1. 引言
本章主要考虑了下列问题三个正径向解的存在性
(1.1)
其中是一个以原点为球心为半径的球,是正参数,是在的任何子区间上都不恒等于零的连续函数.
本文假设成立下列条件:
(H1)是关于的连续递增函数,即:当时,有,成立;当时,有,成立。
(H2) 对任意的,有成立。
(H3) 对任意的,有成立;对任意的,有成立。
(H4) 对任意的,有成立;对任意的,有成立。
(H5) 存在非负函数满足
且存在正常数,,,使得对任意的,都有下式成立
当时,有,成立
本文的主要结果如下
定理1.1:若满足(H1)~(H5),则对任意的,问题(1.1)至少有一个解。
定理1.2:若满足(H1)~(H5),并且存在使得对任意的,存在,当时,方程组(1.1)至少存在三个正的径向解。
本文的证明主要基于著名的Krasnoselskii的不动点定理。这种方法已经得到广泛的应用,如文献[1] 用这种方法研究了单个方程解的存在性和单个方程的多解性,文献[2] -[4] 用不同的方法考虑了非线性Schrodinger方程组类似的问题,文献[5] [6] 主要运用锥上不动点定理和Green函数研究了非线性方程组的多解性。在这些文献的启发下,可以把本文的问题转化为常微分方程的问题,通过不动点理论得到多个不动点的存在性。
2. 预备知识
本文的主要目的是研究问题(1.1)多个正径向解的存在性。现把偏微分方程转化为常微分方程。令,并且用,来代替,所以方程组(1.1)可化为齐次边界条件的常微分方程
(2.1)
令,,使,,,则(2.1)可化为
(2.2)
其中,,是在的任何子区间都不退化为零的连续函数。应用边值条件,对(2.2)两次积分,则得到与(2.2)等价的下列积分方程
(2.3)
其中,因此(2.3)的不动点就是(2.1)的解。本章将用到下列著名的不动点定理,如文献[7] [8] 。此不动点定理已经被运用到非线性方程组,如文献[9] 。
定理2.1:是一个Banach空间,是上的一个锥。假设是的非空开集,并且,,令是一个全连续算子,如果下列条件其中之一成立
(1) 如果,则,且如果,则;
(2) 如果,则,且如果,则。
则在上有一个不动点。
为了应用定理2.1,可设Banach空间为,定义范数为,其中,代表的是有界连续函数空间,定义范数为。
是的一个锥,元素是非负连续凸函数,满足,且是单调递增函数。令,则是的一个锥。
映射,其中,定义如下
通过分步积分,对任意的,有下式成立
所以的定义是合理的,的不动点就是方程组(2.2)的解.
3. 主要结果的证明
引理3.1:,且是一个全连续算子,即是全连续算子。
证明:因为
所以是单调递增的凸函数。同样的方法证明也是单调递增的凸函数。即。
现在证明是全连续算子。首先证明是紧算子,令且满足,,。则下式成立
通过Arzela-Ascoli紧性条件,可以假设在的任意紧子空间都一致收敛。为了证明有一致收敛子列,只需给定一个,存在满足
由文献[10] 的命题1可得,是一个紧算子。
下面证明是一个连续算子。令且满足当时,,其中,即是。所以
其中,,因为,是连续函数,则对,任给一个,存在一个自然数,当时,有
所以当时,,即可得是连续算子,所以是全连续算子。同理可证明是全连续算子。因此是全连续算子.
给定,且,则存在唯一的且,满足
定义:
引理3.2:是正的,即是正实数,且是下的一个不变锥。
证明:首先证明是一个正实数。假设,则存在一个序列满足是一个严格递增并且收敛于的正实数序列。通过的定义,有下式成立
即
, (3.1)
其中,有(3.1)并通过积分可得
. (3.2)
由(3.2)可知
(3.3)
令,其中,。由(H1)可知,当时,。又由(3.3)可得
亦即
(3.4)
考虑下列两种情况
(1) 存在一个子序列,其中是的子序列,是的子序列,并满足,对任意的,有,。由(3.4)和(H5)可得
(2) 对任意的,,时,有(3.4)和假设(H5)可得
因为,两种情况均可得到
由(H5)知,当时,上面不等式右边的积分收敛于0,但这是不可能的,因为。
因此是正实数,同理可证明是正实数。容易证明是不变锥,这里不再给出证明。
引理3.3:假设(H2)成立,给定,,且都是正数,则存在足够大的满足下式
(3.5)
证明:由(H4)可得,给定,存在,且当时,对任意的,有下列不等式成立
因此对任意的,下式成立
即得
令,即证明了对任意的,有下式成立
同理可证明对任意的,下式成立
这样就证明了(3.5)。
引理3.4:假设(H2)成立,给定,,且都是正实数,则存在足够小的满足下式
证明:因为,给定,存在足够小的,使得下式成立
因此,其中,由(H2)可得
取定足够大的,满足,可得
同理可证明。所以
引理3.5:假设(H2)成立,给定,存在常数且,则对任意的,满足下式
证明:,有
选择满足
同理可取满足
则引理得到证明。
定理1.1的证明:有定理(2.1),引理(3.3)和引理(3.4)可知,有一个不动点,且。
定理1.2的证明:令是引理(3.5)中取定的,给定,既,,取定,满足
由(H3),可取到满足
因此,有下式成立
所以
同理可证,既得。
结合引理3.3和引理3.4,选定满足,则知有三个不动点且满足
即定理1.2得到证明。
基金项目
沪江基金(B14005)资助。
参考文献