变系数非线性梁方程的周期解

Periodic Solutions of Nonlinear Beam Equation with x-Dependent Coefficient

摘要: 本文考虑了具有空间变系数的非线性梁方程的边值问题，关注其时间周期解的存在性。通过推广Lyapunov中心定理，我们证明了当频率满足一个Diophantine型的非共振条件时，在系统的椭圆平衡点附近存在相同频率的时间周期轨。

Abstract: This paper is concerned with the time-periodic solutions of the boundary value problem of nonlinear beam equations with x-dependent coefficient. By introducing an infinite version of Lyapunov center theorem, we prove the existence of periodic orbits for frequencies satisfy a Diopantine condition.

1. 引言

考虑具有变系数的非线性梁方程的边值问题

$\{\begin{array}{l}\rho \left(x\right)u_{tt}+{\left(p\left(x\right)u_{xx}\right)}_{xx}=g\left(x,u\right),x\in \left(0,\pi \right),t\in ℝ,\\ u\left(0,t\right)=u\left(\pi ,t\right)=u_{xx}\left(0,t\right)=u_{xx}\left(\pi ,t\right)=0,t\in ℝ,\end{array}$ (1)

其中g是u的高阶非线性项。梁方程起源于Euler-Bernoulli方程

$\frac{{\text{d}}^2}{\text{d}{x}^2}\left(EI\frac{{\text{d}}^{2}u}{\text{d}{x}^2}\right)=g,$

它描述了梁所受到的载荷和梁的绕度之间的关系，其中曲线$u\left(x\right)$ 描述了梁在x位置沿垂直方向的绕度。此外，g表示分布载荷，它可能于$x,t$ 或u相关，I是梁的截面惯性矩，E是弹性模量，乘积EI是弯曲刚度。EI的值越大，表示梁对于弯曲的抵抗能力越强。另外，u的导数也具有物理意义：$u_x$ 是梁的斜率，$-EI{u}_{xx}$ 是梁的弯矩，$-{\left(EI{u}_{xx}\right)}_x$ 是梁的剪力。梁的动态方程是Euler-Lagrange方程

$\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\left(p\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\right)=g,$

其中$\rho$ 是单位长度的梁质量，$p=EI$ 是弯曲刚度。

一直以来，梁方程周期解的问题受到广泛关注，这方面的成果如：Eden-Milani [1]通过能量方法建立了一个全局快速动力学；Wang-Chen [2]通过Birkhoff方法得出了非均质阻尼梁方程的特征频率的明确渐进表达式；Drábek-Lupo [3]基于Leray-Schauder度的同伦不变性和常微分方程的投射法研究了一类非线性梁方程广义周期解的存在性；Feckan [4]利用变分方法证明了具有非线性弹性响应的轴承上的梁周期解的存在性；Lee [5]给出了非自治梁方程的周期解的存在性。

本文从动力系统的观点出发，将梁方程视为一个无穷维Hamilton系统，我们将经典的Lyapunov中心定理推广至无穷维，用其建立周期轨的存在性结论。对于有限维的周期Hamilton系统，Lyapunov给出了一个中心定理：假设$n$ 维系统

$\dot{x}=f\left(x\right)$

在原点存在非退化的椭圆型平衡点，若$f^{\prime }\left(0\right)$ 的n对特征值${\left\{\pm i{\omega }_j\right\}}_{j=1}^n$ 满足非共振条件

${\omega }_{1}l-{\omega }_j\ne 0,\forall l\in \mathbb{Z},j=2,3,\cdots ,n,$

则系统存在一个从平衡点出发的单参数周期轨道族。此外，当参数趋于零时，其周期趋于$2\pi /{\omega }_1$ ，而非平凡乘子则趋于${\text{e}}^{\left(\pm 2\pi i{\omega }_j/{\omega }_1\right)},j=2,\cdots ,n$ 。

若要将Lyapunov中心定理推广至无穷维Hamilton系统，非共振条件应作出适当调整。最直接的想法当然是令线性化算子的特征值${\left\{\pm i{\omega }_j\right\}}_{j=1}^{\infty }$ 满足非共振条件

${\omega }_{1}l-{\omega }_j\ne 0,\forall l\in \mathbb{Z},j\ge 2.$

此时$\left\{{\omega }_{1}l-{\omega }_j,l\in \mathbb{Z},j\ge 2\right\}$ 虽然不含零，但是却以零为聚点，线性化算子的逆是无界的，也就无法应用隐函数定理求解。上述现象被称为“小除数”共振，对于无穷维的周期系统，小除数现象是其紧性缺失的具体表现。

关于横梁振动所产生的小除数现象，近些年来有许多数学家也对其进行了深入研究，并得到了一系列深刻的结果。Bambusi [6]提出了一种基于Lyapunov-Schmidt约化的方法，通过对频率$\omega$ 施加强无理性非共振条件，有效地避免了“小除数”问题的产生。值得一提的是，KAM理论作为一种可以有效处理小除数的方法被广泛地应用处理梁方程的周期解与拟周期解问题。Geng-You [7]通过应用无穷维KAM定理证明了一维非线性梁方程

$u_{tt}+u_{xxxx}+mu=f\left(u\right)$

具有小振幅的拟周期解。Geng-You [8]研究了在周期边界条件下的高维非线性梁方程

$u_{tt}+{\Delta }^{2}u+\sigma u+f\left(u\right)=0$ ,

得出上述方程具有小振幅线性稳定的一族拟周期解。Liang-Geng [9]应用了无穷维KAM定理获得了如下完全共振的非线性梁方程的拟周期解

$u_{tt}+u_{xxxx}+u^3=0$ .

Niu-Geng [10]通过应用改进的无穷维KAM定理，研究了带有Fourier乘子的高维梁方程

$u_{tt}+{\left(-\Delta +M_{\xi }\right)}^{2}u+f\left(u\right)=0,x\in {ℝ}^d,t\in ℝ$ .

Eliasson-Grébert-Kuksin [11]证明了非线性梁方程

$u_{tt}+{\Delta }^{2}u+mu+g\left(x,u\right)=0,x\in {\mathbb{T}}^d$

的大多数有限维不变环存在非线性方程的不变环。Chen等[12]利用Nash-Moser迭代证明了紧Lie群和齐次流形上非线性梁方程拟周期解的存在性和正则性，[13]进一步证明了一类在矩形环上有阻尼的梁方程具有两个频率的小振幅拟周期行波解。

虽然列举了上述诸多成果，仍要指出目前对于梁方程的研究大多限于常系数模型，对于具有空间变系数的梁方程，我们却知之甚少。Barbu-Pavel [14]研究了变系数波动方程的边值问题

$u\left(x\right)y_{tt}+{\left(u\left(x\right)y_x\right)}_x+g\left(y\right)=f\left(x,t\right),u\left(0,t\right)=u\left(\pi ,t\right)=0$ .

证明了当变系数u满足

${\eta }_u:=\frac{1}{2}\frac{u^{″}}{u}-{\left(\frac{u^{\prime }}{u}\right)}^2,\underset{x\in \left(0,\pi \right)}{\mathrm{ess}\text{}inf}{\eta }_u\left(x\right)>0$

时，存在时间周期解。随后，Ji-Li [15]做出了突破，免除了证明中对u的凸性的限定。Rudakov [16]又进一步推广了结论。受上述工作启发，本文在研究变系数梁方程(2)时要攻克两个难点：首先，变系数算子谱不像常系数算子谱那样具有良好的分离性；其次，变系数算子的谱无法精确刻画，这使得Lyapunov中心定理所需的非共振条件更难构造。我们将对$\rho ,p$ 做适当假设，使得算子谱满足相应的分离性，在此基础上构造出一个Diophantine型参数集，并在参数集上建立周期解的存在性结论。

本文的结构如下：在2.1中我们将给出全文的主要假设，定义函数空间等相关的数学量，并且给出解存在性定理；在2.2中我们将方程约化到核空间与值域空间上，应用非共振条件和隐函数定理求解分支方程，应用压缩映像原理求解值域方程；最后，完成定理中正则性结论以及其他结论的证明。

2. 主要结果及其证明

2.1. 解的存在性定理

我们对方(1)中的变系数与非线性项做出约定，令线密度$\rho \left(x\right)>0$ ，弯曲刚度$p\left(x\right)$ 满足 $0<{\epsilon }_0\le p\left(x\right)\le M$ 。假设g具有如下形式

$g\left(x,u\right)=g^{\left(0\right)}\left(x,u\right)+g^{\left(1\right)}\left(x,u\right),$

其中$g^{\left(0\right)}\left(x,u\right)$ 关于u具有r阶齐次性($r\ge 2$ )，即对任意常数$\lambda$ ，有$g^{\left(0\right)}\left(x,\lambda u\right)={\lambda }^r{g}^{\left(0\right)}\left(x,u\right)$ ；并且$g^{\left(1\right)}$ 存在关于u的二阶Lipscitz导数，$g^{\left(1\right)}\left(x,\cdot \right)$ 在零点处的函数值与其一阶导数都为零，即是说

$\underset{\left|u^1\right|<2\epsilon ,\left|u^2\right|<2\epsilon }{\sup }\left|{\partial }_{uu}^2{g}^{\left(1\right)}\left(x,u^1\right)-{\partial }_{uu}^2{g}^{\left(1\right)}\left(x,u^2\right)\right|\le C{\epsilon }^{r-2}\left|u^1-u^2\right|,$

在$x\in \left[0,\pi \right]$ 上一致成立。

注：若$g\left(x,\cdot \right)$ 是$C^4$ 的，并且满足

$g\left(0\right)=g^{\prime }\left(0\right)=g^{″}\left(0\right)=0,g^{‴}\left(0\right)\ne 0.$

则关于g的假设成立。

从空间边值入手，我们构造下述特征问题

$\{\begin{array}{l}{\left(p{{\phi }^{″}}_j\right)}^{\prime \text{}\prime }={\omega }_j^2\rho {\phi }_j,\\ {\phi }_j\left(0\right)={\phi }_j\left(\pi \right)={{\phi }^{″}}_j\left(0\right)={{\phi }^{″}}_j\left(\pi \right)=0.\end{array}$

假定$p\left(0\right)=1$ ，$p^{″}\left(x\right)<0$ ，且

$\rho \left(x\right)=\rho \left(0\right){\text{e}}^{4{\displaystyle {\int }_0^x\beta \left(\epsilon \right)\text{d}\epsilon }},p\left(x\right)={\text{e}}^{4{\displaystyle {\int }_0^x\alpha \left(\epsilon \right)\text{d}\epsilon }},\alpha \left(0\right)+\beta \left(0\right)=\alpha \left(\pi \right)+\beta \left(\pi \right)=0,{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\left(\frac{p\left(x\right)}{\rho \left(x\right)}\right)}^{1/4}\text{d}x}=\pi ,$

于是线性化算子存在可列个正特征值${\omega }_j^2$ ，其渐进展开式为

${\omega }_j^2=C_1{j}^4+C_2{j}^2+C_3+O\left(\frac{1}{j}\right)$

其中$C_1,C_2,C_3$ 是由$p,\rho$ 确定的常数，${\phi }_j$ 是从属于${\omega }_j^2$ 的特征向量并且$\left\{{\phi }_j\right\}$ 组成$L^2\left(\left(0,\pi \right)\right)$ 的标准正交基。

利用基底展开$u\left(x,t\right)={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{\infty }{u}_j\left(t\right){\phi }_j\left(x\right)}$ ，则方程(1)可化为方程组

${\ddot{u}}_j\left(t\right)+{\omega }_j^2{u}_j\left(t\right)={\tilde{g}}_j\left[u\right]\left(t\right),j=1,2,\cdots$

其中$\tilde{g}=p^{-1}g$ ，${\tilde{g}}_j\left[u\right]\left(t\right)={\left({\phi }_j\left(x\right),\tilde{g}\left(x,u\left(x,t\right)\right)\right)}_{L^2}$ 。上述方程的解必然满足积分方程

$u_j\left(t\right)=u_j^0\cos \left({\omega }_{j}t\right)+\frac{{\dot{u}}_j^0}{{\omega }_j}\sin \left({\omega }_{j}t\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\frac{{\tilde{g}}_j\left[u\right]\left(\tau \right)}{{\omega }_j}\sin \left({\omega }_j\left(t-\tau \right)\right)\text{d}\tau },j=1,2,\cdots$

其中$\left(u_j^0,{\dot{u}}_j^0\right)=\left(u_j\left(0\right),{\dot{u}}_j\left(0\right)\right)$ ，即u在0时刻的初值数据。

考虑时间周期条件，我们取梁算子L的频率为基频${\omega }_1$ 的一个零点${\xi }_1\left(x,{\omega }_{1}t\right)=\cos \left({\omega }_{1}t\right){\phi }_1\left(x\right)$ ，我们预估在${\xi }_1$ 方向上存在一个频率$\omega \approx {\omega }_1$ 的解，则解的时间周期为$2\pi /\omega$ 。

定义 令特征频率序列$\Omega =\left({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,\cdots \right)$ ，${\Omega }_c=\left({\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4,\cdots \right)$ 。称频率$\omega$ 与${\Omega }_c$ 是$\gamma$ 强非共振的，如果有以下不等式成立

$\left|\omega l-{\omega }_j\right|\ge \frac{\gamma }{l},l\ge 1,j\ge 2.$

进一步，称$\Omega$ 具有$\gamma \text{-NR}$ 性质，如果存在一个闭集$W_{\gamma }\subset ℝ$ 使得对任意的$\omega \in W_{\gamma }$ 与${\Omega }_c$ 是$\gamma$ 强非共振的，而且${\omega }_1$ 是$W_{\gamma }\cap \left(-\infty ,{\omega }_1\right]$ 的一个聚点，同时也是$W_{\gamma }\cap \left[{\omega }_1,+\infty \right]$ 的一个聚点。

令$s\ge 0$ ，定义Hilbert空间

$U^s=\left\{u={\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{u}_j\left(t\right){\phi }_j\left(x\right)},u_j\in L^2;{\Vert u\Vert }_s^2:={\displaystyle \sum _{j\ge 1}{\omega }_j^{2s}{\Vert u_j\Vert }_{L^2}^2<\infty }\right\}.$

定理2.1令前述假设成立，且

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\left(g^{\left(0\right)}\left({\xi }_1\right),{\xi }_1\right)}_{L^2}\text{d}t}\ne 0.$

则方程(1)存在一族以$\epsilon \in ℰ$ 为参数的周期为$2\pi /{\omega }^{\epsilon }$ 的时间周期解${\left\{u_{\epsilon }\right\}}_{\epsilon \in ℰ}$ ；此外，$ℰ\subset {ℝ}^{+}$ 以零为聚点，${\omega }^{\epsilon }$ 是频率族，$u_{\epsilon }$ 的频率${\omega }^{\epsilon }$ 与${\Omega }_c$ 是$\gamma$ 强非共振的，并且有估计

$\left|{\omega }^{\epsilon }-{\omega }_1\right|\le C{\epsilon }^{r-1},{\Vert u_{\epsilon }\left(x,\frac{t}{{\omega }^{\epsilon }}\right)-\epsilon {\xi }_1\left(x,t\right)\Vert }_s\le C{\epsilon }^r,$

其中。

注：频率集${\omega }^{\epsilon }$ 是一个正测度的Cantor集，当$\gamma \to 0$ 时，它的相对测度是渐近满的。在KAM理论的相关文章都可以找到类似结论，具体证明可参看[17]，只需将特征值展开式为${\omega }_j^2~j^4$ ，便可仿照去证。

2.2. 定理的证明

证明 首先，将时间周期规范化。将$\omega \in W_{\gamma }$ 固定在${\omega }_1$ 附近，寻找(1)的周期解，形如

$u\left(x,t\right)=v\left(x,\omega t\right).$

若u满足方程(1)，则v满足方程

${\omega }^2\rho \left(x\right){\partial }_2^{2}v\left(x,\cdot \right)+{\left(p\left(x\right)v_{xx}\left(x,\cdot \right)\right)}_{xx}=g^{\left(0\right)}\left(x,v\left(x,\cdot \right)\right)+g^{\left(1\right)}\left(x,v\left(x,\cdot \right)\right),$

若$v\left(x,\cdot \right)$ 是上述方程的$2\pi$ 周期解，则$u\left(x,t\right)=v\left(x,\omega t\right)$ 是(1)的$2\pi /\omega$ 周期解。为避免引入过多记号，以下仍将v的第二个变量写作t。

令${\mathrm{L}}_{\omega }v:={\omega }^2{v}_{tt}+{\rho }^{-1}{\left(p\left(x\right)v_{xx}\right)}_{xx}$ ，${\tilde{g}}_0={\rho }^{-1}{g}^{\left(0\right)}$ ，${\tilde{g}}_1={\rho }^{-1}{g}^{\left(1\right)}$ ，则方程可写成

${\mathrm{L}}_{\omega }v={\tilde{g}}_0\left(v\right)+{\tilde{g}}_1\left(v\right):=\tilde{g}\left(v\right)$ (2)

我们再引入一个$U_s$ 子空间$\mathscr{H}\subset H^1\left(\mathbb{T},U^s\right)$ ，

对，有

${\Vert v\Vert }_s^2={\displaystyle \sum _{j\ge 1}{\omega }_j^{2s}}\left(v_{0j}^2+{\displaystyle \sum _{l\ge 1}{v}_{lj}^2\left(1+l^2\right)}\right).$

注意到${\tilde{g}}_1$ 诱导了一个Nemitski算子$\mathscr{H}\to \mathscr{H}:v\mapsto {\tilde{g}}_1\circ v$ ，算子具有Lipschitz性质，其Lipschitz常数与${\epsilon }^r$ 同阶。类似地，由${\tilde{g}}_0$ 所诱导的算子也是正则的。

记${\mathrm{L}}_{\omega }$ 的定义域为$D\left({\mathrm{L}}_{\omega }\right)$ ，我们先在$D\left({\mathrm{L}}_{\omega }\right)$ 中求解(2)，然后再进一步讨论解的正则性。

设$v_1\left(x,t\right)=\cos t{\phi }_1\left(x\right)$ ，$K:=Ker\left(L_{{\omega }_1}\right)=span\left\{v_1\right\}$ ，相应地，定义投影算子$P:\mathscr{H}\to K$ ，$Q=Id-P$ 。我们寻找(2)的解其具有以下形式

$v=\epsilon v_1+{\epsilon }^r{v}_{\perp },v_{\perp }\in K^{\perp },$ (3)

其中$\epsilon$ 是一个待定的小参数。为此，我们记

${\omega }^2={\omega }_1^2+\beta {\epsilon }^{r-1},$ (ω)

这里$\beta$ 待定。将(2)分别投影在K和$K^{\perp }$ 上，代入(ω)和(3)可以得到

$-\beta v_1=P{\tilde{g}}_0\left(v_1\right)+P\left[{\tilde{g}}_0\left(v_1+{\epsilon }^{r-1}{v}_{\perp }\right)-{\tilde{g}}_0\left(v_1\right)+\frac{1}{{\epsilon }^r}{\tilde{g}}_1\left(\epsilon v_1+{\epsilon }^r{v}_{\perp }\right)\right],$ (P)

$L_{\omega }{v}_{\perp }=Q{\tilde{g}}_0\left(v_1\right)+Q\left[{\tilde{g}}_0\left(v_1+{\epsilon }^{r-1}{v}_{\perp }\right)-{\tilde{g}}_0\left(v_1\right)+\frac{1}{{\epsilon }^r}{\tilde{g}}_1\left(\epsilon v_1+{\epsilon }^r{v}_{\perp }\right)\right].$ (Q)

先从(Q)方程开始求解。记${\lambda }_{lj}$ 为${\mathrm{L}}_{\omega }$ 的特征值，则

${\lambda }_{lj}:=-l^2{\omega }^2+{\omega }_j^2=\left(-l\omega +{\omega }_j\right)\left(l\omega +{\omega }_j\right),l\ge 0,\left(l,j\right)\ne \left(1,1\right)$ .

因此，如果$\omega$ 与${\Omega }_c$ 是$\gamma$ 强非共振的，对于$l\ge 1$ ，$j\ge 2$ 和$\left|\omega -{\omega }_1\right|<{\omega }_1/2$ ，有

$\left|{\lambda }_{lj}\right|\ge \gamma \min \left\{\frac{{\omega }_1}{2},\underset{j}{\min }{\omega }_j\right\}$ .

显然对于${\lambda }_{l1}$ 和${\lambda }_{0j}$ 上述不等式仍适用。因此${\mathrm{L}}_{\omega }$ 存在一个有界逆算子${\mathrm{L}}_{\omega }^{-1}$ ，并且$\Vert {\mathrm{L}}_{\omega }^{-1}\Vert \le {\gamma }^{-1}C$ 。将${\mathrm{L}}_{\omega }^{-1}$ 作用于(Q)两端，由于

$Q\left[{\tilde{g}}_0\left(v_1+{\epsilon }^{r-1}{v}_{\perp }\right)-{\tilde{g}}_0\left(v_1\right)+\frac{1}{{\epsilon }^r}{\tilde{g}}_1\left(\epsilon v_1+{\epsilon }^r{v}_{\perp }\right)\right]\to 0,\epsilon \to 0,$

由隐函数定理可知，存在${\epsilon }_{\#}>0$ ，使得当$0\le \epsilon <{\epsilon }_{\#}$ 时，存在一个Lipschtiz函数$v_{\perp }^{\omega }\left(\epsilon \right)$ 满足(Q)。此外，容易看到${\epsilon }_{\text{\#}}$ 只通过$\lambda$ 依赖于ω，并且存在与ω无关的常数C，使得

$v_{\perp }^{\omega }\left(\epsilon \right)={\mathrm{L}}_{\omega }^{-1}Q{\tilde{g}}_0\left(v_1\right)+O\left(\epsilon \right),\underset{\epsilon <{\epsilon }_{\#}}{\sup }{\Vert v_{\perp }^{\omega }\left(\epsilon \right)\Vert }_s\le C{\gamma }^{-1}.$

令${\beta }_0={\left(v_1,{\tilde{g}}_0\left(v_1\right)\right)}_{\mathscr{H}}$ ，由(P)方程可得

$\beta =-\left[{\beta }_0+{\beta }_1\left(\epsilon ,v_{\perp }^{\omega }\left(\epsilon \right)\right)\right],$ (4)

其中

${\beta }_1\left(\epsilon ,v_{\perp }^{\omega }\left(\epsilon \right)\right):={\langle v_1;\left[{\tilde{g}}_0\left(v_1+{\epsilon }^{r-1}{v}_{\perp }^{\omega }\left(\epsilon \right)\right)-{\tilde{g}}_0\left(v_1\right)+\frac{1}{{\epsilon }^r}{g}^{\left(1\right)}\left(\epsilon v_1+{\epsilon }^r{v}_{\perp }^{\omega }\left(\epsilon \right)\right)\right]\rangle }_{\mathscr{H}}.$

这里${\langle .;.\rangle }_{\mathscr{H}}$ 表示$\mathscr{H}$ 中的内积。注意当$\epsilon \to 0$ 时，${\beta }_1\left(\epsilon ,q_{\perp }^{\omega }\left(\epsilon \right)\right)$ 关于$\omega \in W_{\gamma }$ 一致趋于零。

最后，我们求解方程(ω)。将(4)代入(ω)，得到

${\omega }^2\text{=}{\omega }_1^2-{\epsilon }^{r-1}\left({\beta }_0+{\beta }_1\left(\epsilon ,v_{\perp }^{\omega }\left(\epsilon \right)\right)\right).$ (5)

如果${\beta }_1=0$ ，则存在$\epsilon$ 与$\omega$ 之间的一一映射满足定理2.1。当${\beta }_1\ne 0$ 时，我们利用压缩映射原理。先将(5)重写为

$\mu =\frac{{\omega }_1^2-{\omega }^2}{{\beta }_0}-\mu \frac{{\beta }_1\left({\mu }^{1/r-1},v_{\perp }^{\omega }\left({\mu }^{1/\left(r-1\right)}\right)\right)}{{\beta }_0},$ (6)

这里$\mu ={\epsilon }^{r-1}$ 。取正数$\delta <1$ ，对足够接近${\omega }_1$ 的$\omega$ 和足够小的$\mu$ ，等式右边定义了一个以$\left({\omega }_1^2-{\omega }^2\right)/{\beta }_0$ 为球心，$\left(\left({\omega }_1^2-{\omega }^2\right)/{\beta }_0\right)\delta$ 为半径的球上的压缩映射，因此，对于任何固定的$\omega$ 存在唯一的$\mu ={\epsilon }^{r-1}$ 满足(6)，且有估计

$\left|{\epsilon }^{r-1}-\frac{{\omega }_1^2-{\omega }^2}{{\beta }_0}\right|\le C\left(\frac{{\omega }_1^2-{\omega }^2}{{\beta }_0}\right)\delta .$

到此为止，我们构造了方程(2)的解v，通过构造过程可知$v\in D\left({\mathrm{L}}_{\omega }\right)$ 。接下来我们证明这样的 $u\left(x,t\right)=v\left(x,\omega t\right)$ 也满足积分方程

$u_j\left(t\right)=u_j^0\cos \left({\omega }_{j}t\right)+\frac{{\dot{u}}_j^0}{{\omega }_j}\sin \left({\omega }_{j}t\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\frac{{\tilde{g}}_j\left[u\right]\left(\tau \right)}{{\omega }_j}\sin \left({\omega }_j\left(t-\tau \right)\right)\text{d}\tau },j\ge 1.$

易知此解连续地依赖于初始数据，取光滑序列$u^k\in \mathscr{H}$ ，使得在$\mathscr{H}$ 中，$u^k$ 收敛于u，并且${\mathrm{L}}_{\omega }{u}^k$ 收敛于${\mathrm{L}}_{\omega }u$ 。定义

$h^k\left(x,t\right):=\mathrm{L}{u}^k-g\left(x,u^k\right)$ ,

那么$h^k$ 是光滑的，并且当$k\to \infty$ 时一致收敛于零。此外，$u^k$ 满足以下方程

$\rho u_{tt}+{\left(p{u}_{xx}\right)}_{xx}=g\left(u\right)+h^k.$

进而$u_j^k={\left({\phi }_j\left(x\right),u^k\left(x,t\right)\right)}_{L^2}$ 满足积分方程

$u_j^k\left(t\right)=u_j^k\left(0\right)\cos \left({\omega }_{j}t\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\frac{{\tilde{g}}_j\left[u^k\right]\left(\tau \right)+h_j^k\left(\tau \right)}{{\omega }_j}\sin \left({\omega }_j\left(t-\tau \right)\right)\text{d}\tau },j\ge 1,$

其中$h_j^k\left(t\right)={\left({\phi }_j\left(x\right),h^k\left(x,t\right)\right)}_{L^2}$ 。以${\left\{u_j^k\left(0\right)\right\}}_k$ 为初始数据构造逼近解序列${\left\{y^k\right\}}_k$ ，${\left\{y^k\right\}}_k$ 满足积分方程

$y_j^k\left(t\right)=u_j^k\left(0\right)\cos \left({\omega }_{j}t\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\frac{{\tilde{g}}_j\left[y^k\right]\left(\tau \right)}{{\omega }_j}\sin \left({\omega }_j\left(t-\tau \right)\right)\text{d}\tau },j\ge 1,$

与初值条件$y_j^k\left(0\right)=u_j^k\left(0\right)$ ，${\dot{y}}_j^k\left(0\right)=0$ 。再构造w满足积分方程

$w_j\left(t\right)=u_j\left(0\right)\cos \left({\omega }_{j}t\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\frac{{\tilde{g}}_j\left[w\right]\left(\tau \right)}{{\omega }_j}\sin \left({\omega }_j\left(t-\tau \right)\right)\text{d}\tau },j\ge 1,$

与初值条件$w_j\left(0\right)=u\left(0\right)$ ，${\dot{w}}_j\left(0\right)=0$ 。利用积分解对初值的连续依赖性，以及$h_k\to 0$ ，取$\rho >0$ ，对任意的$T>0$ ，当k足够大时，有

$\underset{t\in \left[-T,T\right]}{\sup }{\Vert u^k\left(x,t\right)-y_M^k\left(x,t\right)\Vert }_s\le \rho ,\underset{t\in \left[-T,T\right]}{\sup }{\Vert w\left(x,t\right)-y_M^k\left(x,t\right)\Vert }_s\le \rho ,\underset{t\in \left[-T,T\right]}{\sup }{\Vert u\left(x,t\right)-y^k\left(x,t\right)\Vert }_s\le \rho .$

由此可以看出$u\equiv w$ ，进而，定理2.1中的正则性得证。 □

2.3. 总结

在2.2中我们首先在$D\left({\mathrm{L}}_{\omega }\right)$ 中得到弱解的存在性，然后通过构造逼近解的方法提升解的正则性，在证明过程中频率与解的关系、解的阶数估计等结论都被一一验证。值得指出的是本文选取的${\omega }_1$ 可以是任意一个特征值，因此对于频率是${\omega }_j$ 的情形都可以建立类似的解存在定理。

基金项目

国家自然科学基金项目(12101130)。

NOTES

^*通讯作者。