理论数学  >> Vol. 8 No. 2 (March 2018)

广义三角函数与双曲函数的Wilker-Huygens型不等式
Wilker-Huygens Inequalities Involving Generalized Trigonometric and Hyperbolic Function

DOI: 10.12677/PM.2018.82020, PDF, HTML, XML, 下载: 916  浏览: 2,333  科研立项经费支持

作者: 刘潇潇, 谢明春, 杜 涵, 马晓艳*:浙江理工大学理学院,浙江 杭州;王春艳:富阳区场口中学,浙江 杭州

关键词: Wilker型不等式Hugens型不等式广义三角函数广义双曲函数不等式Wilker-Type Inequality Hugens-Type Inequality Generalized Trigonometric Function Generalized Hyperbolic Function Inequality

摘要: 主要研究了带有一个参数p的广义三角函数及广义双曲函数的Wilker型与Huygens型不等式,给出了广义三角函数与双曲函数的加强不等式。本文用极其简单的方法所获得的一些结果补充推广了已知结果。
Abstract: This paper establishes Wilker-Huygens inequalities for generalized trigonometric and hyperbolic function with a parameter. And some classical inequalities for the generalized trigonometric and hyperbolic functions are generalized. The obtained results of this paper improve and complement some known results.

文章引用: 刘潇潇, 王春艳, 谢明春, 杜涵, 马晓艳. 广义三角函数与双曲函数的Wilker-Huygens型不等式[J]. 理论数学, 2018, 8(2): 164-168. https://doi.org/10.12677/PM.2018.82020

1. 引言

近几年,对三角函数与双曲函数的一些不等式性质的研究取得了显著的进展。特别是关于三角函数以及双曲函数的Wilker型不等式 [1] 及Huygens型不等式 [2]

( sin x x ) 2 + tan x x > 2 (1)

2 sin x x + tan x x > 3 (2)

吸引了很多学者的广泛研究 [3] [4] [5] 。

同时,也获得了双曲函数的Wilker型不等式 [6] 及Huygens型不等式 [7]

( sinh x x ) 2 + tanh x x > 2 (3)

2 sinh x x + tanh x x > 3 (4)

1995年,Lindqvist在文献 [8] 给出了带有一个参数p的广义三角函数 sin p x , cos p x , tan p x ,以及广义双曲函数 sinh p x , cosh p x , tanh p x (当 p = 2 时,即为初等三角函数)的定义,吸引了很多学者去研究。对于 1 < p < , x [ 0 , π p / 2 ] ,广义反正弦函数 arcsin p ( x ) 以及广义反双曲正弦函数 arcsinh p ( x ) 定义为:

arcsin p ( x ) = 0 x 1 ( 1 t p ) 1 / p d t , 0 x 1

arcsinh p ( x ) = 0 x 1 ( 1 + t p ) 1 / p d t , x 0

其中

π p 2 = arcsin p ( 1 ) = 0 1 1 ( 1 t p ) 1 / p d t

p = 2 时,广义反正弦函数 arcsin p ( x ) , arcsinh p ( x ) 退化为反正弦函数 arc sin x , arc sinh x 。广义反正弦函数 arcsin p ( x ) , arcsinh p ( x ) 的反函数为 s i n p ( x ) , sinh p ( x )

同样的,对于 1 < p < , x [ 0 , π p / 2 ] ,广义余弦函数 cos p ( x ) 定义为:

cos p ( x ) = ( 1 sin p ( x ) p ) 1 / p

自然地,可以推广正切函数以及双曲正切函数

tan p ( x ) = sin p ( x ) cos p ( x ) , tanh p ( x ) = sinh p ( x ) cosh p (x)

本文将不等式(1)-(4)推广到带有一个参数p的广义三角函数及广义双曲函数中去,给出了广义三角函数以及广义双曲函数的Wilker型及Huygens型的加强不等式。

2. 主要结果

引理1. ( [9] ,定理3.6)对于 p ( 1 , ) ,函数 f ( x ) log ( sin p ( x ) / x ) log cos p ( x ) ( 0 , π p 2 ) ( 0 , 1 p + 1 ) 上严格单调递减。特别地,对于任意的 p ( 1 , ) , x ( 0 , π p 2 ) ,有

cos p α x < sin p x x < 1 (5)

其中 α = 1 p + 1 为最佳常数。

引理2. ( [9] ,定理3.8)对于 p ( 1 , ) ,函数 f ( x ) log ( sinh p ( x ) / x ) log cosh p ( x ) ( 0 , ) ( 1 p + 1 , 1 ) 上是严格单调递增的。特别地,对于任意的 p ( 1 , ) , x ( 0 , ) ,有

cosh p ( x ) α < sinh p x x < cosh p ( x ) β (6)

其中 α = 1 p + 1 , β = 1 为最佳常数。

定理3. 对于 p > 1 , n N , ( n 1 ) α p β 0 , β 0 ,成立不等式

( n 1 ) ( x sin p x ) α + ( x tan p x ) β > n , x ( 0 , π p / 2 ) (7)

( n 1 ) ( x sinh p x ) α + ( x tanh p x ) β > n , x > 0 (8)

证明:1) 由Jacobsthal不等式,设 a , b > 0 ,则 n a n 1 b ( n 1 ) a n + b n 仅当 a = b 时等号成立,由引理1中(5)式,因 x sin p x > 1 ,当 ( n 1 ) α p β 0 时,

( n 1 ) ( x sin p x ) α + ( x tan p x ) β n ( x sin p x ) ( n 1 ) α n ( x tan p x ) β n = n ( x sin p x ) ( n 1 ) α + β n ( x sin p x ) β n ( x tan p x ) β n = n ( x sin p x ) ( n 1 ) α + β n ( cos p x ) β n > n ( x sin p x ) ( n 1 ) α + β n ( sin p x x ) ( p + 1 ) β n = n ( x sin p x ) ( n 1 ) α + β n ( x sin p x ) ( p + 1 ) β n = n ( x sin p x ) ( n 1 ) α p β n n

2) 同理,利用引理2中(6)式以及 sinh p x x > 1 可证得不等式(8)成立。

3. 说明

1) 当 n = 2 , α = 2 , β = 1 , p = 2 时,公式(7)和(8)即退化为Wilker型不等式(1)和(3);当 n = 3 , α = β = 1 , p = 2 时,公式(7)和(8)即退化为Huygens型不等式(2)和(4)。

2) 当 n = 3 , α = 1 , β = 1 , p 2 时, ( n 1 ) α p β = 2 + p 0 ,公式(7)可退化为

2 sin p x x + tan p x x > 3 (9)

即文献 [10] 中的公式(35)。

3) 当 n = 2 , α = 2 , β = 1 , p 2 时,显然有 ( n 1 ) α p β = 2 + p 0 ,公式(7)分别化为

( sin p x x ) 2 + tan p x x > 2 (10)

即文献 [10] 中(36)式。

4) 当 n = p + 1 , α = β = 1 ,有 ( n 1 ) α p β = p ( α β ) = 0 。公式(7)、(8)即

p sin p x x + tan p x x > 1 + p (11)

p sinh p x x + tan p x x > 1 + p (12)

即退化为文献 [9] 定理3.16中(3.17)式、(3.18)式。

基金项目

浙江省自然科学基金项目(LQ17A010010),浙江理工大学学生科研项目。

NOTES

*通讯作者。

参考文献

[1] Wilker, J.B. (1989) Problem E3306. The American Mathematical Monthly, 96, 55-57. http://www.jstor.org/stable/2323260?origin=crossref
https://doi.org/10.2307/2323260
[2] Huygens, C. Oervres Completes. Societe Houondaise des Science, Haga, 1888-1940.
[3] Neuman, E. (2012) On Wilker and Huygens Type Inequalities. Mathematical Inequalities & Applications, 15, 271-279.
https://doi.org/10.7153/mia-15-22
[4] Zhu, L. (2005) A New Simple Proof of Wilker’s Inequalities. Mathematical Inequalities & Applications, 8, 749-750.
https://doi.org/10.7153/mia-08-70
[5] Wu, S. (2009) On Extension and Refinement of Wilker’s Inequality. Rocky Mountain Journal of Mathematics, 39, 683-687.
https://doi.org/10.1216/RMJ-2009-39-2-683
[6] Zhu, L. (2007) On Wilker-Type In-equalities. Mathematical Inequalities & Applications, 10, 727-731.
https://doi.org/10.7153/mia-10-67
[7] Neuman, E. and Sandor, J. (2010) On Some Inequalities Involving Trigonometric and Hyperbolic Function with Emphasis on the Cusa-Huygens, Wilker and Huygens Inequalities. Mathematical Inequalities & Applications, 13, 715-723.
https://doi.org/10.7153/mia-13-50
[8] Lindqvist, P. (1995) Some Remarkable Sine and Cosine Functions. Ricerche di Mate-matica, 269-290.
[9] Klén, R., Vuorinen, M. and Zhang, X.H. (2014) Inequalities for the Generalized Trigonometric and Hyperbolic Functions. Journal of Mathematical Analysis & Applications, 409, 521-529.
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2013.07.021
[10] Neuman, E. (2014) Inequalities Involving Generalized Trigonometric and Hyperbolic Functions. Journal of Mathematical Inequalities, 8, 725-736.
https://doi.org/10.7153/jmi-08-54