若干中心商的阶为p6的有限p-群的不存在性问题
Nonexistence of Some Finite p-Groups of the Central Quotient Order of p6
DOI: 10.12677/PM.2018.81005, PDF, HTML, XML, 下载: 1,229  浏览: 2,463  科研立项经费支持
作者: 惠 敏*:宝鸡文理学院,陕西 宝鸡
关键词: 有限p-群LA-群中心商Finite p-group LA-Group Central Quotient Order
摘要: 基于Rodney James的文(The groups of order p6 (p an odd prime). Mathematics of Computation, 1980, 34 (150): 613-637. )和schreier扩张理论的思想,将被扩元作用于被扩群,通过换位子结构及幂结构得到存在与Z(G)为循环群的矛盾,进而得到一类中心商不存在的有限p-群,即给出当H为p6阶Φ39家族中的群且满足条件 时群G的不存在性问题。
Abstract: Based on Rodney James’ paper (The groups of order p6 (p an odd prime), Mathematics of Compu-tation, 1980, 34 (150): 613-637. ) and the idea of schreier extension theory , act extended element on extended group, by the transposition substructure and the power structure we get the contradiction of Z(G) that is cyclical group, and then we get a class finite p-groups that the central quotient are nonexistence, that is to say when H are the groups of Φ39 family of order p6 and satisfied , we get the nonexistence of G.
文章引用:惠敏. 若干中心商的阶为p6的有限p-群的不存在性问题[J]. 理论数学, 2018, 8(1): 29-33. https://doi.org/10.12677/PM.2018.81005

1. 引言

在有限群自同构群的研究中,值得一提的是悬而未决的著名的LA-猜想:设 G 是阶大于 p 2 的有限非循环p-群,则必有 | G | | | Aut ( G ) | ,满足LA-猜想的群称为LA-群。通过计算自同构群的阶来判断一个群是否是LA-群是很困难的,因为计算自同构群的阶比较复杂且能用到的工具也比较少 [2] [3] 。对于这个猜想的研究到目前已有半个多世纪,但还未得到彻底解决。基于前人对满足条件 | G / Z ( G ) | p 4 | G / Z ( G ) | p 5 的LA-群的研究 [4] [5] ,开始对满足条件 | G / Z ( G ) | p 6 的LA-群进行研究,近年来已产生了许多好的结果 [6] - [12] 。尽管如此,中心商的阶为 p 6 的有限p-群是否全是LA-群还没有完全确立,本文在Rodney James文章 [1] Φ 39 家族群的基础上,研究了这些群均是中心商不存在的有限p-群,进而这些群一定不是满足条件 | G / Z ( G ) | = p 6 的LA-群,这对中心商的阶为 p 6 的LA-猜想的完全解决具有一定的意义。

2. 基本引理

引理2.1:令 Z Z ( G ) G / Z = H ¯ 。如果群 H 包含元素 w 和生成子集 S ,使得 S 中每一个元素的某个相同次幂全都等于 w ,则有 [ w , H ] = 1 , w Z ( G )

证明:令 s S , s m = w ,因为 [ w , s ] = [ s m , s ] = 1 ,所以 [ w , H ] = 1 。又因为 G = H Z ,所以 w Z ( G )

引理2.2:令 Z Z ( G ) G / Z = A ¯ B ¯ [ A ¯ , B ¯ ] = 1 ¯ ,则 [ A , B ] = 1

证明:令 a = [ x , y ] x , y A b B ,因为 a [ a , b ] = a b = [ x , y ] b = [ x b , y b ] = [ x , y ] = a ,所以 [ a , b ] = 1 。因为 A = [ A , A ] = [ x , y ] | x , y A ,所以 [ A , B ] = 1

根据引理2.1和引理2.2,得到如下推论:

推论2.3:令 A = H K [ H , K ] = 1 K A 的子集,并且 H A ,群 A 包含非单位元 w 和生成子集 S ,使得 S 中的每个元素的某个相同次幂全都等于 w ,若 w H ,则不存在群 G ,使得 G / Z ( G ) A

引理2.4 [13] :令 n , k 是非负整数, x , y G c 2 = [ y , x ] c 31 = [ y , 2 x ] c 32 = [ y , x , y ] c 41 = [ y , 3 x ] c 42 = [ y , 2 x , y ] c 44 = [ y , x , 2 y ] c 51 = [ y , 4 x ] c 52 = [ y , 3 x , y ] c 54 = [ y , 2 x , 2 y ] c 58 = [ y , x , 3 y ] d 1 = [ y , 2 x , [ y , x ] ] d 2 = [ y , x , y , [ y , x ] ] 。如果 c ( G ) 5

( x y ) n = x n y n c 2 ( n 2 ) c 31 ( n 3 ) c 32 ( n 2 ) + 2 ( n 3 ) c 41 ( n 4 ) c 42 ( n 3 ) + 3 ( n 4 ) c 44 2 ( n 3 ) + 3 ( n 4 ) c d ,

其中

c = c 51 ( n 5 ) c 52 3 ( n 4 ) + 4 ( n 5 ) c 54 ( n 3 ) + 6 ( n 4 ) + 6 ( n 5 ) c 58 3 ( n 4 ) + 4 ( n 5 ) , d = d 1 ( n 3 ) + 7 ( n 4 ) + 6 ( n 5 ) d 2 6 ( n 3 ) + 18 ( n 4 ) + 12 ( n 5 ) ,

[ y k , x n ] = c 2 n k c 31 ( n 2 ) k c 32 n ( k 2 ) c 41 ( n 3 ) k c 42 ( n 2 ) ( k 2 ) c 44 n ( k 3 ) c 51 ( n 4 ) k c 52 ( n 3 ) ( k 2 ) c 54 ( n 2 ) ( k 3 ) c 58 n ( k 4 ) e ,

其中

e = d 1 n ( n 2 ) ( k 2 ) + ( n 3 ) k d 2 ( n 2 ) ( k 2 ) + n 2 ( k 2 ) + 2 n 2 ( k 3 ) .

引理2.5 [14] :设 G 是群, a , b G [ a , b ] Z ( G ) ,又设 n 是正整数。则有

1) [ a n , b ] = [ a , b ] n

2) [ a , b n ] = [ a , b ] n

3) ( a b ) n = a n b n [ b , a ] ( n 2 )

引理2.6 [14] :设 G 是亚交换群, x , y , z G

1) 若 y G ,则 [ z , x y ] = [ z , x ] [ z , y ] [ x y , z ] = [ x , z ] [ y , z ]

2) 对 x , y , z G ,有 [ x , y , z ] [ y , z , x ] [ z , x , y ] = 1

引理2.7 [14] :设 G 是亚交换群, a , b G , m 2 i , j 为正整数,

[ i a , j b ] = [ a , b , a , , a i 1 , b , , b j 1 ] ,

( a b 1 ) m = a m i + j m [ i a , j b ] ( m i + j ) b m .

3. 主要结果

定理: H p 6 阶第三十九家族的群,当 H = Φ 39 ( 21 4 ) a r Φ 39 ( 21 4 ) b r Φ 39 ( 21 4 ) b p + r Φ 39 ( 1 6 ) 时,不存在群 G 使得 G / Z ( G ) H

证明:令 H = Φ 39 ,则我们有 H = α , α 1 H i + 1 = α i + 1 , , α 5 。此时令 S = α 2 , α T = α 1 , α 2 , α 3 ,则 S 2 = H 3 , T 2 = H 4 ,所以 S T 是亚交换群。令 x = α , y = α 1 x ,由引理2.4,知

c 2 = [ α 1 x , α ] = α 1 x ( α 1 α 2 ) x = α 1 x α 1 x i + j p [ i α 1 , j α 2 1 ] ( p i + j ) α 2 x = α 4 ( x 2 ) [ α 4 1 , α 1 ] ( x 3 ) α 2 x = α 2 x α 4 ( x 2 ) α 5 ( x 3 )

c 31 = [ c 2 , α ] = [ α 2 x α 4 ( x 2 ) α 5 ( x 3 ) , α ] = [ α 2 x , α ] = α 3 x α 5 ( x 2 ) ,

c 32 = [ c 2 , α 1 x ] = [ α 2 x α 4 ( x 2 ) α 5 ( x 3 ) , α 1 x ] = [ α 2 , α 1 x ] x α 5 x ( x 2 ) = α 4 x 2 α 5 2 x ( x 2 ) ,

c 41 = [ c 31 , α ] = [ α 3 x α 5 ( x 2 ) , α ] = α 4 x , c 42 = [ c 31 , α 1 x ] = [ α 3 x α 5 ( x 2 ) , α 1 x ] = α 5 x 2 ,

c 44 = [ c 32 , α 1 x ] = [ α 4 x 2 α 5 2 x ( x 2 ) , α 1 x ] = α 5 x 3 , c 51 = [ c 41 , α ] = [ α 4 x , α ] = 1 ,

c 52 = [ α 4 x , α 1 x ] = α 5 x 2 , c 54 = [ c 42 , α 1 x ] = [ α 5 x 2 , α 1 x ] = 1 ,

c 58 = [ c 44 , α 1 x ] = [ α 5 x 3 , α 1 x ] = 1 , d 1 = [ c 31 , c 2 ] = α 5 x 2 ,

d 2 = [ c 32 , c 2 ] = [ α 4 x 2 α 5 2 x ( x 2 ) , α 2 x α 4 ( x 2 ) α 5 ( x 3 ) ] = 1 , ( α α 1 x ) p = α p α 1 x p α 5 2 x 2 ( p 5 ) .

1) 令 H = Φ 39 ( 21 4 ) a r G / Z ( G ) = α ¯ , α 1 ¯ , α 2 ¯ , α 3 ¯ , α 4 ¯ , α 5 ¯ | [ α i ¯ , α ¯ ] = α i + 1 ¯ [ α 4 ¯ , α 1 ¯ ] k = α ¯ p = [ α 2 ¯ , α 3 ¯ ] k = [ α 3 ¯ , α 1 ¯ ] k = α 5 ¯ k [ α 1 ¯ , α 2 ¯ ] = α 4 ¯ α 1 ¯ p = α i + 1 ¯ p = α 5 ¯ p = 1 ¯ ( i = 1 , 2 , 3 ) ,则有 ( α α 1 x ) p = α 5 k 2 x 2 ( p 5 ) 。如果 p > 5 ,则不存在群 G 使得 G / Z ( G ) H 。此时若假设 p = 5 ,因为 k 2 x 2 0 至多有两个根,所以存在 x 1 x 4 使得 k 2 x 2 0 。因为 H = α , α α 1 x ,所以不存在群 G 使得 G / Z ( G ) H

2) 令 H = Φ 39 ( 21 4 ) b r G / Z ( G ) = α ¯ , α 1 ¯ , α 2 ¯ , α 3 ¯ , α 4 ¯ , α 5 ¯ | [ α i ¯ , α ¯ ] = α i + 1 ¯ [ α 4 ¯ , α 1 ¯ ] r = α ¯ p = [ α 2 ¯ , α 3 ¯ ] r = α 1 ¯ p = α 5 ¯ r [ α 1 ¯ , α 2 ¯ ] = α 4 ¯ , α i + 1 ¯ p = α 5 ¯ p = 1 ¯ ( i = 1 , 2 , 3 ) ,则 ( α α 1 x ) p = α 5 r + r x 2 x 2 ( p 5 ) 。如果 p > 5 ,则不存在群 G 使得 G / Z ( G ) H 。此时假设 p = 5 ,则 ( α α 1 x ) 5 = α 5 r + r x 2 x 2 。因为 r + r x 2 x 2 0 至多有两个根,所以存在 x 1 x 4 使得 r + r x 2 x 2 0 。因为 H = α , α α 1 x ,所以不存在群 G 使得 G / Z ( G ) H

3) 令 H = Φ 39 ( 21 4 ) b p + r G / Z ( G ) = α ¯ , α 1 ¯ , α 2 ¯ , α 3 ¯ , α 4 ¯ , α 5 ¯ | [ α i ¯ , α ¯ ] = α i + 1 ¯ [ α 1 ¯ , α 2 ¯ ] = α 4 ¯ ,

[ α 2 ¯ , α 3 ¯ ] k = [ α 3 ¯ , α 1 ¯ ] k = [ α 4 ¯ , α 1 ¯ ] k = α 1 ¯ p = α 5 ¯ k α ¯ p = α i + 1 ¯ p = α 5 ¯ p = 1 ¯ ( i = 1 , 2 , 3 ) ,则 ( α α 1 x ) p = α 5 k x 2 x 2 ( p 5 ) 。如果 p > 5 ,则不存在群 G 使得 G / Z ( G ) H 。此时假设 p = 5 ,则 ( α α 1 x ) 5 = α 5 k x 2 x 2 。因为 k x 2 x 2 0 至多有两个根,所以存在 x 使 k x 2 x 2 0 。因为 α 1 , α α 1 x = H ,所以不存在群 G 使得 G / Z ( G ) H

4) 令 H = Φ 39 ( 1 6 ) G / Z ( G ) = α ¯ , α 1 ¯ , α 2 ¯ , α 3 ¯ , α 4 ¯ , α 5 ¯ | [ α i ¯ , α ¯ ] = α i + 1 ¯ [ α 1 ¯ , α 2 ¯ ] = α 4 ¯ α 1 ¯ p = α ¯ p = α i + 1 ¯ p = α 5 ¯ p = 1 ¯ [ α 2 ¯ , α 3 ¯ ] = [ α 3 ¯ , α 1 ¯ ] = [ α 4 ¯ , α 1 ¯ ] = α 5 ¯ ( i = 1 , 2 , 3 ) ,则 ( α α 1 x ) 5 = α 5 2 x 2 。因为 H = α α 1 , α α 1 2 ,如果 p = 5 ,则不存在群 G 使得 G / Z ( G ) H 。此时假设 p > 5 。不妨设 [ α i , α ] = α i + 1 [ α 4 , α 1 ] = α 5 ,由于 [ α i , α ] = α i + 1 a i [ α 4 , α 1 ] = α 5 b a i , b Z ( G ) ,令 α i + 1 = α i + 1 a i α 5 = α 5 b ,则 α i + 1 = α i + 1 a i 1 α 5 = α 5 b 1 。此时 [ α , α i + 3 ] [ α 1 , α 5 ] [ α 4 , α 5 ] [ α 2 , α i + 3 ] [ α 3 , α i + 3 ] Z ( G ) 。 因为 [ α 5 , α i ] = [ α 5 , α i ] α = [ α 5 , α i α i + 1 ] = [ α 5 , α i + 1 ] [ α 5 , α i ] ,所以 [ α 5 , α i + 1 ] = 1 。 因为 [ α 2 , α 4 ] = [ α 2 , α 4 ] α = [ α 2 α , α 4 α ] = [ α 2 α 3 , α 4 ] = [ α 2 , α 4 ] [ α 3 , α 4 ] ,所以 [ α 3 , α 4 ] = 1 。 因为 α 5 α = [ α 4 α , α 1 α ] = [ α 4 , α 1 α 2 ] = [ α 4 , α 2 ] α 5 ,所以 [ α 5 , α ] = [ α 4 , α 2 ] 。 因为 [ α 3 , α 1 ] = [ α 3 , α 1 ] α 2 = [ α 3 α 2 , α 1 α 2 ] = [ α 3 α 5 1 , α 1 α 4 ] = [ α 3 , α 1 ] [ α 5 1 , α 1 ] ,所以 [ α 5 , α 1 ] = 1 。令 [ α 2 , α 3 ] = α 5 z ,其中 z Z ( G ) ,则因为有 α 5 [ α 5 , α ] = α 5 α = [ α 2 , α 3 ] α z 1 = [ α 2 α 3 , α 3 α 4 ] z 1 = [ α 2 , α 4 ] [ α 2 , α 3 ] z 1 = [ α 2 , α 4 ] α 5 ,所以 [ α 5 , α ] = [ α 2 , α 4 ] ,这意味着 [ α 5 , α ] = 1 。又因为 G = α , α 1 , Z ( G ) α 5 Z ( G ) ,矛盾,所以不存在群 G 使得 G / Z ( G ) H 。至此,定理证明完毕。

基金项目

陕西省教育厅科研计划项目资助(项目编号:17JK0040);宝鸡文理学院重点项目(zk16050)。

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