1. 引言及主要结果
宽度理论是函数逼近论的重要内容之一,也是国内外研究的热点之一,它与计算复杂性有着密切的联系 [1] 。宽度问题是A. N. Kolmogorov [2] 在1936年首次提出的一个概念,并给出了Sobolev函数类
到
上的Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶。1954 年,S. R. Stechkin [3] 研究了在
特殊情况下有限维空间的 Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶与线性n-宽度的精确渐近阶。1960年,V. M. Tikhomirov [4] 给出了宽度
的精确渐近阶。此后两年,A. Pietsch [5] 和 M. I. Stein [6] 研究了在一般情形下,
时 Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶与线性n-宽度的精确渐近阶。1974年,Ismagilov [7] 研究了当
时的精确渐近阶估计。1985年,Pinkus [8] 给出了有限维恒等算子的Kolmogorov n-宽度。本文主要讨论无穷维恒等算子的Kolmogorov n-宽度。首先,介绍Kolmogorov n-宽度的定义。
定义1.1. 设W为赋范线性空间
的一非空子集,
,称
为W在Z中的Kolmogorov n-宽度,其中
取遍Z中的维数不超过n的所有线性子空间。
定义1.2. 设
为两个赋范线性空间,其范数分别为
与
,T是X到Y的有界线性算子,
,称
为算子T的Kolmogorov n-宽度,其中
表示X的单位球,即
.
关于Kolmogorov n-宽度的一些重要性质可参见Pinkus [8] 的专著《n-width in Approximation Theory》。特别地,Pinkus在这本专著讨论了有限维恒等算子的Kolmogorov n-宽度,并得到了精彩的结果。本文将继续这一工作,讨论无限维恒等算子的Kolmogorov n-宽度。为此,继续介绍有关概念。
设
,对任一实序列
,令
表示满足条件
的实序列x所构成的集合。众所周知,
为
上的一个范数。而且
是一个Banach空间。易见,
空间具有如下性质:
1)
2)
因此无穷维恒等算子I是从
到
的有界线性算子,而不是
到
的算子。
对于
,令
,
和
则易见
为
上的范数,且
为Banach空间。用
表示
中的单位球。
令
,
,(
时,记
)。对任意的
,由Hölder不等式有
因此
。从而无穷维恒等算子
为
到
的有界线性算子。
本文利用离散化的方法讨论了无穷维恒等算子
的Kolmogorov n-宽度,并得到其精确渐近阶。这就是本文的主要结果,即
定理1. 设
,
,
则
其中,符号“
”的定义如下:假设
是和参数
有关的非负常数。对两个正函数
和
,
,如果存在正常数
满足条件
,则记
。若存在正常数
满足条件
,则记
,若
且
,则记
。
2. 主要结果的证明
为了证明定理1,首先讨论有限维空间的Kolmogorov n-宽度。令
设
,
。令
则
为
上的范数。用
表示
按照范数
所构成的Banach空间。用
表示
中的单位球。易见
为
的基,其中
(第n个分量为1,其余分量为0)。
引理1. [8] 设
,
,则
下面建立估计定理1上界的离散化定理。首先介绍一些记号。
对
,其中
,记
。则对任意的
,且
有
,
。用
表示
中元素的个数,则
。
以下我们总是假设
。用
表示第n个分量为1,其余分量为0的无穷维实序列,则
为
的Schauder基。从而对
,有
。
对
,记
,则
。令
则对
,有
(2.1)
且
(2.2)
从而
为
到
上的等距同构映射。
引理2. 设
,
,非负整数序列
满足
,且
。则
证明:对
,由(2.1)知,对
,有
,由(2.2)知
所以
由Kolmogorov n-宽度的定义知,存在
的一个维数不超过
的线性子空间
使得
令
(直和)。则M为
的线性子空间,且
从而
下面引理3是估计定理1下界的离散化定理。
引理3. 令
,
,
,则
其中
。
证明:对
,则由(2.1)有
对
,则由(2.2)有
所以
定理1的证明:
由定义1.1及定义1.2和无穷维恒等算子
的定义,易见
。
首先估计定理1的上界。
对
,令
,
其中,
,易见
满足引理2的条件。
由引理2和引理1有
估计定理1的下界。
取满足引理3中条件的k,则由引理3和引理1有
综上,定理1得证。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(项目编号:15233593)。