应用数学进展  >> Vol. 7 No. 11 (November 2018)

差分方程xn+1=xn/(p+xn-1)的动力学性质
Dynamics of the Difference Equation xn+1=xn/(p+xn-1)

DOI: 10.12677/AAM.2018.711163, PDF, HTML, XML, 下载: 493  浏览: 1,461  国家自然科学基金支持

作者: 邓绍高:西南交通大学数学学院,四川 成都;朱立军:北方民族大学数学与信息科学学院,宁夏 银川

关键词: 差分方程平衡点渐近稳定性Difference Equation Equilibrium Point Asymptotic Stability

摘要: 本文讨论了差分方程xn+1=xn/(p+xn-1)(p≥0, n≥2)的动力学性质,其中参数p是非负数,初始值x1>0, x2>0。在一定的条件下,方程的正解的渐近稳定性得到了证明。
Abstract: This paper considers the difference equation xn+1=xn/(p+xn-1)(p≥0, n≥2) with the initial values x1>0, x2>0. The asymptotic stability of the positive solutions is proved under some assumptions.

文章引用: 邓绍高, 朱立军. 差分方程xn+1=xn/(p+xn-1)的动力学性质[J]. 应用数学进展, 2018, 7(11): 1402-1404. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.711163

1. 引言

差分方程来源于递推关系,在各种实际问题中有着广泛的应用。同时在微分方程的数值求解中,需要通过对微分方程的离散化得到差分方程(参见 [1] [2] )。因此,非线性差分方程成了近年来的研究热点之一,比如文献 [3] [4] [5] 。

本文将考虑具有非负参数的差分方程:

x n + 1 = x n / ( p + x n 1 ) (1.1)

的正解在一定的条件下的收敛性和周期性。其中,,初始值 x 1 > 0 , x 2 > 0

设函数 f ( x , y ) = x / ( p + y ) ( p > 0 , x > 0 , y > 0 ) ,则差分方程

x n + 1 = f ( x n , x n 1 ) ( n 2 ) (1.2)

在平衡点 β 的线性化方程的特征方程为(相关的概念参见 [1] [2] ):

λ 2 f x ( β , β ) λ f y ( β , β ) = 0 (1.3)

引理1.1:若方程(1.3)的全部特征根的模都小于1,则方程(1.2)的平衡点 β 是(局部)渐近稳定的;若方程(1.3)至少有一个特征根的模大于1,则方程(1.2)的平衡点 β 是不稳定的(参见 [1] [2] )。

2. 主要结果

首先,我们考虑 p > 0 为正数时的情形。

定理2.1:差分方程(1.1)在 p > 0 时,其平衡点及其稳定性依赖于 p 的值。即:

1) 当 p 1 时,有唯一的平衡点 β = 0 ,且是全局(渐近)稳定的;

2) 当 0 < p < 1 时,有两个平衡点 β = 0 β = 1 p ,其中 β = 0 是不稳定的,而 β = 1 p 是(渐近)稳定的。

证明:因为 p > 0 , x 1 > 0 , x 2 > 0 ,由数学归纳法可得 x n > 0 ( n 1 )

1) 当 p 1 , n 2 时, x n + 1 / x n = 1 / ( p + x n 1 ) < 1 / p 1

即方程(1.1)的解 { x n } 单调递减。

从而存在 β 0 ,使得: x n β ( n )

另一方面,对方程(1.1)两边取极限可求得:

β = 0 β = 1 p ( p > 1 )

从而得唯一的平衡点 β = 0

由于解的收敛性不依赖于对初值的选取。所以,该平衡点是全局(渐近)稳定的。

2) 当 0 < p < 1 时,令 x n β ,可得:

β = 0 β = 1 p > 0

此时,方程(1.1)有两个平衡点 β = 0 β = 1 p

f ( x , y ) = x / ( p + y ) ,则:

f x ( x , y ) = 1 / ( p + y ) f y ( x , y ) = x / ( p + y ) 2

β = 0 时, f x ( β , β ) = 1 / p f y ( β , β ) = 0

所以,方程(1.1)的线性化方程的特征方程 λ 2 λ / p = 0 的特征根为:

λ 1 = 0 , λ 2 = 1 / p > 1

故,平衡点 β = 0 是不稳定的。

β = 1 p 时, f x ( β , β ) = 1 f y ( β , β ) = p 1

同上,方程(1.1)的线性化方程的特征方程 λ 2 λ ( p 1 ) = 0 的特征根满足:

0 < λ 1 = ( 1 4 p 3 ) / 2 λ 2 = ( 1 + 4 p 3 ) / 2 < 1 ( 3 / 4 p < 1 )

λ 1 2 = λ 2 2 = λ 1 λ 2 = 1 p < 1 ( 0 < p < 3 / 4 )

由此可知,平衡点 β = 1 p 是(渐近)稳定的。证毕。

其次,我们来考虑 p = 0 时,其解是否收敛。

设初始值 x 1 = a > 0 , x 2 = b > 0 ,容易得到:

x 3 = b / a , x 4 = 1 / a , x 5 = 1 / b , x 6 = a / b , x 7 = a , x 8 = b

定理2.2:差分方程(1.1)在 p = 0 时,其解 { x n } 在一般的情况下是六周期解(即 x n + 6 = x n )。即解 { x n } 是振荡的,也就是没有平衡点。

注释2.1:在差分方程(1.1)中,如果将参数 p 推广成一般的序列 { p n } 则结论就会有所不同.

基金项目

中央高校基本科研业务费专项资金(2682018ZT25)资助(Supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities (2682018ZT25));宁夏自然科学基金项目(NZ17015);国家自然科学基金项目(61362033);四川省科技厅基础研究计划项目(2011JYZ002);西南交通大学本科教育教学研究与改革项目(1804171)。

NOTES

*通讯作者。

参考文献

[1] 周义仓, 曹慧, 肖燕妮. 差分方程及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2014.
[2] Elaydi, S. (2005) An Introduction to Difference Equations. 3rd Edition, Springer-Verlag, New York.
[3] Amleh, A.M., Grove, E.A., Ladas, G. and Georgiou, D.A. (1999) On the Recursive Sequence . Journal of Mathematical Analysis and Applica-tions, 233, 790-798.
https://doi.org/10.1006/jmaa.1999.6346
[4] 徐胜荣, 王希超, 周营营. 一类差分方程的稳定性研究[J]. 山东农业大学学报(自然科学版), 2013, 44(4):624-629.
[5] 韩彩虹, 李 略, 黄荣里. 差分方程 的动力学性质[J]. 广西师范大学学报(自然科学版), 2013, 31(1): 44-47.