AAM  >> Vol. 7 No. 5 (May 2018)

    无穷维恒等算子的Kolmogorov n-宽度
    Kolmogorov n-Width of Infinite Dimension Identity Operator

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作者:  

王桐心,陆文静,韩永杰,梁 柳:西华大学理学院,四川 成都

关键词:
无穷维恒等算子Kolmogorov n-宽度序列空间渐近阶Infinite Dimension Identity Operator Kolmogorov n-Width Sequence Space Asymptotic Degree

摘要:

本文讨论了无穷维恒等算子的Kolmogorov n-宽度,并计算了其精确渐近阶。

In this paper, we study the Kolmogorov n-width of infinite dimension identity operator, and obtain its asymptotic degree.

1. 引言及主要结果

宽度理论是函数逼近论的重要内容之一,也是国内外研究的热点之一,它与计算复杂性有着密切的联系 [1] 。宽度问题是A. N. Kolmogorov [2] 在1936年首次提出的一个概念,并给出了Sobolev函数类 B 2 r L 2 上的Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶。1954 年,S. R. Stechkin [3] 研究了在 p = 1 , q = 2 特殊情况下有限维空间的 Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶与线性n-宽度的精确渐近阶。1960年,V. M. Tikhomirov [4] 给出了宽度 d n ( B r ) 的精确渐近阶。此后两年,A. Pietsch [5] 和 M. I. Stein [6] 研究了在一般情形下, p q 时 Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶与线性n-宽度的精确渐近阶。1974年,Ismagilov [7] 研究了当 q > p 时的精确渐近阶估计。1985年,Pinkus [8] 给出了有限维恒等算子的Kolmogorov n-宽度。本文主要讨论无穷维恒等算子的Kolmogorov n-宽度。首先,介绍Kolmogorov n-宽度的定义。

定义1.1. 设W为赋范线性空间 ( Z , ) 的一非空子集, n = 0 , 1 , 2 , ,称

d n ( W , Z ) = inf F n sup x W inf y F n x y

为W在Z中的Kolmogorov n-宽度,其中 F n 取遍Z中的维数不超过n的所有线性子空间。

定义1.2. 设 X , Y 为两个赋范线性空间,其范数分别为 · X · Y ,T是X到Y的有界线性算子, n = 0 , 1 , 2 , ,称

d n ( T : X Y ) = d n ( T ( B z ) , Y ¯ )

为算子T的Kolmogorov n-宽度,其中 B X 表示X的单位球,即 B X : = { x X | x X 1 } .

关于Kolmogorov n-宽度的一些重要性质可参见Pinkus [8] 的专著《n-width in Approximation Theory》。特别地,Pinkus在这本专著讨论了有限维恒等算子的Kolmogorov n-宽度,并得到了精彩的结果。本文将继续这一工作,讨论无限维恒等算子的Kolmogorov n-宽度。为此,继续介绍有关概念。

1 p ,对任一实序列 x = { x n } n = 1 ,令

x l p = { ( n = 1 | x n | p ) 1 / p , 1 p < sup n 1 | x n | , p =

l p 表示满足条件 x l p < 的实序列x所构成的集合。众所周知, · l p l p 上的一个范数。而且 l p 是一个Banach空间。易见, l p 空间具有如下性质:

1) l p l q ( 1 p q )

2) l p l q ( 1 q < p )

因此无穷维恒等算子I是从 l p ( 1 p q ) 的有界线性算子,而不是 l p l q ( 1 q < p ) 的算子。

对于 1 p , r > 0 , x = { x n } n = 1 l p ,令

x r : = { n r x n } n = 1 x l p , r = x ( r ) l p

l p , r : = { x l p | x l p , r < }

则易见 · l p , r l p , r 上的范数,且 l p , r 为Banach空间。用 B p , r 表示 l p , r 中的单位球。

1 q < p r > 1 q 1 p ,( p = 时,记 1 p = 0 )。对任意的 x = { x n } l p , r ,由Hölder不等式有

x l q { x l p . r ( n = 1 n p r p q ) 1 q 1 p < , 1 q < p < x l p . r ( n = 1 n r q ) 1 q < , p =

因此 x l q 。从而无穷维恒等算子 ( 1 q < p , r > 1 q 1 p )

I p , q : l p , r l q

x x

l p , r l q 的有界线性算子。

本文利用离散化的方法讨论了无穷维恒等算子 I p , q ( 1 q < p ) 的Kolmogorov n-宽度,并得到其精确渐近阶。这就是本文的主要结果,即

定理1. 设 1 q < p < r > 1 q 1 p n = 0 , 1 , 2 ,

d n ( I p , q : l p , r l q ) n ( r 1 q + 1 p )

其中,符号“ ”的定义如下:假设 c i , i = 0 , 1 , 是和参数 p , q , r 有关的非负常数。对两个正函数 a ( y ) b ( y ) , y D ,如果存在正常数 c 1 满足条件 a ( y ) c 1 b ( y ) ,则记 a ( y ) b ( y ) 。若存在正常数 c 2 满足条件 c 2 a ( y ) b ( y ) ,则记 a ( y ) b ( y ) ,若 a ( y ) b ( y ) a ( y ) b ( y ) ,则记 a ( y ) b ( y )

2. 主要结果的证明

为了证明定理1,首先讨论有限维空间的Kolmogorov n-宽度。令

m = { x = ( x 1 , , x m ) | x i R , i = 1 , , m }

1 p x = ( x 1 , , x m ) m 。令

x l p m = { ( n = 1 m | x n | p ) 1 / p , 1 p < , max 1 n m | x n | , p =

· l p m m 上的范数。用 l p m 表示 m 按照范数 · l p m 所构成的Banach空间。用 B p m 表示 l p m 中的单位球。易见 { e n } n = 1 m l p m 的基,其中 e n = ( 0 , , 0 , 1 , 0 , , 0 ) m (第n个分量为1,其余分量为0)。

引理1. [8] 设 1 q < p n = 0 , 1 , 2 , ,则

d n ( B p m , l q m ) = { ( m n ) 1 q 1 p , 0 n m 0 , n > m

下面建立估计定理1上界的离散化定理。首先介绍一些记号。

k ,其中 = { 1 , 2 , } ,记 S k = { n N | 2 k 1 n < 2 k } 。则对任意的 k , k ,且 S k S k = = k = 1 S k 。用 m k 表示 S k 中元素的个数,则 m k = | S k | = 2 k 1

以下我们总是假设 1 p < 。用 e n 表示第n个分量为1,其余分量为0的无穷维实序列,则 { e n } n = 1 l p ( 1 p < ) 的Schauder基。从而对 x = { x n } l p ,有 x = n = 1 x n e n

k ,记 F k = s p a n { e n | n S k } ,则 dim F k = m k = 2 k 1 。令

I k : F k R m k

x = n S k x n e n j = 1 m x 2 k 1 + j 1 e 2 k 1 + j 1

则对 x = n S k x n e n F k ,有

x l p , r = ( n S k | n r x n | p ) 1 / p ( n S k | 2 r k x n | p ) 1 / p = 2 r k ( n S k | x n | p ) 1 / p = 2 r k I k x l p m k (2.1)

x l p = ( n S k | x n | p ) 1 / p = I k x l p m k . (2.2)

从而 I k l p F k l p m k 上的等距同构映射。

引理2. 设 1 q < p < r > 1 q 1 p ,非负整数序列 { n k } k = 1 满足 0 n k m k ,且 k = 1 n k n 。则

d n ( B p , r , l q ) n = 1 2 r k d n k ( B p m k , l q m k ) .

证明:对 k ,由(2.1)知,对 x B l p , r F k ,有

1 x l p , r 2 r k I k x l p m k

y F k ,由(2.2)知

y l q = I k y l q m k

所以

d n k ( B p , r F k , l q F k ) 2 r k d n k ( B p m k , l q m k )

由Kolmogorov n-宽度的定义知,存在 l q F k 的一个维数不超过 n k 的线性子空间 M k 使得

sup x B p , r F k inf y M k x y l q 2 r k d n k ( B p m k , l q m k )

M = k = 1 M k (直和)。则M为 l q 的线性子空间,且

dim M k = 1 dim M k k = 1 n k n .

从而

d n ( B p , r , l q ) sup x B p , r inf y M x y l q k = 1 sup x B p , r F k inf y M k x y l q k = 1 2 r k d n k ( B p m k , l q m k )

下面引理3是估计定理1下界的离散化定理。

引理3. 令 1 q < p < , r > 1 q 1 p , n = 0 , 1 , 2 , ,则

d n ( B p , r , l q ) 2 r k d n ( B p m k , l q m k )

其中 n 2 k 2 n

证明:对 x B p m k ,则由(2.1)有

1 x l p m k 2 r k I k 1 x l p , r

y l q m k ,则由(2.2)有

y l q m k = I k 1 y l q

所以

d n ( B p , r , l q ) d n ( B p , r F k , l q F k ) 2 r k d n ( B p m k , l q m k )

定理1的证明:

由定义1.1及定义1.2和无穷维恒等算子 I p , r 的定义,易见 d n ( I p , q : l p , r l p ) = d n ( B p , r , l q )

首先估计定理1的上界。

k ,令 k = [ lg n ]

n k = { m k , 1 k < k 2 k 2 β ( k k ) , k k

其中, 0 < β < 1 ,易见 { n k } 满足引理2的条件。

由引理2和引理1有

d n ( I p , q : l p , r l q ) n = 1 2 r k d n k ( B p m k , l q m k ) = k = k 2 r k d n k ( B p m k , l q m k ) k = k 2 r k 2 ( 1 q 1 p ) k = k = k 2 ( r 1 q + 1 p ) k 2 ( r 1 q + 1 p ) k n ( r 1 q + 1 p )

估计定理1的下界。

取满足引理3中条件的k,则由引理3和引理1有

d n ( I p , q : l p , r l q ) 2 r k d n ( B p m k , l q m k ) 2 r k n 1 q 1 p n ( r 1 q + 1 p )

综上,定理1得证。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(项目编号:15233593)。

文章引用:
王桐心, 陆文静, 韩永杰, 梁柳. 无穷维恒等算子的Kolmogorov n-宽度[J]. 应用数学进展, 2018, 7(5): 519-524. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.75063

参考文献

[1] Traub, J.F. Wasilkowski, G.W. and Wozniakowski, H. (1988) Information-Based Complexity. Academic Press, Boston, 1988.
[2] Kolmogorov, A.N. (1936) Uber die deste Annaherung yon funktionen einer gegebenen funktioneklasse. Annals of Mathematics, 37, 107-111. 〈br/〉https://doi.org/10.2307/1968691
[3] Stechkin, S.R. (1954) On Best Approximation of Given Classes of Functions by Arbitrary Polynomials. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 9, 133-134. (In Russian)
[4] Tikhomirov, V.M. (1960) Diameters of Sets in Function Spaces and the Theory of Best Approximations. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 15, 81-120.
[5] Pietsch, A. (1974) s-Numbers of Operators in Banach Spaces. Studia Mathematica, 51, 201-223. 〈br/〉https://doi.org/10.4064/sm-51-3-201-223
[6] Stesin, M.I. (1975) Aleksandrov Widths of Finite—Dimensional Sets and Classes of Smooth Functions. Doklady Akademii Nauk, 220, 1278-1281.
[7] Ismagilov, R.S. (1974) Widths of Sets in Normed Linear Spaces and Approximation of Functions by Trigonometric Polynomials. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 29, 161-178.
[8] Pinkus, A. (1985) n-Widths in Approximation Theory. Springer, Berlin.