一类涉及分担值的亚纯函数正规族

Normal Families of Meromorphic Functions Sharing Values

摘要: 本文研究涉及分担值的亚纯函数族正规性准则。给出了一类涉及亚纯函数及其一阶导数分担值的正规族定则，其中的分担值依赖于函数族中的函数。本文的结论推广了已有的一个亚纯函数族关于固定分担值的正规定则。进一步地，我们研究了其它类似的亚纯函数族正规定则。

Abstract: In this paper, we discuss the normality of families of meromorphic functions concerning shared values. A normal criterion for families of meromorphic functions which share values with their first derivative is given, where the shared values can be flexible with the related functions. This result generalizes a former normal criterion in which the shared values are fixed. Moreover, we study some other similar results.

1. 引言

20世纪初期，P. Montel引入了正规族的概念，表示一个全纯或亚纯函数族的某种列紧性。设F为区域D内一族亚纯函数，如果函数族中任取一个函数列 $\left\{f_n\left(z\right),n=1,2,\cdots \right\}$ 都存在子序列 $\left\{f_{n_k}\left(z\right),k=1,2,\cdots \right\},$ 在区域D中按球面距离内闭一致收敛，则称函数族F在区域D内正规( [1] )。

Montel把正规族和函数的取值问题联系起来，证明了著名的Montel正规定则：设F为区域D内的一个亚纯函数族， $a,b,c$ 为三个互不相等的复数，若对于任意的 $f\in F$ 有 $f\ne a,f\ne b,f\ne c$ ，则F在D内正规。Caratheodory在文献 [2] 中把Montel正规定则中固定的复数推广到可随 $f\in F$ 变动的复数 $a_f,b_f,c_f$ ，两两之间的球距有一致下界 $\epsilon \left(>0\right)$ ，即： $\min \left\{\sigma \left(a_f,b_f\right),\sigma \left(b_f,c_f\right),\sigma \left(a_f,c_f\right)\right\}\ge \epsilon$ (e为一个正实数)，对任意 $f\in F$ ，若 $f\ne a_f,f\ne b_f,f\ne c_f$ ，则F在D内正规。

除了涉及例外值的亚纯函数族的正规性，把亚纯函数正规族与分担值结合起来考虑也是亚纯函数正规族理论研究的一个重要课题，这方面工作最早从Schwick开始，之后国内外很多学者对这方面的问题进行了深入的研究。

1992年，Schwick研究亚纯函数及其导数分担值相关的正规族问题，证明了以下结论( [3] )：

定理A：设F为区域D内的一族亚纯函数， $a_1,a_2,a_3$ 是三个判别的有穷复数，若对于F中的任意函数f，f和 $f^{\prime }$ 在D内分担 $a_1,a_2,a_3$ ，则F在D内正规。

2000年，庞学诚和Zalcman在 [4] 中对Schwick的结果做了改进，得到如下结论：

定理B：设F为单位圆盘D内的亚纯函数族，a，b，c为互不相等的复数且 $c\ne 0$ 。若对于任意的 $f\in F$ 有 ${\bar{E}}_f\left(0\right)={\bar{E}}_{f^{\prime }}\left(a\right)$ ， ${\bar{E}}_f\left(b\right)={\bar{E}}_{f^{\prime }}\left(c\right)$ ，则F在D内正规。

定理C：设F是区域D内的一个亚纯函数族，a，b，c和d是有穷复数且满足 $c\ne a$ 及 $d\ne b$ 。若对于F中的任意函数f， $f\left(z\right)=a\iff f^{\prime }\left(z\right)=b$ ， $f\left(z\right)=c\iff f^{\prime }\left(z\right)=d$ ，则F在D内正规。

以上正规定则中所涉及的分担值都为固定复数。根据Caratheodory ( [2] )的思想，Singh等人2004年在文献 [5] 中把定理B中固定的分担值推广为可随所对应函数而变动的分担值，得到如下结论：

定理D：设F为单位圆盘D内的一个亚纯函数族，M是常数，a，b，c为定值且 $\frac{ab}{c^2}=M$ ，对于任意 $f\in F$ ，若存在非零复数 $a_f,b_f,c_f$ 满足 $\min \left\{\sigma \left(a_f,b_f\right),\sigma \left(b_f,c_f\right),\sigma \left(a_f,c_f\right)\right\}\ge m$ ，( $m>0$ )，且 $\frac{a_f{b}_f}{c_f^2}=M$ ，使得 ${\bar{E}}_f\left(0\right)={\bar{E}}_{f^{\prime }}\left(a_f\right)$ ， ${\bar{E}}_f\left(b_f\right)={\bar{E}}_{f^{\prime }}\left(c_f\right)$ ，则F在D内正规。其中， $E_f\left(c_f\right)$ 和 $E_f\left(0\right)$ 分别为以下两个方程的解：

$f^{\prime }\left(z\right)=\frac{a_{f}b}{a}{\left(1-\left(\frac{1}{c_f}-\frac{a}{c{a}_f}\right)f\left(z\right)\right)}^2$ , $f^{\prime }\left(z\right)=a_f{\left(1-\left(\frac{1}{c_f}-\frac{a}{c{a}_f}\right)f\left(z\right)\right)}^2$

关于分担值可随函数而变动的正规定则，陈玮等人在2016年证明了如下结论( [6] )：

定理E：设F为区域D内的一个亚纯函数族，n为正整数，若对于任意的 $f\in F$ ，存在非零复数 $a_f$ ， $b_f$ ，和 $c_f\in ℂ$ ， $c_f^{n+1}=a_f$ ，满足条件：1) $\min \left\{\sigma \left(0,b_f\right),\sigma \left(0,c_f\right),\sigma \left(b_f,c_f\right)\right\}\ge \epsilon$ (e为一个正实数)；2) $\frac{b_f}{c_f}$ 相对于f独立，使得 $f^n{f}^{\prime }=a_f\iff f^{\prime }=b_f$ ，则F在D内正规。

定理F：设F为区域D内的一个亚纯函数族，n为正整数，若对于任意的 $f\in F$ ，存在非零复数 $a_f$ ， $b_f$ ， ${\alpha }_f$ ， ${\beta }_f$ 和 $c_f\in ℂ$ ， $c_f^{n+1}={\alpha }_f$ ，满足条件：1) $\min \left\{\sigma \left(a_f,b_f\right),\sigma \left(a_f,c_f\right),\sigma \left(b_f,c_f\right)\right\}\ge \epsilon$ (e为一个正实数)；2) $\frac{a_f}{c_f}$ ， $\frac{b_f}{c_f}$ ， $\frac{{\beta }_f}{c_f}$ 相对于f独立，使得 $f^n{f}^{\prime }={\alpha }_f\Rightarrow f^{\prime }=b_f$ ， $f^{\prime }=a_f\Rightarrow f={\beta }_f$ ，则F在D内正规。

本文进一步考虑分担值可随所对应函数而变动的正规族定则，对定理C做了推广，得到以下结论：

定理1：设F是区域D内的一个亚纯函数族，若对任意函数 $f\in F$ ，存在复数 $a_f\left(\ne 0\right)$ ， $b_f$ ， $c_f$ ， $d_f$ ，( $a_f\ne c_f$ ， $b_f\ne d_f$ )，满足条件：1) $\min \left\{\sigma \left(a_f,b_f\right),\sigma \left(a_f,c_f\right),\sigma \left(b_f,c_f\right)\right\}\ge \epsilon$ (e为一个正实数)；2) $\frac{b_f}{a_f}$ ， $\frac{c_f}{a_f}$ ， $\frac{d_f}{a_f}$ 相对于f独立，使得 $f=a_f\iff f^{\prime }=b_f$ ， $f=c_f\iff f^{\prime }=d_f$ ，则F在D内正规。

类似地，考虑方明亮和L. Zalcman在文献 [7] 中所证明的涉及高阶导数分担值的正规族定则：

定理G：设F是区域D内的一亚纯函数族，a，b是两个非零有穷复数，k是一个正整数。若对于F中的任意函数f，f的零点的重数至少为 $k+1$ ， $f\left(z\right)=a\iff f^{\left(k\right)}\left(z\right)=b$ ，则F在内正规。

本文对定理G做了推广，得到与定理1类似的结论：

定理2：设F是区域D内的一个亚纯函数族，k是一个正整数，若对于任意的 $f\in F$ ，f的零点的重数 $\ge k+1$ ，存在非零复数 $a_f$ ， $b_f$ 满足条件1) $\min \left\{\sigma \left(a_f,b_f\right),\sigma \left(a_f,0\right),\sigma \left(b_f,0\right)\right\}\ge \epsilon$ (e为一个正实数)；2) $\frac{b_f}{a_f}$ 相对于f独立，使得 $f\left(z\right)=a_f\iff f^{\left(k\right)}\left(z\right)=b_f$ ，则F在D内正规。

2. 预备知识

定义1：( [8] )设 $a,b\in \overline{ℂ}$ ，称非负实数 $\sigma \left(a,b\right)$ 为a与b之间的球面距离，其中 $\sigma \left(a,b\right)$ 定义如下

$\sigma \left(a,b\right)=\{\begin{array}{l}\frac{\left|a-b\right|}{\sqrt{1+{\left|a\right|}^2}\sqrt{1+{\left|b\right|}^2}},a\ne \infty ,b\ne \infty ;\\ \frac{1}{\sqrt{1+{\left|a\right|}^2}},a\ne \infty ,b=\infty ;\\ 0,a=\infty ,b=\infty .\end{array}$

定义2：( [9] )设 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 为区域D内的非常数亚纯函数，a是一个复数，若 $f\left(z\right)-a$ 与 $g\left(z\right)-a$ 在区域D内有相同的零点，且零点的重数相同（不计重数），则称 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 在区域D内分担a CM (IM)，记为： $f=a\leftrightarrow g=a$ ( $f=a\iff g=a$ )。此时，a称为 $f\left(z\right)$ 与 $g\left(z\right)$ 的CM (IM)公共值。

一般地，令 ${\bar{E}}_f\left(a\right)=\left\{z\in D:f\left(z\right)=a\right\}$ 表示 $f\left(z\right)-a$ 的不计重数的零点集合； $E_f\left(a\right)$ 表示 $f\left(z\right)-a$ 的计重数的零点集合。所以，如果 ${\bar{E}}_f\left(a\right)={\bar{E}}_g\left(a\right)$ ，则 $f=a\iff g=a$ ；如果 $E_f\left(a\right)=E_g\left(a\right)$ ，则 $f=a\leftrightarrow g=a$ 。

引理1：( [8] )设F是区域D内的一族亚纯函数，F中的每个函数的零点重数至少是k，并且

1) 若 $f\left(z\right)=0$ ，必有 $\left|f^{\left(k\right)}\left(z\right)\right|\le A$ ；

2) F在单位圆内不正规，那么对于每一个a， $0\le \alpha \le k$ ，存在

a) 实数r， $0<r<1$ ；

b) 点列 $z_n$ ， $\left|z_n\right|<r$ ；

c) 函数列 $f_n\in F$ ；

d) 正数列 ${\rho }_n\to 0^{+}$ 使得函数 $\left\{\frac{f_n\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)}{{\rho }_n^{\alpha }}\right\}$ 在 $ℂ$ 上按球距内闭一致收敛于一个亚纯函数 $g\left(\xi \right)$ ，并且 $g^{\#}\left(\xi \right)\le g^{\#}\left(0\right)=kA+1$ 。其中， $g^{\#}\left(\xi \right)$ 表示球面导数，即 $g^{\#}\left(\xi \right)=\frac{\left|g^{\prime }\left(\xi \right)\right|}{1+{\left|g\left(\xi \right)\right|}^2}$ 。

引理2：( [6] )设e为任意正数，L是一个Mobius变换，若存在常数a，b，c，使得L满足

$\min \left\{\sigma \left(L\left(a\right),L\left(b\right)\right),\sigma \left(L\left(b\right),L\left(c\right)\right),\sigma \left(L\left(c\right),L\left(a\right)\right)\right\}\ge \epsilon$

则L满足一致Lipschitz’s条件，即

$\sigma \left(L\left(z\right),L\left(\omega \right)\right)\le k_{\epsilon }\sigma \left(z,\omega \right)$

其中， $k_{\epsilon }$ 是依赖于e的常数。

引理3：( [8] )设f是一个有穷级超越亚纯函数，k是正整数， $p\left(z\right)$ (不恒等于0)是多项式。若f的零点重级均不小于 $k+1$ ，则 $f^{\left(k\right)}\left(z\right)-p\left(z\right)$ 有无穷多个零点。

引理4：( [8] )设 $f\left(z\right)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_0+\frac{p\left(z\right)}{q\left(z\right)}$ ， $a_0,a_1,\cdots ,a_n$ 是常数， $a_n\ne 0$ ， $p\left(z\right)$ ， $q\left(z\right)$ 是两个互素的多项式，且 $\mathrm{deg}p<\mathrm{deg}q$ ，k是一正整数，若 $f^{\left(k\right)}\left(z\right)\ne 1$ ，则有

1) $n=k$ ，且 $n!a_n=1$ ；

2) $f\left(z\right)=\frac{1}{k!}{z}^k+\cdots +a_{1}z+a_0+\frac{1}{{\left(az+b\right)}^m}$ ；

3) 若 $f\left(z\right)$ 的零点的重级均不小于 $k+1$ ，则结论(2)式中 $m=1$ ，且 $f\left(z\right)=\frac{{\left(cz+d\right)}^{k+1}}{az+b}$ ，其中a，b，c，d是常数， $a\ne 0$ ， $c\ne 0$ 。

引理5：( [10] )设 $f\left(z\right)$ 为一个整函数，若 $f\left(z\right)$ 的球面导数 $f^{\#}\left(z\right)$ 有界，则 $f\left(z\right)$ 的级至多为1。

3. 定理的证明

定理1的证明：

在条件(2)下，存在非零常数a，b，c，d有 $$ ， $\frac{c_f}{a_f}=\frac{c}{a}$ ， $\frac{d_f}{a_f}=\frac{d}{a}$ 相对于f独立。Mobius变换： $L_f\left(z\right)=\frac{a_f}{a}z$ ，其逆变换 $L_f^{-1}\left(z\right)=\frac{a}{a_f}z$ 。接下来证明函数族 $G=\left\{L_f^{-1}\circ f|f\in F\right\}$ 在D内正规。

不妨设D为单位圆D，假设G在D内不正规。由引理1( $\alpha =1$ )，存在子列 $\left\{g_j=L_{f_j}^{-1}\circ f_j\right\}\subset G$ ， $\left\{f_j\right\}\subset F$ ， $\left\{z_j\right\}\subset \Delta$ ，数列 $\left\{{\rho }_j\right\}$ 满足 ${\rho }_j\to 0\text{+}$ ，使得

$T_j\left(\xi \right)={\rho }_j^{-1}\left[g_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)-c\right]$

在 $ℂ$ 上按球距一致收敛于非常数亚纯函数 $T\left(\xi \right)$ ，并且T满足 $T^{\#}\left(\xi \right)\le T^{\#}\left(0\right)=d+1$ 。

我们断言：

1.1 若 $T\left(\xi \right)=0$ ，则 $T^{\prime }\left(\xi \right)=d$ ;

1.2 $T^{\prime }\left(\xi \right)\ne b$ ;

1.3 $T\left(\xi \right)$ 在 $ℂ$ 上全纯。

断言1.1的证明：设 $T\left(\xi \right)=0$ ，则由Hurwitz定理知，存在 ${\xi }_j\in ℂ$ ， ${\xi }_j\to {\xi }_0$ ，当 $j\to \infty$ 时，有

$T_j\left({\xi }_j\right)={\rho }_j^{-1}\left[g_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)-c\right]=0$ ，

从而有

$g_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=L_{f_j}^{-1}\circ f_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=\frac{a}{a_{f_j}}{f}_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=c$ ，

$f_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=\frac{c}{a}{a}_{f_j}=\frac{c_{f_j}}{a_{f_j}}{a}_{f_j}=c_{f_j}$ ，

由 $f_j=c_{f_j}\iff {f^{\prime }}_j=d_{f_j}$ 得到

${f^{\prime }}_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=d_{f_j}$ ，

$T^{\prime }\left({\xi }_0\right)=\underset{j\to \infty }{\lim }{g^{\prime }}_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=\underset{j\to \infty }{\lim }\frac{a}{a_{f_j}}{f^{\prime }}_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=\underset{j\to \infty }{\lim }\frac{a}{a_{f_j}}{d}_{f_j}=\underset{j\to \infty }{\lim }\frac{a}{a}d=d$ ，

于是断言1.1成立。

断言1.2的证明：假设 $T^{\prime }\left({\xi }_0\right)=b$ 。

显然， $T^{\prime }\left(\xi \right)$ 不恒等于b，否则 $T\left(\xi \right)=b\left(\xi -{\xi }_1\right)$ ，与断言1.1矛盾。由Hurwitz定理知存在 ${\xi }_j\in ℂ$ ， ${\xi }_j\to {\xi }_0$ ，使得当 $j\to \infty$ 时，有

${T^{\prime }}_j\left({\xi }_j\right)={g^{\prime }}_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=\frac{a}{a_{f_j}}{f^{\prime }}_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=b$ ，

${f^{\prime }}_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=\frac{b}{a}{a}_{f_j}=b_{f_j}$ 。

由 ${f^{\prime }}_j=b_{f_j}\iff f_j=a_{f_j}$ 得 $f_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=a_{f_j}$ ，

$g_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=L_{f_j}^{-1}\circ f_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=\frac{a}{a_{f_j}}{f}_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=a$ 。

从而，

$T_j\left({\xi }_j\right)={\rho }_j^{-1}\left[g_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)-c\right]={\rho }_j^{-1}\cdot \left(a-c\right)$ ，

$T\left({\xi }_0\right)=\underset{j\to \infty }{\lim }{T}_j\left({\xi }_j\right)=\underset{j\to \infty }{\lim }\frac{a-c}{{\rho }_j}=\infty$

与 $T^{\prime }\left({\xi }_0\right)=b$ 矛盾。因此断言1.2成立。

断言1.3的证明：假设 $T\left(\xi \right)$ 在 $$ 上有极点 ${\xi }_0$ ，即 $T\left({\xi }_0\right)=\infty$ 。

由于T不恒为¥，故存在闭圆盘 $\bar{\Delta }\left({\xi }_0,\delta \right)=\left\{\xi :\left|\xi -{\xi }_0\right|\le \delta \right\}$ ，当 $j\to \infty$ 时， $\frac{1}{T}$ 和 $\frac{1}{T_j}$ 在 $\bar{\Delta }\left({\xi }_0,\delta \right)$ 上全纯，且 $\frac{1}{T_j}$ 一致收敛于 $\frac{1}{T}$ 。从而，在 $\bar{\Delta }\left({\xi }_0,\delta \right)$ 上 $\frac{1}{T_j\left(\xi \right)}-\frac{{\rho }_j}{a-c}$ 也一致收敛于 $\frac{1}{T}$ 。设 ${\xi }_0$ 是 $\frac{1}{T}$ 的 $m\left(\ge 1\right)$ 重零点，则 ${\left(\frac{1}{T}\right)}^{\left(m\right)}\left({\xi }_0\right)\ne 0$ ，且存在正数 ${\delta }_1\left(\le \delta \right)$ ，使得在 ${\Delta }^{\prime }\left({\xi }_0,{\delta }_1\right)=\left\{\xi :0<\left|\xi -{\xi }_0\right|<{\delta }_1\right\}$ 内有 ${\left(\frac{1}{T}\right)}^{\prime }\left(\xi \right)\ne 0$ ， ${\left(\frac{1}{T}\right)}^{\left(m\right)}\left(\xi \right)\ne 0$ 。由于在 $\bar{\Delta }\left({\xi }_0,\delta \right)$ 上 $\frac{1}{T_j\left(\xi \right)}-\frac{{\rho }_j}{a-c}$ 一致收敛于 $\frac{1}{T}$ ，且 ${\xi }_0$ 是 $\frac{1}{T}$ 的m重零点，由Hurwitz定理知，当j充分大时对 $\frac{1}{T_j\left(\xi \right)}-\frac{{\rho }_j}{a-c}$ 存在m个互异的点 ${\xi }_{ij}$ ， $i=1,2,\cdots ,m$ ，满足

$\frac{1}{T_j\left({\xi }_{ij}\right)}-\frac{{\rho }_j}{a-c}=0$ ， $i=1,2,\cdots ,m$ ，

且 $\underset{j\to \infty }{\lim }{\xi }_{ij}={\xi }_0$ 。于是 $g_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_{ij}\right)-c=a-c$ ，即

$g_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_{ij}\right)=\frac{a}{a_{f_j}}{f}_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_{ij}\right)=a$ ，

则 $f_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_{ij}\right)=a_{f_j}$ 。从而

${T^{\prime }}_j\left({\xi }_{ij}\right)={g^{\prime }}_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_{ij}\right)=\frac{a}{a_{f_j}}{f^{\prime }}_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_{ij}\right)=\frac{a}{a_{f_j}}{b}_{f_j}=b$ ,

${{\left(\frac{1}{T_j\left(\xi \right)}\right)}^{\prime }|}_{\xi ={\xi }_{ij}}=-\frac{{T^{\prime }}_j\left({\xi }_{ij}\right)}{T_j{}^2({\xi }_{ij})}=-\frac{b{\rho }_j^2}{{\left(a-c\right)}^2}\ne 0$ ， $i=1,2,\cdots ,m$ 。

这说明当j充分大时 ${\left(\frac{1}{T\left(\xi \right)}\right)}^{\prime }+\frac{b{\rho }_j^2}{{\left(a-c\right)}^2}$ 在 $\Delta \left({\xi }_0,\frac{{\delta }_1}{2}\right)=\left\{\xi :\left|\xi -{\xi }_0\right|<\frac{{\delta }_1}{2}\right\}$ 内至少有m个不同的零点。再由Hurwitz定理知， ${\xi }_0$ 至少为 ${\left(\frac{1}{T}\right)}^{\prime }$ 的m重零点，即有 ${\left(\frac{1}{T}\right)}^{\left(m\right)}\left({\xi }_0\right)=0$ ，矛盾。因此断言1.3得证。

断言证明完毕。

由断言1.3知，T是一个整函数，由引理5，T的级数 $\le 1$ 。从而由断言1.2得 $T^{\prime }\left(\xi \right)=b+{\text{e}}^{A\xi +B}$ 。

以下分两种情形来考虑：

情形1 $A\ne 0$ 。由 $T^{\prime }\left(\xi \right)=b+{\text{e}}^{A\xi +B}$ 得

$T\left(\xi \right)=b\xi +c+\frac{e^{A\xi +B}}{A}$ ，( $A,B,C$ 是常数)。

设 $T\left({\xi }_0\right)=0$ ，则由断言1.1和 $T\left(\xi \right)=b\xi +c+\frac{{\text{e}}^{A\xi +B}}{A}$ 得

$T^{\prime }\left({\xi }_0\right)=b+{\text{e}}^{A{\xi }_0+B}=d$ ， ${\xi }_0=-\frac{1}{b}\left(c+\frac{d-b}{A}\right)$ 。

因此，方程 $g\left(\xi \right)=0$ 只有一个解 $\xi ={\xi }_0$ ，但由 $T\left(\xi \right)=b\xi +c+\frac{{\text{e}}^{A\xi +B}}{A}$ 知， $T\left(\xi \right)=0$ 有无穷多解，矛盾。

情形2 $A=0$ 。由断言1.1知， $T^{\prime }\left(\xi \right)\equiv d$ ，于是 $T\left(\xi \right)=d\left(\xi -{\xi }_1\right)$ 。从而有

$T^{\#}\left(0\right)=\frac{\left|T^{\prime }\left(0\right)\right|}{1+{\left|T\left(0\right)\right|}^2}\le \left|T^{\prime }\left(0\right)\right|=d$ ，

即有 $T^{\#}\left(0\right)<\left|d\right|+1$ ，与 $T^{\#}\left(0\right)=\left|d\right|+1$ 矛盾。所以G在D内正规，G在D内等度连续。

由条件(1)知：

$\begin{array}{c}\epsilon \le \min \left\{\sigma \left(a_f,b_f\right),\sigma \left(a_f,c_f\right),\sigma \left(b_f,c_f\right)\right\}\\ =\min \left\{\sigma \left(L_f\left(a\right),L_f\left(b\right)\right),\sigma \left(L_f\left(a\right),L_f\left(c\right)\right),\sigma \left(L_f\left(b\right),L_f\left(c\right)\right)\right\}\end{array}$

由引理2，我们可知 $L_f$ 满足Lipschitz’s条件

$\sigma \left(L\left(z\right),L\left(\omega \right)\right)\le k_{\epsilon }\sigma \left(z,\omega \right)$ ，

其中 $k_{\epsilon }$ 为取决于e的常数。

取一点 $z\in D$ ，对于任意 $\epsilon >0$ ，T在 $z\in D$ 等度连续。存在 $\delta >0$ ，当 $\omega \in D$ 满足 $\sigma \left(z,\omega \right)<\delta$ ， 对于每个 $f\in F$ 满足

$\sigma \left(\left(L_f^{-1}\circ f\right)\left(z\right),\left(L_f^{-1}\circ f\right)\left(\omega \right)\right)\le \frac{\epsilon }{k_{\epsilon }}$ 。

因此，当 $\sigma \left(z,\omega \right)<\delta$ ，每个 $f\in F$ 满足

$\begin{array}{c}\sigma \left(f\left(z\right),f\left(\omega \right)\right)=\sigma \left(\left(L_f\circ L_f^{-1}\circ f\right)\left(z\right),\left(L_f\circ L_f^{-1}\circ f\right)\left(\omega \right)\right)\\ \le k_{\epsilon }\sigma \left(\left(L_f^{-1}\circ f\right)\left(z\right),\left(L_f^{-1}\circ f\right)\left(\omega \right)\right)<\epsilon \end{array}$

即F在z处也等度连续。因此F在区域D内正规。

定理1证明完毕。

定理2的证明：

在条件(2)下，存在非零常数a，b有 $\frac{b_f}{a_f}=\frac{b}{a}$ 相对于f独立。Mobius变换： $L_f\left(z\right)=\frac{a_f}{a}z$ ，其逆变换 $L_f^{-1}\left(z\right)=\frac{a}{a_f}z$ 。接下来证明函数族 $G=\left\{L_f^{-1}\circ f|f\in F\right\}$ 在D内正规。

不妨设区域D是单位圆D，假设G在单位圆D内不正规，则由引理1知，存在子列 $\left\{g_j=L_{f_j}^{-1}\circ f_j\right\}\subset G$ ， $\left\{f_j\right\}\subset F$ ， $\left\{z_j\right\}\subset \Delta$ ，列 $\left\{{\rho }_j\right\}$ 满足 ${\rho }_j\to 0$ ，使得 $T_j\left(\xi \right)={\rho }_j^{-k}{g}_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)$ 在复平面 $ℂ$ 上按球距内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数T，且T的零点重级至少为 $k+1$ 。

我们断言：

2.1 $T^{\left(k\right)}\left(\xi \right)\ne b$ ；

2.2 T没有单重极点。

断言2.1的证明：假设存在一点 ${\xi }_0\in ℂ$ ，使 $T^{\left(k\right)}\left({\xi }_0\right)=b$ ，则 $T^{\left(k\right)}$ 不恒等于b。否则T为k次多项式。这与T的零点重级 $\ge k+1$ 矛盾。由于 $T^{\left(k\right)}\left({\xi }_0\right)=b$ 且 $T^{\left(k\right)}$ 不恒等于b，故由Hurwitz定理知，存在 ${\xi }_j$ ， ${\xi }_j\to {\xi }_0$ ，使得当 $j\to \infty$ 时，

$T_j^{\left(k\right)}\left({\xi }_j\right)=g_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=\frac{a}{a_{f_j}}{f}_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=b$ ，

$f_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=b_{f_j}$ 。

由 $f_j=a_{f_j}\iff f_j^{\left(k\right)}=b_{f_j}$ ，得 $f_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=a_{f_j}$ ，从而

$T_j\left({\xi }_j\right)=\frac{g_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)}{{\rho }_j^k}=\frac{a}{a_{f_j}{\rho }_j^k}{f}_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=\frac{a}{{\rho }_j^k}$

$T\left({\xi }_0\right)=\underset{j\to \infty }{\lim }{T}_j\left({\xi }_j\right)=\underset{j\to \infty }{\lim }\frac{a}{{\rho }_j^k}=\infty$

这与 $T^{\left(k\right)}\left({\xi }_0\right)=b$ 矛盾，所以断言2.1成立。

断言2.2的证明：设 $T\left({\xi }_0\right)=\infty$ 。由于T不恒等于¥，则存在闭圆 $\bar{\Delta }\left({\xi }_0,\delta \right)$ ，使得当 $j\to \infty$ 时， $\frac{1}{T}$ 和 $\frac{1}{T_j}$ 在圆上全纯，且 $\frac{1}{T_j}$ 一致收敛于 $\frac{1}{T}$ 。所以在 $\bar{\Delta }\left({\xi }_0,\delta \right)$ 上， $\frac{1}{T_j\left(\xi \right)}-\frac{{\rho }_j^k}{a}$ 一致收敛于 $\frac{1}{T}$ 。又由于 $\frac{1}{T}$ 不是常数，所以存在 ${\xi }_j$ ， ${\xi }_j\to {\xi }_0$ ，使得当 $j\to \infty$ 时有 $\frac{1}{T_j\left({\xi }_j\right)}-\frac{{\rho }_j^k}{a}=0$ ，于是有

$g_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=\frac{a}{a_{f_j}}{f}_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=a$ ， $f_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=a_{f_j}$ 。

从而，

$\begin{array}{l}{f}_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=b_{f_j},\\ g_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=\frac{a}{a_{f_j}}{f}_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=b,\\ T_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=g_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=b\end{array}$ (1)

若 $k=1$ ，则由(1)得

$\begin{array}{c}{{\left(\frac{1}{T\left(\xi \right)}\right)}^{\prime }|}_{\xi ={\xi }_0}=-\frac{T^{\prime }\left({\xi }_0\right)}{T^2\left({\xi }_0\right)}=\underset{j\to \infty }{\lim }\left[-\frac{{T^{\prime }}_j\left({\xi }_j\right)}{T_j^2\left({\xi }_j\right)}\right]=\underset{j\to \infty }{\lim }\left[-\frac{b}{T_j^2\left({\xi }_j\right)}\right]\\ =\underset{j\to \infty }{\lim }\frac{-b{\rho }_j^{2k}}{a^2}=\frac{-b}{a^2}\underset{j\to \infty }{\lim }{\rho }_j^{2k}=0\end{array}$

因此 ${\xi }_0$ 为 $T\left(\xi \right)$ 的重极点。所以T没有单重极点。

类似地，若 $k=2$ ，则由(1)得

$\begin{array}{c}{{\left(\frac{1}{T\left(\xi \right)}\right)}^{\prime \text{}\prime }|}_{\xi ={\xi }_0}=0=-\frac{T^{″}\left({\xi }_0\right)}{T^2\left({\xi }_0\right)}+2\frac{{\left[T^{\prime }\left({\xi }_0\right)\right]}^2}{T^3\left({\xi }_0\right)}=\underset{j\to \infty }{\lim }\left[-\frac{{T^{″}}_j\left({\xi }_j\right)}{T_j^2\left({\xi }_j\right)}+2\frac{{\left[{T^{\prime }}_j\left({\xi }_j\right)\right]}^2}{T_j^3\left({\xi }_j\right)}\right]\\ =\underset{j\to \infty }{\lim }\left[-\frac{{T^{″}}_j\left({\xi }_j\right)}{T_j^2\left({\xi }_j\right)}\right]+2\underset{j\to \infty }{\lim }\frac{{\left[{T^{\prime }}_j\left({\xi }_j\right)\right]}^2}{T_j^3\left({\xi }_j\right)}=2\underset{j\to \infty }{\lim }\left\{{\left[-\frac{{T^{\prime }}_j\left({\xi }_j\right)}{T_j^2\left({\xi }_j\right)}\right]}^2\cdot T_j\left({\xi }_j\right)\right\}\end{array}$ (2)

由于 $\underset{j\to \infty }{\lim }{g}_j\left({\xi }_j\right)=\infty$ ，于是由(2)得

$\underset{j\to \infty }{\lim }{\left[-\frac{{T^{\prime }}_j\left({\xi }_j\right)}{T_j^2\left({\xi }_j\right)}\right]}^2=0$

所以 ${{\left(\frac{1}{T\left(\xi \right)}\right)}^{\prime }|}_{\xi ={\xi }_0}=0$ 。因此 ${\xi }_0$ 为 $T\left(\xi \right)$ 的重极点，故T没有单重极点。

若 $k\ge 3$ ，由归纳法可得

${\left(\frac{1}{T}\right)}^{\left(k\right)}=-\frac{T^{\left(k\right)}}{T^2}+k!\frac{{\left(T^{\prime }\right)}^k}{T^{k+1}}+{\displaystyle \underset{0\le i\le k-2}{\sum }{A}_i{T}^i}$ (3)

其中 $A_i$ 是 ${\left(\frac{1}{T}\right)}^{\prime },{\left(\frac{1}{T}\right)}^{\prime \text{}\prime },\cdots ,{\left(\frac{1}{T}\right)}^{\left(k-1\right)}$ 的多项式。

因此由(1)和(3)得

$\begin{array}{c}{{\left(\frac{1}{T\left(\xi \right)}\right)}^{\left(k\right)}|}_{\xi ={\xi }_0}={\underset{j\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{T_j\left(\xi \right)}\right)}^{\left(k\right)}|}_{\xi ={\xi }_j}\\ =\underset{j\to \infty }{\lim }\left[-\frac{T_j{}^{\left(k\right)}\left({\xi }_j\right)}{T_j^2\left({\xi }_j\right)}+k!\frac{{\left({T^{\prime }}_j\left({\xi }_j\right)\right)}^k}{T_j^{k+1}\left({\xi }_j\right)}+{\displaystyle \underset{0\le i\le k-2}{\sum }{A}_i{T}_j^i}\left({\xi }_j\right)\right]\\ =\underset{j\to \infty }{\lim }\left[k!\frac{{\left({T^{\prime }}_j\left({\xi }_j\right)\right)}^k}{T_j^{k+1}\left({\xi }_j\right)}+{\displaystyle \underset{1\le i\le k-2}{\sum }{A}_i{T}_j^i}\left({\xi }_j\right)\right]+A_0\left({\xi }_0\right)\\ =\underset{j\to \infty }{\lim }\left[k!{\left(-\frac{{T^{\prime }}_j\left({\xi }_j\right)}{T_j^2\left({\xi }_j\right)}\right)}^k{\left(-1\right)}^k{T}_j^{k-1}\left({\xi }_j\right)+{\displaystyle \underset{1\le i\le k-2}{\sum }{A}_i{T}_j^{i-1}}\left({\xi }_j\right)\right]T_j\left({\xi }_j\right)+A_0\left({\xi }_0\right)\end{array}$ (4)

由于 $\underset{j\to \infty }{\lim }{T}_j\left({\xi }_j\right)=\infty$ ，于是由(4)得

$\underset{j\to \infty }{\lim }\left[k!{\left(-\frac{{T^{\prime }}_j\left({\xi }_j\right)}{T_j^2\left({\xi }_j\right)}\right)}^k{\left(-1\right)}^k{T}_j^{k-1}\left({\xi }_j\right)+{\displaystyle \underset{1\le i\le k-2}{\sum }{A}_i{T}_j^{i-1}}\left({\xi }_j\right)\right]=0$

类似地可得

$\underset{j\to \infty }{\lim }\left[k!{\left(-\frac{{T^{\prime }}_j\left({\xi }_j\right)}{T_j^2\left({\xi }_j\right)}\right)}^k{\left(-1\right)}^k{T}_j^{k-2}\left({\xi }_j\right)+{\displaystyle \underset{2\le i\le k-2}{\sum }{A}_i{T}_j^{i-2}}\left({\xi }_j\right)\right]=0$

如此进行下去，可得

$\underset{j\to \infty }{\lim }{\left[-\frac{{T^{\prime }}_j\left({\xi }_j\right)}{T_j^2\left({\xi }_j\right)}\right]}^k=0$

即得 ${{\left(\frac{1}{T\left(\xi \right)}\right)}^{\prime }|}_{\xi ={\xi }_0}=0$ ，从而 ${\xi }_0$ 为 $T\left(\xi \right)$ 的重极点。因而T没有单重极点，所以断言2.2成立。

由引理3知，T是有理函数。若T是多项式，则由T的零点重级 $\ge k+1$ 及断言2.1可知，T是常数，矛盾；若T不是多项式，则由T的零点重级 $\ge k+1$ ，断言2.1及引理4可知，T有一个单极点，与T没有单极点矛盾。

因此G在D内正规，G在D内等度连续。由条件(1)知：

$\begin{array}{c}\epsilon \le \min \left\{\sigma \left(a_f,b_f\right),\sigma \left(a_f,c_f\right),\sigma \left(b_f,c_f\right)\right\}\\ =\min \left\{\sigma \left(L_f\left(a\right),L_f\left(b\right)\right),\sigma \left(L_f\left(a\right),L_f\left(c\right)\right),\sigma \left(L_f\left(b\right),L_f\left(c\right)\right)\right\}\end{array}$

由引理2，可知 $L_f$ 满足Lipschitz’s条件 $\sigma \left(L\left(z\right),L\left(\omega \right)\right)\le k_{\epsilon }\sigma \left(z,\omega \right)$ ，其中 $k_{\epsilon }$ 为取决于e的常数。

取一点 $z\in D$ ，对于任意 $\epsilon >0$ ，T在 $z\in D$ 等度连续，存在 $\delta >0$ ，当 $\omega \in D$ 满足 $\sigma \left(z,\omega \right)<\delta$ ， 对于每个 $f\in F$ 满足

$\sigma \left(\left(L_f^{-1}\circ f\right)\left(z\right),\left(L_f^{-1}\circ f\right)\left(\omega \right)\right)\le \frac{\epsilon }{k_{\epsilon }}$

因此当 $\sigma \left(z,\omega \right)<\delta$ 时任一 $f\in F$ 满足

$\begin{array}{c}\sigma \left(f\left(z\right),f\left(\omega \right)\right)=\sigma \left(\left(L_f\circ L_f^{-1}\circ f\right)\left(z\right),\left(L_f\circ L_f^{-1}\circ f\right)\left(\omega \right)\right)\\ \le k_{\epsilon }\sigma \left(\left(L_f^{-1}\circ f\right)\left(z\right),\left(L_f^{-1}\circ f\right)\left(\omega \right)\right)<\epsilon \end{array}$

即F在z处也等度连续。因此F在区域D内正规。

定理2证明完毕。

致谢

感谢评审专家对论文提出的宝贵意见。

NOTES

^*通讯作者。