1. 引言
本文主要研究了如下非局部抛物方程：
(1.1)
其中，我们对初值作如下假设：
(1.2)
Kawarada [1] 于1975年首次提出熄灭(quenching)问题，并对如下非线性热方程进行了研究：
他指出若，使得则称在有限时刻熄灭，即称作古典解的最大存在时间。之后许多学者大力研究熄灭的性质，得到了很多模型的解熄灭的条件及解在熄灭时刻的渐近性质 [2] - [5] 。
Pablo，Quiros和Rossi [4] 研究了带有Neumann边界条件的抛物系统：
其中常数。在这里，熄灭定义为：对于所有，正的古典解满足
另外，熄灭也可以被定义为解在有限时刻发生某种导数的爆破。不同时熄灭现象是指解的一个分量在有限时刻熄灭，而另一个分量在该时刻之前保持恒正。
在假定初值的条件下，他们得到了非常完美的结果：若，则解总是发生同时熄灭的；若或，则存在初值，使得不同时熄灭现象发生；若或，则解总是不同时熄灭。
Ferreira，Pablo，Quiros [2] 等人研究了边界流耦合的热方程组的不同时熄灭现象：
他们得到了：
1) 若不发生熄灭，则；反之，若，则对于任意初值都存在初值使得只有分量发生熄灭，而不发生熄灭。
2) 若，则存在初值，使得同时熄灭发生。
3) 若且，则解总是发生不同时熄灭的。
他们还得到了熄灭速率和熄灭集等结果。
众所周知，系统(1.1)是一类非常重要的问题，局部存在性和比较原理非常容易证明，本文主要研究的是非线性抛物方程解的熄灭情况，这些是值得广泛关注的问题。
2. 主要结果
引理1。由系统(1.1)和初值的假设可知：，。
证明：这里引入比较原理 [6] ：
设在有界，，且当时。如果满足
则，。其中，。
将(1.1)对求导并由初值的假设可得
令可得
(1.3)
其中(1.3)最后一项利用了。
在比较原理中，令，由(1.3)运用比较原理可得，即
, 因为 (1.4)
将(1.1)对求导可得
其中最后一个不等式利用了对初值的假设和。
(1.5)
在比较原理中，令，由(1.5)运用比较原理可得，即
，因为 (1.6)
定理1。当时，熄灭。
证明：，能得到。对方程积分可得：
(1.7)
上式利用了。
利用(1.7)的结论有
即
(1.8)
由(1.8)可知，若不等式左端是有界的，而右端随着的增加将趋于，这显然是矛盾的，原因在于(1.7)左端积分中的在某处是趋于的，所以当时，肯定熄灭。
定理2。仅在点熄灭。
证明：令为熄灭解，由热方程的无限传播性，可知，时，。
对于，由连续性可知，存在常数使得，时，。对，不妨设，由
可知不可能在处趋于0，即不可能在处熄灭。由的任意性可知在或在处熄灭，但由所以仅在处熄灭。
定理3。的上界估计为：
证明：由(1.6)可知，由和(1.6)的结论可得，故
由进一步可以得到
对上式积分得
(1.9)
其中利用了的熄灭性质。整理(1.9)右端的不等式可得
我们得到了的上界估计。
致谢
衷心感谢审稿人和编辑老师的指导和帮助，同时感谢指导老师刘丙辰的帮助。
基金项目
大学生创新创业训练计划项目(No. 20141283)。
参考文献