1. 引言
在文献[1] 中，H. Hudzik与L. Maligranda考察了以下的一类函数：
定义：固定某个，对于，如果函数满足：
那么称如果函数为第二类s-凸函数，记为。以下简称s-凸函数。
关于s-凸函数，我们有如下一些性质：(参见文献[2] 、[3] )
(1) 若，函数为s-凸函数，则函数在 上非负。
(2) 若f是单调非减的s-凸函数，g是上非负的凸函数，则复合函数也是s-凸函数。
(3) 若f是φ-函数及s-凸函数，g是上的φ-函数及凸函数，则复合函数也是s-凸函数。特别地，是s-凸函数。这里一个函数h被称为φ-函数是指函数、连续、单调非减，并且。
(4) 假设函数是s-凸函数，，f在上可积，那么如下Hermite-Hadamard型不等式成立：
显然正的凸函数是s-凸函数；是s-凸函数；由性质(2)、(3)可以从已知的s-凸函数得到新的s-凸函数。另外Dragomir和Pearce(见[2] ，pp. 288-292中的定理190、191)还证明了所谓的F-映射与H-映射都保持s-凸性质，由此派生出一些s-凸函数，但是关于s-凸函数非平凡的例子所知不多，我们甚至不知道简单的形如的s-凸函数。如何给出新例子，是值得研究的问题。另外s-凸函数在概率论的研究中也有重要应用。
另一方面，我们有如下的关于凸函数的子母定理：
定理A(见[3] [4] )：假设是严格凸函数，并且由所定义，那么对任意正实数与，不等式成立，且其中等式成立当且仅当序列与成比例。
定理B(见[4] )：假设是严格凸函数，并且由所定义，那么对任意正实数构成的矩阵，不等式成立，且其中等式成立当且仅当矩阵的秩为1。
对于凹函数，以上两个定理中的结论反向。
我们将给出关于s-凸函数类似的子母定理，并由此证明了Ky-Fan型不等式，Milne型不等式。
2. 关于s-凸函数的子母定理
定理2：假设，函数是s-凸函数，如果由所定义，那么对任意正实数与，不等式成立。
证明：只需对n=2情形证明。由于g是s-凸函数，我们有
所以定理成立。
与凸函数情形不同，在s-凸函数的子母定理中，等式成立一般不能得出两组正实数成比例。
类似地，我们定义多元函数是s-凸函数，如果对某个固定，不等式
对于都成立。当时，s-凸函数就是通常意义下的正值凸函数。对正值凸函数有
在时成立，所以多元函数正值凸函数都是s-凸函数，但是反之未必对，正值凹函数也有可能是s-凸函数。我们知道多元函数为凸函数当且仅当它的Hesse矩阵是正定的，某函数的Hesse矩阵正定可以推论函数s-凸。类似于一元情形，容易证明多元函数的子母定理。
定理3：假设是s-凸函数，由所定义，那么对任意正实数构成的矩阵，成立以下不等式：
。
3. 定理的应用
定理4：对任意正实数与, 在时以下不等式都成立：
(1) Ky-Fan型不等式：，这里已假设。
(2) Cauchy-Schwarz不等式：。
(3) 对任意正实数，与，成立如下Milne型不等式：
(4) 对任意正实数，与，成立如下Milne型不等式：
证明：
(1) 由于，，当，是凸函数，显然也是-函数，由性质(3)可知是s-凸函数。由定理2，即满足Ky-Fan型不等式。注：经典的Ky-Fan不等式是这里的不等式一个特殊情况。
(2) 由于，是凸函数，所以也是s-凸函数。由定理2，即满足次线性不等式：，我们令，此式化为Cauchy-Schwarz不等式。注：这里的不等式是一个已知的结果。
(3) 由于对于，我们可以计算二元函数的Hesse矩阵，其行列式，矩阵是负定的，所以函数是严格凹函数。由定理B，对应的函数满足超线性不等式：
又由于的Hesse矩阵对于易见是负定的，所以函数是严格凹函数。由定理B，对应的函数满足超线性不等式：
将上述两个不等式相乘即证得结论。由定理B，对应的等式成立时，对应的三组正数成比例。
注：当k=1时，这里的不等式就是文献[4] 中的Milne不等式。
(4) 由于的Hesse矩阵显然是正定的，所以是严格凸函数，也是s-凸函数。由定理3，对应的函数满足次线性不等式：
又由于的Hesse矩阵易见它是正定的，所以此函数也是s-凸函数。由定理3，对应的函数满足次线性不等式：
将上述两个次线性不等式相乘即证得。
致谢
本文第一作者受国家自然科学基金No-11071112部分资助，以及受南京大学匡亚明学院教改项目部分资助，以及受中央高校基本科研业务费专项资金资助。第二作者受南京大学翻转课堂项目部分资助，特此致谢。另外，作者对审稿人有益的建议表示感谢。
参考文献