强h-凸函数的若干性质

Some Properties of the Strongly h-Convex Function

摘要: 强h-凸函数是强凸函数和h-凸函数的推广，而后者又是凸函数、s-凸函数、Godunova-Levin函数以及P-函数等的推广。本文讨论了强h-凸函数的一些基本性质，并结合上积函数，函数列收敛等概念，对强h-凸函数的性质进行更深入的讨论。

Abstract: The strongly h-convex function is a generation of the convex function and the h-convex function, and the latter is also a common generalization of the convexity, s-convexity, the Godunova-Levin function and the P-function. In this paper, we discuss some basic properties of strongly h-convex functions, and make some presentations of them involving the notations of sup-multiplicative functions, convergence of sequence, etc.

1. 引言

凸型函数在纯粹数学和应用数学等众多领域中具有广泛的应用，譬如它已成为数学规划、对策论、数理经济，最优控制等学科的理论基础和有力工具。2007年Varosanec [1] 提出了h-凸函数的概念。h-凸函数是凸函数、s-凸函数 [2] 、Godunova-Levin函数 [3] 以及P-函数 [4] 等函数类的推广。我们熟知这些函数类在数学的各个分支中有大量的应用，因此h-凸函数引起了学者们广泛的兴趣与关注(如见文献 [5] [6] [7] 等)。2011年Angulo等 [8] 在强凸函数 [9] 和h-凸函数的基础上引进了强h-凸函数。和h-凸函数类似，当 $h\left(x\right)$ 取不同值时可分别得到强凸函数 [9] 、强s-凸函数、强Godunova-Levin函数以及强P-函数等(见文献 [8] )。本文主要结合函数(列)的上积性、单调性、收敛性等概念，对强h-凸函数的性质进行更深入的分析和讨论。

2. h-凸函数和强h-凸函数的定义

2007年Varosanec [1] 引进了一类推广了的凸型函数：h-凸函数，即

定义1：设 $I,J$ 是 $ℝ$ 内的一个区间，且 $\left(0,1\right)\subset J$ ，函数 $h:J\to \left[0,\infty \right)$ 。若函数 $f:I\to \left[0,\infty \right)$ 满足， $\forall x,y\in I,t\in \left(0,1\right)$ ，

$f\left(tx+\left(1-t\right)y\right)\le h\left(t\right)f\left(x\right)+h\left(1-t\right)f\left(y\right)$ (1)

则称f为定义在区间I上的h-凸函数。若(1)式中不等号反向成立，则称f为I上h-凹函数。

特别地，当 $h\left(t\right)=t$ 时，则f为凸函数；当 $h\left(t\right)=t^s$ ( $\text{0}<s\le 1$ )时，f为s凸函数； $h\left(t\right)=\frac{1}{t}$ 时，f为Godunova-Levin函数； $h\left(t\right)\equiv 1$ 时，f为p函数。

2011年Angulo [8] 进一步推广了h-凸函数，引入了强h-凸函数的概念。

定义2：设 $\left({\rm X},\Vert ·\Vert \right)$ 是实赋范线性空间，I是 ${\rm X}$ 中的一个凸子集，J是 $ℝ$ 内的一个区间，且 $\left(0,1\right)\subset J$ ，函数 $h:J\to \left[0,\infty \right)$ 。若函数 $f:I\to \left[0,\infty \right)$ 满足：存在常数 $c>0$ ， $\forall x,y\in I,t\in \left(0,1\right)$ ，不等式

$f\left(tx+\left(1-t\right)y\right)\le h\left(t\right)f\left(x\right)+h\left(1-t\right)f\left(y\right)-ct\left(1-t\right){\Vert x-y\Vert }^2$ (2)

成立，那么我们就称函数f是I上的模c强h-凸函数。若上述不等式反向成立，那么我们就称函数f是I上的模c强h-凹函数。在不引起混淆的情况下，我们分别简称为f是I上的强h-凸函数与强h-凹函数。

类似地，当 $h\left(t\right)=t$ 时，我们称f是I上的模c强凸函数；当 $h\left(t\right)=t^s$ ( $\text{0}<s\le 1$ )时，称f是I上的模c强s-凸函数；当 $h\left(t\right)=\frac{1}{t}$ 时，称f是I上的模c强Godunova-Levin凸函数；当 $h\left(t\right)\equiv 1$ 时，称f是I上的模c强p凸函数。

为方便起见，在下文中我们约定符号 $I$ ， $I_1$ ， $I_2$ 表示实赋范线性空间 ${\rm X}$ 中的凸子集(有时它们也会表示特殊的实赋范线性空间- $ℝ$ 中的区间)，符号 $J$ ， $J_1$ ， $J_2$ 表示 $ℝ$ 中包含 $\left(0,1\right)$ 的区间。

3. 强h-凸函数的基本性质

受文献 [9] 的启发，本节主要讨论强h-凸函数的一些基本性质，如可加性，复合函数的性质等，并且也比较了强h-凸函数和h-凸函数两者之间的关系。

定理1：设非负函数h满足 $h\left(t\right)\le t$ ， $t\in \left(0,1\right)$ ，若f是I上的模c强凸函数，则f也为I上的模c强h-凸函数。设非负函数h满足 $h\left(t\right)\ge t$ ， $t\in \left(0,1\right)$ ，若f是I上的模c强凹函数，则f也为I上的模c强h-凹函数。

证明：若 $h\left(t\right)\le t$ ， $t\in \left(0,1\right)$ ，且若f为定义在I上模c强凸函数，则 $\forall x,y\in I$ ， $t\in \left(0,1\right)$ ，

有

$\begin{array}{c}f\left(tx-\left(1-t\right)y\right)\le tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y\right)-ct\left(1-t\right){\Vert x-y\Vert }^2\\ \le h\left(t\right)f\left(x\right)+h\left(1-t\right)f\left(y\right)-ct\left(1-t\right){\Vert x-y\Vert }^2\end{array}$ .

即f为I上的模c强h-凸函数。

若 $h\left(t\right)\ge t$ ， $t\in \left(0,1\right)$ ，且若f为I上的非负模c强凹函数，则 $\forall x,y\in I$ ， $t\in \left(0,1\right)$ ，有

$\begin{array}{c}f\left(tx-\left(1-t\right)y\right)\ge tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y\right)-ct\left(1-t\right){\Vert x-y\Vert }^2\\ \ge h\left(t\right)f\left(x\right)+h\left(1-t\right)f\left(y\right)-ct\left(1-t\right){\Vert x-y\Vert }^2\end{array}$ .

即f为I上的模c强h-凹函数。

定理2：设非负函数 $h_1,h_2$ 满足 $h_1\left(t\right)\le h_2\left(t\right)$ ， $t\in \left(0,1\right)$ 。若f是I上的模c强h₂-凸函数，则f为I上模c强h₁-凸函数；若f是I上的模c强h₁-凹函数，则f为I上模c强h₂-凹函数。

证明：若f为模为c强h₂-凸函数，则对于任意的 $t\in \left(0,1\right)$ ，有

$\begin{array}{c}f\left(tx-\left(1-t\right)y\right)\le h_2\left(t\right)f\left(x\right)+h_2\left(1-t\right)f\left(y\right)-ct\left(1-t\right){\Vert x-y\Vert }^2\\ \le h_1\left(t\right)f\left(x\right)+h_1\left(1-t\right)f\left(y\right)-ct\left(1-t\right){\Vert x-y\Vert }^2\end{array}$ .

即f为模为c的强h₁-凸函数。同理可证凹函数的情况。

类似定理2的证明，我们容易得到下面的结论。

定理3：设h为定义在区间I上的非负函数。已知 $c_1>c_2$ ，若f模为 $c_1$ 强h凸函数，则f为模为 $c_2$ 的强h凸函数；若f模为 $c_1$ 强h凹函数，则f为模为 $c_2$ 的强h凹函数。

定理4：设常数 $\lambda >0$ 。若 $f$ ， $g$ 分别为定义在I上的模为 $c_1$ ， $c_2$ 的强h-凸(凹)函数，则 $f+g$ 为I上的模 $c_1+c_2$ 强h-凸(凹)函数， $\lambda f$ 为I上的模 $\lambda c_1$ 强h-凸(凹)函数。

证明：若 $f$ ， $g$ 分别为I上模为 $c_1$ ， $c_2$ 的强h-凸函数，则有

$f\left(tx+\left(1-t\right)y\right)\le h\left(t\right)f\left(x\right)+h\left(1-t\right)f\left(y\right)-c_{1}t\left(1-t\right){\Vert x-y\Vert }^2$ ，

$g\left(tx+\left(1-t\right)y\right)\le h\left(t\right)g\left(x\right)+h\left(1-t\right)g\left(y\right)-c_{2}t\left(1-t\right){\Vert x-y\Vert }^2$ .

因此

$\begin{array}{l}\left(f+g\right)\left(tx+\left(1-t\right)y\right)\\ \le h\left(t\right)\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)+h\left(1-t\right)\left(f\left(y\right)+g\left(y\right)\right)-\left(c_1+c_2\right)t\left(1-t\right){\Vert x-y\Vert }^2\end{array}$ ，

$\lambda f\left(tx+\left(1-t\right)y\right)\le \lambda h\left(t\right)f\left(x\right)+\lambda h\left(1-t\right)f\left(y\right)-\lambda c_{1}t\left(1-t\right){\Vert x-y\Vert }^2$

强h-凹函数的情形可类似的证明。

注：特别地，当 $c\to 0$ 时，定理1~4恰是Varosanec [1] 关于h-凸函数性质研究的结论。

4. 上积函数，单调性与强h-凸函数的关系

定义3 [1] ：若函数 $h:J\to ℝ$ 满足

$h\left(xy\right)\ge h\left(x\right)h\left(y\right)$ ， $x,y\in J$

那么我们称h为J上的上积函数。若上述不等号反向，则称h为J上的下积函数。

定理5：设f为I上的模c强h-凸函数，且h为J上的上积函数。若 $f\left(0\right)=0$ ，则 $\forall x,y\in I,\alpha ,\beta >0$ ，且 $\alpha x+\beta y\in I$ ，有

$f\left(\alpha x+\beta y\right)\le h\left(\alpha \right)f\left(x\right)+h\left(\beta \right)f\left(y\right)-c\alpha \beta {\Vert x-y\Vert }^2$ (3)

证明：记 $\alpha +\beta =\gamma$ 。令 $a=\frac{\alpha }{\gamma },b=\frac{\beta }{\gamma }$ ，则 $a+b=1$ 。

$\begin{array}{l}f\left(\alpha x+\beta y\right)=f\left(\gamma ax+\gamma by\right)\\ \le h\left(a\right)f\left(\gamma x\right)+h\left(b\right)f\left(\gamma y\right)-cab{\Vert \gamma x-\gamma y\Vert }^2\\ =h\left(a\right)f\left(\gamma x+\left(1-\gamma \right)\cdot 0\right)+h\left(b\right)f\left(\gamma y+\left(1-\gamma \right)\cdot 0\right)-cab{\gamma }^2{\Vert x-y\Vert }^2\end{array}$

$\begin{array}{l}\le h\left(a\right)h\left(\gamma \right)f\left(x\right)+h\left(b\right)h\left(\gamma \right)f\left(y\right)-cab{\gamma }^2{\Vert x-y\Vert }^2\\ \le h\left(a\gamma \right)f\left(x\right)+h\left(b\gamma \right)f\left(y\right)-cab{\gamma }^2{\Vert x-y\Vert }^2\\ =h\left(\alpha \right)f\left(x\right)+h\left(\beta \right)f\left(y\right)-c\alpha \beta {\Vert x-y\Vert }^2\end{array}$ .

定理6：设h是区间 $\left[0,1\right]$ 上的非负函数，且对某个 ${\alpha }_0\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$ ，有 $h\left({\alpha }_0\right)<\frac{\text{1}}{\text{2}}$ 。若f是定义在I上的非负函数，且 $\forall \alpha ,\beta >0$ ， $\alpha +\beta <1$ ，满足不等式

$f\left(\alpha x+\beta y\right)\le h\left(\alpha \right)f\left(x\right)+h\left(\beta \right)f\left(y\right)-c\alpha \beta {\Vert x-y\Vert }^2$ (4)

那么有 $f\left(0\right)=0$ 。

证明：我们用反证法来证明。若 $f\left(0\right)\ne 0$ ，即 $f\left(0\right)>0$ 。将 $x=y=0$ 代入不等式(4)中得到

$f\left(0\right)\le h\left(\alpha \right)f\left(0\right)+h\left(\beta \right)f\left(0\right)$ .

因为 $\alpha ,\beta >0,\alpha +\beta \le 1$ ，不妨取 $\alpha =\beta ={\alpha }_0$ ，那么

$f\left(0\right)\le h\left({\alpha }_{\text{0}}\right)f\left(0\right)+h\left({\alpha }_{\text{0}}\right)f\left(0\right)=2h\left({\alpha }_{\text{0}}\right)f\left(0\right)$ .

则有

$h\left({\alpha }_{\text{0}}\right)\ge \frac{\text{1}}{\text{2}}$ .

这与条件 $h\left({\alpha }_{\text{0}}\right)<\frac{\text{1}}{\text{2}}$ 相矛盾。所以假设不成立，故 $f\left(0\right)=0$ 。

单调性是函数的一个重要性质。下面结合单调性讨论复合函数的强凸性。

定义4：设f是定义在区间I上的一个实函数，若存在常数 $c>0$ ， $\forall x,y\in I$ 有

$c\left|x-y\right|\le \left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|$ ,

则称f在I上满足逆Lipschitz条件，且称 $\delta :=\sup \left\{c\right\}$ 为逆Lipschitz常数，记为 $f\in {\text{L}}^{-1}\left(\delta \right)$ 。

定理7：设 $f:I_1\to \left[0,\infty \right)$ ， $g:I_2\to \left[0,\infty \right)$ 满足逆Lipschitz条件 $g\in {\text{L}}^{-1}\left(\delta \right)$ ，且 $g\left(I_2\right)\subset I_1\subset ℝ$ 。若g是凸(凹)函数，f是单调递增(单调递减)的模c强h-凸函数，那么复合函数 $f\circ g$ 是定义在 $I_2$ 上的模 $c{\delta }^2$ 强h-凸函数；若 $g$ 是凸(凹)函数，f是单调递减(单调递增)模c强h-凹函数，那么复合函数 $f\circ g$ 是定义在 $I_2$ 上的模 $c{\delta }^2$ 强h-凹函数。

证明：我们仅证明复合函数是强h-凸函数情形。不妨设g是凸函数，f是单调递增的模c强h-凸函数，那么， $\forall x,y\in I_2,\alpha \in \left(0,1\right)$ ，有

$\begin{array}{l}\left(f\circ g\right)\left(\alpha x+\left(1-\alpha \right)y\right)\le f\left(\alpha g\left(x\right)+\left(1-\alpha \right)g\left(y\right)\right)\\ \le h\left(\alpha \right)\left(f\circ g\right)\left(x\right)+h\left(1-\alpha \right)\left(f\circ g\right)\left(y\right)-c\alpha \left(1-\alpha \right){\left|g\left(x\right)-g\left(y\right)\right|}^2\\ \le h\left(\alpha \right)\left(f\circ g\right)\left(x\right)+h\left(1-\alpha \right)\left(f\circ g\right)\left(y\right)-c{\delta }^2\alpha \left(1-\alpha \right){\left|x-y\right|}^2\end{array}$ .

定理8：设函数 $h_i:J_i\to \left[0,\infty \right),i=1,2$ ，且 $h_1$ 是 $J_1$ 上的上积函数， $h_{\text{2}}\left(J_2\right)\subseteq J_1$ ， $h_{\text{2}}\left(t\right)\ge t\left(t\in \left(0,1\right)\right)$ 。若函数f是定义在 $I_1$ 上的单调递增(单调递减)的模c强h-凸函数，且有 $0\in I_1$ ， $f\left(0\right)=0$ ，函数g为定义在 $I_2$ 上的h₂-凸(凹)函数，且满足逆Lipschitz条件 $g\in {\text{L}}^{-1}\left(\delta \right)$ 与 $g\left(I_2\right)\subseteq I_1$ ，那么复合函数 $f\circ g$ 是 $I_2$ 上的模 $c{\delta }^2$ 强h-凸函数。

证明：不失一般性，我们仅考虑g是 $I_2$ 上的h₂-凸函数，f在 $I_1$ 上单调递增的情形。由假设可知， $\forall x,y\in I_2$ ， $\alpha \in \left(0,1\right)$ 有

$\left(f\circ g\right)\left(\alpha x+\left(1-\alpha \right)y\right)\le f\left(h_2\left(\alpha \right)g\left(x\right)+h_2\left(1-\alpha \right)g\left(y\right)\right)$ (5)

又因为 $f\left(0\right)=0$ ，则由定理4知

$\begin{array}{l}f\left(h_2\left(\alpha \right)g\left(x\right)+h_2\left(1-\alpha \right)g\left(y\right)\right)\\ \le h_1\left(h_2\left(\alpha \right)\right)f\left(g\left(x\right)\right)+h_1\left(h_2\left(1-\alpha \right)\right)f\left(g\left(y\right)\right)-c{h}_2\left(\alpha \right)h_2\left(1-\alpha \right){\left|g\left(x\right)-g\left(y\right)\right|}^2\end{array}$ (6)

注意到 $g$ 满足逆Lipschitz条件 $g\in {\text{L}}^{-1}\left(\delta \right)$ 及 $h_2\left(\alpha \right)\ge \alpha \left(\alpha \in \left(0,1\right)\right)$ ，则由(5)与(6)得

$\left(f\circ g\right)\left(\alpha x+\left(1-\alpha \right)y\right)\le \left(h_1\circ h_2\right)\left(\alpha \right)\left(f\circ g\right)\left(x\right)+\left(h_1\circ h_2\right)\left(\text{1}-\alpha \right)\left(f\circ g\right)\left(y\right)-c{\delta }^2\alpha \left(1-\alpha \right){\left|x-y\right|}^2$ .

定理得证。

定理9：设h为J上的非负上积函数。若f为定义在I上的模c强h-凸函数，那么 $\forall x_1,\cdots ,x_n\in I$ ，有

$f\left(\frac{1}{W_n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i{x}_i}\right)\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}h\left(\frac{w_i}{W_n}\right)f\left(x_i\right)}$ ，

其中 $w_1,\cdots ,w_n$ 为任意正数， $W_n=w_1+w_2+\cdots +w_n$ 。

证明：我们利用数学归纳法来证明。当 $n=2$ 时，注意到 $\frac{w_1}{W_2}+\frac{w_2}{W_2}=1$ ，根据f是模c强h-凸函数的定义，易知道结论成立。假设结论对 $n-1\left(n>2\right)$ 成立，则对一般的 $n\left(n>2\right)$ 有，

$\begin{array}{l}f\left(\frac{1}{W_n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i{x}_i}\right)=f\left(\frac{w_n}{W_n}{x}_n+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{w_i}{W_n}{x}_i}\right)=f\left(\frac{w_n}{W_n}{x}_n+\frac{W_{n-1}}{W_n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{w_i}{W_{n-1}}{x}_i}\right)\\ \le h\left(\frac{w_n}{W_n}\right)f\left(x_n\right)+h\left(\frac{W_{n-1}}{W_n}\right)f\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{w_i}{W_{n-1}}{x}_i}\right)-c\frac{w_n}{W_n}\frac{W_{n-1}}{W_n}{\Vert x_n-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{w_i}{W_{n-1}}{x}_i}\Vert }^2\\ \le h\left(\frac{w_n}{W_n}\right)f\left(x_n\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}\left[h\left(\frac{W_{n-1}}{W_n}\right)h\left(\frac{w_i}{W_{n-1}}\right)f\left(x_i\right)\right]}\\ \le h\left(\frac{w_n}{W_n}\right)f\left(x_n\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n-1}{\sum }}h\left(\frac{w_i}{W_n}\right)f(\; x\; i\; )}\end{array}$

定理得证。

5. 函数列收敛和强h-凸函数

在本节我们主要讨论当强h-凸函数列 $\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 收敛时，它的极限函数 $f\left(x\right)$ 是否也是强h-凸函数？

定理10：设函数列 $\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 的每一项分别为模 $c_n$ 的强h-凸函数， $c=\underset{n}{\inf }\left\{c_n\right\}>0$ 。若函数列 $\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在I上收敛于函数 $f\left(x\right)$ ， $\left\{h_n\left(x\right)\right\}$ 在 $\left(0,1\right)$ 上收敛于函数 $h\left(x\right)$ ，那么 $f\left(x\right)$ 是模c强h-凸函数。

证明：由于 $\left\{h_n\left(x\right)\right\}$ 为 $\left(\text{0,1}\right)$ 上的非负函数列，故其收敛函数 $h\left(x\right)$ 也是非负函数。由已知条件可知， $\forall x,y\in I,t\in \left(0,1\right)$ ，

$\begin{array}{c}{f}_n\left(tx+\left(1-t\right)y\right)\le h_n\left(t\right)f_n\left(x\right)+h_n\left(1-t\right)f_n\left(y\right)-c_{n}t\left(1-t\right){\Vert x-y\Vert }^{\text{2}}\\ \le h_n\left(t\right)f_n\left(x\right)+h_n\left(1-t\right)f_n\left(y\right)-ct\left(1-t\right){\Vert x-y\Vert }^{\text{2}}\end{array}$ .

因此

$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n\left(tx+\left(1-t\right)y\right)\le \underset{n\to \infty }{\lim }\left\{h_n\left(t\right)f_n\left(x\right)+h_n\left(1-t\right)f_n\left(y\right)\right\}-ct\left(1-t\right){\Vert x-y\Vert }^2$ .

即

$f\left(tx+\left(1-t\right)y\right)\le h\left(t\right)f\left(x\right)+h\left(1-t\right)f\left(y\right)-ct\left(1-t\right){\Vert x-y\Vert }^2$ .

推论：设函数列 $\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ ：的每一项分别为模 $c_n$ 的强h-凸函数， $c=\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n>0$ 。若函数列 $\left\{f_n\left(x\right)\right\}$ 在I上收敛于函数 $f\left(x\right)$ ， $\left\{h_n\left(x\right)\right\}$ 在 $\left(0,1\right)$ 上收敛于函数 $h\left(x\right)$ ，那么 $f\left(x\right)$ 是模c强h-凸函数。

基金项目

浙江省自然科学基金(No. LY18A010015)，国家级大学生创新创业训练计划项目(No. 201714275002)，浙江外国语学院2017年大学生创新创业训练计划项目。