理论数学  >> Vol. 8 No. 3 (May 2018)

关于广义四元数2-群的一个注记
A Note on Generalized Quaternion 2-Group

DOI: 10.12677/PM.2018.83034, PDF, HTML, XML, 下载: 768  浏览: 3,654  科研立项经费支持

作者: 陈彦恒*, 贾松芳:重庆三峡学院,数学与统计学院,重庆

关键词: 有限p-群广义四元数2-群充要条件Finite p-Group Generalized Quaternion 2-Group Sufficiency and Necessity Conditions

摘要: 运用有限p-群的有关知识,给出了两个判定广义四元数2-群的充要条件,进而得到结论:设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环当且仅当G仅有一个p-阶子群。
Abstract: This article uses the theory of the finite p-group, giving out two sufficiency and necessity conditions for the generalized quaternion 2-groups, thus obtaining the following conclusion: let G be a finite p-group. Then every abelian subgroup of G is cyclic if and only if G has only one subgroup of order p.

文章引用: 陈彦恒, 贾松芳. 关于广义四元数2-群的一个注记[J]. 理论数学, 2018, 8(3): 265-268. https://doi.org/10.12677/PM.2018.83034

1. 引言

本文中G表示有限群。若G为p-群, s k ( G ) 表示G的 p k 阶子群的个数,从而 s 1 ( G ) 表示G的p阶子群的个数。本文的其他数学符号都是标准的,如果有需要可参考文献 [1] [2] 。

众所周知,广义四元数2-群 Q 2 n

Q 2 n = a , b | a 2 n 1 = 1 , b 2 = a 2 n 2 , b 1 a b = a 1 , n 3 ,

是四元数群 Q 8

Q 8 = a , b | a 4 = 1 , b 2 = a 2 , b 1 a b = a 1

在有限p-群上的推广。 Q 2 n 是一类十分重要的有限p-群,具有很多优良的性质。例如,

1) Q 2 n 是一类具有极大循环的子群的有限p-群;

2) Q 2 n 是一类最大类有限p-群;

3) Q 2 n 是一类仅有一个2阶元的有限p-群等等。本文讨论了广义四元数2-群另两个性质:

4) Q 2 n 的每一个交换子群都循环;

5) Q 2 n 仅有一个2阶子群,

从而得到两个判定广义四元数2-群的充要条件,进而也得到如下有趣结论:

设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环的充要条件是G仅有一个p阶子群。

2. 预备引理

为了方便主要定理的证明,下面引入几个引理。

引理1:设G是一个p-群,且G的每个交换正规子群皆循环。

1) 若 p > 2 ,则G本身是循环群;

2) 若 p = 2 ,则G有极大循环子群。

证明:可参考文献 [1] 第V章定理5.10。

引理2:设 | G | = p n ,G有 p n 1 阶循环子群 a 。则G只有以下七种不同构的类型:

I) p n 阶循环群: G = a | a p n = 1 , n 1

II) ( p n 1 , p ) 型交换群: G = a , b | a p n 1 = b p = 1 , a b = b a , n 1

III) G = a , b | a p n 1 = b p = 1 , b 1 a b = a 1 + p n 2 , p 2 , n 3

IV) 广义四元数2-群:

G = a , b | a 2 n 1 = 1 , b 2 = a 2 n 2 , b 1 a b = a 1 , p = 2 , n 3 .

V) 二面体2-群:

G = a , b | a 2 n 1 = b 2 = 1 , b 1 a b = a 1 , p = 2 , n 3 .

VI) 半广义四元数2-群:

G = a , b | a 2 n 1 = b 2 = 1 , b 1 a b = a 1 + 2 n 2 , p = 2 , n 4 .

VII) G = a , b | a 2 n 1 = b 2 = 1 , b 1 a b = a 1 + 2 n 2 , p = 2 , n 4

证明:可参考文献 [1] 第V章定理5.14。

引理3:设 | G | = p n 。若 s 1 ( G ) = 1 ,则G是循环群或广义四元数2-群。

证明:可参考文献 [1] 第IV章定理6.1。

引理4:若G是一个广义四元数2-群,则G的每个交换子群皆是循环群。

证明:设G是 2 n 1 ( n 3 ) 阶的广义四元数2-群。由参考文献 [3] 的引理3(2)和定理1(3)知,

i) G的2阶和 2 2 阶子群都是循环的;

ii) G的 2 k 阶子群除一个循环群外,其余都是广义四元数2-群类型的群,其中 k = 3 , , n 1

因此广义四元数2-群的循环子群就是它的全部交换子群,即证。

3. 主要定理

定理1:设G是一个非循环p-群。则下列三个条件等价。

1) G是一个广义四元数2-群;

2) G的每个交换子群皆循环;

3) G仅有一个p阶子群。

证明:首先证明(1)和(2)等价。由引理4知,(1) Þ (2)显然成立。下证(2) Þ (1)。

由于G的每个交换子群皆循环,所以G的每个交换正规子群也皆循环。因而由引理1知,G要么为循环群,要么为具有循环极大子群的2-群。既然G不循环,从而G是有循环极大子群的2-群。因此G可能为引理2中七类群中 ( 2 n 1 , 2 ) 型交换群(II)、广义四元数2-群(VI)、二面体2-群(V)、半广义四元数2-群(VI)和(VII)类型群。但由文献 [3] 的定理1的证明过程知,(II)、(VI)、(V)和(VII)类型群都有 ( 2 , 2 ) 型的交换子群,故G仅能为广义四元数2-群。

其次证明(1)和(3)等价。

(1) Þ (3)。设G是一个广义四元数2-群 Q 2 n 。则 Q 2 n 仅有一个2阶元 a 2 n 1 ,从而G仅有一个2-阶子群。

(3) Þ (1)。既然G仅有一个p阶子群,即 s 1 ( G ) = 1 。由引理3知,G要么为循环群,要么为广义四元数2-群。又由G不循环,G仅能为广义四元数2-群。

因此在命题假设下,(1),(2),(3)条是等价的,即证。

从定理1中,我们很容易得到一个有趣的推论。

推论:设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环当且仅当G仅有一个p阶子群。

证明:对于G循环的情形是显然的;对于G不循环的情形可由定理1得到,即证。

基金项目

该文由重庆市教委科研项目(KJ1710254),重庆三峡学院重点项目(14ZD16)资助。

参考文献

[1] 徐明耀. 有限群导引(上册) [M]. 北京: 科学出版社, 1993: 55, 123-125, 154-158, 178.
[2] Huppert, B. (1967) En-dliche Gruppen I. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.
https://doi.org/10.1007/978-3-642-64981-3
[3] 陈彦恒, 曹洪平. 各阶非平凡子群的个数为p + 1的p-群的完全分类[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2007, 29(2): 11-14.