加权多元Paley-Wiener空间在概率框架和平均框架下的Kolmogorov n-宽度

Kolmogorov n-Width of Weighted Multivariate Paley-Wiener Spaces in Probability and Average Settings

摘要: 加权多元Paley-Wiener空间不仅在通讯、信息处理、数据压缩等方面有广泛应用，而且也是逼近定义在$ℝ$ 上的函数类的重要工具，因而得到广泛的深入研究。本文研究加权多元Paley-Wiener空间在概率框架和平均框架下的逼近特征，特别地，利用离散化的方法估计了在概率框架和平均框架下，加权多元Paley-Wiener空间的Kolmogorov n-宽度的精确渐进阶。

Abstract: Weighted multivariate Paley-Wiener spaces have wide applications in communication, information processing, data compression, and other fields. They are also important tools for approximating classes of functions defined on $ℝ$ , and thus have been extensively studied. This paper studies the approximation characteristics of weighted multivariate Paley-Wiener spaces in probability and average settings. In particular, by using discretization methods, the paper estimates the exact asymptotic order of the Kolmogorov n-width of weighted multivariate Paley-Wiener spaces in the probability and average settings.

1. 引言

函数逼近论[1] [2]是函数论中的一个重要分支，涉及的基本问题是函数的近似表示问题，研究如何用更简单或更易处理的函数来逼近复杂的函数。

宽度的研究由来已久，它的概念最早由Kolmogorov [3]提出并且他估计了Sobolev类$B_2^r$ 在经典勒贝格空间$L_2$ 上的Kolmogorov宽度，并且得到了其精确渐近阶。2022年，Wang H [4]通过考虑加权Sobolev类$B{W}_{p,\mu }^r$ 和加权Sobolev类$BB{W}_{\tau }^r\left(L_{p,\mu }\right)$ 在随机情况下的数值积分，得到了精确渐进阶$n^{-r/d-1/2+{\left(1/p-1/2\right)}_{+}}$ 。

带有限函数空间在数据拟合、通讯传输等方面有广泛的应用[5]-[9]，为许多问题提供了稳定性和可控性，能够有效地处理近似问题，找到最佳逼近方案。1934年，Paley和Wiener [10]研究得到经典的Paley-Wiener空间。1994年，Lyubarskii和Madych [10]证明当样条的阶数趋近于无穷时，Paley-Wiener函数可以从它们在完整插值序列上的值中恢复。

李玥[11]研究了加权带有限函数空间在一致框架下的Kolmogorov n-宽度和线性n-宽度的精确渐近阶。因此本文将继续这一工作，研究加权多元Paley-Wiener空间在概率框架下和平均框架下的逼近特征，特别估计概率框架下和平均框架下加权多元Paley-Wiener空间$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 在$B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)$ 中Kolmogorov n-宽度的精确渐进阶。

2. 空间和主要结论

本节主要介绍本文研究的函数空间——加权多元Paley-Wiener空间及其主要性质，下面介绍一些预备知识。

用$L_p\left({ℝ}^d\right)\left(1<p<\infty \right)$ 表示定义在${ℝ}^d$ 上的p-次幂可积的经典Lebesgue空间，${\Vert \cdot \Vert }_{L_p\left({ℝ}^d\right)}$ 表示其范数；$l_p\left({\mathbb{Z}}^d\right)\left(l_p\left({\mathbb{Z}}_0^d\right)\right)\left(1\le p<\infty \right)$ 表示定义在$\mathbb{Z}\left({\mathbb{Z}}_0\right)$ 上p-次幂可和的序列空间，${\Vert \cdot \Vert }_{l_p\left({\mathbb{Z}}^d\right)}\left({\Vert \cdot \Vert }_{l_p\left({\mathbb{Z}}_0^d\right)}\right)$ 表示其范数。

下面介绍指数型整函数的概念。

设$\sigma >0$ ，$g_{\sigma }\left(z\right)$ 为定义在复数域${ℂ}^d$ 上的整函数。若$\forall \epsilon >0$ ，存在仅与$\epsilon$ 有关的正常数$A:=A\left(\epsilon \right)$ ，使得对所有$z=\left(z_1,\cdots ,z_d\right)\in ℂ$ ，$z_k=x_k+i{y}_k,k=1,\cdots ,d$ 。不等式

$\left|g_{\sigma }\left(z\right)\right|\le A\exp \left({\displaystyle \sum _{j=1}^d\left(\sigma +\epsilon \right)\left|z_j\right|}\right).$

成立，则称函数$g_{\sigma }\left(z\right)$ 为指数$\sigma$ -型整函数。以$E_{\sigma }$ 表示指数$\sigma$ 型整函数的全体，$B_{\sigma }\left({ℝ}^d\right)$ 表示限制在${ℝ}^d$ 上有界的所有指数$\sigma$ -型整函数的全体之集。令

$B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right):=B_{\pi }\left({ℝ}^d\right)\cap L_p\left({ℝ}^d\right),1\le p<\infty$ .

赋予范数${\Vert \cdot \Vert }_{L_p\left({ℝ}^d\right)}$ ，显然在此范数下$B_{\pi ,p}$ 为Banach空间，称该空间为p-Paley-Wiener空间。当$p=2$ 时，$B_{\pi ,p}\left(ℝ\right)$ 为经典的Paley-Wiener空间。

对$1<p<\infty ,\sigma >0$ ，记

${\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right):=\left\{f\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right):f\left(k\right)=0,k\in Z^d\backslash Z_0^d\right\}.$

易见，${\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 关于${\Vert \cdot \Vert }_{L_p\left({ℝ}^d\right)}$ 为$B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 的闭子空间，即${\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 关于范数${\Vert \cdot \Vert }_{L_p\left({ℝ}^d\right)}$ 为Banach空间。关于空间${\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ ，有如下性质，这些性质在本文中起到关键作用。

为结果的叙述，首先介绍本文所用的相关记号。

本文中用以下符号：$\mathbb{Z}$ 表示整数集，${\mathbb{Z}}_0$ 表示非零整数集，$\mathbb{N}$ 表示自然数集，${\mathbb{N}}_{+}$ 表示正整数集，$ℝ$ 表示实数域，$ℂ$ 表示复数域。若$a\left(x\right)$ 和与$b\left(x\right)$ 为定义在集合$F$ 上的两个正函数，用$a\left(x\right)\ll b\left(x\right)$ 表示存在与$x$ 无关的正常数$c_1$ ，使得对任意$x\in F$ 有$a\left(x\right)\le c_{1}b\left(x\right)$ ；而$a\left(x\right)\gg b\left(x\right)$ 表示存在与$x$ 无关正常数$c_2$ ，使得对任意$x\in F$ ，存在$a\left(x\right)\ge c_{2}b\left(x\right)$ ；$a\left(x\right)\asymp b\left(x\right)$ 表示$a\left(x\right)\ll b\left(x\right)$ 与$a\left(x\right)\gg b\left(x\right)$ 同时成立。

引理2.1. [12] 设$1<p<\infty ,f\in {\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)$ ，则

(1) $f\left(x\right)={\displaystyle \sum _{k\in Z_0^d}f}\left(k\right)\sin c_d\left(\pi x-k\pi \right)$ ，$x=\left(x_1,\cdots ,x_d\right)\in {ℝ}^d$ 。

上式右边称为d重Whittaker级数，此级数对$x\in {ℝ}^d$ 绝对一致收敛。

(2) 存在一个仅依赖于p的常数$c_p$ ，以及一个绝对正常数$c$ ，使得

$c{\left({\displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}_0^d}{\left|f\left(k\right)\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}\le {\Vert f\Vert }_{\sigma ,p}\le c_p{\left({\displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}_0^d}{\left|f\left(k\right)\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}.$

(3) 对任意的$y={\left\{y_k\right\}}_{k\in {\mathbb{Z}}_0^d}\in l_p\left({\mathbb{Z}}_0^d\right)$ ，则存在唯一的$g\in {\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right),$ ，使得$g\left(k\right)=y_k,k\in {\mathbb{Z}}_0^d$ ，且 $g\left(x\right)={\displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}_0^d}g}\left(k\right)\sin c_n\left(\pi x-k\pi \right),x\in {ℝ}^d$ 。在${ℝ}^d$ 上绝对一致收敛。其中

$\sin c_{d}x={\displaystyle \prod _{j=1}^d\sin c{x}_j},\sin c{x}_j=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x_j}{x_j},\hfill & x_i\in ℝ,x_j\ne 0,\hfill \\ 1,\hfill & x_j=0.\hfill \end{array}$

注2.1. (1) 由引理2.1知，${\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 可以表示为

${\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right):=\left\{f\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right):f\left(k\right)=0,k\in {\mathbb{Z}}^d/{\mathbb{Z}}_0^d,\left\{f\left(k\right)\right\}\in l_p\left({ℝ}^d\right)\right\}.$

且

${\Vert f\Vert }_{L_p\left({ℝ}^d\right)}\asymp {\Vert \left\{f\left(k\right)\right\}\Vert }_{l_p\left({\mathbb{Z}}_0^d\right)},f\in {\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right).$ (1)

(2) 对$k\in {\mathbb{Z}}_0^d$ ，记$e_k^d\left(\pi x\right):=\sin c_d\left(\pi x-k\pi \right),x\in {ℝ}^d$ ，则${\left\{e_k^d\left(\pi x\right)\right\}}_{k\in {\mathbb{Z}}_0^d}$ 为${\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 的Schauder基。

为方便起见，以下行文中，若没有特殊说明，$B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 均表示${\stackrel{\circ }{B}}_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ 。

下面，继续引入一些概念。

设$1<p<\infty ,r_1=r_2=\cdots =r_{\nu }<r_{\nu +1}\le \cdots \le r_d,r_i\in ℝ,j=1,\cdots ,d$ ，对$f\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)$ ，记

$f^{\left(r\right)}\left(x\right)={\displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}_0^d}{\left|k\right|}^r}f\left(k\right)e_k^d\left(\pi x\right),x\in {ℝ}^d.$

由引理2.1知，若$\left\{{\left|k\right|}^{r}f\left(k\right)\right\}\in l_p\left({\mathbb{Z}}_0^d\right)$ ，则上式右边级数在${ℝ}^d$ 上绝对一致收敛于$f^{\left(r\right)}$ ，且称$f^{\left(r\right)}$ 为$f$ 的$r$ 阶导数。

对$1<p<\infty ,r=\left(r_1,\cdots ,r_d\right)\in {ℝ}^d,0<r_1=\cdots =r_v<r_{v+1}\le \cdots \le r_d$ ，记

$B_{\pi ,p}^r\left({ℝ}^d\right)=\left\{f\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right):f^{\left(r\right)}\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)\right\}$ .

对$f\in B_{\pi ,p}^r\left({ℝ}^d\right)$ ，令

${\Vert f\Vert }_{r,p}:={\Vert f^{\left(r\right)}\Vert }_{l_p\left({ℝ}^d\right)}.$

由引理2.1知${\Vert \cdot \Vert }_{r,p}$ 为$B_{\pi ,p}^r\left({ℝ}^d\right)$ 上的范数，而且$B_{\pi ,p}^r\left({ℝ}^d\right)$ 关于范数${\Vert \cdot \Vert }_{r,p}$ 为Banach空间。且

${\left\{e_k^d\left(\pi x\right)\right\}}_{k\in {\mathbb{Z}}_0^d}$ 为其Schauder基，称$B_{\pi ,p}^r\left({ℝ}^d\right)$ 为多元加权Paley-Wiener空间。易见，对$1<p,q<\infty$ ，当$r>\max \left\{0,\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right\}$ 时，$B_{\pi ,p}^r\left({ℝ}^d\right)$ 可以连续的嵌入$B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)$ ，李玥[11]等得到了一致框架下，当$d=1$ 时，

$B_{\sigma ,p}^r\left({ℝ}^d\right)$ 在$B_{\sigma ,q}\left({ℝ}^d\right)$ 中Kolmogorov n-宽度与线性n-宽度的精确渐进阶。本文将继续其研究，讨论概率框架和平均框架下多元加权Paley-Wiener空间$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 的宽度问题。为此，首先介绍$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 的相关性质。

对$f,g\in B_{\pi ,2}\left({ℝ}^d\right)$ ，令

$\langle f,g\rangle ={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^d}f\left(x\right)g\left(x\right)\text{d}x}$ .

则易见$\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 为$B_{\pi ,2}\left({ℝ}^d\right)$ 上的内积，$B_{\pi ,2}\left({ℝ}^d\right)$ 关于内积$\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 为Hilbert空间，${\left\{e_k^d\left(\pi x\right)\right\}}_{k\in {\mathbb{Z}}_0^d}$ 为$B_{\pi ,2}\left({ℝ}^d\right)$ 上的标准正交基，其内积诱导的范数为${\Vert \cdot \Vert }_{L_2\left({ℝ}^d\right)}$ 。

对$r=\left(r_1,\cdots ,r_d\right)\in {ℝ}^d,f,g\in B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ ，令

${\langle f,g\rangle }_r:=\langle f^{\left(r\right)},g^{\left(r\right)}\rangle$ .

易见${\langle \cdot ,\cdot \rangle }_r$ 为$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 的内积，且$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 关于内积${\langle \cdot ,\cdot \rangle }_r$ 为Hilbert空间，${\left\{e_k^d\left(\pi \cdot \right)\right\}}_{k\in {\mathbb{Z}}_0^d}$ 为$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 上的正交基，其内积诱导的范数为${\Vert \cdot \Vert }_{r,2}$ 。

本文主要研究Hilbert空间$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 在概率框架和平均框架下的逼近特征。为此，在Hilbert空间$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 赋予满足如下条件的高斯测度$\mu$ ，其平均元为零元，协方差$C_{\mu }$ 对应的特征函数为$e_k^d\left(\pi \cdot \right),k\in {\mathbb{Z}}_0^d$ ，且相应的特征值为${\lambda }_k={\left|k\right|}^{-\rho },\rho >1$ ，即

$C_{\mu }{e}_k^d\left(\pi x\right)={\lambda }_k{e}_k^d\left(\pi x\right),k\in {\mathbb{Z}}_0^d$ (2)

由文献[13]知，$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 上满足以上条件的高斯测度$\mu$ 是唯一的，现考虑$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 中柱集的高斯测度。

令$y_1,\cdots ,y_n$ 为$B_{\pi ,2}\left({ℝ}^d\right)$ 中的$n$ 个正交向量，${\sigma }_j=\langle C_{\mu }{y}_j,y_j\rangle ,\left(j=1,\cdots ,n\right)$ 。$B$ 为${ℝ}^n$ 中的Borel子集，则$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 中的柱集

$G=\left\{f\in B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right):\left({\langle f,y_1^{\left(-r\right)}\rangle }_r,\cdots ,{\langle f,y_n^{\left(-r\right)}\rangle }_r\right)\in B\right\}$

的测度为

$\mu \left(G\right)={{\displaystyle \prod _{j=1}^n\left(2\pi {\sigma }_j\right)}}^{-\frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_B\exp \left(-{\displaystyle \sum _{j=1}^n\frac{{\left|{\mu }_j\right|}^2}{2{\sigma }_j}}\right)\text{d}{\mu }_1\cdots \text{d}{\mu }_n}$ .

关于Hilbert空间上高斯测度的详细信息可参考[13]。本文研究赋予高斯测度$u$ 的Hilbert空间$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 在概率框架的平均框架下的Kolmogorov n-宽度与线性n-宽度。

3. 离散化定理

由引理2.1知，当$r_1>\frac{1}{2}$ 时，$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 可以连续地嵌入$B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\left(1<q<\infty \right)$ 中，本节研究赋高斯测度

$\mu$ 下的Hilbert空间$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ ，在概率框架和平均框架下的Kolmogorov n-宽度和平均Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶。首先，介绍一致框架、概率框架和平均框架下Kolmogorov n-宽度的概念。

定义3.1. [14]设$W$ 为赋范线性空间$\left(Z,\Vert \cdot \Vert \right)$ 中的非空子集，$n\in \mathbb{N}$ ，则

$d_n\left(W,Z\right):=\underset{L_n}{\inf }\underset{x\in B_Z}{\sup }\underset{y\in L_n}{\inf }\Vert x-y\Vert$

为一致框架下$W$ 在$Z$ 中的Kolmogorov n-宽度。其中$L_n$ 取遍$Z$ 中所有维数不超过$n$ 的线性子空间，$B_Z$ 为$Z$ 中的单位球。

由于Kolmogorov n-宽度在计算复杂性等方面的重要应用，其在函数逼近论中的重要地位，因而得到广泛的研究，其详细信息可参阅A. Pinkus的专著[15]。1994年，V. E. Maiorov在[16]中引入了概率框架和平均框架下的Kolmogorov n-宽度的概念。

定义3.2. [17] 设$\left(Z,\Vert \cdot \Vert \right)$ 为赋范线性空间，$W$ 是$Z$ 的非空子集，$B$ 为$W$ 上的Borel域，$\mu$ 为定义在$B$ 上的概率测度，$n\in \mathbb{Z}$ ，$\delta \in \left[0,1\right)$ ，分别称

$d_{n,\delta }\left(W,\mu ,Z\right):=\underset{G_{\delta }}{\inf }{d}_n\left(W\backslash G_{\delta },Z\right)$ .

和

$d_n^{\left(a\right)}{\left(W,\mu ,Z\right)}_p:=\underset{F_n}{\inf }{\left({\displaystyle {\int }_W\underset{y\in F_n}{\inf }{\Vert x-y\Vert }^p\text{d}\mu \left(x\right)}\right)}^{\frac{1}{p}},0<p<\infty$ .

为概率框架下$W$ 在$Z$ 中的Kolmogorov n-宽度和平均框架下$W$ 在$Z$ 中的p-平均Kolmogorov n-宽度，分别简称为$W$ 在$Z$ 中关于测度$\mu$ 的Kolmogorov-$\left(n,\delta \right)$ -宽度和平均Kolmogorov n-宽度。其中$G_{\delta }$ 取遍$B$ 中测度不超过$\delta$ 的所有元素，$F_n$ 取遍$Z$ 中的维数不超过$n$ 的线性子空间。

本节主要是估计$r_1>\frac{1}{2}$ 时，$d_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)$ 和$d_n^{\left(a\right)}{\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)}_p$ 的精确渐进阶。其中$1<q<\infty ,0<p<\infty$ 。其主要结果如下。

定理3.1. 设$1<q<\infty ,r=\left(r_1,\cdots ,r_d\right)\in {ℝ}^d,\frac{1}{2}<r_1=\cdots =r_v<r_{v+1}\le \cdots \le r_d,\rho >1$ 且$\delta \in \left(0,\frac{1}{2}\right],n\in \mathbb{Z}$ ，则

$d_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\asymp {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}$ .

通过定理3.1和文献[18]可得到如下结果，证明过程省略。

定理3.2. 设$1<q<\infty ,0<p<\infty ,r=\left(r_1,\cdots ,r_d\right)\in {ℝ}^d,\frac{1}{2}<r_1=\cdots =r_v<r_{v+1}\le \cdots \le r_d$ ，且$\rho >1$ ，则

$d_n^{\left(a\right)}\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\asymp {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}$ .

本文主要采用离散化的方法估计定理3.1的上、下界。为此，首先介绍有限维空间的相应结果。

设$1\le p\le \infty$ ，用$l_p^m$ 表示在${ℝ}^m$ 上赋予范数${\Vert \cdot \Vert }_{l_p^m}$ 的Banach空间，其中

${\Vert x\Vert }_{l_p^m}=\{\begin{array}{l}{\{\left({\displaystyle \sum _{k=1}^m{\left|x_k\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}},1\le p<\infty \\ \underset{1\le k\le m}{\max }\left|x_k\right|,p=\infty \end{array},x=\left(x_1,\cdots ,x_m\right)\in {ℝ}^m$ .

用$B_p^m$ 表示$l_p^m$ 中的单位球。

现在${ℝ}^m$ 上赋予标准高斯测度$\nu :={\nu }_m$

$\nu \left(G\right)={\left(2\pi \right)}^{-\frac{m}{2}}{\displaystyle {\int }_G\exp \left(-\frac{1}{2}{\Vert x\Vert }_{l_m^2}^2\right)\text{d}x}$ .

其中$G$ 为${ℝ}^m$ 中的Borel集，显然$\nu \left({ℝ}^m\right)=1$ 。

下面的引理由Mairorov [16]和徐[17]以及伪宽度和Kolmolgorv宽度的关系给出，具体细节见[17]。

引理3.1. [19]设$1\le q\le \infty ,m\ge 2n,\delta \in \left(0,\frac{1}{2}\right]$ ，则

(1) $d_{n,\delta }\left({ℝ}^m,v,l_q^m\right)\asymp m^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{m+\ln \frac{1}{\delta }},1\le q\le 2$ .

(2) $m^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{m+\ln \frac{1}{\delta }}\ll d_{n,\delta }\left({ℝ}^m,v,l_q^m\right)\ll m^{\frac{1}{q}}{n}^{-\frac{1}{2}}\sqrt{m+\ln \frac{1}{\delta }},2\le q\le \infty$ .

现建立估计定理3.1上、下界的离散化定理。

设$S=\left(S_1,\cdots ,S_d\right)\in {\mathbb{N}}^d$ ，令

${\rho }_s=\left\{n=\left(n_1,\cdots ,n_d\right)\in {\mathbb{Z}}_0^d:2^{s_{j-1}}<\left|n_j\right|\le 2^{s_j},j=1,\cdots ,d\right\}.$

则$\left|{\rho }_s\right|=2^{\left(s,1\right)},{\displaystyle \sum _{s\in {\mathbb{N}}^d}{\rho }_s}={\mathbb{Z}}_0^d$ 且${\rho }_{s^{\prime }}\cap {\rho }_s=\varnothing ,s^{\prime },s\in {\mathbb{N}}_{+}^d,s\ne s^{\prime }$ 。

下面，对${\mathbb{N}}_{+}^d$ 再进行分块，令$\rho =\left(1,\cdots ,1,\frac{r_{v+1}+\frac{\rho }{2}}{r_1+\frac{\rho }{2}},\cdots ,\frac{r_d+\frac{\rho }{2}}{r_1+\frac{\rho }{2}}\right)$ ，对$l\in {\mathbb{N}}_{+}$

令

$S_l=\left\{s\in {\mathbb{N}}^d:l-1\le \left(s,\gamma \right)<l\right\}.$ (3)

再设$\Vert S_l\Vert ={\displaystyle \sum _{s\in S_l}\left|{\rho }_s\right|}={\displaystyle \sum _{l-1\le \left(s,\gamma \right)<l}{2}^{\left(s,1\right)}}$ 。由(3)知，$\Vert S_l\Vert \asymp 2^l{l}^{v-1}$ 。

设$l\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，对$f\in B_{\pi ,p}\left({ℝ}^d\right)\left(1<p<\infty \right)$ ，令

$\left({\Delta }_{l}f\right)\left(x\right)={\displaystyle \sum _{s\in S_l}{\displaystyle \sum _{n\in {\rho }_s}{C}_n}}{e}_{n,\pi }^d\left(\sigma x\right),x\in {ℝ}^d$

其中$C_n:=f\left(n\right)$ ，易知

${\Vert f\Vert }_{L_p({ℝ}^d)}\asymp {\left({\displaystyle \sum _{l\ge 1}{\Vert {\Delta }_{l}f\Vert }_{L_p\left({ℝ}^d\right)}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}.$

令

$F_l=span\left\{e_n^d\left(\pi \cdot \right):n\in {\rho }_s,s\in S_l\right\}$

易见$\dim F_l=\Vert S_l\Vert$ 。再令

$I_l:F_l\to {ℝ}^{\Vert S_l\Vert }$

$f\to {\left\{\langle f,\frac{e_n^d\left(\pi \cdot \right)}{\sqrt{{\lambda }_n}}\rangle \right\}}_{n\in {\rho }_s,s\in S_l}$ (4)

易见$I_l$ 为$F_l$ 到$l_q^{\Vert S_l\Vert }$ 的线性同构映射。由(4)可知，

${\sigma }_n=\langle C_{\mu }\frac{e_n^d\left(\pi t\right)}{\sqrt{{\lambda }_n}},\frac{e_n^d\left(\pi t\right)}{\sqrt{{\lambda }_n}}\rangle =1,n\in {\rho }_s.$

对$n=\left(n_1,\cdots ,n_d\right)\in {\rho }_s$ ，由于$\left|n\right|={\displaystyle \prod _{j=1}^d\left|n_j\right|}=2^{\left(s,1\right)}$ ，所以对$f\in F_l$ ，有

$\begin{array}{c}{\Vert I_{l}f\Vert }_{l_q^{\Vert S_l\Vert }}={\Vert {\left\{\langle f,\frac{e_n^d\left(\pi \cdot \right)}{\sqrt{{\lambda }_n}}\rangle \right\}}_{n\in {\rho }_s,s\in S_l}\Vert }_{l_q^{\Vert S_l\Vert }}\\ \asymp 2^{\frac{\left(s,1\right)}{2}\rho }{\Vert {\left\{f\left(n\right)\right\}}_{n\in {\rho }_s,s\in S_l}\Vert }_{l_q^{\Vert S_l\Vert }}\asymp 2^{\frac{\left(s,1\right)}{2}\rho }{\Vert f\Vert }_{\sigma ,q}\end{array}$ (5)

以及

$\begin{array}{c}{\Vert f^{\left(r\right)}\Vert }_{L_q\left({ℝ}^d\right)}\asymp {\left({{\displaystyle \sum _{s\in S_l}{\displaystyle \sum _{n\in {\rho }_s}\left|n\right|}}}^{rq}{\left|f\left(n\right)\right|}^q\right)}^{\frac{1}{q}}\\ \asymp {\left({\displaystyle \sum _{s\in S_l}{\displaystyle \sum _{n\in {\rho }_s}{2}^{\left(s,r\right)q}}}{\left|f\left(n\right)\right|}^q\right)}^{\frac{1}{q}}\\ \asymp {\left({\displaystyle \sum _{s\in S_l}{\displaystyle \sum _{n\in {\rho }_s}{2}^{\left(s,r\right)\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)q-\left(s,1\right)\frac{\rho }{2}}}}{\left|f\left(n\right)\right|}^q\right)}^{\frac{1}{q}}\\ \asymp 2^{\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l-\left(s,1\right)\frac{\rho }{2}}{\left({\displaystyle \sum _{s\in S_l}{\displaystyle \sum _{n\in {\rho }_s}{\left|f\left(n\right)\right|}^q}}\right)}^{\frac{1}{q}}\\ \asymp 2^{\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l-\left(s,1\right)\frac{\rho }{2}}{\Vert f\Vert }_{L_q\left({ℝ}^d\right)}\end{array}$ (6)

所以，对于$f\in F_l$ ，由(1)、(2)、(5)和(6)得

$\begin{array}{c}{\Vert f\Vert }_{L_q\left({ℝ}^d\right)}\asymp 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l+\left(s,1\right)\frac{\rho }{2}}{\Vert f^{\left(r\right)}\Vert }_{L_q\left({ℝ}^d\right)}\\ \asymp 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}{\Vert {\left\{\langle D^{r}f,\frac{e_n^d\left(\pi x\right)}{\sqrt{{\lambda }_n}}\rangle \right\}}_{n\in {\rho }_s,s\in S_l}\Vert }_{l_q^{\Vert S_l\Vert }}\end{array}$ (7)

通过(7)的等价关系，现在建立估计定理3.1上界的离散化定理。

定理3.3. 设$1<q<\infty ,\frac{1}{2}<r_1=\cdots =r_v<r_{v+1}\le \cdots \le r_d,r_i\in {ℝ}^d,i=1,\cdots ,d,n\in \mathbb{N}$ ，且$\delta \in \left(0,\frac{1}{2}\right],l\in {\mathbb{N}}^{+}$ ，取整数序列$\left\{n_l\right\}$ 以及正序列$\left\{{\delta }_l\right\}$ ，满足$0\le n_l\le \Vert S_l\Vert$ 且${\displaystyle \sum _l{n}_l\le n},{\displaystyle \sum _l{\delta }_l}\le \delta$ ，则

$d_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\ll {\displaystyle \sum _l{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}{d}_{n_l,{\delta }_l}}\left({ℝ}^{\Vert S_l\Vert },\upsilon ,l_q^{\Vert S_l\Vert }\right)$ .

证明：由概率框架下Kolmogorov宽度的定义，存在$l_q^{\Vert S_l\Vert }$ 的子空间$L_l$ 满足$\dim L_l\le n_l$ ，且

$\nu \left\{y\in {ℝ}^{\Vert S_l\Vert }:e\left(y,L_l,l_q^{\Vert S_l\Vert }\right)>d_{n_l,{\delta }_l}\right\}\le {\delta }_l.$ (8)

其中

$d_{n_l,{\delta }_l}:=d_{n_l,{\delta }_l}\left({ℝ}^{\Vert S_l\Vert },\upsilon ,l_q^{\Vert S_l\Vert }\right),e\left(y,L_l,l_q^{\Vert S_l\Vert }\right):=\underset{x\in L_l}{\inf }{\Vert y-x\Vert }_{l_q^{\Vert S_l\Vert }}.$

对于$\forall f\in B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ ，由(8)式知，存在正常数$C_0$ ，使得

$e\left({\Delta }_{l}f,D^{-r}{I}_l^{-1}{L}_l,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\le C_0{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}e\left({\left\{\langle D^{r}f,\frac{e_n^d\left(\pi x\right)}{\sqrt{{\lambda }_n}}\rangle \right\}}_{n\in S_l},L_l,l_q^{\Vert S_l\Vert }\right).$ (9)

考虑集合

$G_l=\left\{f\in B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right):e\left({\Delta }_{l}f,D^{-r}{I}_l^{-1}{L}_l,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)>C_0{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}{d}_{n_l,{\delta }_l}\right\}$ .

由(8)和(9)式以及测度$\mu ,\nu$ 定义知

$\begin{array}{c}\mu \left(G_l\right)\le \mu \left(\left\{f\in B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right):e\left({\Delta }_{l}f,L_l,l_q^{\Vert S_l\Vert }\right)\right\}>d_{n_l,{\delta }_l}\right)\\ =\nu \left(\left\{y\in {ℝ}^{\Vert S_l\Vert }:e\left(y,L_l,l_q^{\Vert S_l\Vert }\right)\right\}>d_{n_l,{\delta }_l}\right)\le {\delta }_l\end{array}$ (10)

设$G={\displaystyle \underset{l}{\cup }{G}_l},F={\displaystyle \sum _l{D}^{-r}{I}_{}^{-1}{L}_l}$ ，其中$F$ 是$D^{-r}{I}_{}^{-1}{L}_l$ 的直和，由(10)可知

$\begin{array}{l}\mu \left(G\right)\le {\displaystyle \sum _l\mu \left(G_l\right)}\le {\displaystyle \sum _l{\delta }_l}\le \delta ,\\ \dim F\le {\displaystyle \sum _l\dim D^{-r}{I}_{}^{-1}{L}_l}\le {\displaystyle \sum _l{n}_l}\le n.\end{array}$

所以，由$G,F,\left\{G_l\right\},\left\{L_l\right\}$ 的定义，可得

$\begin{array}{c}{d}_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\le e\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)\backslash G,F,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\\ =\underset{f\in B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)\backslash G}{\sup }e\left(f,F,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\\ \le \underset{f\in B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)\backslash G}{\sup }{\displaystyle \sum _{l}e\left({\Delta }_{l}f,D^{-r}{I}_l{L}_l,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)}\\ \ll {\displaystyle \sum _l{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}{d}_{n_l,{\delta }_l}}\end{array}$

因此

$d_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\ll {\displaystyle \sum _l{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}{d}_{n_l,{\delta }_l}}\left({ℝ}^{\Vert S_l\Vert },v,l_q^{\Vert S_l\Vert }\right)$ .

定理3.3得证。

下面介绍估计定理3.1的下界的离散化定理。

设

$S=S_{k_0}=\left\{s=\left(s_1,\cdots ,s_v,1,\cdots ,1\right)\in {\mathbb{N}}^d:\left(s,1\right)=k=\left[k_0\right]\right\}$ (11)

其中$k_0$ 稍后选取。$\left[k_0\right]$ 表示不超过$k_0$ 的最大整数，不难验证$\left|s\right|\asymp k^{\upsilon -1}$ ，现在选取$k_0,C_0\ge 0$ ，使得

$\Vert S\Vert :={\displaystyle \sum _{s\in S}\left|{\square }_s\right|}={\displaystyle \sum _{s\in S}{2}^{\left(s,1\right)}}=\left|s\right|2^k\ge C_{k_0}{k}_0^{\upsilon -1}{2}^{k_0}=2n.$

因此，$2^k{k}^{\upsilon -1}\asymp n\asymp \left|s\right|2^k$ 。

现在考虑空间$F_s:=span\left\{e_n^d\left(\pi \cdot \right):n\in {\square }_s,s\in S\right\}$ 。

令

$I_s:F_s\to l_q^{\Vert S\Vert },f\to {\left\{\langle D^{r}f,\frac{e_n^d\left(\pi \cdot \right)}{\sqrt{{\lambda }_n}}\rangle \right\}}_{n\in {\square }_s,s\in S}.$

易见$I_s$ 为$F_s$ 到$l_q^{\Vert S_l\Vert }$ 的线性同构映射，类似(8)、(9)的方法可得

${\Vert {\left\{\langle D^{r}f,\frac{e_n^d\left(\pi \cdot \right)}{\sqrt{{\lambda }_n}}\rangle \right\}}_{n\in {\square }_s,s\in S}\Vert }_{l_q^{\Vert S_l\Vert }}\asymp 2^{r_1+\frac{\rho }{2}}{\Vert f\Vert }_{B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)},f\in F_s.$ (12)

通过(12)建立估计定理3.1下界的离散化定理。

定理3.4. 设$1<q<\infty ,\frac{1}{2}<r_1=\cdots =r_v<r_{v+1}\le \cdots \le r_d,r_i\in {ℝ}^d,i=1,\cdots ,d,n\in \mathbb{N}$ ，且$\delta \in \left(0,\frac{1}{2}\right]$ ，则

$d_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\ge 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)k}{d}_{n,\delta }\left({ℝ}^{\Vert S\Vert },\upsilon ,l_q^{\Vert S\Vert }\right)$

其中$S$ 定义见(10)。

证明：

令$F$ 是$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)\cap F_s$ 的子空间，使得$\dim F\le n$ ，且

$\mu \left(\left\{f\in B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)\cap F_s:e\left(f,F,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\cap F_s\right)>d_{n,\delta }\right\}\right)\le \delta$ .

其中

$d_{n,\delta }=d_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)$ .

考虑集合

$G=\left\{y\in {ℝ}^{\Vert S\Vert }:e\left(y,I_s{D}^{r}F,l_q^{\Vert S\Vert }\right)>C_0{}^{-1}{2}^{\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)k}{d}_{n,\delta }\right\}$ .

则

$\begin{array}{c}\nu \left(G\right)=\mu \left\{f\in B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)\cap F_s:e\left({\left\{\langle D^{r}f,\frac{e_n^d\left(\pi \cdot \right)}{\sqrt{{\lambda }_n}}\rangle \right\}}_{n\in {\square }_s,s\in S},I_s{D}^{r}F,l_q^{\Vert S\Vert }\right)>C_0^{-1}{2}^{\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)k}{d}_{n,\delta }\right\}\\ \le \mu \left\{f\in B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)\cap F_s:e\left(f,F,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)>d_{n,\delta }\right\}\le \delta \end{array}$ (13)

显然$\dim I_s{D}^{r}F\le n$ ，因此，由(13)可得

$\begin{array}{c}{d}_{n,\delta }\left({ℝ}^{\Vert S\Vert },\upsilon ,l_q^{\Vert S\Vert }\right)\le e\left({ℝ}^{\Vert S\Vert }\backslash G,I_s{D}^{r}F,l_q^{\Vert S\Vert }\right)\\ =\underset{f\in {ℝ}^{\Vert S\Vert }\backslash G}{\sup }e\left(y,I_s{D}^{r}F,l_q^{\Vert S\Vert }\right)\\ \ll 2^{\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)k}{d}_{n,\delta }.\end{array}$

所以

$d_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\ge 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)k}{d}_{n,\delta }\left({ℝ}^{\Vert S\Vert },\nu ,l_q^{\Vert S\Vert }\right)$ .

定理得证。

4. 主要结果的证明

为了证明定理3.1还需要如下引理。

引理4.1. 设$0<\beta <1$ ，$S_l$ 的定义见(3)，定义序列$\left\{n_l\right\}$ 如下：

$n_l:=\{\begin{array}{l}\Vert S_l\Vert ,l\le u\\ \Vert S_l\Vert 2^{\left(1+\beta \right)\left(u-l\right)},l>u\end{array}$ (14)

则${\displaystyle \sum _l{n}_l\ll n}$ ，正整数$u:=u\left(n\right)$ ，满足$n\asymp 2^u{u}^{v-1}$ 。

定理3.1的证明：

首先估计$d_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)$ 的上界。

令

${\delta }_l=\{\begin{array}{l}\frac{\delta n_l}{n},l>u\\ 0,l\le u\end{array}$ (15)

则${\displaystyle \sum _l{\delta }_l\ll \delta }$ 。并且由$\left\{n_l\right\}$ 以及$\left\{{\delta }_l\right\}$ 的定义，显然有

$d_{n_l,{\delta }_l}\left({ℝ}^{\Vert S\Vert },\nu ,l_q^{\Vert S\Vert }\right)=0,l\le u.$

(1) $1<q\le 2$

由定理3.3和引理3.1的(1)得到

$\begin{array}{l}{d}_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\\ \ll {\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{\Vert s_l\Vert }^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{\Vert s_l\Vert +\ln \frac{n}{\delta n_l}}\\ \ll {\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{\Vert s_l\Vert }^{\frac{1}{q}}+{\displaystyle \sum _l{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{\Vert s_l\Vert }^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}{n}^{\frac{1}{2}}{n}_l^{-\frac{1}{2}}+{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{\Vert s_l\Vert }^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\\ \ll {\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{2}^{\frac{l}{q}}{l}^{\left(v-1\right)/q}+{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{2}^{\left(1+\beta \right)\left(l-u\right)/2}{n}^{\frac{1}{2}}{2}^{l\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{l}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}\\ +{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{2}^{l\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{l}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\\ :=I_1+I_2+I_3\end{array}$

首先估计$I_1$ ，注意$n\asymp 2^u{u}^{v-1}$ ，

$\begin{array}{c}{I}_1:={\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{2}^{\frac{l}{q}}{l}^{\left(v-1\right)/q}\\ \ll 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)u}{2}^{\frac{u}{q}}{u}^{\left(v-1\right)/q}{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}+\frac{1}{q}\right)\left(l-u\right)}}{\left(\frac{l}{u}\right)}^{\left(v-1\right)/q}\\ \ll 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)u}{\left(2^u{u}^{v-1}\right)}^{\frac{1}{q}}\\ \asymp {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\end{array}$

再估计$I_2$ ，取$0<\beta <\min \left\{1,2r_1+\rho -2\right\}$ ，则

$\begin{array}{c}{I}_2:={\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{2}^{\left(1+\beta \right)\left(l-u\right)/2}{n}^{\frac{1}{2}}{2}^{l\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{l}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}\\ \ll n^{\frac{1}{2}}{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{\left(-r_1-\frac{\rho }{2}+\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)l}}{2}^{\left(1+\beta \right)\left(l-u\right)/2}{l}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}\\ \ll n^{\frac{1}{2}}{2}^{\left(-r_1-\frac{\rho }{2}+\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)u}{u}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{\left(-r_1-\frac{\rho }{2}+\frac{1}{q}+\frac{\beta }{2}\right)\left(l-u\right)}}{\left(\frac{l}{u}\right)}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}\\ \ll n^{\frac{1}{2}}{\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\\ ={\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\end{array}$

最后，对于$I_3$ ，有

$\begin{array}{c}{I}_3:={\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{2}^{l\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{l}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\\ \ll \sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}{2}^{\left(-r_1-\frac{\rho }{2}+\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)u}{u}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{\left(-r_1-\frac{\rho }{2}+\frac{1}{q}+\frac{\beta }{2}\right)\left(l-u\right)}}{\left(\frac{l}{u}\right)}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}\\ \ll {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\end{array}$

所以，当$1<q\le 2$ 时，有

$d_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\ll {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}$

(2) $2<q<\infty$

由定理3.3和引理3.1的(2)得到

$\begin{array}{l}{d}_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\\ \ll {\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{\Vert s_l\Vert }^{\frac{1}{q}}{n}_l^{-\frac{1}{2}}\sqrt{\Vert s_l\Vert +\ln \frac{n}{\delta n_l}}\\ \ll {\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{\Vert s_l\Vert }^{\frac{1}{q}+\frac{1}{2}}{n}_l^{-\frac{1}{2}}+{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{\Vert s_l\Vert }^{\frac{1}{q}}{n}^{\frac{1}{2}}{n}_l^{-1}\\ +{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{\Vert s_l\Vert }^{\frac{1}{q}}{n}_l^{-\frac{1}{2}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\\ :=K_1+K_2+K_3\end{array}$

类似之前的证法，首先估计$K_1$ ，取$0<\beta <\min \left\{1,2r_1+\rho -2\right\}$ ，则

$\begin{array}{l}{K}_1:={\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{\Vert s_l\Vert }^{\frac{1}{q}+\frac{1}{2}}{n}_l^{-\frac{1}{2}}\\ \ll {\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)}}{2}^{\frac{l}{q}}{l}^{\frac{v-1}{q}}{2}^{\left(1+\beta \right)\left(l-u\right)/2}\\ \ll 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}+\frac{l}{q}\right)u}{u}^{\left(v-1\right)/q}{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{\left(-r_1-\frac{\rho }{2}+\frac{1}{q}+\frac{1}{2}+\frac{\beta }{2}\right)\left(l-u\right)}}{\left(\frac{l}{u}\right)}^{\left(v-1\right)/q}\\ \stackrel{s:=l-u}{=}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}+\frac{1}{q}\right)u}{u}^{\left(v-1\right)/q}{\displaystyle \sum _{s>0}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}-\frac{1}{q}-\frac{1}{2}-\frac{\beta }{2}\right)s}}{\left(\frac{s+u}{u}\right)}^{\left(v-1\right)/q}\end{array}$

由于上述级数收敛，则有

$\begin{array}{c}{K}_1\ll 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}-\frac{1}{q}\right)u}{u}^{\frac{v-1}{q}}\\ =2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)u}{\left(2^u{u}^{v-1}\right)}^{\frac{1}{q}}\end{array}$

又由于$n\asymp 2^u{u}^{v-1}$ ，则有

$K_1\ll {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}$

再估计$K_2$ ，取$0<\beta <\min \left\{1,r_1+\rho -1\right\}$ ，则

$\begin{array}{l}{K}_2:={\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{\Vert s_l\Vert }^{\frac{1}{q}}{n}^{\frac{1}{2}}{n}_l^{-1}\\ \ll n^{\frac{1}{2}}{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{2}^{l\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{l}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{2}^{\left(1+\beta \right)\left(l-u\right)}\\ \ll n^{\frac{1}{2}}{2}^{\left(-r_1-\frac{\rho }{2}+\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)u}{u}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{\left(-r_1-\frac{\rho }{2}+\frac{1}{q}-\frac{1}{2}+1+\beta \right)\left(l-u\right)}}{\left(\frac{l}{u}\right)}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}\\ \stackrel{s:=l-u}{=}{n}^{\frac{1}{2}}{2}^{\left(-r_1-\frac{\rho }{2}+\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)u}{u}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{\displaystyle \sum _{s>0}{2}^{\left(-r_1-\frac{\rho }{2}+\frac{1}{q}-\frac{1}{2}+1+\beta \right)s}}{\left(\frac{s+u}{u}\right)}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}\end{array}$

同样地，由于上述级数收敛，则有

$K_2\ll n^{\frac{1}{2}}{2}^{\left(-r_1-\frac{\rho }{2}+\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)u}{u}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}$

又由于$n\asymp 2^u{u}^{v-1}$ ，则有

$K_2\ll {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}$

最后对于$K_3$ ，有

$\begin{array}{c}{K}_3:={\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{\Vert s_l\Vert }^{\frac{1}{q}}{n}_l^{-\frac{1}{2}}\sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}\\ \ll \sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)l}}{2}^{l\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{l}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{2}^{\left(1+\beta \right)\left(l-u\right)/2}\end{array}$

$\begin{array}{c}\ll \sqrt{\ln \frac{1}{\delta }}{2}^{\left(-r_1-\frac{\rho }{2}+\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)u}{u}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}{\displaystyle \sum _{l>u}{2}^{\left(-r_1-\frac{\rho }{2}+\frac{1}{q}+\frac{\beta }{2}\right)\left(l-u\right)}}{\left(\frac{l}{u}\right)}^{\left(v-1\right)\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}\\ \ll {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\sqrt{\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}\end{array}$

所以，当$2<q<\infty$ 时，有

$\begin{array}{c}{d}_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\ll K_1+K_2+K_3\\ \ll {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}\end{array}$

综上，当$1<q<\infty$ 时

$d_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\ll {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}$

再估计$d_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)$ 的下界，当$1<q<\infty$ 时，由定理3.4以及引理3.1可得

$d_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\gg 2^{-\left(r_1+\frac{\rho }{2}\right)k}{\Vert S\Vert }^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{\Vert S\Vert +\ln \frac{1}{\delta }}$

由$\Vert S\Vert \asymp n\asymp 2^k{k}^{v-1}$ ，知

$d_{n,\delta }\left(B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right),\mu ,B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)\right)\gg {\left(n^{-1}{\ln }^{v-1}n\right)}^{r_1+\frac{\rho }{2}}{n}^{\frac{1}{q}}\sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}$

下界得证。

综上所述，定理3.1得证。

5. 总结与展望

本论文主要研究了加权多元Paley-Wiener空间在概率框架下和平均框架下的逼近特征，特别估计概率框架下和平均框架下加权多元Paley-Wiener空间$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 在$B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)$ 中Kolmogorov n-宽度的精确渐进阶。特别地，利用离散化思想，将无穷维空间下的问题先转化为有限维空间问题，从而通过有限维的结论间接地解决无穷维问题。基于此，接下来的工作，一方面，基于本文的研究结果，之后还可以对加权多元Paley-Wiener空间在概率框架下和平均框架下的逼近特征进行深入的研究，例如研究概率框架下和平均框架下加权多元Paley-Wiener空间$B_{\pi ,2}^r\left({ℝ}^d\right)$ 在$B_{\pi ,q}\left({ℝ}^d\right)$ 中的线性n-宽度的精确渐进阶。