Baskakov-Kantorovich算子在紧圆盘上的同时逼近性质

Simultaneous Approximation Properties of Complex Baskakov-Kantorovich Operators in Compact Disks

摘要: 本文根据Baskakov-Kantorovich算子在复空间的定义及性质研究Baskakov-Kantorovich算子在复空间的逼近性质，得到了Baskakov-Kantorovich算子在紧圆盘上的同时逼近性质。

Abstract: In this paper, the approximation properties of the Baskakov-Kantorovich operators in the complex space are studied according to the definition and properties of the operator in the complex space. We obtain the simultaneous approximation order for complex Baskakov-Kantorovich operators attached to entire functions or to analytic functions in compact disks.

1. 引言

在复空间C上，令 $D_R:=\left\{z\in C:\left|z\right|<R,R>1\right\}$ ， $H\left(D_R\right)$ 表示 $D_R$ 上解析函数空间。

函数 $f:\left[R,+\infty \right)\cup \overline{D_R}\to C$ 在 $\left[R,+\infty \right)\cup \overline{D_R}$ 上连续，在 $D_R$ 上解析。若 $f\in H\left(D_R\right)$ ，对所有的 $z\in D_R$ ，有 $f\left(z\right)={\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_m{z}^m}$ ，其中 ${\Vert f\Vert }_r=\sup \left\{\left|f\left(z\right)\right|:\left|z\right|\le r\right\}$ 。则复的改进的Baskakov-Kantorovich型算子的定义为：

$K_n\left(f,z\right)={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{\infty }{\sum }}{v}_{n,j}\left(z\right)}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(\frac{j+t}{n+1}\right)\text{d}t},$

其中

$v_{n,j}\left(z\right)=\left(\begin{array}{c}n+j-1\\ j\end{array}\right)z^j{\left(1+z\right)}^{-n-j}.$ [1] - [10]

引理1.1 [11] ：[Cauchy积分公式]设区域D的边界是周线(或复周线) C，函数 $f\left(z\right)$ 在D内解析，在 $\bar{D}=D+C$ 上连续，则有

$f\left(z\right)=\frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle \underset{c}{\int }\frac{f\left(\xi \right)}{\xi -z}\text{d}\xi }\left(z\in D\right).$

引理1.2 [11] ：[泰勒展式]设 $f\left(z\right)$ 在区域D内解析， $a\in D$ ，只要圆 $L:\left|z-a\right|<R$ 含于D，则 $f\left(z\right)$ 在L内能展成幂级数

$f\left(z\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{c}_n}{\left(z-a\right)}^n,$

其中系数

$c_n=\frac{1}{2\text{π}i}{\displaystyle \underset{{\tau }_{\rho }}{\int }\frac{f\left(\xi \right)}{{\left(\xi -a\right)}^{n+1}}\text{d}\xi }=\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!},$

$\left({\tau }_{\rho }:\left|\xi -a\right|=\rho ,0<\rho <R;n=0,1,2,\cdots \right)$

且展式是惟一的。

定理1.1：设 $f\in H\left(D_R\right)$ 且有界于 $\left[0,+\infty \right)$ ， $f\left(z\right)={\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_m{z}^m},z\in D_R$ ，若 $1\le r<r_1<\frac{R}{2}$ ，对任意 $\left|z\right|\le r,z\ne -1$ 以及 $n,p\in N$ ，有

$\left|K_n^{\left(p\right)}\left(f,z\right)-f^{\left(p\right)}\left(z\right)\right|\le \frac{p!r_1{C}_{r_1}\left(f\right)}{n{\left(r_1-r\right)}^{p+1}},$

其中

$C_{r_1}\left(f\right)=\frac{3}{2}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|a_m\right|}m\left(m+1\right)\left(m+1\right)!{\left(2r_1\right)}^m<+\infty .$

定理1.2：设 $f\in H\left(D_R\right)$ 且有界于 $\left[0,+\infty \right)$ ， $f\left(z\right)={\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_m{z}^m},z\in D_R$ ，若 $1\le r<r_1<\frac{R}{2}$ ，对任意 $\left|z\right|\le r,z\ne -1$ 以及 $n,p\in N$ ，假设f在 $D_R$ 上不是阶小于等于 $\text{max}\left\{1,p-1\right\}$ 的多项式，当引理2.2中级数收敛时，有

${\Vert K_n^{(p)}\left(f,z\right)-f^{(p)}\left(z\right)\Vert }_r\ge \frac{1}{n}{B}_{r_1}\left(f\right),$

其中 $B_{r_1}\left(f\right)$ 依赖于f和 $r,r_1$ ，但 $n,p$ 与无关。

推论：设 $f\in H\left(D_R\right)$ 且有界于 $\left[0,+\infty \right)$ ， $f\left(z\right)={\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_m{z}^m},z\in D_R$ ，若 $1\le r<r_1<\frac{R}{2}$ ，对任意 $\left|z\right|\le r,z\ne -1$ 以及 $n,p\in N$ ，假设f在 $D_R$ 上不是阶小于等于 $\text{max}\left\{1,p-1\right\}$ 的多项式，当引理2.2中级数收敛时，有

${\Vert K_n^{\left(p\right)}\left(f,z\right)-f^{\left(p\right)}\left(z\right)\Vert }_r~\frac{1}{n}{N}_{r_1}\left(f\right),$

其中 $N_{r_1}\left(f\right)$ 依赖于f和 $r,r_1$ ，但 $n,p$ 与无关。

注：本文C表示不依赖于x或者z与n的常数，不同地方代表不同数值。

2. 重要引理

引理2.1 [12] ：设 $f\in H\left(D_R\right)$ 且有界于 $\left[0,+\infty \right)$ ， $f\left(z\right)={\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_m{z}^m},z\in D_R$ ，若 $1\le r<\frac{R}{2}$ ，对任意 $\left|z\right|\le r,z\ne -1$ 以及 $n\in N$ ，有

$\left|V_n^{\ast }\left(f,z\right)-f\left(z\right)\right|\le \frac{3}{2n}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|a_m\right|m\left(m+1\right)}\left(m+1\right)!{\left(2r\right)}^m,$

其中

$C_r\left(f\right)=\frac{3}{2}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|a_m\right|}m\left(m+1\right)\left(m+1\right)!{\left(2r\right)}^m<+\infty .$

引理2.2 [12] ：设 $f\in H\left(D_R\right)$ 且有界于 $\left[0,+\infty \right)$ ， $f\left(z\right)={\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_m{z}^m},z\in D_R$ ，若 $1\le r<\frac{R}{2}$ ，对任意 $\left|z\right|\le r,z\ne -1$ 以及 $n\in N$ ，有

$\left|V_n^{\ast }\left(f,z\right)-f\left(z\right)-\frac{1-2z}{2\left(n+1\right)}{f}^{\prime }-\frac{z\left(1+z\right)}{2\left(n+1\right)}{f}^{″}\left(z\right)\right|\le \frac{11}{n^2}{\displaystyle \underset{m=2}{\overset{\infty }{\sum }}\left|a_m\right|m}{\left(m-1\right)}^2\left(m+1\right)!{\left(2r\right)}^m,$

其中

$A_r\left(f\right)=11{\displaystyle \underset{m=2}{\overset{\infty }{\sum }}\left|a_m\right|m}{\left(m-1\right)}^2\left(m+1\right)!{\left(2r\right)}^m<+\infty .$

引理2.3 [12] ：设 $f\in H\left(D_R\right)$ 且有界于 $\left[0,+\infty \right)$ ， $f\left(z\right)={\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_m{z}^m},z\in D_R$ ，若 $1\le r<\frac{R}{2}$ ，对任意 $\left|z\right|\le r,z\ne -1$ 以及 $n\in N$ ，有

$\Vert V_n^{\ast }\left(f\right)-f\Vert \ge \frac{1}{n}{B}_r\left(f\right),$

其中 $B_r\left(f\right)$ 依赖于f和r，但与n无关。

3. 定理的证明

定理1.1的证明

证明：令 $\gamma$ 是以 $O$ 为圆心，半径 $r_1>1$ 的圆，对任意 $\left|z\right|\le r,z\ne -1$ 和 $v\in \gamma$ ，此时， $\left|v-z\right|\ge r_1-r$ ，由高阶Cauchy积分公式得

$\begin{array}{c}\left|K_n^{\left(p\right)}\left(f,z\right)-f^{\left(p\right)}\left(z\right)\right|=\frac{p!}{\text{2π}}\left|{\displaystyle \underset{\gamma }{\int }\frac{K_n\left(f,v\right)-f\left(v\right)}{{\left(v-z\right)}^{p+1}}\text{d}v}\right|\\ \le \frac{C_{r_1}\left(f\right)}{n}\cdot \frac{p!}{\text{2π}}\cdot \frac{2\text{π}{r}_1}{{\left(r_1-r\right)}^{p+1}}=\frac{p!r_1{C}_{r_1}\left(f\right)}{n{\left(r_1-r\right)}^{p+1}}.\end{array}$

命题得证。

定理1.2的证明

证明：对所有的 $v\in \gamma$ 和 $n\in N$ ，有

$\begin{array}{c}{K}_n\left(f,v\right)-f\left(v\right)=\frac{1}{n}\{\frac{1-2v}{2\left(n+1\right)}{f}^{\prime }\left(v\right)+\frac{v\left(1+v\right)}{2\left(n+1\right)}{f}^{″}\left(v\right)\\ +\frac{1}{n}\left[n^2\left(K_n\left(f,v\right)-f\left(v\right)-\frac{1-2v}{2\left(n+1\right)}{f}^{\prime }\left(v\right)-\frac{v\left(1+v\right)}{2\left(n+1\right)}{f}^{″}\left(v\right)\right)\right]\}\end{array}$

运用高阶Cauchy积分公式，可得：

$\begin{array}{l}{K}_n^{\left(p\right)}\left(f,z\right)-f^{\left(p\right)}\left(z\right)\\ =\frac{1}{n}\{\frac{p!}{2\text{π}i}{\displaystyle \underset{\gamma }{\int }\frac{\left(1-2v\right)f^{\prime }\left(v\right)}{2{\left(v-z\right)}^{p+1}}\text{d}v}+{\displaystyle \underset{\gamma }{\int }\frac{v\left(1+v\right)f^{″}\left(v\right)}{2{\left(v-z\right)}^{p+1}}\text{d}v}\begin{array}{c}\underset{}{\overset{}{}}\\ \\ \end{array}\\ +\frac{1}{n}\frac{p!}{2\text{π}i}{\displaystyle \underset{\gamma }{\int }\frac{n^2\left[\left(K_n\left(f,v\right)-f\left(v\right)-\frac{1-2v}{2\left(n+1\right)}{f}^{\prime }\left(v\right)-\frac{v\left(1+v\right)}{2\left(n+1\right)}{f}^{″}\left(v\right)\right)\right]}{{\left(v-z\right)}^{p+1}}\text{d}v}\}\\ =\frac{1}{n}\{{\left[\frac{\left(1-2z\right)}{2}{f}^{\prime }\left(z\right)\right]}^{\left(p\right)}+{\left[\frac{z\left(1+z\right)}{2}{f}^{″}\left(z\right)\right]}^{\left(p\right)}\begin{array}{c}\underset{}{\overset{}{}}\\ \\ \end{array}\\ +\frac{1}{n}\frac{p!}{2\text{π}i}{\displaystyle \underset{\gamma }{\int }\frac{n^2\left[\left(K_n\left(f,v\right)-f\left(v\right)-\frac{1-2v}{2\left(n+1\right)}{f}^{\prime }\left(v\right)-\frac{v\left(1+v\right)}{2\left(n+1\right)}{f}^{″}\left(v\right)\right)\right]}{{\left(v-z\right)}^{p+1}}\text{d}v}\}\end{array}$

所以对所有的 $\left|z\right|\le r,z\ne -1$ 和 $n,p\in N$ ，有

$\begin{array}{l}\left|K_n^{\left(p\right)}\left(f,z\right)-f^{\left(p\right)}\left(z\right)\right|\\ \ge \frac{1}{n}\{\left|{\left[\frac{\left(1-2z\right)}{2}{f}^{\prime }\left(z\right)\right]}^{\left(p\right)}+{\left[\frac{z\left(1+z\right)}{2}{f}^{″}\left(z\right)\right]}^{\left(p\right)}\right|\\ -\frac{1}{n}\left|\frac{p!}{2\text{π}i}{\displaystyle \underset{\gamma }{\int }\frac{n^2\left[\left(K_n\left(f,v\right)-f\left(v\right)-\frac{\left(1-2v\right)}{2\left(n+1\right)}{f}^{\prime }\left(v\right)-\frac{v\left(1+v\right)}{2\left(n+1\right)}{f}^{″}\left(v\right)\right)\right]}{{\left(v-z\right)}^{p+1}}\text{d}v}\right|\},\end{array}$

由引理2.2，对所有的 $\left|z\right|\le r,z\ne -1$ 和 $n,p\in N$ ，有

$\begin{array}{l}\left|\frac{p!}{2\text{π}i}{\displaystyle \underset{\gamma }{\int }\frac{n^2\left[\left(K_n\left(f,v\right)-f\left(v\right)-\frac{1-2v}{2\left(n+1\right)}{f}^{\prime }\left(v\right)-\frac{v\left(1+v\right)}{2\left(n+1\right)}{f}^{″}\left(v\right)\right)\right]}{{\left(v-z\right)}^{p+1}}\text{d}v}\right|\\ \le \frac{p!}{2\text{π}i}\cdot \frac{2\text{π}{r}_1{n}^2}{{\left(r_1-r\right)}^{p+1}}\cdot \frac{11}{n^2}{\displaystyle \underset{m=2}{\overset{\infty }{\sum }}\left|a_m\right|m{\left(m-1\right)}^2\left(m+1\right)!{\left(2r\right)}^m}\\ \le \frac{11p!r_1}{{\left(r_1-r\right)}^{p+1}}{\displaystyle \underset{m=2}{\overset{\infty }{\sum }}\left|a_m\right|m{\left(m-1\right)}^2\left(m+1\right)!{\left(2r\right)}^m}.\end{array}$

由f的假设条件，知 ${\Vert {\left(\frac{1-2z}{2}{f}^{\prime }\left(z\right)+\frac{z\left(1+z\right)}{2}{f}^{″}\left(z\right)\right)}^{\left(p\right)}\Vert }_r>0$ 。事实上，若否，则任意 $\text{z}\in \overline{D_r}$ ，有 $\left(1-2z\right)f^{\prime }\left(z\right)+z\left(1+z\right)f^{″}\left(z\right)=Q_{p-1}\left(z\right)$ ，其中 $Q_{p-1}\left(z\right)$ 为阶小于等于 $p-1$ 的多项式，故 $Q_{p-1}\left(z\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{p-1}{\sum }}{A}_j}{z}^j$ 。令 $f^{\prime }\left(z\right)=g\left(z\right)$ ，对任意 $z\in \overline{D_r}$ ，有 $\left(1-2z\right)g\left(z\right)+z\left(1+z\right)g^{\prime }\left(z\right)=Q_{p-1}\left(z\right)$ ，由于 $g\left(z\right)$ 解析，令 $g\left(z\right)={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\alpha }_j{z}^j}$ 代入上述微分方程，比较系数可知： $g\left(z\right)$ 为阶小于等于 $p-2$ 的多项式，故 $f\left(z\right)$ 为阶小于等于 $p-1$ 的多项式，与假设矛盾。令 $C_0={\Vert {\left(\frac{1-2z}{2}{f}^{\prime }\left(z\right)+\frac{z\left(1+z\right)}{2}{f}^{″}\left(z\right)\right)}^{\left(p\right)}\Vert }_r$ ，参照引理2.3证明过程(参见文献 [12] )，可以得到定理1.2。即存在一个整数 $n_0\in N$ 取决于 $f,r,r_1$ 和 $p$ ，使得 $n\ge n_0$ ，有 ${\Vert K_n^{\left(p\right)}\left(f,z\right)-f^{\left(p\right)}\left(z\right)\Vert }_r\ge \frac{1}{n}\cdot \frac{C_0}{2}$ 。当 $n\in \left\{1,2,\cdots ,n_0-1\right\}$ 时类似可证。

基金项目

国家自然科学基金(10571040)。