Mathieu群与旗传递2-(v,k,λ)设计

Mathieu Groups and Flag-Transitive 2-(v,k,λ) Designs

摘要: 旗传递性是群作用在2-(v,k,λ) 设计上的重要性质之一。对满足一定条件的旗传递2-设计进行分类是一个比较有意思的问题。Dembowski已经证明了满足条件(v-1,k-1)≤2 的旗传递2-(v,k,λ) 设计的自同构群G是本原群。据此，本文在条件(v-1,k-1)≤2 下，研究自同构群旗传递且其基柱Soc(G)是五个Mathieu 群之一时的2-(v,k,λ) 设计的分类问题，得到了在同构意义下存在62个这样的设计。

Abstract: Flag-transitivity is one of the important conditions that can be imposed on the automorphism group of a 2-(v,k,λ) design. The classification of flag-transitive 2-designs is an important problem in the algebraic combinatorial theory. Dembowski has proved that if G≤Aut(D) is flag-transitive and (v-1,k-1)≤2, then G is also point-primitive. According to this result, in this paper we completed the classification of this type of designs, with Soc(G) was one of five Mathieu groups M_i, where i=11, 12, 22, 23 or 24. We prove that there exists 62 2-designs satisfying the assumption.

1. 引言

定义1：设 $v,k,\lambda$ 为正整数，满足 $2<k<v$ 。一个 $\text{2-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计或2-设计 $\mathcal{D}$ 定义为符合以下条件的一对符号 $\left(P,\mathcal{B}\right)$ ：

1) $P$ 是有 $v$ 个点的有限集， $P$ 中的元素称为点；

2) $\mathcal{B}$ 是 $P$ 中 $b$ 个 $k$ -子集构成的集族， $\mathcal{B}$ 的元素称为区组或区；

3) $P$ 的任意给定的2-子集都恰好包含在 $\mathcal{B}$ 的 $\lambda$ 个区组之中。

由于每个区组的长度相等，易知过一个点的区组的个数是常数，设为 $r$ 。我们总假设 $\mathcal{D}$ 是单纯的，即 $\mathcal{B}$ 中的区组不允许重复出现。称5-元组 $\left(v,b,r,k,\lambda \right)$ 为设计 $\mathcal{D}$ 的参数。

旗传递设计的分类工作早在30多年前就已经开始了，那时的研究对象主要是旗传递的线性空间。1987年，Davies [1] 证明了旗传递且自同构群的基柱是散在单群的 $\text{2-}\left(v,k,1\right)$ 设计不存在。1990年，Bueken- hout，Delandtsheer，Doyen，Kleidman，Liebeck，Saxl [2] 合作完成了旗传递线性空间的分类(一维仿射型的情况除外)。这项工作的完成激起了许多学者的兴趣。近年来，人们开始了在某些限制条件下旗传递 $\text{2-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计分类的有关研究，这些限制条件有 $r=k$ ， $\lambda =2$ ， $\left(r,\lambda \right)=1$ 等等 [3] [4] [5] [6] [7] 。1998年，P. H. Zieschang [7] 证明了旗传递且 $\left(r,\lambda \right)=1$ 的 $\text{2-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计的自同构群是仿射型或者几乎单的；2013年，田德路和周胜林 [8] 完成了本原自同构群且基柱是散在单群的旗传递对称设计的分类问题。

本文研究了旗传递2-设计当 $\left(v-1,k-1\right)\le 2$ 且自同构群 $G$ 的基柱 $Soc\left(G\right)$ 为五个Mathieu群之一时的分类问题，得到下述结果：

定理1：设 $\mathcal{D}$ 是一个满足 $\left(v-1,k-1\right)\le 2$ 的 $\text{2-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计， $G\le Aut\left(G\right)$ 是旗传递的且 $Soc\left(G\right)$ 是五个Mathieu群 $M_i\left(i=11,12,22,23,24\right)$ 之一。则在同构意义下存在62个2-设计 ${\mathcal{D}}_i\left(1\le i\le 62\right)$ ，它们对应的参数 $\left(v,b,r,k,\lambda \right)$ ，自同构群 $G$ ，如表1和表2所示。

下面给出本文常用的几个引理。

引理1 [9] ：若 $\mathcal{D}=\left(P,\mathcal{B}\right)$ 是一个 $\text{2-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计。则下面式子成立：

1) $bk=vr$ ；

2) $\lambda \left(v-1\right)=r\left(k-1\right)$ ；

3) $b\ge v$ 。

引理2 [10] ：设 $\mathcal{D}=\left(P,\mathcal{B}\right)$ 是一个 $\text{2-}\left(v,k,\lambda \right)$ 设计， $G\le Aut\left(G\right)$ ，则对任意的 $\alpha \in P$ 和 $B\in \mathcal{B}$ ， $G$ 旗传递当且仅当下列条件之一成立：

1) $G$ 是点–传递的，并且 $G_{\alpha }$ 在 $P\left(\alpha \right)$ 上传递,，其中 $P\left(\alpha \right)$ 表示所有过点 $\alpha$ 的区组；

Table 1. 54 designs and parameters with ( v − 1 , k − 1 ) = 1

表1. $\left(v-1,k-1\right)=1$ 时的54个设计及参数

Continued

Table 2. 8 designs and parameters with ( v − 1 , k − 1 ) = 2

表2. $\left(v-1,k-1\right)=2$ 时的8个设计及参数

2) $G$ 是区–传递的，并且 $G_B$ 在区组 $B$ 上传递。

定理2 [11] ：传递群 $G$ 的正规子群 $N\ne 1$ 是半传递的。

定理3 [11] ：设 $k=1,2,\cdots$ ，每个 $k$ 重传递群是 $k-1/2$ 重传递的，每个 $k+1/2$ 重传递是 $k$ 重传递的而且每个以它为子群的群也是 $k$ 重传递的(但不一定是 $k+1/2$ 重传递的)。

引理3 [12] ：设 $G$ 是几乎单型的有限本原置换群。若 $G$ 作用在 $\Omega$ 上3/2-传递，则下列之一成立：

1) $G$ 在 $\Omega$ 上是2-传递的；

2) $n=21$ 且 $G$ 是 $A_7$ 或 $S_7$ 作用在集合 $\left\{1,2,\cdots ,7\right\}$ 的无序二元组上；且非平凡的次级数为10。

引理4 [6] ：设 $\mathcal{D}$ 是一个 $\text{2-}\left(v,k,\lambda \right)$ 且 $G\le Aut\left(G\right)$ 是旗传递的，则下列成立：

1) $r^2>\lambda v\ge v$ ；

2) $r|\left|G_{\alpha }\right|$ ， $G_{\alpha }$ 是 $G$ 的点稳定子群， ${\left|G_{\alpha }\right|}^3>\left|G\right|$ ；

3) $r|\lambda d$ ，其中 $d$ 表示 $G$ 的任一非平凡次轨道长度。特别地， $\frac{r}{\left(r,\lambda \right)}|d$ 。

证明：1) 由Fisher-不等式， $bk=vr$ ， $b\ge v$ ，所以有 $r\ge k$ ；

又 $\lambda \left(v-1\right)=r\left(k-1\right)$ ，即 $\lambda v-\lambda +r=rk$ ， $v\le \lambda v<\lambda v-\lambda +r=rk\le r^2$ ；

2) 由上式和引理2，我们有 $r|\left|G_{\alpha }\right|$ ，所以 $r\le \left|G_{\alpha }\right|$ ， $v<r^2\le {\left|G_{\alpha }\right|}^2$ ，又 $v=\left|G:G_{\alpha }\right|$ ，所以 $\left|G\right|<{\left|G_{\alpha }\right|}^3$ ；

3) 设 $\alpha \in P$ ， $G_{\alpha }$ 的一个非平凡轨道为 $\Gamma$ ，长度为 $d$ 。令 $B$ 是过点 $\alpha$ 的一个区组， $m=\left|\Gamma \cap B\right|$ 。因为 $G$ 是旗传递的，所以 $m$ 与 $B$ 的选取无关。我们用两种不同的方法计数旗 $\left(\beta ,B\right)$ ， $\beta \in \Gamma$ ， $\alpha \in B$ ，即得 $rm=\lambda \left|\Gamma \right|$ 。所以， $r|\lambda d$ 。

引理5：设 $\mathcal{D}$ 是一个 $\text{2-}\left(v,k,\lambda \right)$ 且 $G\le Aut\left(G\right)$ 是旗传递的，若 $\left(v-1,k-1\right)\le 2$ ，则 $G$ 是点本原的。特别地， $G$ 是2-传递或是3/2-传递且为秩3的本原群。

证明：由引理1知 $\frac{\lambda }{\left(r,\lambda \right)}\left(v-1\right)=\frac{r}{\left(r,\lambda \right)}\left(k-1\right)$ 。下面我们分两种情况来证明：

当 $\left(v-1,k-1\right)=1$ 时， $\left(v-1\right)|\frac{r}{\left(r,\lambda \right)}$ ，由引理4可知 $\frac{r}{\left(r,\lambda \right)}|d$ ，所以 $\left(v-1\right)|d$ ， $\left(v-1\right)\le d$ 。又 $d$ 是 $G$ 的非平凡轨道长，显然 $\left(v-1\right)\ge d$ ，即 $d=v-1$ ，从而 $G_{\alpha }$ 在 $\Omega -\alpha$ 上传递，所以 $G$ 在 $\Omega$ 上2-传递。

当 $\left(v-1,k-1\right)=2$ 时， $\frac{v-1}{2}\left|\frac{r}{\left(r,\lambda \right)}\right|d$ ，所以 $d=\frac{v-1}{2}$ 或者 $d=v-1$ 。如果 $d=v-1$ ，那么 $G$ 在 $\Omega$ 上2-传递。如果 $d=\frac{v-1}{2}$ ，那么 $G$ 是 $\Omega$ 上3/2-传递秩3群。下证 $G$ 必定是本原的。当 $G$ 2-传递时，显然是本原的。当 $G$ 3/2-传递秩3群，假设 $G$ 是非本原的，则存在非本原块 $\Delta$ 使得 $\alpha \in \Delta$ ， $1<\left|\Delta \right|<n$ 。但 $\Delta$ 是 $G_{\alpha }$ 的一些轨道的并。设 $G_{\alpha }$ 的轨道为 $\left\{\alpha \right\}$ ， ${\Delta }_1$ ， ${\Delta }_2$ ，其中 $\left|{\Delta }_1\right|=\left|{\Delta }_2\right|=\frac{n-1}{2}$ ，则 $\Delta =\alpha \cup {\Delta }_1$ 或 $\Delta =\alpha \cup {\Delta }_2$ ，此时 $\left|\Delta \right|=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}$ ，而 $\frac{n+1}{2}$ Œn，所以 $G$ 是本原的。

2. 定理1的证明

2.1. 可能的参数

首先，由引理5可知，当 $\left(v-1,k-1\right)\le 2$ 时， $G$ 是点本原的，且是2-传递或者是3/2-传递的。又由引理3知Mathieu群不可能3/2-传递地作用在2-设计上，所以我们只需考虑2-传递的群的情况即可。

设 $G=M_i\left(i=11,12,22,23,24\right)$ ，为使得设计是非完全的，那么必有 $k\ge 5$ 。需要知道的是， $M_{11}$ 作用在12个点上是3-传递的， $M_{12}$ 作用在12个点上是5-传递的， $M_{22}$ 作用在22个点上是3-传递的， $M_{23}$ 作用在23个点上是4-传递的， $M_{24}$ 作用在24个点上是一个5-传递的， $M_{22}:2$ 作用在22个点上是3-传递的。

因此，由引理1和引理4，我们知道，设计的参数必须满足下列4个条件：

1) $r|\left|G_{\alpha }\right|$ 且 $\left(v-1,k-1\right)\le 2$ ；

2) $b=vr/k$ 是一个整数；

3) $r\ge k$ 且 $C_v^k>b$ ；

4) $\lambda =r\left(k-1\right)/\left(v-1\right)$ 是一个整数。

根据这四个条件，利用计算机软件GAP [13] 及下面的程序可以算出2104组可能的参数。

算法程序1：

design:=function (v,G)

local lambda,r,b,k,results;

results:=[];

for k in [5..v-2] do

if not IsInt(G/k) or Gcd(v-1,k-1)>2then continue;fi;

for r inDivisorsInt(G/v)do b=v*r/k;

ifr < k or not IsInt(b) or Binomial(v,k)<=b then continue;fi;

lambda:=r*(k-1)/(v-1)；

if not IsInt(lambda) then continue;fi;

Add(results,[G/b,v,b,r,k,lambda]);od;od;

return results;

end;

2.2. 参数的分析

接下来，我们对找出来的2104个参数进行分析。设 $G$ 和 $\mathcal{D}$ 满足定理1的假设条件，由引理2可知，

$G$ 是区传递的。由此，对于任意的 $\alpha \in B$ ， $B\in \mathcal{B}$ ，我们有 $\left|G:G_{\alpha }\right|=\left|{\alpha }^G\right|=v$ ， $\left|G_{\alpha }:G_{\alpha \beta }\right|=\left|B^{G_{\alpha }}\right|=r$ ， $\left|G:G_B\right|=b$ ，

即 $G$ 有指数为 $b$ 的子群。又因为 $G_B$ 在 $B$ 上是点传递的，所以 $B$ 是 $G_B$ 作用在 $P$ 上的一个长为 $k$ 的轨道，并且至少存在上述轨道使得 $G$ 作用在其上的轨道长度为 $b$ 。综上所述，如果 $G$ 是一个旗传递2-设计 $\mathcal{D}$ 的自同构群，则下列四个条件依次成立：

1) $G$ 中至少存在一个指数为 $b$ 的子群；

2) 符合1)的子群中至少存在一个长为 $k$ 的轨道 $O$ ；

3) $G$ 作用在符合2)的轨道中, 至少有一个长度 $\left|O^G\right|=b$ ；

4) 设计 $\mathcal{D}$ 的区组必定是3)中某一个 $O^G$ 。

通过在Magma [14] 命令 $Subgroup\left(G:OrderEqual:=n\right)$ ，这里 $n=\left|G\right|/b$ ，即可得到 $G$ 的指数为 $b$ 的所有子群共轭类。由此可知，有1451个参数组对应的设计的自同构群不存在与之对应的指数为 $b$ 的子群，剩下653个参数。根据条件2) 3)并通过命令 $Oribits\left(H\right)$ 和 $\#\left(O^G\right)$ ，我们剔除591个不满足条件的参数组，剩下62个参数。最后，我们利用命令 $Design\langle 2,v|G\rangle$ 检验剩余参数组是否是相应的2-设计。

由此，我们得到了62个设计如表1和表2，分别是当 $\left(v-1,k-1\right)=1$ 和 $\left(v-1,k-1\right)=2$ 时的情形。

2.3. 示例

以搜索 $M_{11}$ 作用在11个点上的设计为例，因为它是一个4-传递群，所以 $k\ge 5$ ，由于设计必须满足

前文中的四个条件，因此由算法程序1可以找到14个设计参数组 $\left(\left|G\right|/b,v,b,r,k,\lambda \right)$ ：

$\begin{array}{l}\left(60,11,132,60,5,24\right),\left(240,11,33,15,5,6\right),\left(20,11,396,180,5,72\right),\\ \left(45,11,176,80,5,32\right),\left(80,11,99,45,5,18\right),\left(30,11,264,120,5,48\right),\\ \left(40,11,198,90,5,36\right),\left(90,11,88,40,5,16\right),\left(120,11,66,30,5,12\right),\\ \left(144,11,55,40,8,28\right),\left(180,11,44,20,5,8\right),\left(720,11,11,5,5,2\right),\\ \left(72,11,110,80,8,56\right),\left(360,11,22,10,5,4\right).\end{array}$

显然，区稳定子群 $G_B$ 的阶只能是下面情形之一：

$20,30,40,45,60,72,80,90,120,144,180,240,360,720.$

利用其中至少存在一个指数为 $b$ 的子群 $Subgroups\left(G:OrderEqual:=r\right)$ ，可以知道符合的 $\left|G\right|/b$ 的值有7种可能:20，60，72，120，144，360或720，它们对应的七个参数组 $\left(\left|G\right|/b,v,b,r,k,\lambda \right)$ 分别是：

$\begin{array}{l}\left(20,11,396,180,5,72\right),\left(60,11,132,60,5,24\right),\left(360,11,22,10,5,4\right),\\ \left(120,11,66,30,5,12\right),\left(144,11,55,40,8,28\right),\left(720,11,11,5,5,2\right),\\ \left(72,11,110,80,8,56\right).\end{array}$

在此基础上，以参数组(20, 11, 396, 180, 5, 72)为例来讨论设计的存在性。指数为396的 $M_{11}$ 的子群共轭类轨道有三个：其长度为1，5和5。由于 $G$ 在 $\mathcal{B}$ 上传递，故应存在一个指数为 $b$ 的子群 $G_B$ ，又由于 $G_B$ 在 $B$ 上传递，故 $G_B$ 应存在一个长为 $\left|B\right|=k$ 的轨道，选取 $G_B$ 轨道中长度为5的轨道

$O_2=\left\{2,4,6,7,11\right\}$ , $O_3=\left\{3,5,8,9,10\right\}$ .

计算发现 $\left|O_3^G\right|=66\ne 396$ ，矛盾。 $\left|O_2^G\right|=396$ ，利用Magma命令 $Design\langle 2,11|O_2^G\rangle$ 计算发现，此时 $\mathcal{D}$ 为一个2-(11, 5, 72)设计，所以参数组(20, 11, 396, 180, 5, 72)确实是我们要找的符合条件的参数，对应于表一的 ${\mathcal{D}}_1$ 。

致谢

本论文在写作过程中就算法方面与詹小秦博士进行了有益的讨论，在此表示感谢！论文还得到广东省自然科学基金的资助。

基金项目

广东省自然科学基金(编号：2017A030313001)。