理论数学  >> Vol. 8 No. 1 (January 2018)

强h-凸函数的若干性质
Some Properties of the Strongly h-Convex Function

DOI: 10.12677/PM.2018.81002, PDF, HTML, XML, 下载: 955  浏览: 2,776  科研立项经费支持

作者: 张欣隆, 郑乔诗, 阮建苗*:浙江外国语学院数学系,浙江 杭州

关键词: 强h-凸函数h-凸函数上积函数Strongly h-Convex Function h-Convex Function Sup-Multiplicative Function

摘要: 强h-凸函数是强凸函数和h-凸函数的推广,而后者又是凸函数、s-凸函数、Godunova-Levin函数以及P-函数等的推广。本文讨论了强h-凸函数的一些基本性质,并结合上积函数,函数列收敛等概念,对强h-凸函数的性质进行更深入的讨论。
Abstract: The strongly h-convex function is a generation of the convex function and the h-convex function, and the latter is also a common generalization of the convexity, s-convexity, the Godunova-Levin function and the P-function. In this paper, we discuss some basic properties of strongly h-convex functions, and make some presentations of them involving the notations of sup-multiplicative functions, convergence of sequence, etc.

文章引用: 张欣隆, 郑乔诗, 阮建苗. 强h-凸函数的若干性质[J]. 理论数学, 2018, 8(1): 8-13. https://doi.org/10.12677/PM.2018.81002

1. 引言

凸型函数在纯粹数学和应用数学等众多领域中具有广泛的应用,譬如它已成为数学规划、对策论、数理经济,最优控制等学科的理论基础和有力工具。2007年Varosanec [1] 提出了h-凸函数的概念。h-凸函数是凸函数、s-凸函数 [2] 、Godunova-Levin函数 [3] 以及P-函数 [4] 等函数类的推广。我们熟知这些函数类在数学的各个分支中有大量的应用,因此h-凸函数引起了学者们广泛的兴趣与关注(如见文献 [5] [6] [7] 等)。2011年Angulo等 [8] 在强凸函数 [9] 和h-凸函数的基础上引进了强h-凸函数。和h-凸函数类似,当 h ( x ) 取不同值时可分别得到强凸函数 [9] 、强s-凸函数、强Godunova-Levin函数以及强P-函数等(见文献 [8] )。本文主要结合函数(列)的上积性、单调性、收敛性等概念,对强h-凸函数的性质进行更深入的分析和讨论。

2. h-凸函数和强h-凸函数的定义

2007年Varosanec [1] 引进了一类推广了的凸型函数:h-凸函数,即

定义1:设 I , J 内的一个区间,且 ( 0 , 1 ) J ,函数 h : J [ 0 , ) 。若函数 f : I [ 0 , ) 满足, x , y I , t ( 0 , 1 )

f ( t x + ( 1 t ) y ) h ( t ) f ( x ) + h ( 1 t ) f ( y ) (1)

则称f为定义在区间I上的h-凸函数。若(1)式中不等号反向成立,则称f为I上h-凹函数。

特别地,当 h ( t ) = t 时,则f为凸函数;当 h ( t ) = t s ( 0 < s 1 )时,f为s凸函数; h ( t ) = 1 t 时,f为Godunova-Levin函数; h ( t ) 1 时,f为p函数。

2011年Angulo [8] 进一步推广了h-凸函数,引入了强h-凸函数的概念。

定义2:设 ( Χ , · ) 是实赋范线性空间,I是 Χ 中的一个凸子集,J是 内的一个区间,且 ( 0 , 1 ) J ,函数 h : J [ 0 , ) 。若函数 f : I [ 0 , ) 满足:存在常数 c > 0 x , y I , t ( 0 , 1 ) ,不等式

f ( t x + ( 1 t ) y ) h ( t ) f ( x ) + h ( 1 t ) f ( y ) c t ( 1 t ) x y 2 (2)

成立,那么我们就称函数f是I上的模c强h-凸函数。若上述不等式反向成立,那么我们就称函数f是I上的模c强h-凹函数。在不引起混淆的情况下,我们分别简称为f是I上的强h-凸函数与强h-凹函数。

类似地,当 h ( t ) = t 时,我们称f是I上的模c强凸函数;当 h ( t ) = t s ( 0 < s 1 )时,称f是I上的模c强s-凸函数;当 h ( t ) = 1 t 时,称f是I上的模c强Godunova-Levin凸函数;当 h ( t ) 1 时,称f是I上的模c强p凸函数。

为方便起见,在下文中我们约定符号 I I 1 I 2 表示实赋范线性空间 Χ 中的凸子集(有时它们也会表示特殊的实赋范线性空间- 中的区间),符号 J J 1 J 2 表示 中包含 ( 0 , 1 ) 的区间。

3. 强h-凸函数的基本性质

受文献 [9] 的启发,本节主要讨论强h-凸函数的一些基本性质,如可加性,复合函数的性质等,并且也比较了强h-凸函数和h-凸函数两者之间的关系。

定理1:设非负函数h满足 h ( t ) t t ( 0 , 1 ) ,若f是I上的模c强凸函数,则f也为I上的模c强h-凸函数。设非负函数h满足 h ( t ) t t ( 0 , 1 ) ,若f是I上的模c强凹函数,则f也为I上的模c强h-凹函数。

证明:若 h ( t ) t t ( 0 , 1 ) ,且若f为定义在I上模c强凸函数,则 x , y I t ( 0 , 1 )

f ( t x ( 1 t ) y ) t f ( x ) + ( 1 t ) f ( y ) c t ( 1 t ) x y 2 h ( t ) f ( x ) + h ( 1 t ) f ( y ) c t ( 1 t ) x y 2 .

即f为I上的模c强h-凸函数。

h ( t ) t t ( 0 , 1 ) ,且若f为I上的非负模c强凹函数,则 x , y I t ( 0 , 1 ) ,有

f ( t x ( 1 t ) y ) t f ( x ) + ( 1 t ) f ( y ) c t ( 1 t ) x y 2 h ( t ) f ( x ) + h ( 1 t ) f ( y ) c t ( 1 t ) x y 2 .

即f为I上的模c强h-凹函数。

定理2:设非负函数 h 1 , h 2 满足 h 1 ( t ) h 2 ( t ) t ( 0 , 1 ) 。若f是I上的模c强h2-凸函数,则f为I上模c强h1-凸函数;若f是I上的模c强h1-凹函数,则f为I上模c强h2-凹函数。

证明:若f为模为c强h2-凸函数,则对于任意的 t ( 0 , 1 ) ,有

f ( t x ( 1 t ) y ) h 2 ( t ) f ( x ) + h 2 ( 1 t ) f ( y ) c t ( 1 t ) x y 2 h 1 ( t ) f ( x ) + h 1 ( 1 t ) f ( y ) c t ( 1 t ) x y 2 .

即f为模为c的强h1-凸函数。同理可证凹函数的情况。

类似定理2的证明,我们容易得到下面的结论。

定理3:设h为定义在区间I上的非负函数。已知 c 1 > c 2 ,若f模为 c 1 强h凸函数,则f为模为 c 2 的强h凸函数;若f模为 c 1 强h凹函数,则f为模为 c 2 的强h凹函数。

定理4:设常数 λ > 0 。若 f g 分别为定义在I上的模为 c 1 c 2 的强h-凸(凹)函数,则 f + g 为I上的模 c 1 + c 2 强h-凸(凹)函数, λ f 为I上的模 λ c 1 强h-凸(凹)函数。

证明:若 f g 分别为I上模为 c 1 c 2 的强h-凸函数,则有

f ( t x + ( 1 t ) y ) h ( t ) f ( x ) + h ( 1 t ) f ( y ) c 1 t ( 1 t ) x y 2

g ( t x + ( 1 t ) y ) h ( t ) g ( x ) + h ( 1 t ) g ( y ) c 2 t ( 1 t ) x y 2 .

因此

( f + g ) ( t x + ( 1 t ) y ) h ( t ) ( f ( x ) + g ( x ) ) + h ( 1 t ) ( f ( y ) + g ( y ) ) ( c 1 + c 2 ) t ( 1 t ) x y 2

λ f ( t x + ( 1 t ) y ) λ h ( t ) f ( x ) + λ h ( 1 t ) f ( y ) λ c 1 t ( 1 t ) x y 2

强h-凹函数的情形可类似的证明。

注:特别地,当 c 0 时,定理1~4恰是Varosanec [1] 关于h-凸函数性质研究的结论。

4. 上积函数,单调性与强h-凸函数的关系

定义3 [1] :若函数 h : J 满足

h ( x y ) h ( x ) h ( y ) x , y J

那么我们称h为J上的上积函数。若上述不等号反向,则称h为J上的下积函数。

定理5:设f为I上的模c强h-凸函数,且h为J上的上积函数。若 f ( 0 ) = 0 ,则 x , y I , α , β > 0 ,且 α x + β y I ,有

f ( α x + β y ) h ( α ) f ( x ) + h ( β ) f ( y ) c α β x y 2 (3)

证明:记 α + β = γ 。令 a = α γ , b = β γ ,则 a + b = 1

f ( α x + β y ) = f ( γ a x + γ b y ) h ( a ) f ( γ x ) + h ( b ) f ( γ y ) c a b γ x γ y 2 = h ( a ) f ( γ x + ( 1 γ ) 0 ) + h ( b ) f ( γ y + ( 1 γ ) 0 ) c a b γ 2 x y 2

h ( a ) h ( γ ) f ( x ) + h ( b ) h ( γ ) f ( y ) c a b γ 2 x y 2 h ( a γ ) f ( x ) + h ( b γ ) f ( y ) c a b γ 2 x y 2 = h ( α ) f ( x ) + h ( β ) f ( y ) c α β x y 2 .

定理6:设h是区间 [ 0 , 1 ] 上的非负函数,且对某个 α 0 ( 0 , 1 2 ) ,有 h ( α 0 ) < 1 2 。若f是定义在I上的非负函数,且 α , β > 0 α + β < 1 ,满足不等式

f ( α x + β y ) h ( α ) f ( x ) + h ( β ) f ( y ) c α β x y 2 (4)

那么有 f ( 0 ) = 0

证明:我们用反证法来证明。若 f ( 0 ) 0 ,即 f ( 0 ) > 0 。将 x = y = 0 代入不等式(4)中得到

f ( 0 ) h ( α ) f ( 0 ) + h ( β ) f ( 0 ) .

因为 α , β > 0 , α + β 1 ,不妨取 α = β = α 0 ,那么

f ( 0 ) h ( α 0 ) f ( 0 ) + h ( α 0 ) f ( 0 ) = 2 h ( α 0 ) f ( 0 ) .

则有

h ( α 0 ) 1 2 .

这与条件 h ( α 0 ) < 1 2 相矛盾。所以假设不成立,故 f ( 0 ) = 0

单调性是函数的一个重要性质。下面结合单调性讨论复合函数的强凸性。

定义4:设f是定义在区间I上的一个实函数,若存在常数 c > 0 x , y I

c | x y | | f ( x ) f ( y ) | ,

则称f在I上满足逆Lipschitz条件,且称 δ : = sup { c } 为逆Lipschitz常数,记为 f L 1 ( δ )

定理7:设 f : I 1 [ 0 , ) g : I 2 [ 0 , ) 满足逆Lipschitz条件 g L 1 ( δ ) ,且 g ( I 2 ) I 1 。若g是凸(凹)函数,f是单调递增(单调递减)的模c强h-凸函数,那么复合函数 f g 是定义在 I 2 上的模 c δ 2 强h-凸函数;若 g 是凸(凹)函数,f是单调递减(单调递增)模c强h-凹函数,那么复合函数 f g 是定义在 I 2 上的模 c δ 2 强h-凹函数。

证明:我们仅证明复合函数是强h-凸函数情形。不妨设g是凸函数,f是单调递增的模c强h-凸函数,那么, x , y I 2 , α ( 0 , 1 ) ,有

( f g ) ( α x + ( 1 α ) y ) f ( α g ( x ) + ( 1 α ) g ( y ) ) h ( α ) ( f g ) ( x ) + h ( 1 α ) ( f g ) ( y ) c α ( 1 α ) | g ( x ) g ( y ) | 2 h ( α ) ( f g ) ( x ) + h ( 1 α ) ( f g ) ( y ) c δ 2 α ( 1 α ) | x y | 2 .

定理8:设函数 h i : J i [ 0 , ) , i = 1 , 2 ,且 h 1 J 1 上的上积函数, h 2 ( J 2 ) J 1 h 2 ( t ) t ( t ( 0 , 1 ) ) 。若函数f是定义在 I 1 上的单调递增(单调递减)的模c强h-凸函数,且有 0 I 1 f ( 0 ) = 0 ,函数g为定义在 I 2 上的h2-凸(凹)函数,且满足逆Lipschitz条件 g L 1 ( δ ) g ( I 2 ) I 1 ,那么复合函数 f g I 2 上的模 c δ 2 强h-凸函数。

证明:不失一般性,我们仅考虑g是 I 2 上的h2-凸函数,f在 I 1 上单调递增的情形。由假设可知, x , y I 2 α ( 0 , 1 )

( f g ) ( α x + ( 1 α ) y ) f ( h 2 ( α ) g ( x ) + h 2 ( 1 α ) g ( y ) ) (5)

又因为 f ( 0 ) = 0 ,则由定理4知

f ( h 2 ( α ) g ( x ) + h 2 ( 1 α ) g ( y ) ) h 1 ( h 2 ( α ) ) f ( g ( x ) ) + h 1 ( h 2 ( 1 α ) ) f ( g ( y ) ) c h 2 ( α ) h 2 ( 1 α ) | g ( x ) g ( y ) | 2 (6)

注意到 g 满足逆Lipschitz条件 g L 1 ( δ ) h 2 ( α ) α ( α ( 0 , 1 ) ) ,则由(5)与(6)得

( f g ) ( α x + ( 1 α ) y ) ( h 1 h 2 ) ( α ) ( f g ) ( x ) + ( h 1 h 2 ) ( 1 α ) ( f g ) ( y ) c δ 2 α ( 1 α ) | x y | 2 .

定理得证。

定理9:设h为J上的非负上积函数。若f为定义在I上的模c强h-凸函数,那么 x 1 , , x n I ,有

f ( 1 W n i = 1 n w i x i ) i = 1 n h ( w i W n ) f ( x i )

其中 w 1 , , w n 为任意正数, W n = w 1 + w 2 + + w n

证明:我们利用数学归纳法来证明。当 n = 2 时,注意到 w 1 W 2 + w 2 W 2 = 1 ,根据f是模c强h-凸函数的定义,易知道结论成立。假设结论对 n 1 ( n > 2 ) 成立,则对一般的 n ( n > 2 ) 有,

f ( 1 W n i = 1 n w i x i ) = f ( w n W n x n + i = 1 n 1 w i W n x i ) = f ( w n W n x n + W n 1 W n i = 1 n 1 w i W n 1 x i ) h ( w n W n ) f ( x n ) + h ( W n 1 W n ) f ( i = 1 n 1 w i W n 1 x i ) c w n W n W n 1 W n x n i = 1 n 1 w i W n 1 x i 2 h ( w n W n ) f ( x n ) + i = 1 n 1 [ h ( W n 1 W n ) h ( w i W n 1 ) f ( x i ) ] h ( w n W n ) f ( x n ) + i = 1 n 1 h ( w i W n ) f ( x i )

定理得证。

5. 函数列收敛和强h-凸函数

在本节我们主要讨论当强h-凸函数列 { f n ( x ) } 收敛时,它的极限函数 f ( x ) 是否也是强h-凸函数?

定理10:设函数列 { f n ( x ) } 的每一项分别为模 c n 的强h-凸函数, c = inf n { c n } > 0 。若函数列 { f n ( x ) } 在I上收敛于函数 f ( x ) { h n ( x ) } ( 0 , 1 ) 上收敛于函数 h ( x ) ,那么 f ( x ) 是模c强h-凸函数。

证明:由于 { h n ( x ) } ( 0,1 ) 上的非负函数列,故其收敛函数 h ( x ) 也是非负函数。由已知条件可知, x , y I , t ( 0 , 1 )

f n ( t x + ( 1 t ) y ) h n ( t ) f n ( x ) + h n ( 1 t ) f n ( y ) c n t ( 1 t ) x y 2 h n ( t ) f n ( x ) + h n ( 1 t ) f n ( y ) c t ( 1 t ) x y 2 .

因此

lim n f n ( t x + ( 1 t ) y ) lim n { h n ( t ) f n ( x ) + h n ( 1 t ) f n ( y ) } c t ( 1 t ) x y 2 .

f ( t x + ( 1 t ) y ) h ( t ) f ( x ) + h ( 1 t ) f ( y ) c t ( 1 t ) x y 2 .

推论:设函数列 { f n ( x ) } :的每一项分别为模 c n 的强h-凸函数, c = lim n c n > 0 。若函数列 { f n ( x ) } 在I上收敛于函数 f ( x ) { h n ( x ) } ( 0 , 1 ) 上收敛于函数 h ( x ) ,那么 f ( x ) 是模c强h-凸函数。

基金项目

浙江省自然科学基金(No. LY18A010015),国家级大学生创新创业训练计划项目(No. 201714275002),浙江外国语学院2017年大学生创新创业训练计划项目。

参考文献

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