1. 引言
本文中G表示有限群。若G为p-群,
表示G的
阶子群的个数,从而
表示G的p阶子群的个数。本文的其他数学符号都是标准的,如果有需要可参考文献 [1] [2] 。
众所周知,广义四元数2-群
,
,
是四元数群
在有限p-群上的推广。
是一类十分重要的有限p-群,具有很多优良的性质。例如,
1)
是一类具有极大循环的子群的有限p-群;
2)
是一类最大类有限p-群;
3)
是一类仅有一个2阶元的有限p-群等等。本文讨论了广义四元数2-群另两个性质:
4)
的每一个交换子群都循环;
5)
仅有一个2阶子群,
从而得到两个判定广义四元数2-群的充要条件,进而也得到如下有趣结论:
设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环的充要条件是G仅有一个p阶子群。
2. 预备引理
为了方便主要定理的证明,下面引入几个引理。
引理1:设G是一个p-群,且G的每个交换正规子群皆循环。
1) 若
,则G本身是循环群;
2) 若
,则G有极大循环子群。
证明:可参考文献 [1] 第V章定理5.10。
引理2:设
,G有
阶循环子群
。则G只有以下七种不同构的类型:
I)
阶循环群:
。
II)
型交换群:
。
III)
。
IV) 广义四元数2-群:
.
V) 二面体2-群:
.
VI) 半广义四元数2-群:
.
VII)
。
证明:可参考文献 [1] 第V章定理5.14。
引理3:设
。若
,则G是循环群或广义四元数2-群。
证明:可参考文献 [1] 第IV章定理6.1。
引理4:若G是一个广义四元数2-群,则G的每个交换子群皆是循环群。
证明:设G是
阶的广义四元数2-群。由参考文献 [3] 的引理3(2)和定理1(3)知,
i) G的2阶和
阶子群都是循环的;
ii) G的
阶子群除一个循环群外,其余都是广义四元数2-群类型的群,其中
。
因此广义四元数2-群的循环子群就是它的全部交换子群,即证。
3. 主要定理
定理1:设G是一个非循环p-群。则下列三个条件等价。
1) G是一个广义四元数2-群;
2) G的每个交换子群皆循环;
3) G仅有一个p阶子群。
证明:首先证明(1)和(2)等价。由引理4知,(1) Þ (2)显然成立。下证(2) Þ (1)。
由于G的每个交换子群皆循环,所以G的每个交换正规子群也皆循环。因而由引理1知,G要么为循环群,要么为具有循环极大子群的2-群。既然G不循环,从而G是有循环极大子群的2-群。因此G可能为引理2中七类群中
型交换群(II)、广义四元数2-群(VI)、二面体2-群(V)、半广义四元数2-群(VI)和(VII)类型群。但由文献 [3] 的定理1的证明过程知,(II)、(VI)、(V)和(VII)类型群都有
型的交换子群,故G仅能为广义四元数2-群。
其次证明(1)和(3)等价。
(1) Þ (3)。设G是一个广义四元数2-群
。则
仅有一个2阶元
,从而G仅有一个2-阶子群。
(3) Þ (1)。既然G仅有一个p阶子群,即
。由引理3知,G要么为循环群,要么为广义四元数2-群。又由G不循环,G仅能为广义四元数2-群。
因此在命题假设下,(1),(2),(3)条是等价的,即证。
从定理1中,我们很容易得到一个有趣的推论。
推论:设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环当且仅当G仅有一个p阶子群。
证明:对于G循环的情形是显然的;对于G不循环的情形可由定理1得到,即证。
基金项目
该文由重庆市教委科研项目(KJ1710254),重庆三峡学院重点项目(14ZD16)资助。