1. 引言
由L. Boltzmann和J.W. Gibbs等人建立起来的的传统统计力学(现在通常称为B-G统计力学或广延统计力学)在指导生产、生活实践活动中，得到了广泛而成功的应用。不仅提高了社会劳动效率，而且促进了社会经济的发展。但是，科学发展表明，任何理论都不是永恒不变的，都随着科学技术的进步而不断发展，当然，广延统计热力学也不例外。由于广延统计力学是实际问题的抽象，它抓住了统计物理研究对象(由大量微观粒子组成的系统)的主要矛盾——统计规律性，因此它在很多地方获得了大量的成功，但它忽略的次要矛盾，有时变为主要矛盾，成为它解决不了的问题。这表现为它的基本假设或默认上[1] ：
(1) 孤立系统的等概率假设；
(2) 广延量假设；
(3) 好函数默认(态函数、态参量连续，各阶可微、可导)。
等概率假设实质是忽略时间关联；广延量假设是忽略空间关联；好函数默认导致研究相变困难。所以，广延统计力学在处理诸如包含长程相互作用[2] 或有记忆效应的一些物理系统[3] 时，面临了困难。鉴
于此，1988年巴西物理学家C. Tsallis提出了非广延熵[4] ，其表达式，。其中
是玻尔兹曼常量，为系统的第个微观态出现的概率，为非广延参数，表示系统可能出现的微观状态数目。此后在许多物理学家的共同努力下，建立起来了非广延统计力学，解决了一些广延统计力学解决不了的问题，如自引力系统，纯电子等离子体中的二维涡流等[5] 。“非广延统计热力学”是一门新兴的学科，“非广延”一词是针对“广延”而来的。“广延”一词的意思即一个热力学系统的广延量(如熵、内能、体积等)可以由构成它的小系统所对应的量简单相加而得。在非广延统计中，原来属于可简单相加的物理量不再符合这一法则。非广延统计力学是广延统计力学的延伸和拓展，使得研究结果更加接近真实世界[5] 。目前，非广延统计物理发展的分支除了有Tsallis统计，还有非完整统计， -变形统计，卡帕统计，超统计等等。本文在介绍非完整统计的基础上，基于非完整Shannon熵推导了完全开放系统的统计分布，并用该分布研究理想气体。
2. 非完整统计简介
2001年Q.A. Wang提出了非完整统计[6] [7] ，考虑到系统内粒子与粒子之间相互作用的复杂性等其它因素的影响，无法准确统计可能出现的微观态，导致统计信息不完整，即不能精确得到概率分布函数和配分函数。在统计物理中，如果利用哈密顿正则方程(经典系统)或薛定谔方程(量子系统)，能精确解得系统的微观状态或对应的概率，说明系统信息统计完全，这时就称为完整统计。所对应的概率分布为，表示第个微观状态的概率，。如果不能精确解得系统的微观状态或对应的概率，这时统计信息就不完整，所对应的概率分布为，表示第个微观状态的概率，。其中可能大于，也可能小于。把这时的概率分布就称为非完整概率分布。
对完整统计分布，其归一化条件为：。物理量的统计平均值为。对非完整统计分布则为：。做非线性变化：，便可得归一化条件：。因为，所以。于是，物理量的统计平均值可设为：。
基于完整统计的Shannon熵：，便可得到在非完整统计框架下的非完整Shannon熵为：
(1)
上式中，是玻尔兹曼常数。当时，就回到广延统计力学。
3. 第八种统计系统和由非完整Shannon熵推导第八种统计分布
在统计系综中，根据系统与外界的关系，将统计分布分别称为：零分布(微正则分布)，即粒子数和能量及体积都不变的系统；分布，即可变化，而和不变的系统；分布(正则分布)，即可变化，而和不变的系统；分布，即可变化，而和不变的系统； -分布(巨正则分布)，即和可变化，而不变的系统； -分布，即和可变化，而不变的系统； -分布，即和可变化，而不变的系统。上述这七种统计分布可以计算热力学量，且热力学等价[8] 。还有，若粒子数和能量及体积都可变化的系统就是完全开放系统(或第八种统计系统)，其分布称之为--分布(或第八种统计分布)。不管是广延统计力学，还是非广延统计力学，主要研究微正则系综，正则系综，巨正则系综，很少研究完全开放系统，其原因是缺少完全开放系统的概率分布。完全开放系统是自然界最普遍的系统，而其他系统仅仅是完全开放系统的特殊情况，所以有必要研究完全开放系统。下面介绍第八种统计分布的概率函数及热力学公式和涨落公式。
考虑系统和源之间既有力的和热的相互作用，又有粒子的交换。系统在源的作用下，各微观态的粒子数，能量和体积可能不同，以表示系统微观态的概率，我们取：
(2)
(3)
(4)
(5)
在系统和源达到平衡后，相应的平均值，，都是一定的。根据非完整统计思想，式子(2)，(3)，(4)，(5)可能具有不同的值，为了计算的方便性，这里假定它们相同的条件下，根据最大熵原理，我们所求的统计分布应使非完整Shannon熵在约束下取极值。引入Lagrange函数：
(6)
求条件极值，得：
(7)
(8)
其中，，，是Lagrange乘子。(7)、(8)分别为--分布的概率分布函数和配分函数。将(7)带入(2)，并应用(3)，(4)，(5)，(8)式得：
(9)
对(9)式求偏导，
(10)
结合开系热力学基本方程，可得：
(11)
则系统的平均热力学公式：
(12)
(13)
(14)
其中，为化学势，为绝对温度，为压强，玻尔兹曼常数。很显然，当时，就回到广延统计力学。
还有，系统的涨落公式为：
4. 用第八种统计分布研究单原子理想气体
对于单原子理想气体，式(8)的求和可由积分取代，变为
(15)
将单原子理想气体的能量(仅动能)和在系统相空间等能面所包围的相体积代入上式，得
(16)
式(16)中的为
(17)
当时，上式收敛。得
(18)
将式(18)代入式(12-14)，可得单原子理想气体的热力学量：
在时，单原子理想气体的热力学量与其他分布计算的结果相同的[9] [10] 。同时，基于非完整Shannon熵的第八种统计分布的配分函数也存在收敛与发散的临界点，也就是说，第八种统计分布也可以解释临界现象，但对于具有相互作用的真实气体，非广延参数因数究竟是根据系统的性质人为调节还是确定的，以及考虑到相互作用的复杂性，利用刚性球模型是否能够得到新的结果，还有待进一步讨论。
致 谢
在本文的写作过程中，得到导师李鹤龄教授的思想启发，在此一并表示感谢！
项目基金
银川能源学院科研资助项目(2013-KY-Y-23)。
参考文献