1. 引言
Gronwall-Bellman型积分不等式是研究微分方程和积分方程的重要工具，通过对积分不等式中未知函数的估计，可以研究某些微分方程解的存在性、有界性、唯一性和稳定性等定性性质(例如，文献 [1] - [17] )。通过对脉冲积分不等式中未知函数进行估计，可以研究某些脉冲微分方程和解的一些性质。2013年严勇 [16] 研究了含有时滞的脉冲积分不等式
2015年米玉珍，钟吉玉 [13] 研究了含有未知函数的复合函数的积分不等式
其中，
是定义在
上的单调不减连续函数且当
时，
。
本文在上述研究成果的基础上，研究了一类含有power的脉冲积分不等式
(1.1)
其中，
是
上只有第一类不连续点
的非负逐段连续函数，
以及
都是给定的常数。
2. 主要结论
假设：
是定义在
上的连续函数，且
;
是定义在
上的非负连续函数;
是常数。
定理2.1：具有第一类不连续点
的非负逐段连续函数
满足积分不等式(1.1)，则函数
有下面的估计式：
其中
证明：首先，我们考虑情况
，任取
，可得
令
(2.1)
则
为非负不减的连续函数，且
(2.2)
对式(2.1)求导，我们可得
(2.3)
令
则
，由
中
，得
，对
求导，由(2.3)可得
(2.4)
由(2.4)得
(2.5)
令
，则
，(2.5)可变为
(2.6)
(2.6)两边同时乘以
，可得
(2.7)
从
到
积分(2.7)的两边，我们得到
(2.8)
由公式
和(2.8)得
(2.9)
令
等于(2.9)的右边，由(2.3)和(2.9)得
(2.10)
(2.10)两边从
到
积分得
(2.11)
由(2.2)和(2.11)可得
(2.12)
由T的任意性，可得当
时有
(2.13)
当
时我们证明了估计式。
当
时，任意取定
，对于任意的
，不等式(1.1)变为
(2.14)
令
表示(2.14)的右边，且令
，则
是单调不减函数，且有
(2.15)
两边关于t求导得
(2.16)
其中
，(2.16)化为了(2.3)的形式，用相同的过程可得估计式为
(2.17)
我们证明了当
时估计式成立。
同理，对任意自然数
，当
时，我们可以得到未知函数的估计式
(2.18)
综上定理被证明。
3. 在脉冲微分方程中的应用
本节我们用得到的结果给出脉冲微分系统解的上界估计。考虑脉冲微分系统
(3.19)
(3.20)
，
其中：
是常数，
关于
,
在
上连续。
假设(3.19)中
满足
(3.21)
其中
是
上连续的非负函数。
推论1：在条件(3.21)成立的情况下，系统(3.19)，(3.20)所有的解
满足估计式：
(3.22)
其中
证明：脉冲微分方程(3.19)与(3.20)等价于积分方程
(3.23)
利用条件(3.21)，由(3.23)，可得
(3.24)
令
，由(3.24)，我们可得不等式
(3.25)
我们看出(3.25)是(1.1)的特殊形式。且(3.25)中的函数满足定理2.1的条件，由定理2.1，我们可以推出
的估计式(3.22)。
基金项目
国家自然科学基金项目(11561019)；广西自然科学基金项目(2013GXNSFAA019022)；广西教育厅项目(201204LX423, 2013LX148, KY2015YB280)。
NOTES
*通讯作者。