模糊赋范Riesz空间上序列基本性质的研究

Research on the Basic Property of Sequence on Fuzzy Normed Riesz Space

摘要: 模糊赋范Riesz空间是一个既具有Riesz空间的序结构又具有模糊赋范空间的模糊范数结构的线性空间，它将Riesz空间(也称为向量格或向量格子)与模糊赋范空间的概念结合起来。在模糊赋范Riesz空间中，研究序列的收敛性、有界性和完备性是十分重要的。本文通过对序列性质的研究，给出了模糊赋范Riesz空间上模糊序闭集的概念，讨论了模糊Banach格中模糊范收敛和一致收敛的关系，并用序列的模糊范收敛和完备性来讨论模糊赋范Riesz空间上的相关性质，最后讨论了模糊Banach格中模糊序连续范数的充要条件，丰富和推广了已有结论。

Abstract: A fuzzy normed Riesz space is a linear space that has both the order structure of a Riesz space and the fuzzy norm structure of a fuzzy normed space, which combines the concepts of a Riesz space (also known as a vector lattice or a vector lattice module) and a fuzzy endowed Riesz space. In a fuzzy normed Riesz space, the study of convergence, boundedness, and completeness of sequences is very important. In this paper, by studying the properties of sequences, the concept of a fuzzy order closed set in a fuzzy normed Riesz space is given, followed by a discussion of the relationship between fuzzy norm convergence and uniform convergence in a fuzzy Banach lattice and the use of sequence fuzzy norm convergence and completeness to discuss the differences and connections between a fuzzy normed Riesz space and a fuzzy Banach lattice, finally, the sufficient and necessary conditions for the fuzzy order continuous norm in the fuzzy Banach lattice are discussed, enriching and extending existing results.

1. 引言

模糊理论与Riesz空间的结合是以1971年Zadeh的文章“Similarity Relations and Fuzzy Orderings”[1]为标志的，他在文章中通过自反性、反对称性，以及传递性引入“模糊序”的概念。1981年，Katsaras [2]引入模糊半赋范和模糊赋范线性空间的概念，并研究了它们的一些基本性质。1922年，Venugopalan [3]引入定义并研究了模糊有序集，创建了一个模糊有序集的系统框架。同年，Felbin [4]引入一种模糊赋范线性空间，证明了模糊赋范线性空间的有限维模糊子空间是完备模糊赋范线性空间。1995年，Beg和Islam [5]定义并研究了模糊Riesz空间。2003年，Beg和Samanta [6]给出了线性空间上模糊范数的定义，建立了模糊范数的分解定理并研究了有限维模糊赋范空间的相关性质。2018年，Park和Movahednia [7]利用模糊Riesz范数与单调序列定义了模糊赋范Riesz空间中的模糊范数收敛与模糊序收敛。本文在以上文献的基础上，结合经典Riesz空间与模糊范数的研究，从模糊Riesz范数的角度研究模糊赋范Riesz空间上序列的一些基本性质，并用序列的模糊范收敛和完备性来讨论模糊赋范Riesz空间上的相关性质。

2. 预备知识

本节主要回顾经典Riesz空间的概念和性质、模糊赋范线性空间以及模糊赋范Riesz空间的概念和性质。

首先给出经典Riesz空间的定义和结论。

定义1.1 [8]设$"\le "$ 为一个关系，$E$ 是一个具有关系$"\le "$ 的非空集合，若关系$"\le "$ 满足以下条件：

1) $x\le x$ ，对每个$x\in E$ ；

2) 如果$x\le y$ 且$y\le x$ ，则$x=y$ ；

3) 如果$x\le y$ 且$y\le z$ ，则$x\le z$ ；

则称$E$ 为偏序集。

定义1.2 [8]设$E$ 是偏序集，若$E$ 的每个包含两个元素的子集都有上确界和下确界，则称$E$ 为格。

定义1.3 [8]设$E$ 是实向量空间。若赋予偏序关系$"\le "$ ，使得向量空间结构与序结构相容，即满足下列条件：

1) 如果$x\le y$ ，则对任意$z\in E$ ，有$x+z\le y+z$ ；

2) 如果$x\ge \theta$ ，则对任意$0\le a\in R$ ，有$ax\ge \theta$ ；

则称$E$ 是序向量空间。特别地，若对于这个偏序来说，$E$ 是格，则称$E$ 为Riesz空间或向量格。

定义1.4 [8]设$E$ 是Riesz空间，若$x,y\in E$ 且满足$x\wedge y=\theta$ ，则称$x$ 和$y$ 是不交的，记作$x\perp y$ 。

下面，介绍Riesz空间中序列收敛的有关概念。

定义1.5 [9]设$E$ 是赋范Riesz空间，$\left\{f_n\right\}$ 是$E$ 中序列，$f\in E$ 。若存在$E$ 中单调递减趋于$0$ 的序列$\left\{p_n\right\}$ (即$p_n\downarrow 0$ )，使得对任意自然数$n$ ，都有$\left|f_n-f\right|\le p_n$ ，则称$\left\{f_n\right\}$ 序收敛于$f$ ，也称$f$ 为$\left\{f_n\right\}$ 的序极限，记为$f_n\stackrel{order}{\to }f$ 。对于$E$ 中序列$\left\{g_n\right\}$ ，若存在$g\in E$ ，使得$g_n\stackrel{order}{\to }g$ ，则称$\left\{g_n\right\}$ 序收敛到$g$ 。

定义1.6 [8] (赋范Riesz空间的定义)设$E$ 是Riesz空间，$\Vert \cdot \Vert$ 为$E$ 上的一个范数。如果对任意$x,y\in E$ ，且$\left|x\right|\le \left|y\right|$ ，都有$\Vert x\Vert \le \Vert y\Vert$ ，则称$\Vert \cdot \Vert$ 为Riesz范数(或格范数)。被赋予Riesz范数的空间叫做赋范Riesz空间。若赋范Riesz空间是完备的赋范Riesz空间，则称其为Banach空间(或Banach格)。

下面介绍模糊赋范线性空间的一些概念和性质。

定义1.7 [6]设$X$ 是$R$ 上线性空间，$N$ 是$X\times R$ 的模糊子集。若对任意的$x,y\in X$ 和$c\in R$ ，有

$\left(N1\right)$ $\forall t\in R$ 且$t\le 0$ ，有$N\left(x,t\right)=0$ ；

$\left(N2\right)$ $\forall t\in R$ 且$t>0$ ，有$N\left(x,t\right)=1$ 当且仅当$x=\theta$ ；

$\left(N3\right)$ $\forall t\in R$ 且$t>0$ ，如果$c\ne 0$ ，有$N\left(cx,t\right)=N\left(x,\frac{t}{\left|c\right|}\right)$ ；如果$c=0$ ，有$N\left(cx,t\right)=1$ ；

$\left(N4\right)$ $\forall s,t\in R$ ，有$N\left(x+y,t+s\right)\ge \min \left\{N\left(x,t\right),N\left(y,s\right)\right\}$ ；

$\left(N5\right)$ $N\left(x,\cdot \right)$ 是$R$ 上的左连续不减函数，且$\underset{t\to +\infty }{\lim }N\left(x,t\right)=1$ ；

则称$N$ 为$X$ 上的模糊范数，$\left(X,N\right)$ 为模糊赋范线性空间。

定义1.8 [7]设$E$ 是模糊赋范线性空间，$\left\{f_n\right\}$ 是$E$ 上序列，若$\forall \alpha \in \left(0,1\right)$ 和$t>0$ ，$\exists n_0$ ，使得当$m,n\ge n_0$ ，有$N\left(f_m-f_n,t\right)\ge 1-\alpha$ ，则称${\left\{f_n\right\}}_n$ 为模糊范Cauchy序列。

下面介绍模糊赋范Riesz空间的相关定义和性质。

定义1.9 [9]设$E$ 是Riesz空间，$N$ 是$E$ 上的模糊范数。若$N$ 满足条件$\left(N7\right)$ 当$\left|x\right|\le \left|y\right|$ ，有$N\left(x,t\right)\ge N\left(y,t\right)$ ，其中$x,y\in E$ 和$s,t\in R$ ，则称$N$ 为模糊Riesz范数。

定义1.10 [9]设$E$ 是Riesz空间，$N$ 是$X\times R$ 的模糊子集，若对任意的$x,y\in E$ 和$s,t\in R$ ，满足：

$\left(N1\right)$ $N\left(x,t\right)=0$ ，对$\forall t\le 0$ ；

$\left(N2\right)$ $N\left(x,t\right)=1,\forall t>0$ ，当且仅当$x=\theta$ ；

$\left(N3\right)$ $N\left(cx,t\right)=N\left(x,\frac{t}{\left|c\right|}\right)$ 如果$c\ne 0$ ；

$\left(N4\right)$ $N\left(x+y,t+s\right)\ge \min \left\{N\left(x,t\right),N\left(y,s\right)\right\}$ ；

$\left(N5\right)$ $N\left(x,\cdot \right)$ 是$R$ 上一个非递减函数，且$\underset{t\to \infty }{\lim }N\left(x,t\right)=1$ ；

$\left(N6\right)$ 当$x\ne \theta$ 时，$N\left(x,\cdot \right)$ 是在$R$ 上连续；

$\left(N7\right)$ $N\left(x,t\right)\ge N\left(y,t\right)$ 当且仅当$\left|x\right|\le \left|y\right|$ ；

则称$N$ 为$E$ 上的模糊范数，$\left(E,\le ,N\right)$ 是模糊赋范Riesz空间。

定义1.11 [9]假设$E$ 是模糊赋范Riesz空间，若每个模糊范Cauchy序列有模糊范极限，则称$E$ 是模糊Banach格。

定义1.12 [9]假设$E$ 是模糊赋范Riesz空间，$\left\{f_n\right\}$ 是$E$ 中序列。若$f_n\uparrow$ 并且$f_n$ 模糊范收敛于$f$ ，记为$f_n\stackrel{FN}{\to }f$ ，则$f_n\uparrow f_0$ 。

定义1.13 [3]假设$E$ 是模糊赋范Riesz空间，$\left\{f_n\right\}$ 是$E$ 上序列，如果存在$f\in E$ 使得对任意$t$ ，有$\underset{n\to \infty }{\lim }N\left(f_n-f,t\right)=1，$ 则称$\left\{f_n\right\}$ 按模糊范数收敛于$f$ ，也称$f$ 为序列$\left\{f_n\right\}$ 的模糊范极限，记为$f_n\stackrel{FN}{\to }f$ 。

引理1.14 [10]若$E$ 是模糊Banach空间，且对$\forall t>0$ ，有${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }N\left(f_n,t\right)}$ 收敛，则有$N\left({\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{f}_n},t\right)$ 收敛。若$E$ 是模糊赋范线性空间，且对$\forall t>0$ ，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }N\left(f_n,t\right)}$ 收敛，有$N\left({\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{f}_n},t\right)$ 收敛，则$E$ 是模糊Banach空间。

引理1.15 [9]若$E$ 是序连续模糊Banach格，则$E$ 是超级Dedekind完备的。

引理1.16 [9]假设$E$ 是模糊赋范Riesz空间，$D$ 是$E$ 上的一个向上集(向下集)。若对$\forall t>0$ 和$\forall \alpha \in \left(0,1\right)$ ，$\exists f\left(\alpha \right)\in D$ ，使得对$\forall f_1,f_2\in D$ ，当$f_1\ge f\left(\alpha \right)$ ，$f_2\ge f\left(\alpha \right)$ ，$\left(f_1\le f\left(\alpha \right),f_2\le f\left(\alpha \right)\right)$ 时，有$N\left(f_1-f_2,t\right)\ge 1-\alpha$ ，则称$D$ 为模糊范Cauchy系统。

定义1.17 [9]假设$E$ 是模糊赋范Riesz空间，若$x,y\in E$ 且满足$x\wedge y=\theta$ ，则称$x$ 和$y$ 是不交的，记作$x\perp y$ 。

定义1.18 [自己那篇学报]假设$E$ 是模糊赋范Riesz空间，若存在$t>0$ ，$M>0$ ，对任意$f_n\in E$ 有$N\left(f_n,t\right)>M$ ，则称$\left\{f_n\right\}$ 是模糊有界的。

定义1.19 [9]设$E$ 是模糊赋范Riesz空间，$0<u\in E$ ，$\left\{f_n\right\}$ 为$E$ 中序列，如果对任意的数$\epsilon >0$ ，存在$n\left(\epsilon \right)$ ，使得当$n>n\left(\epsilon \right)$ 时，有$\left|f-f_n\right|\le \epsilon u$ ，则称$\left\{f_n\right\}$ 是$u-$ 一致收敛到$f$ ，记为$f_n\stackrel{u-uniform}{\to }f$ 。

定义1.20 [9]设$E$ 是模糊赋范Riesz空间，$F$ 为$E$ 的子集。若对$F$ 中任一序列$\left\{f_n\right\}$ ，只要$f_n$ 模糊范收敛到$f$ ，记为$f_n\stackrel{FN}{\to }f$ ，就有$f\in F$ ，则称$F$ 为模糊范闭集。

3. 主要结果

定义2.1 设$E$ 是模糊赋范Riesz空间，$\left\{f_n\right\}$ 是$E$ 中序列，$f\in E$ 。若存在$E$ 中单调递减趋于$0$ 的序列$\left\{g_n\right\}$ (即$g_n\downarrow 0$ )，使得对$\forall t>0$ ，当$n\to \infty$ 时，有$N\left(f_n-f,t\right)\ge N\left(g_n,t\right)$ ，对于所有的自然数$n$ 成立，则称$\left\{f_n\right\}$ 模糊序收敛到$f$ ，也称$f$ 为$\left\{f_n\right\}$ 的模糊序极限。

下面讨论在模糊Banach格中模糊范收敛的序列的性质。

定理2.2 模糊Banach格中每个模糊范收敛的序列有相同一致收敛的子列(因此有序收的子列)。

证明 如果$E$ 是模糊Banach格，若对$\forall n=1,2,\cdots$ ，记$\left\{v_n\right\}\in E^{+}$ ，且对$\forall t>0$ ，$\forall n$ ，有$N\left(v_n,t\right)\ge N\left(\frac{1}{n^3},t\right)$ 。

又因为对$\forall t>0$ ，$\forall n$ ，有${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }N\left(n{v}_n,t\right)}\ge {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }N\left(n\cdot \frac{1}{n^3},t\right)}$ ，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }N\left(n\cdot \frac{1}{n^3},t\right)}={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }N\left(\frac{1}{n^2},t\right)}$ 。

故对$\forall t>0$ ，有${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }N\left(n{v}_n,t\right)}$ 有限。

由引理1.14可知：$\exists s\in E$ ，使得对$\forall t>0$ ，$\forall n$ ，有$\underset{n\to \infty }{\lim }N\left({\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n{v}_n-s,t}\right)=1$ 。

即部分和$s_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k{v}_k}$ 满足$0\le s_n$ 且$\forall t>0$ ，有$\underset{n\to \infty }{\lim }N\left(s_n-s,t\right)=1$ 。

根据定义1.12可知：$s_n\uparrow s$ (序收敛)，故而对$\forall n$ ，有$n{v}_n\le s$ 。

下面假设对$\forall t>0$ ，$\forall n$ ，有$\underset{n\to \infty }{\lim }N\left(f_n-f,t\right)=1$ ，现在取一个子列$g_k=f_{n_k}$ $\left(k=1,2,\cdots \right)$ ，使得对$\forall t>0$ ，$\forall k$ ，有$N\left(f-g_k,t\right)\ge N\left(\frac{1}{k^3},t\right)$ 。

因此，由前面所证的有：$\exists s\in E$ ，使得对$\forall k$ ，有$k\left|f-g_k\right|\le s$ ，因此$\left|f-g_k\right|\le k^{-1}s$ 。

因此，$g_k=f_{n_k}$ 是$s-$ 相对一致收敛到$f$ 的。

下面给出模糊序闭集的定义，由此讨论模糊序闭集与模糊范闭集之间的关系。

定义2.3 设$E$ 是模糊赋范Riesz空间，$F$ 为$E$ 的子集。若对$F$ 中任一序列$\left\{f_n\right\}$ ，只要$f_n$ 模糊序收敛到$f$ ，就有$f\in F$ ，则称$F$ 为模糊序闭集。

接下来，在模糊序闭集的概念基础上，给出Banach格中的如下定理。

定理2.4 假设$E$ 是模糊Banach格，则$E$ 中任意意模糊序闭集是模糊范闭的。

证明 在模糊Banach格$E$ 中，取$D$ 是模糊序闭集，且$f_n\in D$ 并且对$\forall t>0$ ，有$\underset{n\to \infty }{\lim }N\left(f_n-f,t\right)=1$ 。

根据定理2.2可知：在$\left\{f_n\right\}$ 中存在子列$\left\{f_{n_k}\right\}$ 是模糊序收敛到$f$ 的。

由于$D$ 是模糊序闭集，故$f\in D$ ，因此$D$ 也是模糊范闭集。

下面介绍模糊赋范Riesz空间中，序连续，$\sigma -$ 序连续，Dedekind$\sigma -$ 完备和单增有上界序列之间的等价关系。

定理2.5 假设$E$ 是模糊糊赋范Riesz空间中，则以下结论等价：

1) $E$ 有模糊序连续范数且$E$ 是超级Dedekind完备；

2) $E$ 有模糊$\sigma -$ 序连续范数且$E$ 是Dedekind$\sigma -$ 完备；

3) $E$ 中每个单调递增且有上界的序列是模糊范收敛的。

证明 1) ⇒ 2)：

因模糊序连续范数是模糊$\sigma -$ 序连续范数，超级Dedekind完备是Dedekind$\sigma -$ 完备。由引理1.15可知：结论是成立的。

2) ⇒ 3)：

设$\left\{f_n\right\}$ 为$E$ 中有上界的递增序列。由于$E$ 为Dedekind $\sigma -$ 完备，故$\left\{f_n\right\}$ 的上确界存在，即$\exists f_0\in E$ ，使得$f_n\uparrow f_0$ 。因此，$\left(f_0-f_n\right)\downarrow 0$ 。

再由$E$ 为模糊$\sigma -$ 序连续范数知：对$\forall t>0$ ，有$\underset{n\to \infty }{\lim }N\left(f_n-f,t\right)=1$ 。

3) ⇒ 1)：

设$E$ 是模糊赋范Riesz空间，假设$\left\{f_n\right\}$ 为模糊范Cauchy系统$D_2$ 中的任一递增且有上确界为$f_0$ 的序列。因对$\forall t>0$ ，有$\underset{n\to \infty }{\lim }N\left(f_n-f,t\right)=1$ ，即$\left\{f_n\right\}$ 是模糊范收敛的。

因此，根据定义1.12可得：$f_n\uparrow f_0$ 。下面为了证$E$ 是超级Dedekind完备。

令$D$ 为$E$ 中任一向上集，且有上界。假若$D$ 不是模糊Cauchy系统，则3)不成立。因此，$D$ 是模糊Cauchy系统，故$D$ 包含一个递增柯西序列与$D$ 有相同上界。

又由于根据假设3)可知：$\left\{g_n\right\}$ 是$D$ 中序列，则对$\forall t>0$ ，有$\underset{n\to \infty }{\lim }N\left(g_n-f,t\right)=1$ 。

故由定义1.6可知：$D$ 的上确界也是$f_0$ 。

下面介绍Banach格中不交序列的性质。

定理2.6 假设$E$ 是模糊Banach格，$\left\{u_n\right\}\in E^{+}$ ，$n=1,2,\cdots$ ，$\left\{u_n\right\}$ 是模糊范有界序列，设序列$\left\{v_n:n=1,2,3,\cdots \right\}$ ，其中$v_1={\left(u_1-{\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }\frac{u_k}{2^k}}\right)}^{+}$ ，$\dots \dots$ ，$v_n={\left(u_n-2^n{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{u}_k-{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }\frac{u_k}{2^k}}}\right)}^{+}$ ，$n=2,3,\cdots$ ，则$v_n$ 是不相交序列，且对$\forall n$ ，有$0\le v_n\le u_n$ 。

证明 假设$\left\{u_n\right\}\in E^{+}$ ，由于$\left\{u_n\right\}$ 是模糊范有界的。即$\exists t>0$ ，$M>0$ ，$\forall u_n\in E$ 有$N\left(u_n,t\right)>M$ ，故对$\forall t>0$ ，有$N\left({\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{u_k}{2^k},t}\right)$ 绝对收敛。

记其部分和为$s_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{u}_k}$ ，$\exists s\in E$ 使得对$\forall t$ ，有$\underset{n\to \infty }{\lim }N\left(s_n-s,t\right)=1$ 。

即$\left\{s_n\right\}$ 是模糊范收敛且其模糊范极限是其上确界。

因此，${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{u_k}{2^k}}$ 此定义有意义。同理，${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }\frac{u_k}{2^k}}$ 存在。

下面假设$1\le m<n$ ，则$v_n\le {\left(u_n-2^n{u}_n\right)}^{+}$ ，$v_m\le {\left(u_m-2^n{u}_n\right)}^{+}=2^{-n}{\left(2^n{u}_m-u_n\right)}^{+}=2^{-n}{\left(u_n-2^n{u}_m\right)}^{-}$ 。

故$v_n\vee v_m=0$ 。

其中$v_n={\left(u_n-n{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{u}_k-\frac{u}{n}}\right)}^{+}$ ，有$0\le u_n\le u\left(n=1,2,\cdots \right)$ 。

由于$f-{\left(f-g\right)}^{+}=f\wedge g$ ，以及$\left(f+h\right)\wedge (g+h)=\left(f\wedge g\right)+h$ ，

对于$n\ge 2$ ，有$0\le u_n-v_n=u_n-{\left(u_n-n{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{u}_k-\frac{u}{n}}\right)}^{+}$

$\begin{array}{l}=u_n\wedge \left(n{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{u}_k}+\frac{u}{n}\right)\\ \le \left(u_n+\frac{u}{n}\right)\wedge \left(n{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{u}_k}+\frac{u}{n}\right)\\ =u_n\wedge \left(n{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{u}_k}+\frac{u}{n}\right)\end{array}$

而另一方面：$u_n-v_n\ge u_n\wedge \left(n{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{u}_k}\right)$ 。

下面令$w_1=0$ ，$w_n=u_n\wedge \left(n{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{u}_k}\right)$ ，$n=2,3,\cdots$ 。

因此，$v_n+w_n\le u_n\le v_n+w_n+\frac{u}{n}$ ，$n=1,2,3,\cdots$ 。

定理2.7 假设$E$ 是模糊赋范Riesz空间，若$E$ 中模糊序有界不相交序列模糊范收敛到0，则对于$k=2,3,\cdots$ ，任意模糊序有界$k-$ 不相交序列模糊范收敛到0。

接下来，给出模糊Banach格中不交序列的模糊范收敛性质。

定理2.8 假设$E$ 是模糊Banach格，$E$ 有模糊序连续范数，当且仅当$E$ 中任意序有界不相交序列模糊范收敛到0。

证明 必要性 由定理2.6可知：充分性假设模糊Banach格$E$ 中，任意序有界不相交序列模糊范收敛到0，等同于假设对于$k=2,3,\cdots$ ，任意序有界$k$ 次不相交序列模糊范收敛到0。要证$E$ 有模糊序连续范数。根据定理2.5可知：$E$ 中序有界递增序列是模糊范收敛的。

假设$E$ 中存在序有界递增序列不是模糊范收敛的。若$\left\{u_n\right\}\in E^{+}$ ，且$\left\{u_n\right\}$ 是递增序列，且$0\le u_n\le u$ ，$u\in E^{+}$ ，使得对$\forall t>0$ ，$\forall n$ ，存在$\alpha \in \left(0,1\right)$ ，存在$u_{\alpha }$ ，使得当$u_{n+1}\ge u_{\alpha }$ ，$u_n\ge u_{\alpha }$ 时，有$N\left(u_{n+1}-u_n,t\right)$ $=N\left(u_{n+1}-u_{\alpha }+u_{\alpha }-u_n,\frac{t}{2}+\frac{t}{2}\right)$ $\le \min \left\{N\left(u_{n+1}-u_{\alpha },\frac{t}{2}\right),N\left(u_n-u_{\alpha },\frac{t}{2}\right)\right\}$ $\le 1-\alpha$ 。

令$k\left(k\ge 2\right)$ 是自然数，使得对$\forall t>0$ 和$\forall \alpha \in \left(0,1\right)$ ，有

$N\left(k^{-1}u,t\right)\ge 1-\alpha$ (1)

定义$v_n={\left(u_{n+1}-u_n-k^{-1}u\right)}^{+}$ ，$n=1,2,\cdots$ ，下面证明$\left\{v_n\right\}$ 是$k-$ 不相交序列。

对$\forall t>0$ ，当$n\to \infty$ 时，有$\underset{n\to \infty }{\lim }N\left(v_n,t\right)=1$ 。

令$J=\left\{n\left(1\right),n\left(2\right),\cdots ,n\left(k\right)\right\}$ 是$k$ 个不同自然数的任意序列，$n\left(k\right)$ 是其中最大的数。则对$\forall t>0$ ，$\forall n$ ，有$N\left({\displaystyle \sum _{j=1}^k\left(u_{n\left(j\right)+1}-u_{n\left(j\right)}\right),t}\right)\ge N\left({\displaystyle \sum _{n=1}^{n\left(k\right)}\left(u_{n+1}-u_n\right),t}\right)$ ，而${\displaystyle \sum _{n=1}^{n\left(k\right)}\left(u_{n+1}-u_n\right)}=u_{n\left(k\right)+1}-u_1\le u$ ，故$N\left({\displaystyle \sum _{n=1}^{n\left(k\right)}\left(u_{n+1}-u_n\right),t}\right)\ge N\left(u,t\right)$ 。

因此，对$\forall t>0$ ，有$w=\sup \left(N\left(u_{n+1}-u_n\right):n\in J\right)$ 满足对$\forall n$ ，有

$N\left(kw,t\right)\ge N\left({\displaystyle \sum _{j=1}^k\left(u_{n\left(j\right)+1}-u_{n\left(j\right)}\right),t}\right)$

$N\left({\displaystyle \sum _{j=1}^k\left(u_{n\left(j\right)+1}-u_{n\left(j\right)}\right),t}\right)\ge N\left(u,t\right)$

因此，对$\forall t>0$ ，有$\sup \left(N\left(u_{n+1}-u_n-k^{-1}u,t\right):n\in J\right)=1$ 。

故对$\forall t>0$ ，有$\sup \left(N\left(v_n,t\right):n\in J\right)=1$ ，因此$\left\{v_n\right\}$ 是模糊序有界$k$ 次不交序列。

故根据定理2.6可知：对$\forall t>0$ ，当$n\to \infty$ 时，有$\underset{n\to \infty }{\lim }N\left(v_n,t\right)=1$ 。

然而$\left(u_{n+1}-u_n\right)-v_n=\left(u_{n+1}-u_n\right)-{\left(u_{n+1}-u_n-k^{-1}u\right)}^{+}$ $=\left(u_{n+1}-u_n\right)\wedge k^{-1}u$ ，因此，对$\forall t>0$ ，有

$N\left(u_{n+1}-u_n,t\right)=N\left(v_n+\left(u_{n+1}-u_n\right)\wedge k^{-1}u,t\right)$

$N\left(v_n,t\right)+N\left(k^{-1}u,t\right)\le$ $N\left(v_n+\left(u_{n+1}-u_n\right)\wedge k^{-1}u,t\right)$

由(1)可得：对$\forall t>0$ ，$\forall \alpha \in \left(0,1\right)$ ，有$N\left(v_n,t\right)+$ $N\left(k^{-1}u,t\right)\ge 1-\alpha$ ，即$N\left(u_{n+1}-u_n,t\right)\ge 1-\alpha$ ，但这与$N\left(u_{n+1}-u_n,t\right)\le 1-\alpha$ 矛盾。

因此，模糊Banach格$E$ 中任意序有界递增序列模糊范收敛。

4. 结语

在模糊赋范Riesz空间，研究序列的收敛性、有界性和完备性是十分重要的。作为模糊数学与泛函分析融合的产物，为研究模糊环境下的泛函分析提供了新的视角。本研究所得结果统一和推广了文献[7]和文献[9]的结论。

NOTES

^*通讯作者。