基于抛锚式教学法的《指数函数的概念》高中数学教学探究

Exploration of High School Mathematics Teaching of “Concept of Exponential Function” Based on Anchored Instruction

摘要: 抛锚式教学法是建构主义理论中常用的一种教学方法。在《指数函数的概念》教学中，教师利用抛锚式教学法创设相应情境，并根据情境确定目标问题，带领学生在自主思考与合作探究中探索指数函数的概念，解决目标问题。最后针对课堂教学过程进行效果评价。旨在为《指数函数的概念》教学提供借鉴。

Abstract: Anchored instruction is a commonly used teaching method in constructivist theory. In the teaching of the “Concept of Exponential Function”, teachers use anchored instruction to create corresponding situations and determine the target problem based on the situation. They lead students to explore the concept of exponential function through independent thinking and collaborative exploration, and solve the target problem. Finally, an evaluation of the effectiveness of the classroom teaching process is conducted. The aim is to provide a reference for the teaching of the “Concept of Exponential Functions”.

1. 引言

随着我国经济社会的蓬勃发展、综合国力不断增长，我国的教育事业也在不断地进行改革。传统的高中数学教学课堂往往是老师在讲，学生在听。整个课堂中教师与学生互动较少，数学课堂成了老师的“独角戏”。此外，传统的高中数学课堂教学中教师经常采用讲授法的教学方法，这样的教学方法能在短时间内向学生传授大量的知识经验，但难以调动学生的主动性，也无法培养学生的探究意识。这就导致了学生缺乏数学学习兴趣，学习积极性不高。与探究式教学法和问题导向教学法相比，抛锚式教学法提供了明确的“概念”，使学习既具有结构性，又保留了一定的灵活性。这种方法不仅能够激发学生的学习兴趣，还能够培养其批判性思维和创新能力。因此，在高中数学教学中，抛锚式教学法能够有效弥补传统教学方式的不足，为课堂增强互动性，提高学生的学习兴趣，提高学习效率。

2. 研究背景

建构主义起源于20世纪初的哲学和社会学领域。在20世纪60年代和70年代，许多社会学家如Berger和Luckman等人提出了社会建构主义。这一时期的社会建构主义理论强调，知识和现实世界是通过社会和文化联系起来的，这几者之间是相互依存、紧密联系的。认为知识并不是客观存在的，知识的获得只能通过社会、文化、历史背景等现实因素的影响，在社会互动中建构起来。20世纪80年代和90年代，随着社会的不断发展，建构主义理论扩展到认知领域，逐渐形成了认知建构主义。认知建构主义强调，在学习过程中，学习者是主体，是意义上的主动建构者，而不是被动接受外部刺激的对象。教师需要作为意义建构的帮助者和促进者，而非单纯的知识传授者或灌输者。到了20世纪90年代后期，建构主义进一步发展为社会文化建构主义，强调社会互动在认知发展中的重要性、文化内化与知识建构的紧密联系、情境性认知与学习的必要性以及合作与共同学习的价值[1]。最后逐渐形成了今天的建构主义学习理论。强调知识的主观性，认为知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境下，借助他人的帮助和利用必要的学习资料，通过意义建构的方式获得。其中“情境”、“协作”、“会话”和“意义建构”被认为是学习环境中的四大要素。

总之，建构主义理论经历了从社会建构主义到认知建构主义，再到社会文化建构主义的发展过程。在建构主义的发展历程中，有许多专家学者做出了贡献。例如瑞士心理学家皮亚杰创立了关于儿童认知发生学理论，被视为当代建构主义理论的最早提出者。苏联心理学家维果茨基提出的“最近发展区”理论，体现了其关于社会建构的思想精华，并为支架式教学提供了理论基础。

国内学者程易舒在《综合实践活动课程抛锚式教学范式的构建与应用——以“喜迎杭州亚运”广场展示活动为例》中围绕“设锚、抛锚、第一次解锚、思锚、第二次解锚、起锚”六个环节展开教学设计，从教师活动和学生活动两方面总结归纳操作要点[2]。张金平在《“抛锚”式教学在高中数学课堂有效实施的研究》中指出“抛锚式”教学是建立在有感染力的真实事件或问题上的教学模式。它并不是把现成的知识直接地灌输给学生，而是在某一特定情境下围绕“锚”来组织教学活动[3]。

此外，建构主义学习理论在指导课堂教学中也达到了很好的效果，并形成了多种有效的教学方法，如支架式教学、抛锚式教学、随机进入教学等。其中，抛锚式教学是建立在与现实生活息息相关的情境之中的，这个情境就是抛锚式教学中的“锚”，“锚”确定好了后续的教学活动也随之展开[4]。在教学过程中，抛锚式教学法一共有五个环节分别是创设情境、提出问题、自主思考、合作探究、效果评价。创设情境是指教师利用教材、生活实际或网络资源，创造一个与现实情况基本一致或相类似的情境，以便学生能在这种情境中学习。提出问题是在前面创设好的情境之中，教师选择与当前学习主题密切相关的真实性事件或问题作为学习的中心内容。在自主学习阶段，教师不直接告诉学生如何解决问题，而是提供解决问题的线索，如需要搜寻的资料、获取信息的途径等[5]。在这一过程中，学生需要展开自主学习活动。合作探究是指，在学生自主学习结束后，学生之间以及学生与教师之间进行讨论和交流，通过对同一问题得出的不同的或相同的观点进行交流、探究，最后得出对该问题的理解。效果评价阶段则要求教师在学习过程中随时观察并记录学生的表现。

3. 抛锚式教学设计

3.1. 设计理念

《指数函数的概念》位于人教版A版高中数学必修一中第四章第二节的第一课时。早在初中时学生就已经学习过了函数的相关概念，并且在本册书第三章中再一次详细地讲解了函数的概念与性质[6]。因此，学生对于函数的各项基本概念、性质已有了详细了解，有利于本节课的学习。但是本节课的重点探究任务为抽象的函数内容，学生可能无法快速接受。所以在本节课中，教师将从生活中有关细菌繁殖的实例出发，以此为“锚”探究当细菌繁殖到第n次时有多少细菌，从而引发学生思考，引导学生进行自主学习和小组探究。让学生在情境中抽象出数学问题，加强学生的数学分析能力，有利于学生的认识建构从简单到复杂由部分到整体，最后使学生学会解决问题。

3.2. 教学目标

1) 学生理解指数函数的概念及其定义域和值域，掌握指数函数的基本性质，包括底数大于0且不等于1时函数的单调性。

2) 引导学生通过具体实例观察、归纳、抽象出指数函数的概念。培养学生从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维能力。

3) 激发学生对数学学习的兴趣，培养其探究精神及团队合作精神，使学生学会分享与交流。

3.3. 教学重难点

重点：指数函数的概念及其基本性质。

难点：指数函数中底数的取值要求。

3.4. 教学过程

3.4.1. 创设情境

师：同学们，在生物课上我们学习过细菌的繁殖。在我们的日常生活中细菌的繁殖现象也十分常见。例如，夏天没有吃完的西瓜如果保存不当就会坏掉、变质，这就是细菌繁殖造成的现象。

设计意图：教师利用学生在生物课中学习过的有关细菌繁殖的知识，在现实生活中创造出一个相同的细菌繁殖情境。并以此为“锚”，将学生的注意力吸引到这个情境中，为后续基于这个情境提出相关问题做铺垫，有利于激发学生的学习兴趣。

3.4.2. 提出问题

师：通过学习过的知识我们可以知道，细菌在第一次分裂时，由一个分裂为两个，在第二次分裂时由两个分裂为四个。那么在第三次分裂时由四个分裂为几个呢？

生：八个。

师：当分裂次数较少时，同学们还可以通过数或算的方式得出其结果。若以此类推，当第n次分裂时，你能得出有几个吗？符合什么样的变化规律呢？

学生困惑，思考后回答：其变化规律应该与某一函数的变化规律相同。

师：看来这个问题难住了大家，那么在接下来的学习中我们将通过几道相似的例题一步一步解决这个问题。最后一起探索出当第n次分裂时，得到的个数为多少，并确定其变化规律与哪一个函数相同。

设计意图：教师利用生活中的实例提出相关问题，引导学生思考。但由于学生此时对本节课的知识指数函数相关概念还不熟悉，无法作答。所以教师将此问题转化为其他相似例题，通过对相似例题的求解，逐渐完善学生的指数函数知识体系，最后解决该问题。

3.4.3. 自主思考

师：下面请同学们看到第一个例题。随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票。给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量。比较两地景区游客次数的变化情况，你发现了怎样的变化规律？(表1)

Table 1. Number of tourist arrivals and yearly increases at scenic spots in locations A and B

表1. A，B两地景区游客人次以及逐年增加量

时间/年	A地景区		B地景区
	人次/万次	年增加量/万次	人次/万次	年增加量/万次
2001	600		278
2002	609	9	309	31
2003	620	11	344	35
2004	631	11	383	39
2005	641	10	427	44
2006	650	9	475	48
2007	661	11	528	53
2008	671	10	588	60
2009	681	10	655	67
2010	691	10	729	74
2011	702	11	811	82
2012	711	9	903	92
2013	721	10	1005	102
2014	732	11	1118	113
2015	743	11	1244	126

师：在这问题中我们要找出两地游客人次的变化情况，单看表格能发现什么规律呢？

生：A地景区游客人数的增长量大概在每年增长10万次。

师：很好，那B地景区呢？

学生困惑：

师：仅仅通过数据不能够直观地看出B地景区的增长情况，那能否将其直观地表示出来呢？

生：可以画出散点图来观察。

师：下面就请大家画出两地景区采取不同措施后的15年游客人次图象。

Figure 1. Graph of tourist arrivals over 15 years after implementing different measures at scenic spots in two locations

图1. 两地景区采取不同措施后的15年游客人次图象

师：老师看到大部分同学都已经把图画出来，那么现在你能得出什么结论吗？(图1)

生：B地景区的游客增长人数是非线性增长，其年增长量越来越大。

师：能得出什么规律吗？

生：从图象和年增长量都还是不能看出变化规律。

师：那么请同学们回忆一下，在之前的学习过程中除了用增长量来表示变化规律，还能用什么量表示变化规律呢？

生：还可以用增长率来表示。

师：很好，在前面的学习中我们已经学习过了增长量和增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量，希望同学们在之后的学习中也不要忘了这一点。那么接下来同学们计算一下B地景区游客人数的增长率。

学生计算结果如下：

$\begin{array}{c}\frac{2002年游客人次}{2001年游客人次}=\frac{309}{278}\approx 1.11\\ \frac{2003年游客人次}{2002年游客人次}=\frac{344}{309}\approx 1.11\\ \dots \\ \frac{2015年游客人次}{2014年游客人次}=\frac{1244}{1118}\approx 1.11\end{array}$

生：因此，B地景区游客人次的年增长率都约为1.11 − 1 = 0.11，是一个常数。

师：像这样的增长率为常数的变化方式，称为指数增长。

生：所以A地景区的游客人次增长量大概在每年增长10万次。B地景区的游客人次增长率为0.11，呈指数增长，可以描述为1年后游客人次是2001年的1.11¹倍，2年后游客人次是2001年的1.11²倍，3年后游客人次是2001年的1.11³倍，直到14年后游客人次是2001年的1.11¹⁴倍。

师：下面再思考一个问题，如果经过x年后的游客人数次数为2001年的y倍，该如何表示呢？

生：$y={1.11}^x\left(x\in \left[0,+\infty \right)\right)$ ，这是一个函数。

师：那么回到我们一开始的问题，你能否类比问题一的解题过程，描述出细菌繁殖的变化规律呢？

生：首先可以列出细菌繁殖次数及个数的表格，然后画出其对应的散点图，最后观察表格和散点图得出其变化规律。

师：那么请同学们自主写出解题过程。

师：为了方便计算，我们先探讨细菌繁殖五次的情况。

学生作答情况(表2，图2)：

Table 2. Data table for bacterial reproduction after five generations

表2. 细菌繁殖五次数据表

次数	细菌个数	增长量
第一次	2	1
第二次	4	2
第三次	8	4
第四次	16	8
第五次	32	16

Figure 2. Bacterial reproduction situation

图2. 细菌繁殖情况

$\begin{array}{l}\frac{第二次繁殖个数}{第一次繁殖个数}=\frac{4}{2}=2\\ \frac{第三次繁殖个数}{第二次繁殖个数}=\frac{8}{4}=2\\ \frac{第四次繁殖个数}{第三次繁殖个数}=\frac{16}{8}=2\\ \frac{第五次繁殖个数}{第四次繁殖个数}=\frac{32}{16}=2\end{array}$

生：所以细菌繁殖的增长率为2 − 1 = 1，是一个常数，呈指数增长。因此可以描述为第一次繁殖个数为原来的2¹倍，第二次繁殖个数为原来的2²倍，第三次繁殖个数为原来的2³倍，第四次繁殖个数为原来的2⁴倍，第五次繁殖个数为原来的2⁵倍。

师：那么同样的第x次繁殖个数为原来的y倍。

生：$y=2^x\left(x\in \left[0,+\infty \right)\right)$ ，这是一个函数。

设计意图：在学生自主思考阶段，教师首先让学生解决与目标问题相似的例题，在类比例题的求解过程得出目标问题的对应结果。在此过程中，教师不直接告诉学生，而是在学生思考过程中引导学生自主思考。同时紧紧围绕“锚”展开探究，对目标问题进行分析，激发了学生学习兴趣，培养了学生数学素养，提升了学生数学解题能力，体现了抛锚式教学在数学课堂中的应用。

3.4.4. 合作探究

师：现在我们已经解决了第一个问题，知道了增长率为函数的变化方式是指数增长。再来看问题二，当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？

师：下面请同学们分小组合作探究这个问题，并根据求解过程请不同小组同学按求解步骤讲解本小组的答案。

生(第一小组)：可以先设碳14含量的年衰减率为p，把刚死亡时的生物体内碳14含量看成1个单位，就有死亡1年后碳14含量为${\left(1-p\right)}^1$ ，死亡2年后碳14含量为${\left(1-p\right)}^2$ ，死亡3年后碳14含量为${\left(1-p\right)}^3$ 等等。

生(第一小组)：直到死亡5730年后碳14含量为${\left(1-p\right)}^{5730}$ ，也就是题目中所说的大约每经过5730年衰减为原来的一半，得出${\left(1-p\right)}^{5730}=\frac{1}{2}$ 。

师：接下来呢？

生(第二小组)：可以将等式改写为$p=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{5730}}$ ，就得到了年衰减率。

师：现在能得出生物体内碳14含量与死亡年数之间有什么关系吗？

生(第三小组)：设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，则$y={\left(1-p\right)}^x$ ，也就是$y={\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{5730}}\right)}^x\left(x\in \left[0,+\infty \right)\right)$ 。

师：最后得出结论？

生(第四小组)：这也是一个函数，其中指数x是自变量。死亡生物体内碳14的含量呈指数衰减。

师：接下来请同学们思考有关游客人数的函数、细菌繁殖的函数、碳14含量的函数之间有什么共同点吗？

生：它们都是呈指数增长或衰减的。

师：下面请同学们继续分组讨论。将它们的函数表达式写出来，观察其特点，并为这样的函数下一个定义。

生(第一小组)：这三个问题的函数表达式分别为

$y={1.11}^x\left(x\in \left[0,+\infty \right)\right)、y=2^x\left(x\in \left[0,+\infty \right)\right)、y={\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{5730}}\right)}^x\left(x\in \left[0,+\infty \right)\right)$ 。

生(第二小组)：它们都是函数，其中游客人数和细菌繁殖个数是呈指数增长的，碳14含量则是呈指数衰减的。

师：你能给这样的函数下一个定义吗？

生(第三小组)：这三个函数的底数分别为$1.11、2、{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{5730}}$ ，指数x为自变量。如果用字母a来表示底数就能得到形如$y=a^x\left(a>0,且a\ne 1\right)$ 指数函数，其中底数a是一个大于0不等于1的常数。

师：总结一下三组同学的讨论结果就可以正式给指数函数下一个定义了。一般地，函数$y=a^x\left(a>0,且a\ne 1\right)$ 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是$ℝ$ 。

师：那么现在我们是否能回答在本节课开始时探究的问题“当第n次分裂时，得到的个数为多少，并确定其变化规律与哪一个函数相同”？

生：可以。当细菌第n次分裂时得到其个数为2ⁿ，变化规律与指数函数相同，即随着分裂次数的增加细菌个数也越来越多。

设计意图：在探究问题二时，教师将一个问题拆分为多个小问题，让学生分小组讨论交流，有利于培养学生的合作意识。交流完毕后请小组代表分别回答不同的小问题，并整合学生回答，得到问题二的答案。同时在问题二的基础上，结合求解问题一与目标问题得到的函数，引导学生思考其共同特点，从而总结出指数函数的概念。最后，根据总结出的概念，解决目标问题[7]。

3.4.5. 效果评价

在本次《指数函数的概念》教学中，学生在教师创设的情境中学习了指数函数的概念，完美解决了本节课的目标问题，形成了新的知识体系。在抛锚式教学课堂中，教师“抛锚”引导学生自主思考，合作探究，到最后学生“解锚”充分贯彻了学生是课堂的主体这一理念，达到了良好的教学效果。

4. 结语

本文基于建构主义理论中的抛锚式教学法展开教学设计，以生活中的细菌繁殖情境为“锚”展开教学，在探索细菌繁殖的变化规律中学习指数函数的概念，旨在为《指数函数的概念》教学提供借鉴，同时也能运用于其他函数概念的教学。但本研究也有一些局限性，抛锚式教学法以具体情境为“锚”展开教学，因此运用抛锚式教学法时应当选取合适的情境。

在实际课堂教学中采用建构主义的抛锚式教学法，不仅能够增加教师的教学理念有利于教师专业成长，而且能够调动学生积极性从而达到良好的课堂教学效果。此外，在课堂中利用抛锚式教学法，在创设情境阶段即“抛锚”这一环节能够吸引学生的数学学习兴趣，让学生在情境中首先自主思考，然后对于有一定难度的问题通过同学之间的合作探究来解决，有利于培养学生独立思考的良好习惯，增强学生的动手操作能力及合作交流能力。