PM  >> Vol. 8 No. 3 (May 2018)

    积分因子存在性的充要条件及其应用
    The Necessary and Sufficient Condition for the Existence of Integrating Factors with Its Application

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作者:  

孔志宏:太原师范学院数学系,山西 晋中

关键词:
积分因子恰当微分方程任意可微函数分组求积分因子Integrating Factors Exact First-Order Differential Equations Arbitrary Differentiable Functions Integrating Factors for Grouping

摘要:

给出了积分因子存在性的充要条件及证明,举例说明了它的应用。

In this paper, we give the necessary and sufficient condition for the existence of integrating factors and their proof. Meanwhile, some examples are given for its application.

1. 引言

用积分因子的观点可以统一各种一阶微分方程的初等积分法,也就是说,在理论上,积分因子法可以代替各种一阶微分方程的初等解法。

定理1 (积分因子的存在性定理)如果微分方程

M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 (1)

有通解 u ( x , y ) = c ,那么它就总有一个积分因子 μ = μ ( x , y ) ,同时 μ φ ( u ) 也都是方程(1)的积分因子,并且(1)的积分因子必具有 μ φ ( u ) 的形式,其中 φ ( u ) 是u的任意一个可微函数。

2. 定理的证明

由于方程(1)有通解 u ( x , y ) = c ,则有

u x d x + d y u y = 0 (2)

于是

d y d x = u x / u y . (3)

而(1)可改写为

d y d x = M N (4)

比较(3)与(4),可得。

u x / u y = M N ,

u x / M = u y / N .

把这个相等的比记作 μ ( x , y ) ,即有

u x = μ M , u y = μ N .

μ ( x , y ) 乘以(1)两端,得

μ M d x + μ N d y = 0 ,

u x d x + u y d x = 0 ,

这是一个恰当微分方程。又因

y [ μ φ ( u ) M ] = φ ( u ) ( u M ) y + μ M φ ( u ) u y = φ ( u ) ( u M ) y + μ M φ ( u ) μ N = φ ( u ) ( u M ) y + μ 2 M N φ ( u ) (5)

y [ μ φ ( u ) N ] = φ ( u ) ( u N ) x + μ N φ ( u ) u x = φ ( u ) ( u N ) x + μ N φ ( u ) μ M = φ ( u ) ( u N ) x + μ 2 M N φ ( u ) (6)

( u M ) y = ( u N ) x ,

比较(5)与(6),便得到

y [ μ φ ( u ) M ] = x [ μ φ ( u ) N ] .

这就证得了 μ φ ( u ) 也都是方程(1)的积分因子。

反之,设 μ ¯ ( x , y ) 也是方程(1)的积分因子,则同时有

μ M d x + μ N d y = d u μ ¯ M d x + μ ¯ N d y = d v ,

其中 v = v ( x , y ) u ( x , y ) 类似,即

μ M = u x , μ N = u y , μ ¯ M = v x , μ ¯ N = v y

由于雅可比行列式

( u , y ) ( x , y ) = | u x u y ν x ν y | = | μ M μ N μ ¯ M μ ¯ N | 0

u x u y = μ M μ N 0 ,

所以函数 u ( x , y ) v ( x , y ) 彼此相关,可表示为

v ( x , y ) = ψ ( u ( x , y ) ) .

于是

μ ¯ ( M d x + N d y ) = d v = d ψ ( u ) = ψ ( u ) d u = ψ ( u ) μ ( M d x + N d y ) ,

从而 μ ¯ = μ ψ ( u ) 。记 ψ ( u ) = φ ( u ) ,则 μ ¯ = μ φ ( u ) 。这就证得了方程(1)的其它积分因子必具有 μ φ ( u ) 的形式。

3. 应用举例

例1 [1] 设 μ 1 ( x , y ) , μ 2 ( x , y ) 是方程(1)的两个积分因子,且 μ 1 μ 2 常数,求证 μ 1 μ 2 = c (任意常数)是方程(1)的通解。

证明 已知 μ 2 是方程(1)的一个积分因子,则相应地有一个可微函数u,使得

μ 2 ( M d x + N d y ) = d u ,

u ( x , y ) = c (任意常数)为方程(1)的通解。根据上述定理知 μ 1 = μ 2 φ ( u ) ,其中 φ ( t ) 是t的可微函数,于是

μ 1 μ 2 = φ ( u ) . (7)

由(7),则 μ 1 μ 2 = c (任意常数)就等价于 φ ( u ) = c (任意常数)。从而

0 d φ ( u ) φ ( u ) d u φ ( u ) μ 2 ( M d x + N d y ) .

μ 2 0 φ ( u ) 不恒为常数,即 φ ( u ) 0 ,故 M d x + N d y 0 ,即对 φ ( u ) = c 微分后推导出 M d x + N d y 0 。这说明由 φ ( u ) = c (任意常数)所确定的y与x的关系式是方程(1)的解,故 μ 1 μ 2 = c (任意常数)是(1)的通解。

例2 [1] 齐次微分方程 M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 x M + y N 0 时有积分因子 μ = 1 x M + y N ,假设该微分方程还是恰当的,试证它的通解可表为 x M ( x , y ) + y N ( x , y ) = c (c为任意常数)。

证明 所给方程是恰当的,即它的积分因子为1。根据例1的结果,则

x M ( x , y ) + y N ( x , y ) = c

是所给方程的通解,这里c为任意常数。

例3 [1] 求解方程

x ( 4 y d x + 2 x d y ) + y 3 ( 3 y d x + 5 x d y ) = 0.

解:对第一组,有

x ( 4 y d x + 2 x d y ) = x [ ( 2 y d x + 2 x d y ) + 2 x d y ] = x [ 2 d ( x y ) + 2 y d x ] = 2 x d ( x y ) + 2 x y d x = d ( 2 x 2 y )

则其积分因子和二元函数如下:

μ 1 = 1 , u 1 = 2 x 2 y .

对第二组,有

y 3 ( 3 y d x + 5 x d y ) = 3 y 4 d x + 5 x y 3 d y .

易见它有一个积分因子 μ 2 = 1 x y 4 ,相乘后得

3 x d x + 5 y d y = 3 d ( ln | x | ) + 5 d ( ln | y | ) = d ( ln | x 3 y 5 | ) ,

相应地有 u 2 = 1 n | x 3 y 5 | 。根据积分因子的存在性定理,可以考虑选择适当的可微函数 φ φ ˜ ,使得

1 φ ( 2 x 2 y ) = 1 x y 4 φ ˜ ( ln | x 3 y 5 | ) .

φ ( 2 x 2 y ) = 2 x 2 y φ ˜ ( ln | x 3 y 5 | ) = 2 x 3 y 5 ,则得到原方程的一个积分因子 μ = 2 x 2 y 。用它乘原方程两边,得

2 x 2 y d ( 2 x 2 y ) + 6 x 2 y 5 d x + 10 x 3 y 4 d y = 0.

1 2 d ( 2 x 2 y ) 2 + 2 y 5 d x 3 + 2 x 3 d y 5 = d ( 2 x 4 y 2 ) + d ( 2 x 2 y 5 ) = d ( 2 x 4 y 2 + 2 x 3 y 5 ) = 0 ,

原方程的通解为

x 4 y 2 + x 3 y 5 = c ,

这里c是任意常数。

例4 [2] 求解方程

( x 3 y 2 y 2 ) d x + x 4 d y = 0.

解 将方程改写为

( x 3 y d x + x 4 d y ) + ( 2 y 2 d x ) = 0 ,

x 3 ( y d x + x d y ) + ( 2 y 2 d x ) = 0. (8)

第一组有积分因子 μ 1 = 1 x 3 和原函数 u 1 = x y ;第二组有积分因子 μ 2 = 1 2 y 2 和原函数 u 2 = x 。现在要寻找可微函数 φ φ ˜ ,使得

1 x 3 φ ( x y ) = 1 2 y 2 φ ˜ ( x ) .

φ ( x y ) = 1 ( x y ) 2 φ ˜ ( x ) = 2 x 5 ,则得到原方程的一个积分因子

μ = μ ( x , y ) = 1 x 5 y 2 .

用它乘以改写后的方程(8),得

1 x 2 y 2 d ( x y ) 2 x 5 d y = 0 ,

d ( 1 x y ) + d ( 1 2 x 4 ) = 0 ,

d ( 1 x y + 1 2 x 4 ) = 0.

因此,原方程的通解为

1 x y + 1 2 x 4 = c ,

这里c为任意常数。此外, y = 0 也是原方程的一个解。

文章引用:
孔志宏. 积分因子存在性的充要条件及其应用[J]. 理论数学, 2018, 8(3): 215-220. https://doi.org/10.12677/PM.2018.83027

参考文献

[1] 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 等. 常微分方程[M]. 第3版. 北京: 高等教育出版社, 2006: 61.
[2] 丁同仁, 李承治. 常微分方程[M]. 第2版. 北京: 高等教育出版社, 2004: 49-50.