{A}_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)$，那么有：

${\dot{V}}_1\left(t\right)=-\frac{\mu }{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\tilde{q}}_i}\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^N{e}_i^{\text{T}}}\left(t\right){\displaystyle \sum _{j=1}^N{z}_{ij}}\left(t\right)A_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)$ (7)

根据杨氏不平等，可得：

$\begin{array}{c}\left|e_i^{\text{T}}\left(t\right)z_{ij}\left(t\right)A_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)\right|\le \mu \left|e_i^{\text{T}}\left(t\right)z_{ij}\left(t\right)A_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)\right|\\ \le \mu z_{ij}^2\left(t\right)e_i^{\text{T}}\left(t\right)A_{ij}{e}_i\left(t\right)+\frac{\mu }{4}{\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)}^{\text{T}}{A}_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)\end{array}$ (8)

当基于(5)的事件触发条件满足时，

$\begin{array}{c}\dot{V}\left(t\right)={\dot{V}}_1\left(t\right)+\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\dot{\eta }}_i}\left(t\right)\\ =-\frac{\mu }{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\tilde{q}}_i}\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^N{e}_i^{\text{T}}}\left(t\right){\displaystyle \sum _{j=1}^N{z}_{ij}}\left(t\right)A_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)-\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\rho }_i}{\eta }_i\left(t\right)\\ -\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{e}_i^{\text{T}}}\left(t\right){\widehat{D}}_i{e}_i\left(t\right)+\frac{\mu }{8}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \sum _{j=1}^N{\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)}^{\text{T}}}}{A}_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)\\ =-\frac{3\mu }{8}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\tilde{q}}_i}\left(t\right)-\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{e}_i^T}\left(t\right){\widehat{D}}_i{e}_i\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^N{e}_i^{\text{T}}}\left(t\right){\displaystyle \sum _{j=1}^N{z}_{ij}}\left(t\right)A_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)-\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\rho }_i}{\eta }_i\left(t\right)\end{array}$ (9)

利用(8)，(9)可以改写为：

$\begin{array}{c}\dot{V}\left(t\right)\le -\frac{3\mu }{8}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\tilde{q}}_i}\left(t\right)-\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{e}_i^{\text{T}}}\left(t\right){\widehat{D}}_i{e}_i\left(t\right)+\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \sum _{j=1}^N{e}_i^{\text{T}}}}\left(t\right)z_{ij}^2\left(t\right)A_{ij}{e}_i\left(t\right)\\ +\frac{\mu }{4}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \sum _{j=1}^N{\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)}^{\text{T}}}}{A}_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)-\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\rho }_i}{\eta }_i\left(t\right)\end{array}$ (10)

注意到${\widehat{D}}_i\left(t\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^N{A}_{ij}}{z}_{ij}^2\left(t\right),i=1,\cdots ,N$ ，将其代入(10)，我们有：

$\dot{V}\left(t\right)\le -\frac{\mu }{8}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\tilde{q}}_i}\left(t\right)-\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\rho }_i}{\eta }_i\left(t\right)$ (11)

根据引理2.1和拉普拉斯矩阵$ℒ$ 的性质，我们得到：

$\begin{array}{c}{\left(x\left(t\right)-1_N\otimes \overline{x}\left(t\right)\right)}^{\text{T}}ℒ\left(x\left(t\right)-1_N\otimes \overline{x}\left(t\right)\right)\\ =x^{\text{T}}\left(t\right)ℒx\left(t\right)={\left(\tilde{x}\left(t\right)-e\left(t\right)\right)}^{\text{T}}ℒ(\tilde{x}(t)-e\left(t\right))\\ \le 2{\tilde{x}}^{\text{T}}\left(t\right)ℒ\tilde{x}\left(t\right)+2e^{\text{T}}\left(t\right)ℒe\left(t\right)\le 2{\tilde{x}}^{\text{T}}\left(t\right)ℒ\tilde{x}\left(t\right)+2{\lambda }_{\text{max}}{e}^{\text{T}}\left(t\right)e\left(t\right)\end{array}$

当事件触发条件成立时，有：

$\begin{array}{c}2{\tilde{x}}^{\text{T}}\left(t\right)ℒ\tilde{x}\left(t\right)+2{\lambda }_{\text{max}}{e}^{\text{T}}\left(t\right)e\left(t\right)\\ \le 2{\tilde{x}}^{\text{T}}\left(t\right)ℒ\tilde{x}\left(t\right)+2{\lambda }_{\text{max}}{\displaystyle \sum _{i=1}^N\frac{e_i^{\text{T}}\left(t\right){\widehat{D}}_i{e}_i\left(t\right)}{{\mu }_i}}\\ \le 2{\tilde{x}}^{\text{T}}\left(t\right)ℒ\tilde{x}\left(t\right)+\frac{2{\lambda }_{\text{max}}}{{\mu }_{\text{min}}}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{e}_i^{\text{T}}}\left(t\right){\widehat{D}}_i{e}_i\left(t\right)\\ \le {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \sum _{j=1}^N{\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)}^{\text{T}}}}{A}_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)+\frac{2\delta {\lambda }_{\text{max}}}{{\mu }_{\text{min}}}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\eta }_i}\left(t\right)\\ +\frac{{\lambda }_{\text{max}}}{4{\mu }_{\text{min}}}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \sum _{j=1}^N{\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)}^{\text{T}}}}{A}_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)\\ =\left(1+\frac{{\lambda }_{\text{max}}}{4{\mu }_{\text{min}}}\right){\displaystyle \sum _{i=1}^N{\tilde{q}}_i}\left(t\right)+\frac{2\delta {\lambda }_{\text{max}}}{{\mu }_{\text{min}}}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\eta }_i}\left(t\right)\end{array}$ (12)

其中，${\mu }_i$ 是${\widehat{D}}_i$ 的最小特征值，${\mu }_{\text{min}}$ 是所有${\mu }_i$ 中的最小值。根据(12)式和上述推导，可以得到如下不等式：

$\begin{array}{l}-\frac{\mu }{8}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\tilde{q}}_i}\left(t\right)\\ \le -\frac{\mu {\mu }_{\text{min}}}{8{\mu }_{\text{min}}+2{\lambda }_{\text{max}}}\left[{\left(x\left(t\right)-1_N\otimes \overline{x}\left(t\right)\right)}^{\text{T}}ℒ\left(x\left(t\right)-1_N\otimes \overline{x}\left(t\right)\right)-\frac{2\delta {\lambda }_{\text{max}}}{{\mu }_{\text{min}}}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\eta }_i}\left(t\right)\right]\end{array}$ (13)

因为$\mathcal{N}\left(ℒ\right)=ℛ\left(1_N\otimes E_n\right)$ ，所以$rank\left(ℒ\right)=\left(N-1\right)n$ ，即${\lambda }_{n+1}\left(ℒ\right)>0$ 。根据引理2.3、(11)和(13)，我们有：

$\begin{array}{c}\dot{V}\left(t\right)\le -\frac{\mu }{8}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\tilde{q}}_i}\left(t\right)-\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\rho }_i}{\eta }_i\left(t\right)\\ \le -\frac{\mu {\mu }_{\text{min}}{\lambda }_{n+1}\left(ℒ\right)}{8{\mu }_{\text{min}}+2{\lambda }_{\text{max}}}{\left(x\left(t\right)-1_N\otimes \overline{x}\left(t\right)\right)}^{\text{T}}\left(x\left(t\right)-1_N\otimes \overline{x}\left(t\right)\right)\\ +\frac{\mu \delta {\lambda }_{\text{max}}}{4{\mu }_{\text{min}}+{\lambda }_{\text{max}}}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\eta }_i}\left(t\right)-\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\rho }_i}{\eta }_i\left(t\right)\\ =-\frac{\mu {\mu }_{\text{min}}{\lambda }_{n+1}\left(ℒ\right)}{8{\mu }_{\text{min}}+2{\lambda }_{\text{max}}}{\left(x\left(t\right)-1_N\otimes \overline{x}\left(t\right)\right)}^{\text{T}}\left(x\left(t\right)-1_N\otimes \overline{x}\left(t\right)\right)\\ -\mu {\displaystyle \sum }_{i=1}^N\left[\left({\rho }_i-\frac{\delta {\lambda }_{\text{max}}}{4{\mu }_{\text{min}}+{\lambda }_{\text{max}}}\right){\eta }_i\left(t\right)\right]\end{array}$

由上面的描述，我们知道${\rho }_i>\delta >0$ ，由此我们可以得到${\rho }_i-\frac{\delta {\lambda }_{\text{max}}}{4{\mu }_{\text{min}}+{\lambda }_{\text{max}}}>0$ 。因此，$\dot{V}\left(t\right)\le 0$ 。根据LaSalle不变集原理，$x\left(t\right)$ 收敛于$\left\{x|\dot{V}\left(t\right)=0\right\}$ 中的不变集。注意到$\dot{V}\left(t\right)=0$ 意味着${\phi }_i\left(t\right)=0$ ，${\eta }_i\left(t\right)=0$ ，这意味着$\underset{t\to \infty }{\lim }{x}_i\left(t\right)=\overline{x}\left(0\right)$ 。因此，当$t\to \infty$ 时，系统(1)可以在协议(3)和(4)下实现一致。因为$\dot{V}\left(t\right)\le 0$ ，所以$V\left(t\right)$ 和${\text{z}}_{ij}(t)$ 是有界的。由于${\dot{z}}_{ij}\left(t\right)\ge 0$ ，故${\text{z}}_{ij}\left(t\right)$ 不减。因此，每个耦合权重${\text{z}}_{ij}(t)$ 可以收敛到一个有限正值。

注2 在事件触发函数$H_i\left(t\right)$ 的选择中，定义了一个关键参数${\eta }_i\left(t\right)$ ，该系数能够根据实际情况灵活调整事件触发的次数和频率，改变此系数也可以得到对应的不同形式的事件触发条件。本文采用了动态事件触发策略，它通过灵活设计触发条件和触发时刻来平衡通信效率与系统性能。传统的多智能体系统一致性控制通常要求智能体以固定的时间间隔进行通信，这种时间触发策略可能导致不必要的频繁通信，从而浪费计算资源和网络带宽。而动态事件触发策略的创新在于不再依赖于固定时间间隔，而是根据智能体的状态或误差动态决定何时触发通信。这样，只有当系统状态发生显著变化时，才进行信息交换，从而减少了通信频率，降低了系统的负担，极大地提高了多智能体系统在实际应用中的效率，并且保证了系统的一致性与稳定性。

注3 控制协议的选取采用自适应控制方法。该方法通过改变参数灵活地调整控制增益，从而改变实现一致性的速度。此外，我们的另一项重要工作是排除芝诺行为的存在。如果存在芝诺行为，那么在$t\to \infty$ 时，在有限的时间间隔内存在无数个事件触发时刻，这与我们的初始目标减少智能体之间的信息交互次数节省通信资源相违背。于是，提出下面的定理来排除芝诺行为。

定理3.2 假设2.1成立。MAS (1)具有一致性协议(3)和(4)，并且当事件触发条件$H_i\left(t\right)\ge \delta {\eta }_i\left(t\right)$ 成立时，智能体$i$ 被触发。那么除了一致性实现的情况外，连续两个事件触发时刻之间的时间间隔严格为正，我们称没有芝诺行为。

证明 通过反证法证明系统(1)不存在芝诺行为。假设系统(1)存在芝诺行为，则至少有一个个体$i$ 满足$\underset{k\to \infty }{\lim }{t}_k^i=t^{*}$ ，其中$t^{*}$ 为正常数且$t_k^i<t^{*}$ 。由(1)和(4)可知：

${\dot{e}}_i\left(t\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^N{z}_{ij}}\left(t\right)A_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)$

$\Vert e_i\left(t\right)\Vert$ 关于时间$t$ 在$t\in \left[t_k^i,t_{k+1}^i\right)$ 上的导数为：

$\frac{\text{d}\Vert e_i\left(t\right)\Vert }{\text{d}t}\le \Vert {\dot{e}}_i\left(t\right)\Vert \le {\displaystyle \sum _{j=1}^N\Vert z_{ij}\left(t\right)A_{ij}\left(t\right)\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)\Vert }$ (14)

根据定理3.1的结论，我们知道$z_{ij}\left(t\right)$ 是有界的，因此存在一个正实数$M$ 使得$z_{ij}\left(t\right)\le M$ 。由(14)可知$\frac{\text{d}\Vert e_i\left(t\right)\Vert }{\text{d}t}\le M{\varpi }_i$ ，其中${\varpi }_i=sup\Vert A_{ij}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)\Vert >0$ 。

考虑一个非负函数$\varphi :\left[0,+\infty \right)\to R_{\ge 0}$ 满足

$\dot{\varphi }=M{\varpi }_i,\varphi \left(0\right)=\Vert e\left(t_k^i\right)\Vert =0$ (15)

由引理2.3可得，$\Vert e_i\left(t\right)\Vert \le \varphi \left(t-t_k^i\right)$ ，其中$\varphi \left(t\right)=M{\varpi }_{i}t$ 为式(15)的解。由事件触发条件(5)可知，当${\Vert e_i\left(t\right)\Vert }^2\le \frac{{\eta }_i\left(0\right)}{{\lambda }_{\text{max}}}{\text{e}}^{-({\rho }_i-\delta )t}$ 时，有$H_i\left(t\right)\le \delta {\eta }_i\left(t\right)$ 。由于$\Vert e_i\left(t\right)\Vert \le \varphi \left(t-t_k^i\right)$ ，因此在下一个事件触发时刻之前，可以得到${\varphi }^2\left(t-t_k^i\right)$ 与$\frac{{\eta }_i\left(0\right)}{{\lambda }_{\text{max}}}{\text{e}}^{-({\rho }_i-\delta )t}$ 的交点时间$\widehat{t}$ 。通过求解方程${\varphi }^2(t-t_k^i)$ 从0到$\frac{{\eta }_i\left(0\right)}{{\lambda }_{\text{max}}{\text{e}}^{({\rho }_i-\delta )t}}$ 所演化的时间，可以得到两个连续的事件触发时刻$t_k^i$ 和$t_{k+1}^i$ 之间的间隔，通过求解下列方程可以得到$t_{k+1}^i-t_k^i$ 的下界$\Delta t_k^i$

$M^2{\varpi }^2{\left(\Delta t_k^i\right)}^2=\frac{{\eta }_i\left(0\right){\text{e}}^{-({\rho }_i-\delta )(t_k^i+\Delta t_k^i)}}{{\lambda }_{\text{max}}}$

上述方程等价于

$\Delta t_k^i=\sqrt{\frac{{\eta }_i\left(0\right){\text{e}}^{-({\rho }_i-\delta )(t_k^i+\Delta t_k^i)}}{{\lambda }_{\text{max}}{M}^2{\varpi }_i^2}}$ (16)

令${\epsilon }_0=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{\eta }_i\left(0\right){\text{e}}^{-({\rho }_i-\delta )t^{*}}}{{\lambda }_{\text{max}}{M}^2{\varpi }_i^2}}$ 。由(16)可得$2{\epsilon }_0\le \Delta t_k^i$ 。根据数列极限的定义，若$\underset{k\to \infty }{\lim }{t}_k^i=t^{*}$ ，则对于任意给定的${\epsilon }_0>0$ ，$\exists N_0\in Z^{+}$ ，对于$\forall k>N_0$ ，有$t^{*}-{\epsilon }_0=<t_k^i<t^{*}$ 。因此，我们有$t^{*}+{\epsilon }_0<t^{*}-{\epsilon }_0+\Delta t_k^i$ $<t_k^i<t_k^i+\Delta T_k^i\le t_{k+1}^i$ ，这与不等式$t_{k+1}^i<t^{*}$ 相矛盾，因此系统(1)的每个智能体都不存在芝诺行为。

3.2. 基于节点的事件触发自适应控制

在这一部分，针对系统(1)提出了一种基于节点的自适应事件触发控制协议。与上述基于边的协议不同，该协议对系统(1)的每一个节点采用了一个时变的权重系数$z_i\left(t\right)$ ，满足

${\dot{z}}_i\left(t\right)={\zeta }_i{\tilde{b}}_i^{\text{T}}\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)$ (17)

其中，${\zeta }_i$ ，$i=1,\cdots ,N$ 为正常数，${\tilde{b}}_i\left(t\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^N{A}_{ij}}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)$ 。则系统(1)基于节点的控制策略的控制输入$u_i(t)$ 定义如下：

$u_i\left(t\right)=-z_i\left(t\right){\displaystyle \sum _{j=1}^N{A}_{ij}}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)$ (18)

定义事件触发函数：

$J_i\left(t\right)\triangleq \frac{1}{2}{\beta }_i{\Vert e_i\left(t\right)\Vert }^2-\frac{1}{4}{\tilde{b}}_i^{\text{T}}\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)$ (19)

其中，$e_i\left(t\right)={\tilde{x}}_i\left(t\right)-x_i\left(t\right)$ 是误差向量，并定义了事件触发时间：

$t_{k+1}^i=\text{inf}\left\{t>t_k^i|J_i\left(t\right)\ge \tau {\eta }_i\left(t\right)\right\}$ (20)

其中，${\dot{\eta }}_i\left(t\right)=-{\sigma }_i{\eta }_i\left(t\right)$ ，${\sigma }_i>\tau >0$ 为参数，${\eta }_i\left(t\right)$ 为辅助动态变量，且${\eta }_i\left(0\right)>0$ 。关于${\beta }_i$ 的描述将在下面的讨论中说明。根据上述描述，当事件触发函数满足$J_i\left(t\right)\ge \tau {\eta }_i\left(t\right)$ 时，智能体$i$ 被触发。在这一部分的主要结果如下。

定理3.3 假设2.1成立。假设矩阵加权网络$\mathcal{G}$ 下的MAS (1)具有一致性协议(17)和(18)，事件触发时间在(20)中定义，则当$\mathcal{N}\left(ℒ\right)=ℛ\left(1_N\otimes E_n\right)$ 时，MAS (1)实现全局一致。此外，每个自适应耦合权重$z_i\left(t\right)$ 收敛到一个有限的正值。

证明 考虑如下Lyapunov候选函数

$V_3\left(t\right)=\frac{1}{2}{x}^{\text{T}}\left(t\right)ℒx\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^N\frac{{\left(z_i\left(t\right)-\mu \right)}^2}{2{\zeta }_i}}+\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\eta }_i}\left(t\right)$ (21)

其中，$\mu$ 为大于等于1的常数。记$V_4\left(t\right)=\frac{1}{2}{x}^{\text{T}}\left(t\right)ℒx\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^N\frac{{\left(z_i\left(t\right)-\mu \right)}^2}{2{\zeta }_i}}$ ，$b_i\left(t\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^N{A}_{ij}}\left(x_i\left(t\right)-x_j\left(t\right)\right)$ ，沿轨迹(1)、(17)和(18)对$V_4\left(t\right)$ 关于时间$t$ 求导

$\begin{array}{c}{\dot{V}}_4\left(t\right)={\left[\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\displaystyle \sum _{j=1}^N{x}_i^{\text{T}}}}\left(t\right)A_{ij}\left(x_i\left(t\right)-x_j\left(t\right)\right)\right]}^{\prime }+{\displaystyle \sum _{i=1}^N\frac{1}{2{\zeta }_i}}2\left(z_i\left(t\right)-\mu \right){\dot{z}}_i\left(t\right)\\ ={\left[\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{x}_i^{\text{T}}}{b}_i\left(t\right)\right]}^{\prime }+{\displaystyle \sum _{i=1}^N\frac{1}{{\zeta }_i}}\left(z_i\left(t\right)-\mu \right){\zeta }_i{\tilde{b}}_i^{\text{T}}\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)\\ =\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left({\dot{x}}_i^{\text{T}}\left(t\right)b_i\left(t\right)+x_i^{\text{T}}\left(t\right){\dot{b}}_i\left(t\right)\right)}+{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(z_i\left(t\right)-\mu \right){\tilde{b}}_i^T}\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)\\ =-{\displaystyle \sum _{i=1}^N{b}_i^{\text{T}}}\left(t\right)z_i\left(t\right){\displaystyle \sum _{j=1}^N{A}_{ij}}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(z_i\left(t\right)-\mu \right){\tilde{b}}_i^{\text{T}}}\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)\\ =-{\displaystyle \sum _{i=1}^N{b}_i^{\text{T}}}\left(t\right)z_i\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(z_i\left(t\right)-\mu \right){\tilde{b}}_i^{\text{T}}}\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)\end{array}$ (22)

因此，$V_3\left(t\right)$ 的导数有如下形式：

${\dot{V}}_3\left(t\right)=-{\displaystyle \sum _{i=1}^N{b}_i^{\text{T}}}\left(t\right)z_i\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(z_i\left(t\right)-\mu \right){\tilde{b}}_i^{\text{T}}}\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)-\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\sigma }_i}{\eta }_i\left(t\right)$ (23)

令${\chi }_i\left(t\right)={\tilde{b}}_i\left(t\right)-b_i\left(t\right)$ 。将${\chi }_i\left(t\right)$ 带入(23)有：

$\begin{array}{c}{\dot{V}}_3\left(t\right)=-{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\tilde{b}}_i^{\text{T}}}\left(t\right)z_i\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\chi }_i^{\text{T}}}\left(t\right)z_i\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)\\ +{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(z_i\left(\left(t\right)-\mu \right)\right){\tilde{b}}_i^{\text{T}}}\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)-\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\sigma }_i}{\eta }_i\left(t\right)\\ =-\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\tilde{b}}_i^{\text{T}}}\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\chi }_i^{\text{T}}}\left(t\right)z_i\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)-\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\sigma }_i}{\eta }_i\left(t\right)\end{array}$

根据杨氏不等式，有：

$\begin{array}{c}{\dot{V}}_3\left(t\right)\le -\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\tilde{b}}_i^{\text{T}}}\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)+\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(\frac{1}{2}{z}_i^2\left(t\right){\chi }_i^{\text{T}}\left(t\right){\chi }_i\left(t\right)+\frac{1}{2}\left(t\right){\tilde{b}}_i^{\text{T}}\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)\right)}-\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\sigma }_i}{\eta }_i\left(t\right)\\ =-\frac{\mu }{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\tilde{b}}_i^{\text{T}}}\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)+\frac{\mu }{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{z}_i^2}\left(t\right){\chi }_i^{\text{T}}\left(t\right){\chi }_i\left(t\right)-\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\sigma }_i}{\eta }_i\left(t\right)\end{array}$

因为${\chi }_i\left(t\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^N{A}_{ij}}\left({\tilde{x}}_i\left(t\right)-{\tilde{x}}_j\left(t\right)\right)-{\displaystyle \sum _{j=1}^N{A}_{ij}}\left(x_i\left(t\right)-x_j\left(t\right)\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^N{A}_{ij}}\left(e_i\left(t\right)-e_j\left(t\right)\right)$ ，可得：

$\begin{array}{c}\Vert {\chi }_i\left(t\right)\Vert \le {\displaystyle \sum _{j=1}^N\Vert A_{ij}\Vert \Vert e_i\left(t\right)\Vert }+{\displaystyle \sum _{j=1}^N\Vert A_{ij}\Vert \Vert e_j\left(t\right)\Vert }\\ ={\displaystyle \sum _{j=1}^N{\sigma }_{\text{max}}}\left(A_{ij}\right)\Vert e_i\left(t\right)\Vert +{\displaystyle \sum _{j=1}^N{\sigma }_{\text{max}}}\left(A_{ij}\right)\Vert e_j\left(t\right)\Vert \end{array}$

因此，

$\begin{array}{c}{\Vert {\chi }_i\left(t\right)\Vert }^2\le {\left({\displaystyle \sum _{j=1}^N{\sigma }_{\text{max}}}\left(A_{ij}\right)\Vert e_i\left(t\right)\Vert +{\displaystyle \sum _{j=1}^N{\sigma }_{\text{max}}}\left(A_{ij}\right)\Vert e_j\left(t\right)\Vert \right)}^2\\ \le {\left({\displaystyle \sum _{j=1}^N{\sigma }_{\text{max}}}\left(A_{ij}\right)\right)}^2{\Vert e_i\left(t\right)\Vert }^2+{\displaystyle \sum _{j=1}^N{\left({\sigma }_{\text{max}}\left(A_{ij}\right)\right)}^2}{\Vert e_j\left(t\right)\Vert }^2\\ +2\left({\displaystyle \sum _{j=1}^N{\sigma }_{\text{max}}}\left(A_{ij}\right)\Vert e_i\left(t\right)\Vert \right)\left({\displaystyle \sum _{j=1}^N{\sigma }_{\text{max}}}\left(A_{ij}\right)\Vert e_j\left(t\right)\Vert \right)\\ \le \left(\left|{\mathcal{N}}_i\right|+1\right){\left({\displaystyle \sum _{j=1}^N{\sigma }_{\text{max}}}\left(A_{ij}\right)\right)}^2{\Vert e_i\left(t\right)\Vert }^2+\left(\left|{\mathcal{N}}_i\right|+1\right){\displaystyle \sum _{j=1}^N{\left({\sigma }_{\text{max}}\left(A_{ij}\right)\right)}^2}{\Vert e_j\left(t\right)\Vert }^2\end{array}$

那么有：

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{z}_i^2\left(t\right){\chi }_i^{\text{T}}}\left(t\right){\chi }_i\left(t\right)\le {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}N}{z}_i^2\left(t\right){\left({\displaystyle \sum _{j=1}^N{\sigma }_{\text{max}}}\left(A_{ij}\right)\right)}^2{\Vert e_i\left(t\right)\Vert }^2\\ +{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}N}{z}_i^2\left(t\right){\displaystyle \sum _{j=1}^N{\left({\sigma }_{\text{max}}\left(A_{ij}\right)\right)}^2}{\Vert e_j\left(t\right)\Vert }^2={\displaystyle \sum _{i=1}^N{\beta }_i}{\Vert e_i\left(t\right)\Vert }^2\end{array}$

其中，${\beta }_i=N{z}_i^2\left(t\right){\left({\displaystyle \sum _{j=1}^N{\sigma }_{\text{max}}}\left(A_{ij}\right)\right)}^2+N{\displaystyle \sum _{j=1}^N{z}_i^2\left(t\right){\left({\sigma }_{\text{max}}\left(A_{ij}\right)\right)}^2}$ 。考虑式(21)中的Lyapunov候选函数$V_3(t)$ 。

根据上述推导，可以得出结论：

${\dot{V}}_3\left(t\right)\le -\frac{\mu }{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\tilde{b}}_i^{\text{T}}}\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)+\frac{\mu }{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\beta }_i}{\Vert e_i\left(t\right)\Vert }^2-\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\sigma }_i}{\eta }_i\left(t\right)$

由于$J_i\left(t\right)=\frac{1}{2}{\beta }_i{\Vert e_i\left(t\right)\Vert }^2-\frac{1}{4}{\tilde{b}}_i^T\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)<\tau {\eta }_i\left(t\right)$ ，$\mu >0$ ，从而有$-\frac{\mu }{4}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\tilde{b}}_i^{\text{T}}}\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)+\frac{\mu }{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\beta }_i}$${\Vert e_i\left(t\right)\Vert }^2<\tau \mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\eta }_i}\left(t\right)$ 。我们可以得到：

$\begin{array}{c}{\dot{V}}_3\left(t\right)\le -\frac{\mu }{4}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\tilde{b}}_i^{\text{T}}}\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)+\tau \mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\eta }_i}\left(t\right)-\mu {\displaystyle \sum _{i=1}^N{\sigma }_i}{\eta }_i\left(t\right)\\ =-\frac{\mu }{4}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{\tilde{b}}_i^{\text{T}}}\left(t\right){\tilde{b}}_i\left(t\right)-\mu \left[{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left({\sigma }_i-\tau \right){\eta }_i\left(t\right)}\right]\end{array}$

由于$\tau <{\sigma }_i$ ，$\forall i=1,\cdots ,N$ ，${\sigma }_i-\tau >0$ ，又因为$\mu >0$ ，所以${\dot{V}}_3\left(t\right)\le 0$ 。由于$V_3\left(t\right)\ge 0$ 且${\dot{V}}_3(t)\le 0$ ，根据LaSalle不变集原理，$x\left(t\right)$ 收敛于$\left\{x|{\dot{V}}_3\left(t\right)=0\right\}$ 中的不变集。由此可得$\underset{t\to \infty }{\lim }{\eta }_i\left(t\right)=0$ ，$\underset{t\to \infty }{\lim }{\tilde{b}}_i\left(t\right)=0$ 。

由于$0\le {\Vert e_i\left(t\right)\Vert }^2\le \frac{2}{{\beta }_i}{\eta }_i\left(t\right)+\frac{1}{2{\beta }_i}{\tilde{b}}_i^{\text{T}}\left(t\right)b_i\left(t\right)$，因此$\underset{t\to \infty }{\lim }{e}_i\left(t\right)=0$ 。那么，有${\left[x^{\text{T}}\left(t\right)ℒx\left(t\right)\right]}^{\prime }={\dot{x}}^{\text{T}}\left(t\right)ℒx\left(t\right)+x^{\text{T}}\left(t\right)ℒ\dot{x}\left(t\right)=-2x^{\text{T}}\left(t\right)ℒ\left(ℒ\left(x\left(t\right)+e\left(t\right)\right)\right)$。因此，$\underset{t\to \infty }{\lim }ℒx\left(t\right)=0$ 。由于$\mathcal{N}\left(ℒ\right)=ℛ\left(1_N\otimes E_n\right)$ 且$\underset{t\to \infty }{\lim }\left(x_i\left(t\right)-x_j\left(t\right)\right)=0,\forall i,j\in 1,\cdots ,N$ ，系统(1)可以实现一致性。排除芝诺行为的方法与定理3.1的证明类似，因此省略。定理3.3得证。

注4 在多智能体一致性问题中，基于边的自适应一致性和基于节点的自适应一致性策略是两种常见的策略，它们分别从网络的边和节点的角度进行自适应调整，由此两者有着不同的优缺点和适用场景。基于边的自适应一致性策略其权重的调整可以是自适应的，通常根据局部信息、邻居智能体的状态或其他动态环境因素进行调整。其具有高效的局部控制性能，边的权重控制可以使得每对邻居之间的交互更加灵活，局部调整更为细致；网络拓扑的动态适应性更强，在不改变网络结构的前提下，边的自适应调整可以更好地应对网络中不同部分的动态变化；还具有较强的鲁棒性，可以通过边的调整应对一些突发变化，例如节点失败、网络拥堵等情况，通过调整边的权重来快速恢复一致性。缺点是需要根据边的权重动态调整，可能会引入较高的计算复杂度，尤其是在大规模网络中；由于需要通过调整边的权重来实现一致性，可能需要更频繁的消息传递和状态更新，增加了通信负担和通信开销；局部调整可能会导致全局一致性的收敛速度较慢，或在某些情况下无法完全收敛，难以保证全局一致性。相比之下，基于节点的自适应一致性策略具有简化的计算与控制，避免了对边权重的复杂计算，每个节点只需关注自己与邻居的状态，控制方案较为直接；由于每个节点的决策过程是局部的，不需要对全局进行复杂优化，因此在实际应用中，基于节点的自适应策略通常更容易实现；通过局部的节点状态调整，通常可以迅速恢复一致性，特别是在小规模或拓扑简单的网络中，提高了局部稳定性。但是其对网络拓扑依赖性强，如果网络拓扑发生剧烈变化(如节点的加入或退出)，节点策略可能需要较大的调整，影响一致性的收敛速度，还可能导致非均匀一致性。

注5 两个不同的控制策略有不同的适用情景，基于边的自适应控制策略适用于复杂网络，如大规模的 多智能体系统或复杂的无线网络，其中节点间的关系复杂，边的动态调整能够提供更灵活的应对策略；适用于变化环境，当网络环境不断变化，如节点的加入或退出、节点能力变化时，基于边的策略能够更好地适应这些变化；适用于有限通信带宽，当通信带宽有限，边的自适应控制能够减少不必要的全局信息传输，通过局部调整边的权重来实现一致性。基于节点的自适应控制策略适用于小规模或低复杂度网络，对于节点数较少、拓扑结构较为简单的网络，基于节点的策略能够高效地实现一致性；适用于快速响应需求网络，当系统要求快速响应局部变化时，节点自适应策略能够快速调整自己的状态来适应变化；适用于传感器网络，在一些无线传感器网络中，节点之间的协作通常基于各自的局部信息，因此基于节点的自适应一致性策略更为适合。

4. 仿真

在这一部分，提供了两个数值例子来说明所得理论结果的有效性。我们首先对基于边的自适应事件触发控制协议进行数值仿真，然后对基于节点的自适应事件触发控制协议进行仿真。考虑一个由5个智能体组成的无向矩阵加权拓扑图，如图1所示，对于一阶MAS (1)，其中智能体之间的通信拓扑做以下说明。边(1, 2)对应的矩阵权重设计为$A_{12}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ ，边(2, 3)、(2, 4)、(2, 5)的权重分别选为$A_{23}=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$ 、$A_{24}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ 、$A_{25}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$ ，并选取边(3, 4)、(3, 5)的权重为$A_{34}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$ 、$A_{35}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 3\end{array}\right)$ ，边(4, 5)的权重选取为$A_{45}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$ 。

Figure 1. Topology of a multi-agent system (1)

图1. 多智能体系统(1)的拓扑图

例1：图1拓扑图的拉普拉斯矩阵的最大特征值${\lambda }_{\text{max}}=11.0498$ ，我们选取$\delta =0.1$ ，$\rho =0.2$ ，满足$\rho >\delta$ 。${\dot{\eta }}_i\left(t\right)=-0.2{\eta }_i\left(t\right)-H_i\left(t\right)$ ，初始条件即每个智能体的初始状态设置为：$x_0 =\left[-2,-1,2,-2,4,-0.5,-5,4,-2,3\right]$ ，满足事件触发函数(5)，图2表明系统成功实现了一致性，图3展示了智能体的每个事件触发时刻。此外，通过调整自适应参数，增强了智能体之间的耦合性，加快了一致性实现的速度，如图4、图5所示。图6给出了智能体的事件触发时刻，其中，纵坐标表明了了两次事件触发时刻的时间间隔。

Figure 2. State trajectory of the first component of the agent under protocols (3) and (4)

图2. 智能体在协议(3)、(4)下第一个分量的状态轨迹

Figure 3. State trajectory of the second component of the agent under protocols (3) and (4)

图3. 智能体在协议(3)、(4)下第二个分量的状态轨迹

Figure 4. State trajectory of the first component of the agent under protocols (3) and (4) after adjusting the adaptive parameters

图4. 调整自适应参数后智能体在协议(3)、(4)下第一个分量的状态轨迹

Figure 5. State trajectory of the second component of the agent under protocols (3) and (4) after adjusting the adaptive parameters

图5. 调整自适应参数后智能体在协议(3)、(4)下第二个分量的状态轨迹

Figure 6. Event trigger time of each agent under protocols (3) and (4)

图6. 智能体在协议(3)、(4)下每个智能体的事件触发时刻

例2：现在对基于节点的事件触发自适应控制策略进行仿真。MAS (1)在自适应协议(17)和(18)下，满足事件触发条件(19)，使用同例1相同的拉普拉斯矩阵、智能体的初始状态和矩阵权重。设置$\delta =0.8$ ，$\tau =1.1$ ，${\varsigma }_i=1$ 。每个智能体的两个分量的状态轨迹分别如图7、图8所示。图9展示了事件触发时刻。

Figure 7. State trajectory of the first component of the agent under protocols (17) and (18)

图7. 智能体在协议(17)、(18)下第一个分量的状态轨迹

Figure 8. State trajectory of the second component of the agent under protocols (17) and (18)

图8. 智能体在协议(17)、(18)下第二个分量的状态轨迹

Figure 9. Event trigger time of each agent under protocols (17) and (18)

图9. 智能体在协议(17)、(18)下每个智能体的事件触发时刻

5. 总结

本文研究了矩阵加权网络下自适应控制和事件触发策略的多智能体系统一致性问题，提出了两种一致性算法，分别是基于边的自适应协议和基于节点的自适应协议。当$\mathcal{N}\left(ℒ\right)=ℛ\left(1_N\otimes E_n\right)$ 时，可以实现全局平均一致。事件触发策略的提出降低了事件触发的频率，减少了对通信信道的占用，节省了通信资源。值得注意的是，关键参数的设置使得事件触发的频率可以随着实际情况的变化而变化。此外，自适应控制的提出使得智能体更加灵活地处理控制增益并且提高了系统实现一致性的速度。对于未来的工作，将研究如何增强系统的收敛速度，以实现预设时间一致性等目标，并提高其鲁棒性。

基金项目

本工作部分由国家自然科学基金支持(Nos. 62373205和62033007)，部分由山东省自然科学基金项目资助(No. ZR2021MF089)。

NOTES

^*通讯作者。