1. 介绍
本文我们讨论下面自回归序列:
. (1)
并且满足下列假设：
(1)
，
是未知参数，并且满足
，
，
，其中
且
；
(2)
是独立同分布
随机变量，且
，
；
(3)
。
为了估计未知参数
，我们通过使
的值达到最小得到
的最小二乘估计为
，
。
首先，当
是一个固定的常数
且
时，这种情况下
的渐近分布已经被很多科研者证明出来，我们可以参考文献 [1] [2] ，情况再复杂一点，当
也是一个固定的常数
时，在 [3] 中，作者证出了
的渐近正态性。其次，科研者们不再满足于研究
固定时的情况，假设
是一个可变的序列，
，Chan
和Wei在 [4] 中证出了在
时，
渐近于一个布朗运动，当
，在 [5] 中，作者给出
了
的渐近分布。
最后，在这篇文章中我们来考虑
，
，
时
的渐近性质。我们有如下主要的结论：
定理1：当
充分大时
，
这里
表示依分布收敛，
，其中
。
2. 定理的证明
下面为了计算方便，对所有的
，我们令
，
，
，
，
计
，
，
，
，这样我们得到
。
另外，定义一些新的序列
，
，
，
。
为了证明定理内容，我们引入下面引理
引理2.1：对于模型(1)，我们得到
以及
，
。
证明：由Phillips和Magdalinos [6] ，我们知
，故对所有的
，有
， (2)
通过简单的计算，我们可以得到
另外，通过公式(2)和
，我们可以得到
以及
。
引理2.2：当
无穷大时，我们得到
，其中
，
并且
证明：通过 [7] 中的推论5.5，我们只需要证明：对任意的非零向量
，有
，对任意的
，令
，有
。
一方面，因为
是一个独立非同分布随机变量列，通过一些简单的计算可得到
其中
另一方面，因为当
无穷大时，存在一个足够大的数
，有
并且
对任意的
，我们有
因为
，
故有
，所以我们可以得到
即有
，又因为
的可积性及
，所以有
，因此我们可以得到Lindeberg条件
；
基于上面两方面的原因，我们可以得到这个引理的证明。
引理2.3：当
无穷大时，我们可以得到
，
，
，以及
，
。
证明：首先，我们通过Phillip和Magdalions在 [6] 中对公式(10)的证明以及引理2.1可以得到
以及
。
其次，通过引理2.1，引理2.2以及
，我们可以得到
另外
易知：
(3)
(4)
又因为
故
(5)
同理可知：
(6)
结合(3) (4) (5) (6)得：
。
最后，易知
。
引理2.4：当
无穷大时，我们有
。
证明：由[3] 中(A.14)和(A.23)式，令
，得到
； (7)
又
， (8)
并且
，
因此根据(7)式我们可以得到
，其中
由引理2.3得
及
，引理得证。
定理1的证明
由(7) (8)式得，
，
其中
。
由引理2.1和引理2.3得
(9)
又经过简单的计算得
， (10)
结合(9)(10)，定理得证。
致谢
本论文是在我与同学孟娇的合作中完成的。感谢导师给予我们的支持，感谢南京航空航天大学数学系的各位老师给予我们的指导和帮助，感谢各位文献作者的成果给予我们的借鉴。