1. 引言
二维驻点流问题是流体力学中的一个经典问题，并且被广泛应用于工业应用领域。例如，均匀磁场下导电流体的驻点流问题在现代冶金和金属加工过程中起着非常重要的作用，因为其最终产品的质量往往取决于金属冷却速率，而这个速率又与壁面边界层结构有关。
Hiemenz [1] 最先研究了经典二维平板驻点流问题，并且得到了N-S控制方程的精确解。从此，许多研究者对这个问题进行了不同方面的研究，例如三维驻点流问题、非定常驻点流问题、斜驻点流问题及带有热边界层的驻点流问题。Mahapatra [2] 等对平板二维定常不可压粘性导电流体的MHD边界层方程给出了精确的相似解，研究了常温表面上的流体温度分布情况。Grosan [3] 研究了固定平板MHD斜入射驻点流问题。在他的研究中，考虑了大小为常数的横向磁场。Lok [4] 等研究了拉伸/收缩平板上粘性导电流体的MHD斜入射驻点流问题，其中外加磁场是均匀的，方向平行于斜入射驻点流的分界流线。Mahapatra [5] 等考虑了收缩平板上斜入射驻点流的传热和辐射问题，研究发现流体内某一点的温度随着有效普朗特数的增加而减小。Chiam [6] 表示出了拉伸表面驻点流边界层传热问题的相似解，并讨论了其对流场的影响，其中热传导系数随着温度线性变化。Ali [7] 等扩展了此问题，考虑了感应磁场对流场的影响，研究了正交于拉伸平板的粘性不可压驻点流问题和常热传导系数的传热问题。Singh [8] 等研究了固定横向磁场下MHD斜入射驻点流问题。
本文研究变粘性系数二维粘性不可压驻点流问题，其中热传导系数和粘性系数都是温度的函数，同时考虑感应磁场对整个流场的影响。
2. 基本方程组
本文考虑二维定常粘性不可压流体在正交于固定平板y = 0平面上流动，如图1所示。导电流体放置在外加磁场H中，同时考虑感应磁场的影响。根据Davies [9] ，此问题的控制方程可以写为：
(1)
(2)
(3)
Figure 1. Physical model and coordinate system
图1. 物理模型及坐标系
(4)
其中：x和y是沿平板表面及与其垂直平面建立的笛卡尔坐标；和是沿x和y轴的速度分量；和是沿x和y轴的磁场强度分量；是流体密度；是磁导率；是电导率；是常压下的比热；和是边界层边界的x轴方向速度分量和磁场强度分量。
本文中，粘性系数为T的函数，定义为
(5)
或
(6)
其中，，。和都是常数，大小取决于和的参比状态及小参数，反映流体的热性能。
已经发现，对于0˚F至400˚F的液体金属，热传导系数是关于T的线性函数。我们假设热传导系数有以下形式 [10]
(7)
其中，是一个小量级参数，和分别是壁面上及远离壁面处的热传导系数，和是壁面上及远离壁面处的流体温度。
边界条件如下
, c (8)
(9)
其中，是大于零的常数，是外流场均匀磁场的大小。
引入下面的相似变换
(10)
(11)
(12)
非线性偏微分方程组(1)~(4)可转化为如下常微分方程组
(13)
(14)
(15)
边界条件(8)~(9)转化为
(16)
(17)
(18)
其中：参数，，和分别表示磁普朗特数的倒数，普朗特数，磁参数和流体粘性参数。其定义为
(19)
(20)
(21)
(22)
当流体粘性系数为常数时，方程(13)退化为
(23)
该结果与Ali et al. [7] 方程的结果一致。
当热传导系数为常数时，方程(15)退化为
(24)
该结果与Mahapatra et al. [5] 方程的结果一致。
我们关注的量为表面摩擦系数和努赛尔特数，分别定义为
(25)
(26)
其中，壁面剪切应力，壁面热流量，为当地雷诺数。
3. 结果与讨论
我们采用龙格–库塔方法和打靶法对方程(13)~(15)及其边界条件(16)~(18)进行数值求解。为了检验所使用数值求解方法的正确性和准确性，我们计算了粘性系数取常数且不考虑磁场，即时的值。数值结果与Howarth [11] 和Li et al. [12] 的结果进行了对比，如表1所示。可以发现，计算结果与之前发表过的结果吻合良好，说明我们的数值方法是准确的。
首先计算了表面摩擦系数随磁系数和流体粘性参数的变化。如图2所示，表面摩擦系数随着的增加而减小，也随着的增加而减小。图3给出了当地努赛尔特数-随数变化情况，可以发现，随数的增加而增加,随着的增加而减小。
图4~6表示，当，和时，磁系数对水平速度剖面、感应磁场剖面、温度剖面的影响。可以看出，速度和感应磁场随着的增加而减小，而温度随着的增加而增加。
图7~9表示，当，，时，粘性系数对水平速度剖面、感应磁场剖面和温度剖面的影响。可以看出，速度和感应磁场随着的增加而减小，而温度随着的增加而增加。
图10~12表示，当，和时，普朗特数对水平速度剖面、感应磁场剖面和温度剖面的影响，可以看出，速度、感应磁场和温度都随着的增加而减小。从图12中
Table 1. Value of when = const and
表1.的数值(为常数，)
Figure 2. Variation of with for different when and
图2.，时，不同值对应的随的变化
Figure 3. Variation of with for different when and
图3.，时，不同值对应的随的变化
Figure 4. Velocity profiles for different values of when, and
图4.，，时，不同值对应的剖面
Figure 5. profiles for different values of when, and
图5.，，时，不同值对应的剖面
Figure 6. Temperature profiles for different values of when, and
图6.，，时，不同值对应的剖面
Figure 7. Velocity profiles for different values of when, and
图7.，，时，不同值对应的剖面
Figure 8. profiles for different values of when, and
图8.，，时，不同值对应的剖面
Figure 9. Temperature profiles for different values of when, and
图9.，，时，不同值对应的剖面
Figure 10. Velocity profiles for different values when, and
图10.，，时，不同值对应的剖面
Figure 11. profiles for different values of when, and
图11.，，时，不同值对应的剖面
Figure 12. Temperature profiles for different values of when, and
图12.，，时，不同值对应的剖面
Figure 13. Velocity profiles for different values of when, and
图13.，，时，不同值对应的剖面
Figure 14. profiles for different values of when, and
图14.，，时，不同值对应的剖面
Figure 15. Temperature profiles for different values of when, and
图15.，，时，不同值对应的剖面
可以发现，热边界层厚度随着的增加而减少。这个结果是我们所期望得到的，因为传热能力会随着的增加而减小，即热边界层厚度将会减少。
图13~15表示，当，和时，对水平速度剖面、感应磁场剖面和温度剖面的影响，可以看出，速度、感应磁场和温度都随着的增加而增加。从图13~14中也可以发现对水平速度剖面和感应磁场剖面的影响很微弱，这是因为没有出现在方程(13)~(14)中，导致没有直接通过温度影响和。
4. 结论
本文研究了考虑感应磁场的二维粘性导电流体驻点流问题，详细分析了变热传导系数和变粘性系数下流场随磁系数、粘性参数及普朗特数的变化情况。主要结果总结如下：速度和感应磁场随着和的增加而减小，而温度随着和的增加而增加。速度、感应磁场和温度都随着的增加而减小，随着的增加而增加。对速度剖面和感应磁场剖面的影响较对温度剖面的影响弱。
基金项目
辽宁省自然科学基金资助项目(2015020650)。
参考文献