(k,k-1)-双正则可图序列的公平划分

Judicious Balanced Bipartitions of (k,k-1)-Biregular Graphic Degree Sequence

摘要: 设π= （d₁,d₂,…,d_n）是非负整数序列，π₁,π₂是将π的所有元素划分为两部分后的两个子序列。如果-1≤|π₁|-| π₂|≤1，则称π₁ π₂ 是π的一个平衡二部划分，其中|π_i|(i=1,2)表示 π_i中的元素数目。设k和m是两个正整数，π= (k^m,(k-1)^m)是双正则可图序列。本文确定了 Ψ_max(π)的值和Ψ_min(π)的值。。

Abstract: Let π= （d₁,d₂,…,d_n be a graphic sequence of nonnegative integers and π₁,π₂ are two sequences that are obtained by partitioning the elements of π into two sets. A balanced bipartition of π is a bipartition π₁,π₂ such that -1≤|π₁|-| π₂|≤1, where |π_i|(i=1,2) is denoted to the number of elements of π_i. In this paper, let k and m be positive integers, we determine the values Ψ_max(π) and Ψ_min(π) of (k,k-1)-biregular graphic sequence π= (k^m,(k-1)^m).

1. 引言

本文中只限于讨论有限简单图。未给出的定义请参照文献 [1] 。设G和H是简单图，图 $G+H$ 表示G与H的和，其顶点集为 $V\left(G+H\right)=V\left(G\right)\cup V\left(H\right)$ ，其边集为 $E\left(G+H\right)=E\left(G\right)\cup E\left(H\right)$ 。

设 $V_1,V_2$ 是图G的一个二部划分，如果 $-1\le \left|V_1\right|-\left|V_2\right|\le 1$ ，则称 $V_1,V_2$ 是G的一个二部平衡划分。对于 $i=1,2$ ， $e\left(V_i\right)$ 表示两个端点都在 $V_i$ 中的边的数目， $e\left(V_1,V_2\right)$ 表示两个端点分别在顶点子集 $V_1,V_2$ 中的边数。通常 $e\left(V_1,V_2\right)$ 用来表示平衡二部划分的大小。图G的一个最大(最小)平衡二部划分 $V_1,V_2$ 是图G的所有平衡二部划分中 $e\left(V_1,V_2\right)$ 的值达到最大(最小)。与最大，最小平衡划分问题不同，公平划分问题是寻找图G的一个划分，使得多个分量同时进行优化。

本文将把图的公平划分问题变形到度序列的公平划分问题。

若简单图有顶点集 $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ 且 $v_i$ 的度为 $d_i\left(i=1,\cdots ,n\right)$ ，则序列 $\pi =\left(d_1,d_2,\cdots ,d_n\right)$ 称为G的度序列。记 $N{S}_n$ 为所有满足 $n-1\ge d_1\ge d_2\ge \cdots \ge d_n\ge 0$ 的整数序列的集合。如果π是某个n阶简单图G的度序列，那么称π为可图序列，且G为π的一个实现。记 $G{S}_n$ 为 $N{S}_n$ 中的所有可图序列组成的集合。在可图度序列中， $r^n$ 表示有n个r，即度序列的实现中有n个顶点的度为r。

给定可图序列π, ${\pi }_1,{\pi }_2$ 是将π的元素划分为两部分后的两个子序列。如果 $-1\le \left|{\pi }_1\right|-\left|{\pi }_2\right|\le 1$ ，则称 ${\pi }_1,{\pi }_2$ 是π的一个平衡二部划分，其中 $\left|{\pi }_i\right|\left(i=1,2\right)$ 表示 ${\pi }_i$ 中的元素数目。若G是π的一个实现， $V_1,V_2$ 是G的一个平衡二部划分且 $V_1,V_2$ 在π中的度序列分别为 ${\pi }_1,{\pi }_2$ ，则称 $V_1,V_2$ 为π的平衡二部划分 ${\pi }_1,{\pi }_2$ 的一个实现。

类似于图的“公平”划分问题，我们考虑度序列的“公平”划分问题：寻找已知可图序列π的一个平衡二部划分 ${\pi }_1,{\pi }_2$ ，使得 ${\pi }_1,{\pi }_2$ 的某个实现 $V_1,V_2$ 在π的所有平衡二部划分的所有实现下 $\min \left\{e\left(V_1\right),e\left(V_2\right)\right\}$ 达到最大或者 $\max \left\{e\left(V_1\right),e\left(V_2\right)\right\}$ 达到最小，记 ${\psi }_{\min }\left(\pi \right)=\min \left\{e\left(V_1\right),e\left(V_2\right)\right\}$ ， ${\psi }_{\max }\left(\pi \right)=\max \left\{e\left(V_1\right),e\left(V_2\right)\right\}$ 。若 $V_1{}^{\prime },V_2{}^{\prime }$ 是π的某个平衡二部划分的一个实现，显然 ${\psi }_{\min }\left(\pi \right)\ge \min \left\{e\left({V^{\prime }}_1\right),e\left({V^{\prime }}_2\right)\right\}$ ， ${\psi }_{\max }\left(\pi \right)\le \max \left\{e\left({V^{\prime }}_1\right),e\left({V^{\prime }}_2\right)\right\}$ 。

2. 主要定理及引理

定理2.1：(Erdös和Gallai [2] )设 $\pi =\left(d_1,d_2,\cdots ,d_n\right)\in N{S}_n$ 且 ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{d}_i}$ 是偶数。则 $\pi \in G{S}_n$ 当且仅当对任意整数t，

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}{d}_i\le t\left(t-1\right)}+{\displaystyle \underset{j=t+1}{\overset{n}{\sum }}\min \left\{d_i,t\right\}},1\le t\le n$

都成立。

设 $P:=\left(p_1,p_2,\cdots ,p_m\right)$ ， $Q:=\left(q_1,q_2,\cdots ,q_n\right)$ 是两个非负整数序列。如果存在一个简单二部图 $G\left[X,Y\right]$ 使得X和Y中的顶点度分别是 $\left(p_1,p_2,\cdots ,p_m\right)$ 和，那么称序列对是二部可图的，并称二部图为的一个实现。Gale [3] 和Ryser [4] 分别独立地给出了关于二部可图序列的刻划定理。

定理2.2：(Gale [3] , Ryser [4] ) 设和是两个非负整数序列且满足，。若，则是二部可图的当且仅当

成立。

引理2.3：(Yin和Li [5] )设，且是偶数。如果，则。

设，若，则称π是-双正则可图的。本文主要给出双正则可图序列的公平划分的上下界。

3. (k, k − 1)-双正则可图序列的公平划分的上界

定理3.1：设是一个正整数，m是4的整数倍且。那么

1) 若，则；

2) 若，则。

证明：情形(1)：。

设，，那么是π的一个平衡二部

划分。这里，

(1)

且

(2)

接下来我们比较和的大小。显然，由(1)和(2)得且

。

若，由(1)和(2)得，

；

。

据和可得

。

若，由(1)和(2)得，；

。

显然，

。

由定理2.2，是二部可图的。设是的一个实现，则G也是的一个实现且是G的一个平衡二部划分。因此，。

故，，且。

情形(2)：。

设，。由于是偶数，所以的度和为偶数。由引理2.3知，。设是的一个实现且，

。令。容易验证G是π的一个实现，且

。

证毕。

4. (k, k-1)-双正则可图序列的公平划分的下界

定理4.1：设是一个正整数，m是4的整数倍且。那么

1) 若，则；

2) 若，则。

证明：情形(1)：。

设，，则是π的一个平衡二部划分。由于是偶数，所以的度和为偶数。又由引理2.3可得，。设是的一个实现且

，令。容易验证G是π的一个实现，是G的一个平衡二部划分且

。

情形(2)：。显然。

设，。这里，

(3)

且

(4)

接下来我们比较和的大小。显然，由(3)和(4)得且

。

若，由(3)和(4)得，

；

。

据和可知

若，由(3)和(4)得，；

。

显然，

。

由定理2.2，是二部可图的。设是的一个实现，且。令，则G是的一个实现且是G的一个平衡二部划分。故，

。

因此，，。证毕。

基金项目

海南省自然科学基金(No. 20161003, 20161002)；国家自然科学基金(No. 11601108)。