基于有限元法的霍姆赫兹线圈建模与电磁导航系统磁场优化研究

Modeling and Magnetic Field Optimization of Helmholtz Coils in Electromagnetic Navigation Systems Based on Finite Element Method

摘要: 电磁导航系统作为一种关键技术，已广泛应用于医学影像引导手术、机器人导航以及虚拟现实等领域，其核心组件磁场发生器的性能直接决定了系统的精度与稳定性。霍姆赫兹线圈因其生成均匀磁场的优异特性，成为电磁导航系统中磁场发生器设计的主要选择。然而，实际应用中霍姆赫兹线圈的磁场分布会受到电流频率、线圈几何形状及周围环境等因素的影响，特别是在交流电激励下，磁场强度和分布会随着频率变化而动态变化。因此，精确预测和优化霍姆赫兹线圈的磁场成为设计高效电磁导航系统的关键任务。为解决上述问题，本文基于有限元法，利用COMSOL Multiphysics对霍姆赫兹线圈的电磁场特性进行了建模和仿真。研究重点探讨了交流电激励下线圈产生的磁场分布特性，分析了电流频率、线圈几何参数对磁场均匀性和强度的影响。通过仿真结果验证，霍姆赫兹线圈能够在特定条件下生成稳定且均匀的磁场，同时参数的调整对磁场性能优化具有显著作用。本研究为霍姆赫兹线圈的设计优化提供了理论支持，也为电磁导航系统的高效运行奠定了基础。

Abstract: As a key technology, electromagnetic navigation systems have been widely used in medical imaging-guided surgeries, robotic navigation, and virtual reality applications. The performance of the magnetic field generator, the core component of such systems, directly determines their accuracy and stability. Helmholtz coils, known for their ability to generate uniform magnetic fields, have become the primary choice for the design of magnetic field generators in electromagnetic navigation systems. However, in practical applications, the magnetic field distribution of Helmholtz coils is influenced by factors such as current frequency, coil geometry, and surrounding environment. In particular, under AC excitation, the strength and distribution of the magnetic field dynamically change with frequency. Therefore, accurately predicting and optimizing the magnetic field of Helmholtz coils is crucial for designing efficient electromagnetic navigation systems.To address this issue, this study utilizes the finite element method and COMSOL Multiphysics to model and simulate the electromagnetic characteristics of Helmholtz coils. The research focuses on investigating the magnetic field distribution under AC excitation and analyzing the effects of current frequency and coil geometry parameters on the uniformity and strength of the magnetic field. The simulation results verify that Helmholtz coils can generate stable and uniform magnetic fields under specific conditions, and parameter adjustments have significant effects on optimizing magnetic field performance. This study provides theoretical support for the design and optimization of Helmholtz coils and lays a foundation for the efficient operation of electromagnetic navigation systems.

1. 引言

随着医疗和工业领域对精确定位和导航技术需求的增加，电磁导航系统已成为许多应用中的关键技术。尤其在医学影像引导手术、机器人导航以及虚拟现实等领域，电磁导航系统凭借其高效性和非侵入性的特点，成为了不可或缺的工具。例如，在医学领域，电磁导航技术已成为精确定位手术工具或导管的重要手段，尤其是在微创手术和放射治疗中[1]。与传统的光学和机械导航系统相比，电磁导航系统具有不受视野、空间限制、无接触且操作灵活等显著优势[2]。这些系统通过利用外部产生的磁场来定位和引导探头或器械，确保操作的高精度和安全性。在这些系统中，磁场发生器作为电磁导航系统的核心组件，其性能直接决定了系统的准确性和稳定性。

在电磁导航系统中，磁场发生器的设计与性能至关重要。霍姆赫兹线圈由于其产生均匀磁场的优异特性，广泛应用于电磁导航系统中的磁场发生器设计[3]。通过在霍姆赫兹线圈中施加交流电流，可以在空间内生成均匀且稳定的磁场，为电磁导航系统提供必要的磁场源。然而，在实际应用中，霍姆赫兹线圈的磁场并非完全理想，其分布受到多种因素的影响，包括电流的频率、线圈的几何形状以及周围环境的电磁特性。此外，交流电激励下，霍姆赫兹线圈产生的磁场强度和分布会随着电流频率的变化而发生动态变化，这为设计高效的电磁导航系统提出了更高的要求。因此，精确地预测和优化霍姆赫兹线圈产生的磁场是一个复杂且具有挑战性的任务[4]。

为了解决这一问题，计算机模拟和数值建模方法成为了研究和设计的重要工具。有限元法(Finite Element Method, FEM)作为一种强大的数值求解技术，广泛应用于电磁场的分析与优化。在众多仿真软件中，COMSOL Multiphysics因其多物理场耦合和精确的电磁场求解能力，成为了电磁场建模和仿真中的重要工具[5]。通过COMSOL，研究人员可以构建复杂的电磁模型，模拟不同条件下霍姆赫兹线圈的磁场分布，进一步分析电流频率、线圈尺寸以及其他设计参数对磁场产生的影响。

本论文旨在利用COMSOL Multiphysics对电磁导航系统中的霍姆赫兹线圈进行建模，重点探讨交流电激励下线圈所产生的磁场分布特性。通过对模型的详细分析，本文将为霍姆赫兹线圈的设计与优化提供理论支持，并为电磁导航系统的高效、精确运行提供依据。

2. 理论背景

2.1. 霍姆赫兹线圈原理

霍姆赫兹线圈(Helmholtz Coil)由两组同心圆形电流线圈组成，这些线圈在同一轴线上并且相距一个特定的距离(通常等于线圈半径)。它的主要作用是生成均匀的磁场，这种磁场在特定区域内非常适合用于高精度的磁场实验和应用。

霍姆赫兹线圈的磁场可以通过安培定律来理解，公式为：

$\nabla \times B={\mu }_{0}J$

其中，B表示磁场强度，${\mu }_0$ 是磁场的真空磁导率，J是电流密度。由于霍姆赫兹线圈的对称性，每一小段电流元都会产生一个磁场环路，最终形成整个线圈的磁场[6]。

霍姆赫兹线圈通过两个同心圆形线圈产生的磁场互相叠加。为了使磁场在两线圈之间的中心区域达到均匀，线圈的距离d和半径R之间有特定的关系。霍姆赫兹线圈的设计条件是：

$d=R$

其中，d是两线圈中心的间距，R是线圈的半径。当满足这一条件时，霍姆赫兹线圈会在其中心区域产生均匀的磁场。这一特性使其在需要精确磁场分布的应用中，如电磁导航和医学成像，具有重要应用价值。

霍姆赫兹线圈的磁场强度在其中心点的表达式可以由以下公式给出：

$B_{\text{center}}=\frac{8{\mu }_{0}IN}{\sqrt{125}R}$

其中，$B_{\text{center}}$ 是中心点的磁场强度，${\mu }_0$ 是真空磁导率，I是通过线圈的电流，N是每个线圈的匝数，R是线圈的半径。这个公式表明，磁场强度与电流和匝数成正比，并与线圈半径成反比。

2.2. 交流电激励

在实际应用中，霍姆赫兹线圈往往受到交流电激励，产生时变磁场。交流电激励的频率对磁场的分布、强度和稳定性有重要影响。交流电流的表达式为：

$I\left(t\right)=I_0\text{sin}\left(\omega t\right)$

其中，$I_0$ 是电流的最大幅值，$\omega =2\pi f$ 是电流的角频率，f是电流的频率。

2.3. 磁场的时变特性

交流电流导致霍姆赫兹线圈产生的磁场不仅具有强度变化，还会随着时间呈现周期性变化。根据法拉第电磁感应定律，时变磁场会在周围介质中产生感应电场[7]。电场和磁场之间的关系可以用以下公式描述：

$\nabla \times E=-\frac{\partial B}{\partial t}$

其中，E表示感应电场，B表示磁场。由于电流是周期变化的，磁场也会随之变化，且在高频下变化更加显著。

3. COMSOL建模方法

在本研究中，使用COMSOL Multiphysics对霍姆赫兹线圈进行建模，并通过该模型模拟电磁场的分布。COMSOL的AC/DC模块是处理低频电磁场问题的有效工具，能够精确模拟电流激励下的磁场分布[8]。接下来的部分将详细介绍建模过程，包括几何结构设计、材料参数设置、激励条件定义、求解器选择等。

3.1. 模型设置

3.1.1. 几何结构

在COMSOL中构建霍姆赫兹线圈的几何结构是建模的第一步。霍姆赫兹线圈通常由两组同心的圆形线圈组成。首先，创建单组霍姆赫兹线圈。在建模软件中，选择XY平面作为起始工作面，绘制一个圆形，定义其半径为R。通过拉伸操作将圆形赋予一定的厚度，厚度值根据导线的实际直径设置。随后复制该圆环，并将其沿Z轴方向平移一个距离$d=R$ ，使两个线圈的中心间距等于其半径，从而符合霍姆赫兹线圈的设计准则。为了进一步完善模型，可以对线圈的截面形状进行优化，例如设置为矩形或圆形截面，以匹配实际的线圈截面形状。

完成单组霍姆赫兹线圈的建模后，通过旋转和复制操作生成其他两个方向的线圈组。将第一组线圈绕X轴旋转90度，生成与Z轴平行的线圈组。再将第一组线圈绕Y轴旋转90度，生成与X轴平行的线圈组。

在三轴霍姆赫兹线圈模型中，为了明确其作用范围和磁场均匀性的分析区域，在模型中添加了一个球体，作为霍姆赫兹线圈的工作范围。球体的半径被设置为0.5米，这表示该区域内是磁场的主要工作区域，旨在模拟实际应用中需要精确控制磁场的范围，作为电磁导航系统实验装置的有效工作空间。如下图1所示。

Figure 1. Tri-axial helmholtz coil model (With working range)

图1. 三轴霍姆赫兹线圈模型(带工作范围)

3.1.2. 材料参数

在模型中，为了准确模拟霍姆赫兹线圈的电磁行为，需要为每种材料指定相应的电磁参数。主要材料包括线圈的导体材料和周围的介质(通常为空气)。为模型分配材料属性。将线圈设置为铜材质，其电导率为$\sigma =6\times {10}^7\text{ S/m}$ ，以模拟实际铜导线的高导电性；将工作空间设置为空气材质，其电导率接近零，磁导率为真空磁导率${\mu }_0=4\text{π}\times {10}^{-7}\text{ H/m}$ ，以反映磁场在自由空间中的传播特性。

在线圈的激励条件设置中，每组线圈的匝数被设置为N = 1000匝，并施加交流电流激励，电流表达式为$I_{\text{coil}}=2\cdot \text{sin}\left(2\pi \cdot 3000\cdot t\right)$ ，其中电流幅值为2  A，频率为3000  Hz。三组线圈的电流相互独立，方向分别沿X、Y、Z轴，生成三维空间的均匀磁场。

在网格划分方面，为了确保仿真计算的精确性和效率，对模型的不同区域采用了针对性的网格划分策略。首先，在霍姆赫兹线圈区域，由于线圈的电流分布直接影响磁场的生成和分布，在线圈表面及其附近区域采用较细的网格划分。通过细化网格，可以更好地捕捉线圈电流激励下磁场的局部特性，尤其是在电流密度较大的导体表面区域。此外，线圈的导线厚度较小，因此需要密集的网格来准确反映电流路径及其对磁场的影响。如下图2所示。

Figure 2. Mesh generation for the working space of tri-axial Helmholtz coil

图2. 三轴霍姆赫兹线圈的工作空间网格划分

4. 模型分析

4.1. 求解步骤设置

本研究采用瞬态分析对霍姆赫兹线圈的磁场分布进行求解，模拟了交流电激励下磁场随时间的动态变化特性。求解器选择瞬态求解器，能够捕捉电流激励下磁场从初始状态到稳态的演化过程。交流电流的表达式为$I_{\text{coil}}=2\cdot \text{sin}\left(2\pi \cdot 3000\cdot t\right)$ ，其中电流幅值I0 = 2A，频率f = 3000  Hz。仿真时间参数设置为 $\text{Δ}t=1\times {10}^{-6}\text{s}$ 的时间步长，以及T = 1  ms的总仿真时间，确保能够覆盖多个电流周期并捕捉每个周期内的磁场动态变化。

4.2. 三维空间磁通密度模分析

从仿真的磁通密度模型三维分布图，如下图3所示，可以观察到，霍姆赫兹线圈在工作空间内的磁场分布呈现出中心均匀、边界衰减的特性。颜色分布从蓝色到红色，表示磁通密度模(磁场强度)的大小，其中红色区域代表磁场强度较高的区域，而蓝色区域代表磁场强度较低的区域。在靠近线圈的中心区域，磁通密度较为集中，显示出线圈能够在该区域内生成稳定且强度较高的磁场。同时，在远离线圈的外围区域，磁场强度逐渐减小，表明磁场随着空间距离的增加自然衰减，这符合霍姆赫兹线圈的理论工作原理。

从流线的分布可以观察到，磁场的方向在三维空间内呈现对称性，说明三组正交霍姆赫兹线圈的磁场叠加效果良好，磁场的分布特性符合设计预期。流线在靠近线圈表面区域较为密集，表明该区域的磁场强度较大；而在远离线圈的区域，流线逐渐变得稀疏，说明磁场强度减弱。此外，在球形工作空间内(半径为0.5米的范围内)，磁场的分布相对均匀，流线的对称性和间距变化较小，表明该区域内的磁场均匀性较高，能够满足电磁导航和精密定位的应用需求。

Figure 3. Magnetic flux density magnitude 3D distribution map

图3. 磁通密度模三维分布图

4.3. 均匀性分析

如下图4所示，不同时间和不同距离下的霍姆赫兹线圈磁通密度的x分量分布具有显著的变化规律。纵轴表示磁通密度的x分量(单位：mT)，横轴表示x坐标的位置(单位：cm)，图中包含了不同时间步(例如0 s、0.1 s、0.2 s等)和不同距离(例如距离为0、−0.2 m、−0.4 m)的磁场分量曲线。

首先，从不同时间步的曲线可以观察到，磁通密度的x分量随着时间的变化而发生周期性波动，这与施加在霍姆赫兹线圈上的正弦交流电流的激励形式一致。不同时间的曲线在中心区域(接近x = 0)的变化幅度较小，而在远离中心区域(例如∣x∣ > 20 cm)的变化幅度逐渐增大。这表明霍姆赫兹线圈产生的磁场在中心区域的均匀性较高，而远离中心区域时，磁场的波动性较强。

其次，从不同距离的曲线(例如距离为0、−0.2 m、−0.4 m)可以看出，磁通密度的x分量在靠近线圈中心的位置(距离为0 m)分布较为平缓，而随着距离的增加，曲线的峰值逐渐增大并表现出明显的不对称性。这种现象说明，霍姆赫兹线圈的磁场在中心区域内分布均匀，而在离中心较远的空间，磁场的分量受到边缘效应的影响逐渐增强，均匀性降低。

此外，曲线的对称性和幅值也反映了三维磁场分布的特性。在中心区域，磁通密度的x分量接近于零，表明在理想条件下，霍姆赫兹线圈的磁场分量沿x轴方向几乎不存在。而远离中心区域时，磁通密度的波动较大，尤其在某些时间步下，曲线的峰值和谷值差异较显著。这可能是由于线圈的几何结构或激励条件(例如电流频率和幅值)引起的磁场分布特性变化。

如图5所示，霍姆赫兹线圈磁通密度的y分量在不同时间步和不同偏离距离下的分布规律与x分量有显著差异。纵轴表示磁通密度y分量的强度(单位：mT)，横轴表示位置坐标(单位：m)。通过分析可以发现，y分量的分布不仅受中心区域的均匀性控制，还体现出在时间和空间上更明显的动态波动特性。

Figure 4. Distribution of magnetic flux density x-component at different times and positions

图4. 不同时间与位置的磁通密度x分量分布图

Figure 5. Distribution of magnetic flux density y-component at different times and positions

图5. 不同时间与位置的磁通密度y分量分布图

首先，在中心区域(距离为0 m附近)，y分量的分布相对平稳，与xxx分量类似，表现出较高的磁场均匀性。然而，与x分量不同的是，y分量的整体曲线幅值更高，并且在空间上表现出更加显著的对称性。这种分布特性表明，霍姆赫兹线圈在y方向上能够产生较强且均匀的磁场分量，这是由线圈结构及其电流激励在正交方向上的叠加效应决定的。

其次，随着观察位置逐渐远离中心区域(例如距离为−0.2 m和−0.4 m)，y分量的波动性逐渐增加，与中心区域的分布差异显著。尤其在远离中心区域时，曲线的幅值波动更为明显，呈现出周期性变化的趋势，这与施加在霍姆赫兹线圈上的交流电流激励相一致。相比于x分量的衰减趋势，y分量在远离中心时的强度变化更加剧烈，表明该方向的磁场在空间扩散过程中受干扰较大，均匀性下降更加明显。

最后，从不同时间步的变化来看，y分量的波动幅度随着时间周期发生明显变化。在靠近边缘区域(例如x > 0.4  m处)，曲线出现了多个极值点，这些峰值的分布表明在时间周期内y分量的动态变化更为显著。这种现象与x分量的分布特性形成鲜明对比，反映了霍姆赫兹线圈在不同方向上磁场分量的特性差异。

从图6中观察，霍姆赫兹线圈磁通密度的z分量在不同时间和空间位置下的分布特性，呈现出与x分量和y分量不同的规律。纵轴表示磁通密度z分量的强度(单位：mT)，横轴表示空间坐标(单位：m)。通过分析可以发现，z分量在中心区域的分布相对稳定，而在远离中心区域时，波动幅度显著增大，并表现出更强的局部极值现象。

Figure 6. Distribution of magnetic flux density z-component at different times and positions

图6. 不同时间与位置的磁通密度z分量分布图

4.4. 求解结果分析

通过对霍姆赫兹线圈磁场的三维分量(x、y、z)的仿真分析可以得出，在电磁导航系统的工作范围内(球体中心区域)，磁场分量的分布总体表现出良好的均匀性和动态稳定性，能够满足电磁导航系统对磁场均匀性和强度的基本要求。在中心区域，三轴磁场的分布呈现出平稳的特性，磁通密度的波动较小，表明该设计在导航系统的主要操作区域内可以提供高度均匀且可控的磁场环境。

然而，不同方向的磁场分量表现出各自的特点。x分量在远离中心区域时逐渐衰减，波动幅度较小且均匀性较好，适合导航系统对高精度磁场控制的需求；y分量在中心区域保持均匀，但远离中心时波动增大并出现局部极值点，这表明其对线圈参数的变化更加敏感；而z分量在远离中心区域时表现出最显著的波动，均匀性下降最为明显，同时对时间动态变化的响应更为剧烈，表明z分量对线圈几何参数和激励条件的依赖性更高。

总体来说，霍姆赫兹线圈在电磁导航系统中的设计满足了中心区域均匀磁场的生成要求，但边缘区域的磁场分布受边缘效应的影响较大，尤其是y和z分量，需要通过优化线圈的几何参数(如匝数、半径和间距)以及精确调整交流电激励条件(如频率和幅值)进一步改善磁场均匀性。这些研究结果为电磁导航系统磁场发生器的优化设计提供了理论支持，也为实际系统的高效、精确运行奠定了基础。

5. 结论

本研究基于有限元法，利用COMSOL Multiphysics对用于电磁导航系统的霍姆赫兹线圈磁场发生器进行了建模与分析，重点探讨了线圈在交流电激励下的磁场分布特性及其动态变化规律。仿真结果表明，霍姆赫兹线圈能够在中心区域生成较为均匀的磁场，满足电磁导航系统对高精度定位和导航的需求。然而，不同方向的磁场分量(x、y、z)在空间分布和时间响应上表现出各自的特点，其中x分量在中心区域和边缘区域均表现出较好的均匀性和稳定性，y分量在边缘区域出现一定的波动，而z分量的边缘效应和动态波动最为显著，均匀性下降明显。

研究还发现，磁场分布的均匀性和强度受到线圈几何参数(如匝数、半径和间距)以及激励电流频率和幅值的显著影响。通过合理优化这些参数，可进一步提高磁场的均匀性，尤其是在远离中心的工作范围内。总体而言，本研究验证了霍姆赫兹线圈在电磁导航系统中作为磁场发生器的可行性，并为线圈的优化设计提供了理论支持。这些结果为实现电磁导航系统的高精度定位和稳定运行奠定了基础，也为类似系统的磁场发生器设计提供了重要参考。