1. 引言
擦边现象存在于大量碰撞振动系统中。由于系统在擦边点处具有奇异性，导致系统有非常复杂的动力学行为。长期以来人们对碰振系统的擦边运动进行了广泛的研究。早在1983年，Shaw & Holmes [1] 在研究一个简谐激励下有约束的单自由度刚性碰撞振子时就最早发现了零速碰撞会导致奇异性的发生。Whiston [2] 在研究简谐激励下无阻尼线性冲击振子时，首先用奇异性理论研究了擦边碰撞的Poincaré映射不可微性，说明了碰撞振动的复杂运动形式与擦边现象具有内在的联系。Nordmark [3] 在这类单自由度碰振系统的研究中发现了擦边碰撞现象，并首次建立了冲击振子碰撞运动的Poincaré-Nordmark映射。Fredriksson和Nordmark [4] 推广了以前的工作，通过引入不连续映射建立起了多自由度冲击振子的Poincaré映射及规范型的计算，并推出了擦边轨道稳定的条件。Bernardo，Budd和Champneys [5] 用Nordmark不连续映射的方法推导出n维分段光滑动力系统在擦边轨道附近不连续映射的规范形，并用此来分析擦边分岔情况。在对称约束碰撞系统的研究方面，Foale、Bishop [6] 对一个双约束单自由度系统的擦边分岔进行了数值研究。A.C.J. Luo [7] 研究了一类具有双约束的非光滑动力系统的对称解。G.W. Luo [8] 等对一类对称双约束碰撞系统的Neimark-sacker分岔及环面分岔进行了研究并研究了此系统的余维二分岔。
本文在一个对称双擦周期轨道附近建立不连续映射，并用此分析了系统在擦边点处的局部分岔情况。
2. 模型
考虑由质量为m的振子组成的对称双约束单自由度碰振系统。振子由刚度为的线性弹簧和阻尼系数为c的线性阻尼器相连接。质块只作水平方向的运动，并受简谐激励力的作用。处于平衡状态的振子与刚性约束A和B的距离为。碰撞系统在没有碰撞时的无量纲运动方程为：
(2.1)
其中；；。且。振子的平衡位置为，刚性约束A和B分别位于和，所以距离d为单位长度。仍然用t来表示，得到系统的运动方程为：
(2.2)
方程有一个特解：
(2.3)
当；；。由此我们可以看出当时系统存在双擦周期轨道，且可以看成是擦边分岔参数，因为当时，振子分别在， (，2m + 1代表周期数)时发生擦边，当时，振子与分界面发生碰撞，当时，振子在，都不碰。
方程的通解为：
(2.4)
再由初始条件得到方程的通解为：
(2.5)
其中
(2.6)
且，，，，。
3. 擦边周期运动不连续映射的推导
下面主要以周期1运动为例进行推导。由(2.6)式可知的特征根为，，所以当时系统的非碰周期轨道是渐进稳定的。令
(3.1)
其中特征值为，，，，且。
下面我们来分析系统在双擦周期轨道附近的分岔情况。首先以相位面为Poincaré截面。系统轨线如图1所示。当时，在与分界面在处发生擦边。当参数变化时，系统轨线与分界面发生碰撞，在碰撞函数的作用后与相交于。我们假设当轨线到达分界面时，穿过分界面继续在系统流的作用下运动直到。那么从到的映射就是我们所要求的不连续映射。
由(2.3)可知轨线在擦边点处的加速度为。把在处展开到适当的阶数。
(3.2)
Figure 1. The impact map D1
图1. 碰撞映射D1
(3.4)
由(3.3)可知当时系统发生碰撞，因为当时(3.3)式才有解。根据不连续映射方法可得不连续映射，
当
(3.5)
(3.6)
其中I为单位矩阵，。
当轨线运动到分界面附近时，又需要考虑轨线与分界面的接触情况，同理可以建立不连续映射。
(3.7)
(3.8)
其中。
由以上的推导可以建立双擦周期轨道附近的Poincaré映射，以为Poincaré截面，从一点出发(且在的极小邻域内)。当和成立时，、分别为恒等映射。
把(3.5)，(3.6)，(3.7)，(3.8)写成矩阵形式为：
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
作下坐标变换，令，，，其中l为大于零的常数，，。并由上面坐标变化的4式可近似得到：
和
则(3.9)~(3.12)可简化为如下的形式：
对于得：
当，
(3.13)
(3.14)
对于得；
(3.15)
(3.16)
其中，，。
4. 双擦周期轨道的稳定性分析
由式(2.3)可以看出当时系统存在双擦周期轨道，且当变化时会与分界面碰撞或者不碰，所以可以把看成是擦边分岔参数。由以上分析可知，以为Poincaré截面，双擦周期轨道的Poincaré映射为，。当和成立时，、分别为恒等映射。由(3.13)~(3.16)可以看出当和时，映射(3.13) (3.15)都含有平方根项，所以令为擦边点，如果一点且，则在映射(3.13) (3.15)的不断迭代下将不会向擦边点靠近，即在双擦周期轨道附近不会存在局部吸引子。
由(3.14) (3.16)可以得到它们的截尾映射：
(4.1)
(4.2)
其中A为一个矩阵，它的元素分别为，，，。
如果要使双擦周期轨道附近存在局部吸引子，就需要满足从一点且出发，经过映射(3.13)得到且，再经过映射(3.15)得到且，如果此后只满足映射(3.14) (3.16)条件，那么轨线将向擦边点靠近，即在双擦周期轨道附近存在局部吸引子。具体表示成式子就是
如果，，，且对于任何，都有，且，那么双擦周期轨道附近存在局部吸引子。
下面我们对这个系统具体讨论，看在双擦周期轨道附近是否存在局部吸引子。由式(3.1)和系统的物理意义都可以得到和都是正数，那么当，经过映射(4.1)得到，，满足映射(4.2)的条件，经过映射(4.2)，可以得到，这样就不能满足上面给出的条件，所以对这种双擦周期轨道其附近是不存在局部吸引子的。
对原系统(2.2)取参数，，，，即，对系统(2.2)仿真得到一个对称双擦周期1轨道如图2所示。系统的擦边状态属于临界情况，当系统参数变化时系统轨线与分界面就会出现碰或不碰的情况。变化参数令，使，仍对原系统(2.2)仿真得到一个对称双碰周期1轨道，如图3所示。接着我们讨论此对称双擦周期1轨道附近是否存在局部吸引子。用第三节求出的不连续映射(3.13~3.16)随着的变化作系统在此双擦周期1轨道附近的分岔图。如图4所示：当时，系统存在非碰周期1运动，当时，系统存在碰撞周期1运动，当时系统发生擦边且系统在擦边点处发生了跳跃，这与我们上面得到的结果是一致的，在此双擦周期轨道附近不存在局部吸引子。变动参数f再对原系统(2.2)仿真，得到位移随参数f变化的分岔图。如图5所示：当时，系统作非碰周期1运动，当时，发生碰撞，为对称碰撞周期1运动，当，系统出现对称双擦运动且在擦边点处发生跳跃，这说明此双擦周期轨道附近不存在局部
Figure 2. Grazing period orbit of system (2.2)
图2. 系统(2.2)的擦边周期轨道
Figure 3. Impacting period orbit of system (2.2)
图3. 系统(2.2)的碰撞周期轨道
Figure 4. Bifurcation diagram of mapping system ( 2.3.47 -2.3.50)
图4. 映射系统( 2.3.47~ 2.3.50)分岔图
Figure 5. Bifurcation diagram of differential system (2.2)
图5. 原系统(2.2)的分岔图
吸引子。对原系统(2.2)仿真得到了与对不连续映射(3.13~3.16)仿真的一致结果，说明了不连续映射方法对此对称双擦周期轨道的有效性及不连续映射(3.13~3.16)的正确性。
5. 小结
本文对一个双侧约束的单自由度系统进行了分析，得到了一个对称双擦周期轨道，用不连续映射的方法推导出了此双擦周期轨道附近的不连续映射。并用此不连续映射分析了擦边分岔情况，得到了在此双擦周期轨道附近不存在局部吸引子的结论，并对原系统仿真说明了对双擦周期轨道运用不连续映射方法的有效性。
基金项目
广西自然科学基金(No. 2014GXNSFBA118024)资助。
参考文献