PM  >> Vol. 8 No. 1 (January 2018)

    函数方程f15(z)+g15(z)+h15(z)+w15(z) =1的亚纯函数解的研究
    The Study of Meromorphic Function Solution of Function Equation of f15(z)+g15(z)+h15(z)+w15(z) =1

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作者:  

梁 娥:云南师范大学数学学院,云南 昆明

关键词:
Fermat型函数方程亚纯函数增长极Fermat Type Functional Equation Meromorphic Functions Order of Growth

摘要:

本文证明了若非常数亚纯函数 的极点中至多只有一个是公共单级极点,且 ,则 一定不是Fermat型函数方程 的解。

This paper proves that nonconstant meromorphic function in the pole is not more than a single pole with public, and , the solution of Fermat function equations does not exist.

1. 引言及主要结果

本文使用Nevanlinna值分布理论的基本结果及其标准记号 [1] 。我们考虑如下费马型函数方程:

f n + g n + h n + w n = 1 (1)

的非常数亚纯函数解,G.G.GUNDERSEN在文献 [2] 中给出了当时,函数方程(1)的超越亚纯函数解的例子。

我们也知道,用Cartan定理易证 n 16 时,函数方程(1)不存在非常数亚纯函数解,那么就存在一个公开性的问题;当 9 n 15 时,函数方程(1)是否存在非常数亚纯函数解?

基于这个问题,本文我们将研究当 n = 15 时,函数方程(1)的亚纯函数解的状况。

之前苏敏、李玉华 [3] 证明了:费马型函数方程 f 6 ( z ) + g 6 ( z ) + h 6 ( z ) = 1 无级小于1的非常数整函数解以及费马型函数方程 f 8 ( z ) + g 8 ( z ) + h 8 ( z ) = 1 不存在级小于1的非常数亚纯函数解。

加上直接研究费马型函数方程 f 15 ( z ) + g 15 ( z ) + h 15 ( z ) + w 15 ( z ) = 1 的非平凡亚纯解较难,从而在引入级小于1的条件的启发下,本文得到了以下结果:

定理1:若非常数亚纯函数 f ( z ) , g ( z ) , h ( z ) , w ( z ) 的极点中至多只有一个是公共单级极点,且 min { ρ f , ρ g , ρ h , ρ w } < 1 / 2 ,则 f ( z ) , g ( z ) , h ( z ) , w ( z ) 一定不是Fermat型函数方程 f 15 ( z ) + g 15 ( z ) + h 15 ( z ) + w 15 ( z ) = 1 的解。

2. 几个辅助结果

引理1 [4] :设函数 f ( z ) 于开平面亚纯,为正整数,则 f ( z ) f ( n ) ( z ) 有相同的级与下级。

引理2 [5] :若是非常数亚纯函数,且,那么

.

特别的,若非常数亚纯函数 f ( z ) 的级 ρ f < 1 ,则有

引理3 [6] :若 ψ j ( z ) ( j = 1 , 2 , , k ) 为区域 k 个亚纯函数,且 ψ 1 , ψ 2 , , ψ k 线性无关,那么 ψ 1 , ψ 2 , , ψ k 的Wronskian行列式

W ( ψ 1 , ψ 2 , , ψ k ) | ψ 1 ψ k ψ 1 ψ k ψ 1 ( k 1 ) ψ k ( k 1 ) | 0 .

引理4:若非常数亚纯函数无公共单级极点,且 f ( z ) , g ( z ) , h ( z ) , w ( z ) 满足函数方程

f 15 + g 15 + h 15 + w 15 = 1 , (2)

τ = | f 3 g 3 h 3 w 3 f 2 f g 2 g h 2 h w 2 w 14 f ( f ) 2 + f 2 f 14 g ( g ) 2 + g 2 g 14 h ( h ) 2 + h 2 h 14 w ( w ) 2 + w 2 w L 3 ( f ) L 3 ( g ) L 3 ( h ) L 3 ( w ) | ,

其中 L 3 ( μ ) = 182 ( μ ) 3 + 42 μ μ μ + μ 2 μ ,( μ 为非常数亚纯函数)。

τ 是整函数。

引理4的证明:

因为非常数亚纯函数 f , g , h , w 满足函数方程(2),则 f 15 , g 15 , h 15 , w 15 线性无关。事实上,若 f 15 , g 15 , h 15 , w 15 线性相关,则 f , g , h , w 中至少有一个为常数函数,矛盾。结合引理3,则有:

W ( f 15 , g 15 , h 15 , w 15 ) = | f 15 g 15 h 15 w 15 15 f 14 f 15 g 14 g 15 h 14 h 15 w 14 w L 1 ( f ) L 1 ( g ) L 1 ( h ) L 1 ( w ) L 2 ( f ) L 2 ( g ) L 2 ( h ) L 2 ( w ) | = 3375 f 12 g 12 h 12 w 12 τ 0 (3)

其中 L 1 ( μ ) = 210 μ 13 ( μ ) 2 + 15 μ 14 μ L 2 ( μ ) = 2730 μ 12 ( μ ) 3 + 630 μ 13 μ μ + 15 μ 14 μ ,(其中 μ 为非常数亚纯函数)。

τ 0 。此外,结合函数方程 f 15 + g 15 + h 15 + w 15 = 1 以及伏朗斯基行列式的特点可得到:

W ( f 15 , g 15 , h 15 , w 15 ) = | 15 g 14 g 15 h 14 h 15 w 14 w L 1 ( g ) L 1 ( h ) L 1 ( w ) L 2 ( g ) L 2 ( h ) L 2 ( w ) | = 3375 g 12 h 12 w 12 | g 2 g h 2 h w 2 w 14 g ( g ) 2 + g 2 g 14 h ( h ) 2 + h 2 h 14 w ( w ) 2 + w 2 w L 3 ( g ) L 3 ( h ) L 3 ( w ) | (4)

其中 L 3 ( μ ) = 182 ( μ ) 3 + 42 μ μ μ + μ 2 μ ,(其中 μ 为非常数亚纯函数)。

由(3)、(4)可得

τ = 1 f 12 | g 2 g h 2 h w 2 w 14 g ( g ) 2 + g 2 g 14 h ( h ) 2 + h 2 h 14 w ( w ) 2 + w 2 w L 3 ( g ) L 3 ( h ) L 3 ( w ) | (5)

同理,可得:

(6)

(7)

τ = 1 w 12 | f 2 f g 2 g h 2 h 14 f ( f ) 2 + f 2 f 14 g ( g ) 2 + g 2 g 14 h ( h ) 2 + h 2 h L 3 ( f ) L 3 ( g ) L 3 ( h ) | (8)

实际上,因为定义的 τ ( z ) 为涉及 f , g , h , w 的行列式,则若有极点,其极点只会在 f , g , h , w 的极点处产生,设 z f ( z ) , g ( z ) , h ( z ) , w ( z ) m , n , p , q 重极点,设 f , g , h , w z 处的洛朗展开式为

f ( z ) = A ( z z ) m ( 1 + o ( 1 ) ) , ,

, w ( z ) = D ( z z ) q ( 1 + o ( 1 ) ) ,

由(2)式成立可知,若继设 max { m , n , p , q } = m ,根据等式两边对称性,则中至少有两个亚纯函数的极点重数是相同的,不妨设 max { m , n , p , q } = m = n p q 。根据(5)式,

τ = g 2 g h 2 h w 2 w f 12 | 1 1 1 14 g g + g g 14 h h + h h 14 w w + w w L 4 ( g ) L 4 ( h ) L 4 ( w ) | , (9)

其中,(其中 μ 为非常数亚纯函数)。

而行列式

| 1 1 1 14 g g + g g 14 h h + h h 14 w w + w w L 4 ( g ) L 4 ( h ) L 4 ( w ) | = { [ ( 14 h h + h h ) ( 14 g g + g g ) ] [ ( 182 ( w w ) 2 + 42 w w + w w ) ( 182 ( g g ) 2 + 42 g g + g g ) ] [ ( 14 w w + w w ) ( 14 g g + g g ) ] [ ( 182 ( h h ) 2 + 42 h h + h h ) ( 182 ( g g ) 2 + 42 g g + g g ) ] } (10)

通过代换 f , g , h , w 的洛朗展开式进行运算可得,上面的行列式实际可以表示为,同样通过代换 f , g , h , w 的洛朗展开式计算可得到 g 2 g h 2 h w 2 w f 12 = R ( z z ) 12 m 3 ( n + p + q + 1 ) ( 1 + o ( 1 ) ) (其中 R = B 3 C 3 D 3 n p q A 12 是常数),从而由(9)式可知,当

12 m 3 ( n + p + q + 1 ) 3 (*)

时, z 不是 τ 的极点。下面我们将分类讨论如下:

I) 若 m = n = p = q 2

易见此情况下满足(*)式,故此时 z 不是 τ 的极点。

II) 若

此情况下 q 2 , m 3 ,也是符合(*)式,故此时 z 不是 τ 的极点。

III) 若 m = n > p q 1

此情况下 q 1 , p 1 , m 2 ,也是符合(*)式,故此时 z 不是 τ 的极点。

IV) m = n p > q 1

此情况下 q 1 , p 2 , m 2 ,符合(*)式,故此时 z 不是 τ 的极点。

V) m = n p > q = 0

即在 z 处函数解析而另外三个函数不解析,该情况下 q = 0 , p 1 , m = n 1 ,显然符合(*)式,故此时 z 不是 τ 的极点。

VI) m = n = p = q = 1

不妨设 z = 0 的公共单级极点,则 f ( z ) , g ( z ) , h ( z ) , w ( z ) 在0处的洛朗展开式为

g ( z ) = B z + B 0 + B 1 z + B 2 z 2 + B 3 z 3 + O ( z 4 )

h ( z ) = C z + C 0 + C 1 z + C 2 z 2 + C 3 z 3 + O ( z 4 ) w ( z ) = D z + D 0 + D 1 z + D 2 z 2 + D 3 z 3 + O ( z 4 )

通过计算可知(10)式在公共单级极点处可能产生一阶极点,从而 在公共单级极点处可能不解析。

综上所述,若非常数亚纯函数 f ( z ) , g ( z ) , h ( z ) , w ( z ) 无公共单级极点,则 τ 为整函数,引理4得证。

3. 定理1的证明

为引理4中所定义的行列式,由引理4的证明过程知,且由(5)、(6)、(7)、(8)可得

τ 4 = 1 ( f g h w ) 3 | g g h h w w L 5 ( g ) L 5 ( h ) L 5 ( w ) L 6 ( g ) L 6 ( h ) L 6 ( w ) | | f f h h w w L 5 ( f ) L 5 ( h ) L 5 ( w ) L 6 ( f ) L 6 ( h ) L 6 ( g ) | | f f g g w w L 5 ( f ) L 5 ( g ) L 5 ( w ) L 6 ( f ) L 6 ( g ) L 6 ( w ) | | f f g g h h L 5 ( f ) L 5 ( g ) L 5 ( h ) L 6 ( f ) L 6 ( g ) L 6 ( h ) |

其中 L 5 ( μ ) = 14 ( μ μ ) 2 + μ μ L 6 ( μ ) = 182 ( μ μ ) 3 + 42 μ μ μ μ + μ μ ( μ 为非常数亚纯函数)。

从而有

τ 15 = τ 3 ( f g h w ) 9 | g g h h w w L 5 ( g ) L 5 ( h ) L 5 ( w ) L 6 ( g ) L 6 ( h ) L 6 ( w ) | 3 | f f h h w w L 5 ( f ) L 5 ( h ) L 5 ( w ) L 6 ( f ) L 6 ( h ) L 6 ( g ) | 3 | f f g g w w L 5 ( f ) L 5 ( g ) L 5 ( w ) L 6 ( f ) L 6 ( g ) L 6 ( w ) | 3 | f f g g h h L 5 ( f ) L 5 ( g ) L 5 ( h ) L 6 ( f ) L 6 ( g ) L 6 ( h ) | 3 (**)

因为非常数亚纯函数满足费马型函数方程(2),所以,又 min { ρ f , ρ g , ρ h , ρ w } < 1 2 ,所以有 ρ f = ρ g = ρ h = ρ w < 1 2 ,下面分两种情况来讨论:

情况一:若非常数亚纯函数 f ( z ) , g ( z ) , h ( z ) , w ( z ) 无公共单级极点,则采用反证法,假设函数方程(2)存在级小于 1 2 的非常数亚纯函数解,根据引理1知

ρ f = ρ f = ρ f = ρ f , ρ g = ρ g = ρ g = ρ g ,

ρ h = ρ h = ρ h = ρ h ,

于是 max { ρ f , , ρ f , ρ g , , ρ g , ρ h , , ρ h , ρ w , , ρ w } < 1 2 ,又根据引理2和(**)式有

再结合引理4的结论知 τ 为整函数,则 τ ( z ) = 0 ,这与 τ ( z ) 0 矛盾。

情况二:若非常数亚纯函数 f ( z ) , g ( z ) , h ( z ) , w ( z ) 仅有一个公共单级极点 z 0 ,不妨设 z 0 = 0 ,由函数方程(2)有 f 15 ( z 2 ) + g 15 ( z 2 ) + h 15 ( z 2 ) + w 15 ( z 2 ) = 1 成立,兹令

F ( z ) = f ( z 2 ) , G ( z ) = g ( z 2 ) , H ( z ) = h ( z 2 ) , W ( z ) = w (z2)

则有 F 15 ( z ) + G 15 ( z ) + H 15 ( z ) + W 15 ( z ) = 1 ,且 ρ F = ρ G = ρ H = ρ W = 2 ρ f < 2 × 1 2 = 1 ,而非常数亚纯函数 f ( z ) , g ( z ) , h ( z ) , w ( z ) 仅有一个公共单重极点0,则 F ( z ) , G ( z ) , H ( z ) , W ( z ) 无公共单级极点,此时可转化为同情况一一样的讨论亦得出矛盾。

综上,定理1得证。

[1] 杨乐. 值分布论及其新研究[M]. 北京: 科学出版社, 1982.

[2] Gundersen, G.G. (2003) Complex Functional Equations.

[3] 苏敏, 李玉华. 关于函数方程非平凡亚纯解的研究[J]. 云南师范大学学报: 自然科学版, 2009, 29(2): 44.

[4] 仪洪勋, 杨重骏. 亚纯函数唯一性理论[M]. 北京: 科学出版社, 1995.

[5] Li, Y.H. (2000) Uniqueness Theorems for Meromorphic Functions of Order Less than One. Northeastern Mathematical Journal, 16, 411-416.

[6] 顾永兴, 庞学诚, 方明亮. 正规族理论及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2007.

文章引用:
梁娥. 函数方程f15(z)+g15(z)+h15(z)+w15(z) =1的亚纯函数解的研究[J]. 理论数学, 2018, 8(1): 34-40. https://doi.org/10.12677/PM.2018.81006

参考文献

[1] 杨乐. 值分布论及其新研究[M]. 北京: 科学出版社, 1982.
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