Bloch空间上加权复合算子的紧性

The Compactness of Weighted Composition Operator on Bloch Sapce

摘要: 若f是单位圆盘D上的解析函数，定义加权复合算子如下： 借助Ψ 和φ 的函数特征给出了加权复合算子W_Ψ，φ 在Bloch空间上紧性的刻画。

Abstract: If f is an analytic function in the unit disk D , the weighted composition operator is defined as following: . In this paper, using the function theoretic of Ψ and φ characterize the compactness of weighted composition operator on Bloch space.

1. 引言

令 $D=\left\{z:\left|z\right|<1\right\}$ 是复平面 $C$ 上的单位圆盘。 $H\left(D\right)$ 表示单位圆盘 $D$ 上的解析函数。设 $a\in D$ ， ${\sigma }_a\left(z\right)=\frac{a-z}{1-\bar{a}z}$ 表示单位圆盘 $D$ 上的莫比乌斯变换。

定义1.1：设 $0<p<\infty$ ，若 $f\in H\left(D\right)$ 且满足

${\displaystyle {\int }_D{\left|f\left(z\right)\right|}^p\text{d}\sigma \left(z\right)}<\infty ,$

则称 $f$ 属于Bergman空间。

定义1.2：若 $f\in H\left(D\right)$ 且满足

${\Vert f\Vert }_{\beta }={\sup }_{z\in D}\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\left(1-{\left|z\right|}^2\right)<\infty ,$

则称 $f$ 属于Bloch空间，记为 $B$ 。赋予范数 ${\Vert f\Vert }_B=\left|f\left(0\right)\right|+{\Vert f\Vert }_{\beta }$ ，Bloch空间是一个Banach空间。由文献 [1] 中的定理1可知，

${\Vert f\Vert }_{\beta }\approx {\sup }_{a\in D}{\Vert f\circ {\sigma }_a-f\left(a\right)\Vert }_{A^2}.$

定义1.3：若 $f\in H\left(D\right)$ 且满足

${\sup }_{z\in \partial D}\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\left(1-{\left|z\right|}^2\right)=0,$

则称 $f$ 属于小Bloch空间，记为 $B_0$ 。

定义1.4：设 $0<p<\infty$ ，若 $f\in H\left(D\right)$ 且满足

${\sup }_{0<r<1}\frac{1}{\text{2π}}{\displaystyle {\int }_0^{\text{2π}}{\left|f\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|}^p\text{d}\theta }<\infty ,$

则称 $f$ 属于Hardy空间。

定义1.5：设 $0<p<\infty$ ，若 $f\in H\left(D\right)$ 且满足

${\Vert f\Vert }_{*}^2={\sup }_{I\subset \partial D}\frac{1}{2\text{π}}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(\varsigma \right)-f_I\right|}^2\frac{\text{d}\varsigma }{2\text{π}}}<\infty ,$

则称 $f$ 属于BMOA空间。赋予范数 ${\Vert f\Vert }_{\text{BMOA}}=\left|f\left(0\right)\right|+{\Vert f\Vert }_{*}$ ，BMOA空间是一个Banach空间。由文献 [2] 可知

${\Vert f\Vert }_{*}\approx {\sup }_{a\in D}{\Vert f\circ {\sigma }_a-f\left(a\right)\Vert }_{H^2}.$

本文中用 $S\left(D\right)$ 表示单位圆盘 $D$ 上解析自映射的全体。设 $\psi \in H\left(D\right)$ 和 $\phi \in S\left(D\right)$ 。复合算子和乘积算子分别定义如下：

$\left(C_{\phi }f\right)(z)=f\left(\phi \left(z\right)\right),\left(M_{\psi }f\right)\left(z\right)=\psi \left(z\right)f\left(z\right).$

由 $\psi$ 和 $\phi$ 诱导的加权复合算子 $W_{\psi ,\phi }$ 定义如下：

$\left(W_{\psi ,\phi }\right)f\left(z\right)=\psi \left(z\right)f\left(\phi \left(z\right)\right).$

由Littlewood从属定理可知，BMOA空间上的复合算子有界。有关BMOA空间上的复合算子的研究见参考文献 [2] [3] [5] [6] [7] [11] [12] [13] 。基于文献 [11] 的结果，乌兰哈斯教授在文献 [12] 中给出了BMOA空间上复合算子紧性的充要条件为：BMOA空间上复合算子是紧的当且仅当

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert {\phi }^n\Vert }_{*}=0,\underset{\left|\phi \left(a\right)\right|\to 1}{\lim }{\Vert {\sigma }_a\circ \phi \Vert }_{*}=0.$

在文献 [13] 中，乌兰哈斯教授、郑德超教授和朱克和教授给出了进一步的结论为：BMOA空间上复合算子是紧的当且仅当

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert {\phi }^n\Vert }_{*}=0.$

在文献 [4] 中，Colonna应用文献 [13] 中的形式给出的结论为：BMOA空间上加权复合算子是紧的当且仅当

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert \psi {\phi }^n\Vert }_{*}=0,\underset{\left|\phi \left(a\right)\right|\to 1}{\lim }\left(\log \frac{2}{1-{\left|\phi \left(a\right)\right|}^2}\right){\Vert \psi \circ {\sigma }_a-\psi \left(a\right)\Vert }_{H^2}=0.$

受文献 [4] 和 [7] [8] [9] 的启发，本文给出了Bloch空间上加权复合算子紧性的充要条件。

2. 主要结论

本节中给出了Bloch空间上加权复合算子 $W_{\psi ,\phi }$ 是紧的充要条件的刻画，该刻画主要依赖于 $\psi$ 和 $\phi$ 的函数特征。

引理2.1 [10] ：设 $2\le p<\infty$ ，那么有

${\sup }_{a\in D}{\Vert f\circ {\sigma }_a-f\left(a\right)\Vert }_{A^2}\approx {\sup }_{a\in D}{\Vert f\circ {\sigma }_a-f\left(a\right)\Vert }_{A^p}.$

引理2.2：设 $\psi$ 属于Bloch空间和 $\phi \in S\left(D\right)$ 。那么对任意 $f$ 属于Bloch空间，存在一个常数 $C$ 使得

$\begin{array}{l}{\Vert \left(\psi \circ {\sigma }_a-\psi \left(a\right)\right)\cdot \left(f\circ \phi \circ {\sigma }_a-f\left(\phi \left(a\right)\right)\right)\Vert }_{A^2}^2\\ \le C{\Vert \psi \circ {\sigma }_a-\psi \left(a\right)\Vert }_{A^2}\cdot {\sup }_{a\in D}{\Vert \psi \circ {\sigma }_a-\psi \left(a\right)\Vert }_{A^2}.\end{array}$

证明：令 $\Phi =\psi \circ {\sigma }_a-\psi \left(a\right)$ 和 $F=f\circ \phi \circ {\sigma }_a-f\left(\phi \left(a\right)\right)$ ，由引理2.1和Holder不等式可得结论。

引理2.3 [1] ：设 $f$ 属于Bloch空间和 $z\in D$ ，那么有

$\left|f\left(z\right)\right|\le \log \frac{2}{1-{\left|z\right|}^2}{\Vert f\Vert }_B.$

定理1：设 $\psi$ 属于Bloch空间和 $\phi \in S\left(D\right)$ 。若 $W_{\psi ,\phi }$ 在Bloch空间上有界，那么Bloch空间上加权复合算子 $W_{\psi ,\phi }$ 是紧的充要条件为：

$\underset{r\to 1}{\lim }{\sup }_{\left\{a\in D:\left|\phi \left(a\right)\right|>r\right\}}\alpha \left(\psi ,\phi ,a\right)=0,$ (1)

$\underset{r\to 1}{\lim }{\sup }_{\left\{a\in D:\left|\phi \left(a\right)\right|>r\right\}}\beta \left(\psi ,\phi ,a\right)=0,$ (2)

对任意的 $R\in \left(0,1\right)$ ，

$\underset{r\to 1}{\lim }{\sup }_{\left\{a\in D:\left|\phi \left(a\right)\right|>r\right\}}{\displaystyle {\int }_{E\left(\phi ,a,t\right)}{\left|\psi \circ {\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\text{d}\sigma \left(z\right)}=0,$ (3)

其中 $E\left(\phi ,a,t\right)=\left\{z\in D:\left|{\sigma }_{\phi \left(a\right)}\circ \phi \circ {\sigma }_a\right|>t\right\}$ 。

证明：设 $W_{\psi ,\phi }$ 在Bloch空间上有界。那么(1)、(2)和(3)式成立。

如果(1)不成立，那么存在一个正数 $\delta$ 和一个单位上的数列 $\left\{a_n\right\}$ 使得

$\left|\phi \left(a_n\right)\right|\to 1\left(n\to \infty \right),\alpha \left(\psi ,\phi ,a_n\right)\ge \delta >0.$

对任意的 $n\in \mathbb{N}$ ，令 $f_n={\sigma }_{\phi \left(a_n\right)}-\phi \left(a_n\right)$ ，易验证 $f_n$ 属于Bloch空间。根据文献 [10] 中的(2-17)可得

$\alpha \left(\psi ,\phi ,a_n\right)\le {\sup }_{a_n\in D}{\Vert \psi \circ {\sigma }_{a_n}-\psi \left(a_n\right)\Vert }_{A^2}+{\Vert W_{\psi ,\phi }{f}_n\Vert }_B.$

由文献 [10] 中的定理2.8和 $\left|\phi \left(a_n\right)\right|\to 1\left(n\to \infty \right)$ ，可知，当 $n\to \infty$ ，

${\sup }_{a_n\in D}{\Vert \psi \circ {\sigma }_{a_n}-\psi \left(a_n\right)\Vert }_{A^2}\le {\left(\log \frac{2}{1-{\left|\phi \left(a_n\right)\right|}^2}\right)}^{-1}{\sup }_{a\in D}\beta \left(\psi ,\phi ,a\right)\to 0.$

另有， $f_n$ 在单位圆盘的紧子集上一致收敛到零，那么有 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert W_{\psi ,\phi }{f}_n\Vert }_B=0$ 。所以

$\underset{n\to \infty }{\lim }\alpha \left(\psi ,\phi ,a_n\right)=0,$

这与假设相矛盾。即(1)是 $W_{\psi ,\phi }$ 在Bloch空间上紧的必要条件。

其次，假设(2)不成立，那么存在一个正数 $\delta$ 和一个单位上的数列 $\left\{a_n\right\}$ 使得

$\left|\phi \left(a_n\right)\right|\to 1\left(n\to \infty \right),\beta \left(\psi ,\phi ,a_n\right)\ge \delta >0.$

对任意的 $n\in \mathbb{N}$ ，令 $h_n=\log \left(2/\left(1-\overline{\phi \left(a_n\right)}z\right)\right)$ 和 $g_n=h_n^2/h_n\left(\phi \left(a_n\right)\right)$ 。很容易验证 $g_n\in B_0$ 。那么有， ${\sup }_{a\in D}{\Vert g_n\circ {\sigma }_a-g_n\left(a\right)\Vert }_{A^2}<\infty$ 。故，由文献 [9] 中的(2-19)和引理3.1可得

$\begin{array}{c}\beta \left(\psi ,\phi ,a_n\right)={\Vert \psi \circ {\sigma }_{a_n}-\psi \left(a_n\right)\cdot g_n\left(\phi \left(a_n\right)\right)\Vert }_{A^2}\\ \le C{\Vert g_n\Vert }_B{\left({\Vert \psi \circ {\sigma }_a-\psi \left(a\right)\Vert }_{A^2}\cdot {\sup }_{a_n\in D}{\Vert \psi \circ {\sigma }_{a_n}-\psi \left(a_n\right)\Vert }_{A^2}\right)}^{1/2}\\ +{\Vert \left(W_{\psi ,\phi }{g}_n\right)\circ {\sigma }_a-\left(W_{\psi ,\phi }{g}_n\right)\left(a\right)\Vert }_{A^2}+\alpha \left(\psi ,\phi ,a_n\right){\Vert g_n\circ {\sigma }_a-g_n\left(a\right)\Vert }_{A^2}.\end{array}$

所以，当 $n\to \infty$ 时，

${\Vert \psi \circ {\sigma }_a-\psi \left(a\right)\Vert }_{A^2}\cdot {\sup }_{a_n\in D}{\Vert \psi \circ {\sigma }_{a_n}-\psi \left(a_n\right)\Vert }_{A^2}\to 0$ 和 $\alpha \left(\psi ,\phi ,a_n\right)\to 0.$

由于 $g_n$ 在单位圆盘的紧子集上一致收敛到零，故 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert W_{\psi ,\phi }{g}_n\Vert }_B=0$ 。因此

$\underset{n\to \infty }{\lim }\beta \left(\psi ,\phi ,a_n\right)=0,$

这与假设相矛盾。即(2)是 $W_{\psi ,\phi }$ 在Bloch空间上紧的必要条件。

最后，假设(3)不成立。当 $n\to \infty$ ，那么存在 $R\in \left(0,1\right),\delta >0,a_n\in D$ 和 $t_n\in \left(0,1\right)$ 使得 $\left|\phi \left(a_n\right)\right|\le R$ 和

$\underset{r\to 1}{\lim }{\sup }_{\left\{a\in D:\left|\phi \left(a\right)\right|>r\right\}}{\displaystyle {\int }_{E\left(\phi ,a,t\right)}{\left|\psi \circ {\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\text{d}\sigma \left(z\right)}\ge \delta >0.$

选取的一个列为 $\left\{t_n^n\right\}$ 。令 $f_n\left(z\right)={\left({\sigma }_{\phi \left(a_n\right)}\left(z\right)\right)}^n,z\in D$ 。那么，对任意的 $n\in N$ ， ${\Vert f_n\Vert }_B\le 2$ 和

$\begin{array}{c}{\Vert W_{\psi ,\phi }{f}_n\Vert }_B^2\ge {\Vert \left(\psi \circ {\sigma }_{a_n}\right)\cdot f_n\circ \phi \circ {\sigma }_{a_n}\Vert }_{A^2}^2\\ \ge {\displaystyle {\int }_{E\left(\phi ,a_n,t_n\right)}{\left|\psi \circ {\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2{t}_n^{2n}\text{d}\sigma \left(z\right)}\ge t_n^{2n}\delta .\end{array}$

由于 $\left|\phi \left(a_n\right)\right|\le R<1$ ， $f_n$ 在单位圆盘的紧子集上一致收敛到零，那么有 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert W_{\psi ,\phi }{f}_n\Vert }_B=0$ 。这与假设相矛盾。即(3)是 $W_{\psi ,\phi }$ 在Bloch空间上紧的必要条件。

反之，假设(1)、(2)和(3)式成立。令 $f_n\in B$ 且 $f_n$ 在单位圆盘的紧子集上一致收敛到零。接下来需要证明 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert W_{\psi ,\phi }{f}_n\Vert }_B=0$ 。令 $0<\epsilon <1$ ，根据(1)、(2)和(3)式，存在 $r\in \left(0,1\right),t\in \left(0,1\right)$ 和 $n_0\in \mathbb{N}$ 使得

${\sup }_{\left\{\left|\phi \left(a\right)\right|>r\right\}}\max \left\{\alpha \left(\psi ,\phi ,a\right)+\beta \left(\psi ,\phi ,a\right),{\left(\log \frac{1}{1-{\left|\phi \left(a\right)\right|}^2}\right)}^{1/2}\right\}<\epsilon ,$ (4)

${\sup }_{\left\{a\in D:\left|\phi \left(a\right)\right|\le r\right\}}{{\displaystyle {\int }_{E\left(\phi ,a,t\right)}\left|\psi \circ {\sigma }_a\left(z\right)\right|}}^2\text{d}\sigma \left(z\right)<{\epsilon }^4,$ (5)

和

${\sup }_{\left\{n\ge n_0\right\}}{\max }_{w\in Q}\left|f_n\left(w\right)\right|<\epsilon <1,$ (6)

其中 $Q:=\overline{rD}\cup \left\{{\sigma }_b\left(z\right)\in D:b\in \overline{rD},z\in \overline{tD}\right\}\subset D$ 。

另一方面，对任意的 $n_0\in \mathbb{N}$ ，有

$\begin{array}{c}{\Vert W_{\psi ,\phi }{f}_n\Vert }_B\le \left|\left(W_{\psi ,\phi }{f}_n\right)\left(0\right)\right|+{\sup }_{\left|\phi \left(a\right)\right|>r}{\Vert \left(W_{\psi ,\phi }{f}_n\right)\circ {\sigma }_a-\left(W_{\psi ,\phi }{f}_n\right)\left(a\right)\Vert }_{A^2}\\ +{\sup }_{\left|\phi \left(a\right)\right|\le r}{\Vert \left(W_{\psi ,\phi }{f}_n\right)\circ {\sigma }_a-\left(W_{\psi ,\phi }{f}_n\right)\left(a\right)\Vert }_{A^2}\\ =A_1+A_2+A_3,\end{array}$

其中

$A_1=\left|\left(W_{\psi ,\phi }{f}_n\right)\left(0\right)\right|,$

$A_2={\sup }_{\left|\phi \left(a\right)\right|>r}{\Vert \left(W_{\psi ,\phi }{f}_n\right)\circ {\sigma }_a-\left(W_{\psi ,\phi }{f}_n\right)\left(a\right)\Vert }_{A^2},$

和

$A_3={\sup }_{\left|\phi \left(a\right)\right|\le r}{\Vert \left(W_{\psi ,\phi }{f}_n\right)\circ {\sigma }_a-\left(W_{\psi ,\phi }{f}_n\right)\left(a\right)\Vert }_{A^2}.$

由引理2.3和(4)式，可知 $A_1=\left|\left(W_{\psi ,\phi }{f}_n\right)\left(0\right)\right|<\epsilon$ 。根据文献 [10] 中的(2.13)和引理2.1，可得

$\begin{array}{c}{A}_2={\sup }_{\left|\phi \left(a\right)\right|>r}{\Vert \left(W_{\psi ,\phi }{f}_n\right)\circ {\sigma }_a-\left(W_{\psi ,\phi }{f}_n\right)\left(a\right)\Vert }_{A^2}\\ \le C{\Vert \psi \circ {\sigma }_a-\psi \left(a\right)\Vert }_{A^2}\cdot {\sup }_{a\in D}{\Vert \psi \circ {\sigma }_a-\psi \left(a\right)\Vert }_{A^2}\\ +{\sup }_{\left|\phi \left(a\right)\right|>r}\left(\alpha \left(\psi ,\phi ,a\right)+\beta \left(\psi ,\phi ,a\right)\right)\\ \le C{\sup }_{\left|\phi \left(a\right)\right|>r}{\left({\Vert \psi \circ {\sigma }_a-\psi \left(a\right)\Vert }_{A^2}{\left(\log \frac{2}{1-{\left|\phi \left(a_n\right)\right|}^2}\right)}^{-1}\beta \left(\psi ,\phi ,a\right)\right)}^{1/2}\\ +{\sup }_{\left|\phi \left(a\right)\right|>r}\left(\alpha \left(\psi ,\phi ,a\right)+\beta \left(\psi ,\phi ,a\right)\right).\end{array}$

由于 $W_{\psi ,\phi }$ 在Bloch空间上有界，故由文献 [10] 中定理2.8可知 $\beta \left(\psi ,\phi ,a\right)<\infty$ 。所以，由(4)式可推导出 $A_2\le C\epsilon$ 。

对于 $A_3$ ，令 $F_{n,a}=f_n\circ \phi \circ {\sigma }_a-f_n\left(\phi \left(a\right)\right)$ 。那么，根据(6)式，可得

$\begin{array}{c}{A}_3\le {\sup }_{a\in D}{\Vert \psi \circ {\sigma }_a-\psi \left(a\right)\Vert }_{A^2}\cdot {\sup }_{\left|\phi \left(a\right)\right|\le r}{\Vert \psi \circ {\sigma }_a-\psi \left(a\right)\Vert }_{A^2}\\ +{\sup }_{\left|\phi \left(a\right)\right|\le r}{\Vert \left(\psi \circ {\sigma }_a\right)f_n\circ \phi \circ {\sigma }_a-f_n\left(\phi \left(a\right)\right)\Vert }_{A^2}\\ \le {\Vert \psi \circ {\sigma }_a-\psi \left(a\right)\Vert }_{A^2}·{\max }_{\left|w\right|\le r}\left|f_n\right|+{\left(A_4+A_5\right)}^{1/2}\\ \le \epsilon +{\left(A_4+A_5\right)}^{1/2},\end{array}$

其中

$A_4={\sup }_{\left\{\left|\phi \left(a\right)\right|\le r\right\}}{\displaystyle {\int }_{\partial D\backslash E\left(\phi ,a,t\right)}{\left|\psi \circ {\sigma }_a\left(z\right)F_{n,a}\left(z\right)\right|}^2\text{d}\sigma \left(z\right)},$

$A_5={\sup }_{\left\{\left|\phi \left(a\right)\right|\le r\right\}}{\displaystyle {\int }_{E\left(\phi ,a,t\right)}{\left|\psi \circ {\sigma }_a\left(z\right)F_{n,a}\left(z\right)\right|}^2\text{d}\sigma \left(z\right)}.$

对 $a\in D$ 和 $n\ge n_0$ ，令 $G_{n,a}=f\circ {\sigma }_{\phi \left(a\right)}-f_n\left(\phi \left(a\right)\right)$ 和 ${\lambda }_a={\sigma }_{\phi \left(a\right)}\circ \phi \circ {\sigma }_a-f_n\left(\phi \left(a\right)\right)$ 。

则 $G_{n,a}\left(0\right)=0$ 和 $F_{n,a}=G_{n,a}\circ {\sigma }_{\phi \left(a\right)}$ 。根据文献 [9] 中的(3-19)式，对任意的 $z\in \partial D\backslash E\left(\phi ,a,t\right)$ 可得

$F_{n,a}\left(z\right)=G_{n,a}\left({\lambda }_a\left(z\right)\right)\le 2\left|{\lambda }_a\left(z\right)\right|{\max }_{\left|w\right|\le t}\left|G_{n,a}\left(w\right)\right|.$

因此，

$\begin{array}{l}{\sup }_{\left\{\left|\phi \left(a\right)\right|\le r\right\}}{\displaystyle {\int }_{\partial D\backslash E\left(\phi ,a,t\right)}{\left|\psi \circ {\sigma }_a\left(z\right)F_{n,a}\left(z\right)\right|}^2\text{d}\sigma \left(z\right)}\\ \le 4{\left({\max }_{\left|w\right|\le t}\left|G_{n,a}\left(w\right)\right|\right)}^2{\Vert \left(\psi \circ {\sigma }_a\right)\cdot {\lambda }_a\Vert }_{A^2},\end{array}$

显然，由(6)式，当 $\left|\phi \left(a\right)\right|\le r$ ，可得

${\max }_{\left|w\right|\le t}\left|G_{n,a}\left(w\right)\right|\le {\max }_{\left|w\right|\le t}\left|f_n\left({\sigma }_{\phi \left(a\right)}\left(w\right)\right)\right|+\left|f_n\left(\phi \left(a\right)\right)\right|\le 2\epsilon$

和

$\begin{array}{c}{\Vert \left(\psi \circ {\sigma }_a\right)\cdot {\lambda }_a\Vert }_{A^2}\le {\Vert \left(\psi \circ {\sigma }_a-\psi \left(a\right)\right)\cdot {\lambda }_a\Vert }_{A^2}+{\Vert \psi \left(a\right)\cdot {\lambda }_a\Vert }_{A^2}\\ \le {\Vert \left(\psi \circ {\sigma }_a-\psi \left(a\right)\right)\Vert }_{A^2}{\Vert {\lambda }_a\Vert }_{\infty }+{\sup }_{a\in D}\alpha \left(\psi ,\phi ,a\right)<\infty .\end{array}$

因此， $A_4\le C{\epsilon }^2$ 。

对 $A_5$ ，根据Holder不等式和(5)，有

$\begin{array}{c}{A}_5\le {\sup }_{\left\{\left|\phi \left(a\right)\right|\le r\right\}}{\left({\displaystyle {\int }_{E\left(\phi ,a,t\right)}{\left|\psi \circ {\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\text{d}\sigma \left(z\right)}\right)}^{1/2}\\ \cdot {\sup }_{\left\{\left|\phi \left(a\right)\right|\le r\right\}}{\left({\displaystyle {\int }_{E\left(\phi ,a,t\right)}{\left|\psi \circ {\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2{\left|F_{n,a}\left(z\right)\right|}^4\text{d}\sigma \left(z\right)}\right)}^{1/2}\\ \le {\epsilon }^2{\sup }_{\left\{\left|\phi \left(a\right)\right|\le r\right\}}{\Vert \left(\psi \circ {\sigma }_a\right)\cdot F_{n,a}\Vert }_{A^4}{\Vert F_{n,a}\Vert }_{A^4}.\end{array}$

根据引理2.1和文献 [2] 中的引理2.7，可得

${\Vert F_{n,a}\Vert }_{A^4}\le C{\Vert f_n\circ \phi \circ {\sigma }_a-f_n\left(\phi \left(a\right)\right)\Vert }_{A^2}\le C.$

更进一步，

$\begin{array}{c}{\sup }_{\left\{\left|\phi \left(a\right)\right|\le r\right\}}{\Vert \left(\psi \circ {\sigma }_a\right)\cdot F_{n,a}\Vert }_{A^4}\le {\sup }_{\left\{\left|\phi \left(a\right)\right|\le r\right\}}{\Vert \left(W_{\psi ,\phi }{f}_n\right)\circ {\sigma }_a-\left(W_{\psi ,\phi }{f}_n\right)\left(a\right)\Vert }_{A^2}\\ +{\sup }_{\left\{\left|\phi \left(a\right)\right|\le r\right\}}{\Vert \left(\psi \circ {\sigma }_a-\psi \left(a\right)\right)\cdot f_n\left(\phi \left(a\right)\right)\Vert }_{A^4}\\ \le C\left({\Vert W_{\psi ,\phi }{f}_n\Vert }_B{\Vert \psi \circ {\sigma }_a-\psi \left(a\right)\Vert }_{A^2}\right).\end{array}$

因此， $A_5\le C{\epsilon }^2$ 。所以， $A_5\le C\epsilon$ 。所以有

${\sup }_{n\ge n_0}{\Vert W_{\psi ,\phi }{f}_n\Vert }_B\le A_1+A_2+A_3\le C\epsilon ,$

其中 $C$ 与 $\epsilon$ 无关。

基金项目

广东省大学生科技创新培育专项资金(“攀登计划”专项资金)资助项目(pdjh2017b0473)。