一类含一阶导数的三阶边值问题正解的存在性

Existence of Positive Solutions for a Class of Third-Order Boundary Value Problems with First Derivative

摘要: 考虑一类含一阶导数的三阶常微分方程(ordinary differential equation，简称ODE)边值问题其中λ>0是一个参数，0<η<1且1<α<1/η为常数。f(t,u,p):[0,1]×[0,∞)×[0,∞)→[0,∞)为连续函数，且f(t,0,0)=0。主要结果的证明基于全局分歧理论。

Abstract: This paper considers existence of positive solutions for a class of third-order ordinary differential equations boundary value problems with first derivative  where λ is a positive parameter, 0<η<1 and 1<α<1/η are given constants. f(t,u,p):[0,1]×[0,∞)×[0,∞)→[0,∞) is a continuous function, and f(t,0,0)=0. The proof of the main results is based upon global bifurcation techniques.

1. 引言

三阶三点边值问题在应用数学和物理学的诸多领域都有应用，如具有恒定或变化截面的弯曲梁的挠度、三层梁、重力驱动的流动和加热棒平衡状态的研究等。近年来，关于这类问题的研究出现了一些结果 [1] - [8]，特别地，文献 [2] 运用Guo-Krasnoselskii不动点定理研究了问题

$\{\begin{array}{l}-u^{\left(3\right)}\left(t\right)=a\left(t\right)f\left(u\left(t\right)\right),t\in \left[0,1\right],\hfill \\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=0,u^{\prime }\left(1\right)=\alpha u^{\prime }\left(\eta \right)\hfill \end{array}$ (1.1)

正解的存在性，其中 $0<\eta <1$， $1<\alpha <\frac{1}{\eta }$ 为给定常数，得到了如下结果：

定理A 若 $f\in C\left(\left[\mathrm{0,}\infty \right),\left[\mathrm{0,}\infty \right)\right)$, $a\in C\left(\left[0,1\right],\left[\mathrm{0,}\infty \right)\right)$ 且在 $\left[\frac{\eta }{\alpha },\eta \right]$ 上不恒为零，假设下列条件之一成立：

i) $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{f\left(u\right)}{u}=\infty$， $\underset{u\to \infty }{\lim }\frac{f\left(u\right)}{u}=0$ ；

ii) $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{f\left(u\right)}{u}=\infty$， $\underset{u\to \infty }{\lim }\frac{f\left(u\right)}{u}=0$ ；

则问题(1.1)至少存在一个正解。

文献 [3] 运用不动点指数理论研究了

$\{\begin{array}{l}-u^{\left(3\right)}\left(t\right)=\lambda f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right),u^{″}\left(t\right)\right),t\in \left[0,1\right],\hfill \\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=0,u^{\prime }\left(1\right)=\alpha u^{\prime }\left(\eta \right)\hfill \end{array}$ (1.2)

正解的存在性问题，所得结果如下：

假定：

(B1) $\lambda$ 为正参数；

(B2) $f:\left[0,1\right]\times {ℝ}^3\to \left[\mathrm{0,}\infty \right)$ 是 $L^1$ -Caratheodory函数;

(B3) 存在 $f_0$, $f^{\infty }$，使得

$f_0=\underset{\left|x\right|,\left|y\right|,\left|z\right|\to 0}{\lim }\underset{t\in \left[0,1\right]}{\min }\frac{f\left(t,x,y,z\right)}{\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|},f^{\infty }=\underset{\left|x\right|,\left|y\right|,\left|z\right|\to 0}{\lim }\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }\frac{f\left(t,x,y,z\right)}{\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|}.$

定理B 假定(B1)~(B3)成立，若 $\bar{\Lambda }{f}^{\infty }<\underset{\_}{\Lambda }{f}_0$，则对所有的

$\lambda \in \left(\frac{1}{\underset{\_}{\Lambda }{f}_0},\frac{1}{\bar{\Lambda }{f}^{\infty }}\right),$

问题(1.2)至少有一个正解。

我们注意到，文献 [2] 在非线性项分别满足超线性和次线性情形时，运用锥上的不动点理论得到正解的存在性，所得主要结果相对比较简单。文献 [3] 通过运用不动点指数理论研究了更一般的非线性三阶边值问题(1.2)，得到了正解的存在性，对文献 [2] 做了一定的推广，但因所用工具的局限性，文献 [3] 中参数 $\lambda$ 的取值范围不是最优的，所得主要结果也不是最优的，一个自然的问题是：能否用其他方法考虑三阶边值问题正解的存在性，从而给出参数 $\lambda$ 的最优取值范围？

基于上述考虑，本文运用Rabinowitz全局分歧定理及Krein-Rutman定理考察三阶边值问题

$\{\begin{array}{l}-u^{\left(3\right)}\left(t\right)=\lambda f\left(t,u\left(t\right),u^{\prime }\left(t\right)\right),t\in \left[0,1\right],\hfill \\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=0,u^{\prime }\left(1\right)=\alpha u^{\prime }\left(\eta \right)\hfill \end{array}$ (1.3)

正解的存在性。

本文总假定：

(H1) $\lambda$ 为正参数， $0<\eta <1$, $1<\alpha <\frac{1}{\eta }$ 为给定常数；

(H2) $f:\left[0,1\right]\times \left[\mathrm{0,}\infty \right)\times \left[\mathrm{0,}\infty \right)\to \left[\mathrm{0,}\infty \right)$ 为连续函数，且 $f\left(t,0,0\right)=0$ ；

(H3) 存在 $a\left(t\right),b\left(t\right)\in C\left(\left[0,1\right],\left(\mathrm{0,}\infty \right)\right)$，使得

$f\left(t,u,p\right)=a\left(t\right)+\circ \left(\left|\left(u,p\right)\right|\right),\left|\left(u,p\right)\right|\to \left(0,0\right)$ 对于 $t\in \left[0,1\right]$ 一致成立

且

$f\left(t,u,p\right)=b\left(t\right)+\circ \left(\left|\left(u,p\right)\right|\right),\left|\left(u,p\right)\right|\to \infty$ 对于 $t\in \left[0,1\right]$ 一致成立，

这里 $\left|\left(u,p\right)\right|:=\sqrt{u^2+p^2}$。

为研究问题(1.3)，需考虑线性特征值问题

$\{\begin{array}{l}-u^{\left(3\right)}\left(t\right)=\lambda A\left(t\right)u,t\in \left[0,1\right],\hfill \\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=0,u^{\prime }\left(1\right)=\alpha u^{\prime }\left(\eta \right)\hfill \end{array}$ (1.4)

其中 $A\left(t\right)\in C\left(\left[0,1\right],\left(0,\infty \right)\right)$， $\lambda \in ℝ$ 为参数。记 ${\lambda }_1\left(A\right)$ 是问题(1.4)的主特征值， ${\phi }_1$ 为 ${\lambda }_1\left(A\right)$ 对应的特征函数。

主要结果如下：

定理1.1 假定(H1)-(H3)成立，假设下列条件之一成立：

i) ${\lambda }_1\left(a\right)<\lambda <{\lambda }_1\left(b\right)$ ；

ii) ${\lambda }_1\left(b\right)<\lambda <{\lambda }_1\left(a\right)$ ；

则问题(1.3)至少存在一个正解。

2. 预备知识

引理2.1 [9] (Rabinowitz全局分歧定理)设E是Banach空间，考虑方程

$x=\mu Lx+N\left(\mu ,x\right),\mu \in ℝ,x\in E$ (2.1)

假定：

(A1) 算子 $L:E\to E$ 为线性紧算子；

(A2) 非线性算子 $N:ℝ\times E\to E$ 全连续，且 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\Vert N\left(\mu ,x\right)\Vert }{\Vert x\Vert }=0$ ；

(A3) ${\mu }_0$ 为L在E中的本征值，且其代数重数 $\chi \left({\mu }_0\right)$ 为奇数，其中

$\chi \left({\mu }_0\right)=\dim \left\{{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{\infty }{\cup }}\ker }\left({\left(I-{\mu }_{0}L\right)}^m\right)\right\}$

记 $\mathcal{C}\left({\mu }_0\right)$ 为(2.1)式的非平凡解的闭包中包含点 $\mathcal{C}\left({\mu }_0\right)$ 的连通分支，则有以下两种情形之一出现：

i) $\mathcal{C}\left({\mu }_0\right)$ 无界；

ii) $\mathcal{C}\left({\mu }_0\right)$ 还连接 $\left(\tilde{\mu },0\right)$， $\tilde{\mu }$ 是不同于 ${\mu }_0$ 的本征值。

引理2.2 [9] (Krein-Rutman定理)设E是一个Banach空间，记 $L\left(E\right)$ 为有界线性算子 $T:E\to E$ 的全体

在范数 $\Vert T\Vert =\sup \left\{\Vert Tx\Vert |\Vert x\Vert =1\right\}$ 下构成的Banach空间， $r\left(T\right)=\sup \left\{\left|\lambda \right||\lambda \in \rho \left(T\right)\right\}$ 是T的谱半径。 $K\subset X$ 是

一个锥，满足 $\overline{K\backslash K}=E$，设 $T\in L\left(E\right)$ 是一个紧的正算子，且 $r\left(T\right)>0$，则 $r\left(T\right)$ 是T的具有正特征函数的特征值。

引理2.3 [2] 假设 $h\left(t\right)\in C\left(\left[0,1\right],ℝ\right)$，若 $0<\eta <1$， $1<\alpha <\frac{1}{\eta }$，则线性边值问题

$\{\begin{array}{l}-u^{\left(3\right)}\left(t\right)=h\left(t\right),t\in \left[0,1\right],\hfill \\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=0,u^{\prime }\left(1\right)=\alpha u^{\prime }\left(\eta \right)\hfill \end{array}$ (2.2)

存在唯一解 $u\left(t\right)$，且

$u\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G}\left(t,s\right)h\left(s\right)\text{d}s.$ (2.3)

其中

$G\left(t,s\right)=\frac{1}{2\left(1-\alpha \eta \right)}\{\begin{array}{l}\left(2ts-s^2\right)\left(1-\alpha \eta \right)+t^{2}s\left(\alpha -1\right),s\le \min \left\{\eta ,t\right\},\\ t^2\left(1-\alpha \eta \right)+t^{2}s\left(\alpha -1\right),t\le s\le \eta ,\\ \left(2ts-s^2\right)\left(1-\alpha \eta \right)+t^2\left(\alpha \eta -s\right),\eta \le s\le t,\\ t^2\left(1-s\right),\max \left\{\eta ,t\right\}\le s.\end{array}$

引理2.4 [2] 令 $0<\eta <1$ 且 $1<\alpha <\frac{1}{\eta }$，则有

$0\le G\left(t,s\right)\le g_0\left(s\right)=\frac{1+\alpha }{1-\alpha \eta }s\left(1-s\right),\forall \left(t,s\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,1\right].$ (2.4)

引理2.5 [2] 令 $0<\eta <1$ 且 $1<\alpha <\frac{1}{\eta }$，则有

$G\left(t,s\right)\ge {\kappa }_0{g}_0\left(s\right),\forall \left(t,s\right)\in \left[\frac{\eta }{\alpha },\eta \right]\times \left[0,1\right],$ (2.5)

其中 $0<{\kappa }_0=\frac{{\eta }^2}{2{\alpha }^2\left(1+\alpha \right)}\min \left\{\alpha -1,1\right\}<1$。

引理2.6 [2] Green函数 $G\left(t,s\right)$ 的一阶导数为

$\frac{\partial G}{\partial t}\left(t,s\right)=\frac{1}{1-\alpha \eta }\{\begin{array}{l}s\left(1-\alpha \eta \right)+ts\left(\alpha -1\right),s\le \min \left\{\eta ,t\right\},\\ t\left(1-\alpha \eta \right)+ts\left(\alpha -1\right),t\le s\le \eta ,\\ s\left(1-\alpha \eta \right)+t\left(\alpha \eta -s\right),\eta \le s\le t,\\ t\left(1-s\right),\max \left\{\eta ,t\right\}\le s.\end{array}$

设 $0<\eta <1$ 且 $1<\alpha <\frac{1}{\eta }$，则有

i) $0\le \frac{\partial G}{\partial t}\left(t,s\right)\le g_1\left(s\right)=\frac{1-s}{1-\alpha \eta },\forall \left(t,s\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$ ；

ii) $\frac{\partial G}{\partial t}\left(t,s\right)\ge {\kappa }_1{g}_1\left(s\right),\forall \left(t,s\right)\in \left[\frac{\eta }{\alpha },\eta \right]\times \left[0,1\right],0<{\kappa }_1=\eta <1$。

设 $Y=C\left[0,1\right]$， $E=C^1\left(\left[0,1\right],ℝ\right)$ 分别在范数 ${\Vert u\Vert }_{\infty }=\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }\left|x\left(t\right)\right|$ 和 $\Vert u\Vert =\max \left\{{\Vert u\Vert }_{\infty },{\Vert u^{\prime }\Vert }_{\infty }\right\}$ 下构成Banach空间。我们定义锥

$K=\left\{u\in E:u\left(t\right)\ge 0,t\in \left[0,1\right],u^{\prime }\left(t\right)\ge 0,t\in \left[0,1\right],\underset{t\in \left[\frac{\eta }{\alpha },\eta \right]}{\min }u\left(t\right)\ge {\kappa }_0{\Vert u\Vert }_{\infty },\underset{t\in \left[\frac{\eta }{\alpha },\eta \right]}{\min }{u}^{\prime }\left(t\right)\ge {\kappa }_1{\Vert u^{\prime }\Vert }_{\infty }\right\}.$

定义积分算子 $T:E\to E$，

$Tu\left(t\right)=\lambda {\displaystyle {\int }_0^{1}G}\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s,t\in \left[0,1\right].$

引理2.7 假设(H1)-(H2)成立，则 $T:K\to K$ 是全连续算子。

证明 先证对任意 $u\in K$，有 $Tu\in K$。

显然， $Tu\left(t\right)\ge 0,t\in \left[0,1\right]$，根据引理2.4可得

$Tu\left(t\right)=\lambda {\displaystyle {\int }_0^{1}G}\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s\le \lambda {\displaystyle {\int }_0^1{g}_0}\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s.$

则有

${\Vert Tu\Vert }_{\infty }\le \lambda {\displaystyle {\int }_0^1{g}_0}\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s.$

所以，对 $t\in \left[\frac{\eta }{\alpha },\eta \right]$，由引理2.4及引理2.5，我们有

$Tu\left(t\right)=\lambda {\displaystyle {\int }_0^{1}G}\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s\ge \lambda {\displaystyle {\int }_0^1{\kappa }_0}{g}_0\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s\ge {\kappa }_0{\Vert Tu\Vert }_{\infty },$

可推得

$\underset{t\in \left[\frac{\eta }{\alpha },\eta \right]}{\min }Tu\left(t\right)\ge {\kappa }_0{\Vert Tu\Vert }_{\infty }.$

其次，由于 $\frac{\partial G}{\partial t}\left(t,s\right)\ge 0,\left(t,s\right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$，可直接证得

${\left(Tu\right)}^{\prime }\left(t\right)\le \lambda {\displaystyle {\int }_0^1\frac{\partial G}{\partial t}}\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s.$

根据引理2.6，可得

${\left(Tu\right)}^{\prime }\left(t\right)\le \lambda {\displaystyle {\int }_0^1{g}_1}\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s,$ (2.6)

对(2.6)式取上确界， $t\in \left[0,1\right]$，

${\Vert {\left(Tu\right)}^{\prime }\Vert }_{\infty }\le \lambda {\displaystyle {\int }_0^1{g}_1}\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s.$

所以，对 $t\in \left[\frac{\eta }{\alpha },\eta \right]$，由引理2.6得

${\left(Tu\right)}^{\prime }\left(t\right)\ge \lambda {\displaystyle {\int }_0^1{\kappa }_1}{g}_1\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s\ge {\kappa }_1{\Vert {\left(Tu\right)}^{\prime }\Vert }_{\infty },$

则

$\underset{t\in \left[\frac{\eta }{\alpha },\eta \right]}{\min }Tu\left(t\right)\ge {\kappa }_1{\Vert {\left(Tu\right)}^{\prime }\Vert }_{\infty }.$

故

$\underset{t\in \left[\frac{\eta }{\alpha },\eta \right]}{\min }Tu\left(t\right)\ge \max \left\{{\kappa }_0{\Vert Tu\Vert }_{\infty },{\kappa }_1{\Vert {\left(Tu\right)}^{\prime }\Vert }_{\infty }\right\}.$

所以 $Tu\in K$。

再证T是一个紧算子。设

$B=\left\{u\in E;\Vert u\Vert \le r,\forall r>0\right\}$。

下证 $T\left(B\right)$ 在 $C^1\left[0,1\right]$ 上一致有界，由于 $u\in B$，因此存在一个与r有关的函数 ${\varphi }_r\left(s\right)$，使得对任意的 $s\in \left[0,1\right]$，有 $f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\le {\varphi }_r\left(s\right)$，所以有

$\begin{array}{c}{\Vert Tu\Vert }_{\infty }=\underset{t\in \left[0,1\right]}{\sup }\left|\lambda {\displaystyle {\int }_0^{1}G}\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s\right|\\ \le \lambda {\displaystyle {\int }_0^1{g}_0}\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s\\ \le \lambda {\displaystyle {\int }_0^1{g}_0}\left(s\right){\varphi }_r\left(s\right)\text{d}s:=M_0\end{array}$

$\begin{array}{c}{\Vert {\left(Tu\right)}^{\prime }\Vert }_{\infty }=\underset{t\in \left[0,1\right]}{\sup }\left|\lambda {\displaystyle {\int }_0^1\frac{\partial G}{\partial t}}\left(t,s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s\right|\\ \le \lambda {\displaystyle {\int }_0^1{g}_1}\left(s\right)f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s\\ \le \lambda {\displaystyle {\int }_0^1{g}_1}\left(s\right){\varphi }_r\left(s\right)\text{d}s:=M_1\end{array}$

则有

$\Vert Tu\Vert \le \max \left\{M_0,M_1\right\},\forall u\in B.$

再证 $T\left(B\right)$ 在 $C^1\left[0,1\right]$ 上等度连续，对任意 $t_1,t_2\in \left[0,1\right]$，不妨设 $t_1<t_2$，则

$\begin{array}{c}\left|Tu\left(t_1\right)-Tu\left(t_2\right)\right|\le \lambda {\displaystyle {\int }_0^1\left|G\left(t_1,s\right)-G\left(t_2,s\right)\right|f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s}\\ \le \lambda {\displaystyle {\int }_0^1\left|G\left(t_1,s\right)-G\left(t_2,s\right)\right|{\varphi }_r\left(s\right)\text{d}s}.\end{array}$

因为 $G\left(\cdot ,s\right)$ 连续，则对任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta \left(\epsilon \right)>0$，使得当 $\left|t_2-t_1\right|<\delta$ 时，有 $\left|Tu\left(t_1\right)-Tu\left(t_2\right)\right|<\epsilon$。

同样的，

$\begin{array}{c}\left|{\left(Tu\right)}^{\prime }\left(t_1\right)-{\left(Tu\right)}^{\prime }\left(t_2\right)\right|\le \lambda {\displaystyle {\int }_0^1\left|\frac{\partial G}{\partial t}\left(t_1,s\right)-\frac{\partial G}{\partial t}\left(t_2,s\right)\right|f\left(s,u\left(s\right),u^{\prime }\left(s\right)\right)\text{d}s}\\ \le \lambda {\displaystyle {\int }_0^1\left|\frac{\partial G}{\partial t}\left(t_1,s\right)-\frac{\partial G}{\partial t}\left(t_2,s\right)\right|{\varphi }_r\left(s\right)\text{d}s}\end{array}$

因为 $\frac{\partial G}{\partial t}\left(\cdot ,s\right)$ 连续，则对任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta \left(\epsilon \right)>0$，使得当 $\left|t_2-t_1\right|<\delta$ 时，有 $\left|{\left(Tu\right)}^{\prime }\left(t_1\right)-{\left(Tu\right)}^{\prime }\left(t_2\right)\right|<\epsilon$。

所以， $T\left(B\right)$ 在 $C\left[0,1\right]$ 上等度连综上， $T:K\to K$ 是全连续算子，结论得证。

引理2.8 假设(H2)-(H3)成立，则线性特征值问题(1.4)具有第一个特征值 ${\lambda }_1\left(l,m\right)$ 是简单的，并且对应的特征函数 ${\phi }_1$ 同样为正。

证明 显然，锥K是正规锥且有非空内部， $\overline{K\backslash K}=E$，K是一个完全锥。由引理2.7可知，T是一个紧的正算子。进一步，根据引理2.2可知T的谱半径 $r\left(T\right)>0$ 是简单特征值，且存在 ${\phi }_1>0$，使得 $T{\phi }_1=r\left(T\right){\phi }_1$。

3. 主要结果的证明

定义算子 $L:D\left(L\right)\to X$，

$Lu:=-u^{‴},u\in D\left(L\right),$ (3.1)

其中 $D\left(L\right)=\left\{u\in C^3\left[0,1\right]:u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=0,u^{\prime }\left(1\right)=\alpha u^{\prime }\left(\eta \right)\right\}$，易知 $L^{-1}:Y\to E$ 是紧的。假设存在 $\zeta ,\xi \in C\left(\left[0,1\right]\times \left[\mathrm{0,}\infty \right)\times \left[\mathrm{0,}\infty \right),\left[\mathrm{0,}\infty \right)\right)$，使得

$f\left(t,u,p\right)=a\left(t\right)u+\zeta \left(t,u,p\right),$ (3.2)

$f\left(t,u,p\right)=b\left(t\right)u+\xi \left(t,u,p\right).$ (3.3)

由条件(H3)可得

$\underset{\left|\left(u,p\right)\right|\to 0}{\lim }\frac{\zeta \left(t,u,p\right)}{\left|\left(u,p\right)\right|}=0$ 对 $t\in \left[0,1\right]$ 一致成立， (3.4)

$\underset{\left|\left(u,p\right)\right|\to \infty }{\lim }\frac{\xi \left(t,u,p\right)}{\left|\left(u,p\right)\right|}=0$ 对 $t\in \left[0,1\right]$ 一致成立， (3.5)

令

$\tilde{\xi }\left(r\right)=\max \left\{\xi \left(t,u,p\right)|0\le \left|\left(u,p\right)\right|\le r,t\in \left[0,1\right]\right\},$ (3.6)

则 $\tilde{\xi }$ 非减且

$\underset{r\to \infty }{\lim }\frac{\tilde{\xi }\left(r\right)}{r}=0.$ (3.7)

考虑从平凡解 $u\equiv 0$ 处产生的分歧问题

$Lu=\theta \lambda a\left(t\right)u\left(t\right)+\theta \lambda \zeta \left(t,u,u^{\prime }\right).$ (3.8)

易见，方程(3.8)等价于积分方程

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=\theta \left[{\displaystyle {\int }_0^{1}G}\left(t,s\right)\lambda a\left(s\right)u\left(s\right)\text{d}s\right]\\ :=\left(\theta L^{-1}\lambda a(\cdot )u(\cdot )+\theta L^{-1}\left[\lambda \zeta \left((\cdot ),u(\cdot ),u^{\prime }(\cdot )\right)\text{d}s\right]\right)\left(t\right).\end{array}$

因为

$\begin{array}{l}\Vert L^{-1}\left[\lambda \zeta \left((\cdot ),u(\cdot ),u^{\prime }(\cdot )\right)\text{d}s\right]\Vert \\ =\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }\left\{{\displaystyle {\int }_0^{1}G}\left(t,s\right)\zeta \left(t,u,u^{\prime }\right)\text{d}s,{\displaystyle {\int }_0^1{G}^{\prime }}\left(t,s\right)\zeta \left(t,u,u^{\prime }\right)\text{d}s\right\}\\ \le N{\Vert \zeta \left((\cdot ),u(\cdot ),u^{\prime }(\cdot )\right)\Vert }_{\infty }.\end{array}$

所以

$\Vert L^{-1}\left[\zeta \left(t,u^{\prime }(\cdot ),u^{\prime }(\cdot )\right)\right]\Vert =o\left(\Vert u\Vert \right),u\to 0.$

根据引理2.1可知，存在问题(1.3)的正解集的连接 $\left(\frac{{\lambda }_1\left(a\right)}{\lambda },0\right)$ 和 $\infty$ 的连通分支 ${\mathcal{C}}^{+}$，进而， ${\mathcal{C}}^{+}$ 的闭包是 $\left(\frac{{\lambda }_1\left(a\right)}{\lambda },0\right)\cup {\mathcal{C}}^{+}$。根据引理1，本文只需考虑主特征值处产生的连通分支。

定理1.1的证明

显然，当 $\lambda =1$ 时，问题(3.8)的任意一个解 $\left(1,u\right)$ 都是问题(1.3)的解u。以下只需证明 ${\mathcal{C}}^{+}$ 穿过超平面 $\left\{1\right\}\times E\in ℝ\times E$，为此需要证明 ${\mathcal{C}}^{+}$ 连接 $\left(\frac{{\lambda }_1\left(a\right)}{\lambda },0\right)$ 到 $\left(\frac{{\lambda }_1\left(b\right)}{\lambda },\infty \right)$。设 $\left({\mu }_n,y_n\right)\in {\mathcal{C}}^{+}$ 满足

${\mu }_n+\Vert y_n\Vert \to \infty$

这里对任意的 $n\in \mathbb{N}$， ${\mu }_n>0$。这是因为 $\left(0,0\right)$ 是 $\lambda =0$ 时问题(3.8)的唯一解且 ${\mathcal{C}}^{+}\cap \left(\left\{0\right\}\times E\right)=\varnothing$。

情形1： $\frac{{\lambda }_1\left(a\right)}{\lambda }<1<\frac{{\lambda }_1\left(b\right)}{\lambda }$ ；我们需证

$\left(\frac{{\lambda }_1\left(a\right)}{\lambda },\frac{{\lambda }_1\left(b\right)}{\lambda }\right)\subseteq \left\{\lambda \in ℝ|\exists \left(\lambda ,u\right)\in {\mathcal{C}}^{+}\right\}.$

证明分下面两步：

第一步：需证若存在一个常数 $M>0$，使得

${\mu }_n\subset \left(0,M\right],$ (3.10)

则连通分支 ${\mathcal{C}}^{+}$ 连接 $\left(\frac{{\lambda }_1\left(a\right)}{\lambda },0\right)$ 和 $\left(\frac{{\lambda }_1\left(b\right)}{\lambda },\infty \right)$。

这种情形下有

$\Vert y_n\Vert \to \infty .$ (3.11)

在方程

$L{y}_n-{\mu }_n\lambda a\left(t\right)y_n={\mu }_n\lambda a\left(t\right)\xi \left(t,y_n\left(t\right),y_{n^{\prime }}\left(t\right)\right)$ (3.12)

令 ${\bar{y}}_n=\frac{y_n}{\Vert y_n\Vert }$，显然 ${\bar{y}}_n$ 在E中有界，故 ${\bar{y}}_n$ 在E中有收敛子列，即存在 $\bar{y}\in E$，使得 ${\bar{y}}_n\to \bar{y}$ 且 $\Vert \bar{y}\Vert =1$。进一步，由条件(H3)和(3.5)式可知 $\tilde{\xi }$ 非减，可得

$\frac{\left|\xi \left(y_n\left(t\right)\right)\right|}{\Vert y_n\Vert }\le \frac{\tilde{\xi }\left(\left|y_n\left(t\right)\right|\right)}{\Vert y_n\Vert }\le \frac{\tilde{\xi }\left({\Vert y_n\Vert }_{\infty }\right)}{\Vert y_n\Vert }\le \frac{\tilde{\xi }\left(\Vert y_n\Vert \right)}{\Vert y_n\Vert }$

从而，

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left|\xi \left(y_n\left(t\right)\right)\right|}{\Vert y_n\Vert }=0.$ (3.13)

对于(3.12)式，当 $n\to \infty$ 时，有

$\bar{y}\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G}\left(t,s\right)\bar{\mu }\lambda a\left(s\right)\bar{y}\left(s\right)\text{d}s.$

这里 $\bar{\mu }:=\underset{n\to \infty }{\lim }{\mu }_n$。

因此可得

$L\bar{y}=\bar{\mu }\lambda a\left(t\right)\bar{y}\left(t\right).$ (3.14)

下证

$\bar{y}\in {\mathcal{C}}^{+}.$ (3.15)

由于 $E\backslash {\mathcal{C}}^{+}$ 是开集，故存在邻域 $U\left(\bar{Y},{\rho }_0\right)$ 使得

$U\left(\bar{Y},{\rho }_0\right)\subset E\backslash {\mathcal{C}}^{+}.$

这与 ${\bar{y}}_n\to \bar{y}$， $\bar{y}\in E$ 和 ${\bar{y}}_n\in {\mathcal{C}}^{+}$ 矛盾。因此 $\bar{y}\in {\mathcal{C}}^{+}$。根据引理2.8和特征值理论，可得

$\bar{\mu }=\frac{{\lambda }_1\left(a\right)}{\lambda },$ (3.16)

因此， ${\mathcal{C}}^{+}$ 连接 $\left(\frac{{\lambda }_1\left(a\right)}{\lambda },0\right)$ 和 $\left(\frac{{\lambda }_1\left(b\right)}{\lambda },\infty \right)$。

第二步：我们需证存在常数M，使得对任意的n，有 ${\mu }_n\in \left(0,M\right]$

对 $\left({\mu }_n,y_n\right)\in {\mathcal{C}}^{+}$，一方面，根据引理2.4可得

$\begin{array}{c}{y}_n\left(t\right)=\lambda {\mu }_n{\displaystyle {\int }_0^{1}G}\left(t,s\right)f\left(s,y_n\left(s\right),y_{n^{\prime }}\left(s\right)\right)\text{d}s\\ \le \lambda {\mu }_n{\displaystyle {\int }_0^{1}G}\left(t,s\right)\frac{f\left(s,y_n\left(s\right),y_{n^{\prime }}\left(s\right)\right)}{y_n\left(s\right)}\text{d}s\Vert y_n\Vert \\ \le \lambda {\mu }_n{\displaystyle {\int }_0^1\frac{1+\alpha }{1-\alpha \eta }s}\left(1-s\right)\frac{f\left(s,y_n\left(s\right),y_{n^{\prime }}\left(s\right)\right)}{y_n\left(s\right)}\text{d}s\Vert y_n\Vert \end{array}$

所以

${\mu }_n\ge {\left(\lambda {\displaystyle {\int }_0^1\frac{1+\alpha }{1-\alpha \eta }s}\left(1-s\right)\frac{f\left(s,y_n\left(s\right),y_{n^{\prime }}\left(s\right)\right)}{y_n\left(s\right)}\text{d}s\right)}^{-1}.$ (3.17)

$\begin{array}{c}{y}_{n^{\prime }}\left(t\right)=\lambda {\mu }_n{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\partial G}{\partial t}}\left(t,s\right)f\left(s,y_n\left(s\right),y_{n^{\prime }}\left(s\right)\right)ds\\ \le \lambda {\mu }_n{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\partial G}{\partial t}}\left(t,s\right)\frac{f\left(s,y_n\left(s\right),y_{n^{\prime }}\left(s\right)\right)}{y_n\left(s\right)}\text{d}s\Vert y_n\Vert \\ \le \lambda {\mu }_n{\displaystyle {\int }_0^1\frac{1-s}{1-\alpha \eta }}\frac{f\left(s,y_n\left(s\right),y_{n^{\prime }}\left(s\right)\right)}{y_n\left(s\right)}\text{d}s\Vert y_n\Vert ,\end{array}$

所以

${\mu }_n\ge {\left(\lambda {\displaystyle {\int }_0^1\frac{1-s}{1-\alpha \eta }}\frac{f\left(s,y_n\left(s\right),y_{n^{\prime }}\left(s\right)\right)}{y_n\left(s\right)}\text{d}s\right)}^{-1}.$ (3.18)

另一方面，结合引理2.5，有

$\begin{array}{c}{y}_n\left(t\right)=\lambda {\mu }_n{\displaystyle {\int }_0^{1}G}\left(t,s\right)f\left(s,y_n\left(s\right),y_{n^{\prime }}\left(s\right)\right)\text{d}s\\ \ge \lambda {\mu }_n{\displaystyle {\int }_0^1{\kappa }_0}\frac{1+\alpha }{1-\alpha \eta }s\left(1-s\right)\frac{f\left(s,y_n\left(s\right),y_{n^{\prime }}\left(s\right)\right)}{y_n\left(s\right)}\text{d}s\Vert y_n\Vert ,\end{array}$

进一步可得

${\mu }_n\le {\left(\lambda {\displaystyle {\int }_0^1{\kappa }_0}\frac{1+\alpha }{1-\alpha \eta }s\left(1-s\right)\frac{f\left(s,y_n\left(s\right),y_{n^{\prime }}\left(s\right)\right)}{y_n\left(s\right)}\text{d}s\right)}^{-1}:=M_2,$ (3.19)

其中 $0<{\kappa }_0=\frac{{\eta }^2}{2{\alpha }^2\left(1+\alpha \right)}\min \left\{\alpha -1,1\right\}<1$。

$\begin{array}{c}{y}_{n^{\prime }}\left(t\right)=\lambda {\mu }_n{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\partial G}{\partial t}\left(t,s\right)}f\left(s,y_n\left(s\right),y_{n^{\prime }}\left(s\right)\right)\text{d}s\\ \ge \lambda {\mu }_n{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\left(1-s\right)\eta }{1-\alpha \eta }}\frac{f\left(s,y_n\left(s\right),y_{n^{\prime }}\left(s\right)\right)}{y_n\left(s\right)}\text{d}s\Vert y_n\Vert ,\end{array}$

进一步可得

${\mu }_n\le {\left(\lambda {\displaystyle {\int }_0^1\frac{\left(1-s\right)\eta }{1-\alpha \eta }}\frac{f\left(s,y_n\left(s\right),y_{n^{\prime }}\left(s\right)\right)}{y_n\left(s\right)}\text{d}s\right)}^{-1}:=M_3,$ (3.20)

记

$M=\max \left\{M_2,M_3\right\}.$

所以存在常数 $M>0$，使得 $\left|{\mu }_n\right|\le M$，结论得证。

情形2： $\frac{{\lambda }_1\left(b\right)}{\lambda }<1<\frac{{\lambda }_1\left(a\right)}{\lambda }$ ；这种情形下，

若存在 $\left({\mu }_n,y_n\right)\in {\mathcal{C}}^{+}$，使得

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\mu }_n+\Vert y_n\Vert \right)=\infty$

且

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\mu }_n=\infty .$

则有

$\left(\frac{{\lambda }_1\left(b\right)}{\lambda },\frac{{\lambda }_1\left(a\right)}{\lambda }\right)\subseteq \left\{\lambda \in \left(0,\infty \right)|\left(\lambda ,u\right)\in {\mathcal{C}}^{+}\right\},$

进一步，有 $\left(\left\{1\right\}\times E\right)\cap {\mathcal{C}}^{+}\ne \varnothing$。

假设存在常数 $M>0$，使得对任意的 $n\in N$，有

${\mu }_n\in \left(0,M\right].$

与情形1第一步证明方法类似，可得

$\left({\mu }_n,y_n\right)\to \left(\frac{{\lambda }_1\left(a\right)}{\lambda },0\right),n\to \infty .$

因此 ${\mathcal{C}}^{+}$ 连接 $\left(\frac{{\lambda }_1\left(b\right)}{\lambda },\infty \right)$ 和 $\left(\frac{{\lambda }_1\left(a\right)}{\lambda },0\right)$，结论得证。

参考文献