交错群A₆₂上的7度弧传递非正规Cayley图的全自同构群

The Full Automorphism Group of a Nonnormal Arc-Transitive 7-Valent Cayley Graph on the Alternating Group A₆₂

摘要: 潘江敏教授等人在文章[Arc-transitive Cayley graphs on non-ableian simple groups with soluble vertex stabilizers and valency seven, arXiv:1707.09785v1, 2017]中构造了交错群A₆₂上的一个7度弧传递非正规Cayley图。在本文中，我们将证明该图的全自同构群同构于A₆₃。

Abstract: Pan et al. in [Arc-transitive Cayley graphs on non-ableian simple groups with soluble vertex stabi-lizers and valency seven, arXiv:1707.09785v1, 2017] constructed an example of a nonnormal arc-transitive 7-valent Cayley graph on the alternating group A₆₂. In this paper, we will prove that the full automorphism group of this graph is isomorphic to A₆₃.

1. 引言

设Г是一个图。其顶点集，图的全自同构群分别记为 $V\left(\Gamma \right)$ ， $Aut\left(\Gamma \right)$ 。我们称图Г为弧传递图，如果 $Aut\left(\Gamma \right)$ 在其弧集合上传递。

设G是一个有限群。取 $S\subseteq G-\left\{1\right\}$ ，称它为G的Cayley子集。设S满足 $S=S^{-1}:=\left\{s^{-1}|s\in S\right\}$ 。定义群G关于S的Cayley无向图 $\Gamma :=Cay\left(G,S\right)$ ，其中：

$V\left(\Gamma \right):=G,E\left(\Gamma \right):=\left\{\left\{g,sg\right\}\}g\in G,s\in S\right\}.$

由定义可知，Г的度为 $\left|S\right|$ 。Г连通当且仅当 $$ 。G的右正则表示 $R\left(G\right)\le Aut\left(\Gamma \right)$ 且作用在 $V\left(\Gamma \right)$ 上正则，即Cayley图是点传递图。为了方便，我们仍记这个正则子群为G。我们称Cayley图 $\Gamma =Cay\left(G,S\right)$ 关于G是正规的，如果 $G⊲Aut\left(\Gamma \right)$ ，否则称Г为非正规的。

单群上Cayely图的正规性问题一直都受到国内外学者们的极大关注。例如，李才恒教授在 [1] 中证明：除了7个例外，所有的有限非交换单群上的3度弧传递Cayley图都是正规的。基于这个工作，徐尚进教授等人在文献 [2] [3] 中证明：除交错群A₄₇上的两个例外，所有有限非交换单群的连通3度弧传递Cayley图都是正规的。2016年方新贵教授等人在文献 [4] 中证明：除单群 $M_{11}$ 上的两个例外，所有有限非交换单群上的4度2-传递Cayley图都是正规的。对于7度图，潘江敏教授等人于2017年，在文献 [5] 中证明：除了交错群A₆，A₂₀，A₆₂，A₈₃，所有有限非交换单群上具有可解点稳定子的7度弧传递Cayley图都是正规的，并且具体构造了这4个单群上的非正规Cayley图的例子。本文的一个工作将是计算交错群 $A_{62}$ 上非正规弧传递7度Cayley图的全自同构群(即计算文献 [5] 中例子5.2中图的全自同构群)。

本文证明了如下定理：

定理1.1：设Г是T上7度S-弧传递Cayely图，其中S同构于A₆₃，T同构于A₆₂，则 $Aut\left(\Gamma \right)=S\cong A_{63}$ 。

2. 预备知识

设G是有限群，H是G的子群， $C_G\left(H\right)$ 是H在G中的中心化子，是H在G中的正规化子。则有下面的引理，我们称之为‘N/C’定理，参见文献( [6] 第I章，定理5.7)。

引理2.1：设 $H\le G$ ，则 $N_G\left(H\right)/C_G\left(H\right)$ 同构于 $Aut\left(H\right)$ 的一个子群。■

下面的引理给出了7度弧传递图的点稳定子群的结构，参考文献( [7] 定理1.1]。

引理2.2：设Г是一个7度 $\left(G,s\right)$ —传递图，其中 $G\le Aut\left(\Gamma \right)$ 且 $s\ge 1$ 。设 $\alpha \in V\left(\Gamma \right)$ 。则下列之一成立：

a) 如果 $G_{\alpha }$ 可解，则 $s\le 3$ 且 $\left|G_{\alpha }\right||252$ 。此外， $\left(s,G_{\alpha }\right)$ 为下表之一(表1)。

Table 1. The insoluble case

表1. 可解情形的点稳定子

Table 2. The insoluble case

表2. 非可解情形的点稳定子

b) 如果 $G_{\alpha }$ 非可解，则 $2\le s\le 3$ $\left|G_{\alpha }\right||2^{24}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7$ 。此外， $\left(s,G_{\alpha }\right)$ 为下表之一(表2)。

3. 定理1.1的证明

定理1.1的证明：设Г是T上的S-弧传递Cayley图， $A=Aut\left(\Gamma \right)$ ， $V=V\left(\Gamma \right)$ ， $S\cong A_{62}$ ， $T\cong A_{63}$ 。设 $v\in V$ ，则由引理2.1， $\left|A_v\right||2^{24}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7$ 。首先我们假设A在顶点集V上非拟本原。设 $N\ne 1$ 是A的一个在V上非传递的极小正规子群。则 $N\cap S⊲S$ 。因为S同构于 $A_{63}$ ，所以 $N\cap S=1$ 或者 $S$ 。若 $N\cap S=S$ ，则 $S\le N⊲A$ 。这意味着N在V上作用传递，这与N的选取矛盾。若 $N\cap S=1$ ，则 $\left|N\right|$ 整除 $\left|A\right|/\left|S\right|$ 。注意到 $S_v\cong Z_3\times F_{20}$ 。由引理2.2，得 $|\left|A_v\right|/\left|S_v\right|2^{24}\cdot 3^2\cdot 5$ 。因为 $\left|A\right|/\left|S\right|=\left|A_v\right|/\left|S_v\right|$ ，所以 $\left|N\right|$ 整除 $$ 。

假设N非可解。因为 $\left|N\right|$ 整除 $2^{24}\cdot 3^2\cdot 5$ 且 $A_5,A_6$ 和 $PSU\left(4,2\right)$ 是仅有的3个 $\left\{2,3,5\right\}-$ 单群，所以N只能同构于下列群之一： $A_5,A_5^2,A_6$ 。令 $F=NS$ 。则 $F=N:S$ 。因为 $\left|N\right|\left|A_{63}\right|=\left|N\right|\left|S\right|=\left|F\right|=\left|V\right|\left|F_v\right|$ ，所以 $\left|F_v\right|=2^2\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7$ ， $2^4\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7$ 或者 $2^3\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$ 。然而由引理2.1，不存在7度弧传递图的点稳定子具有这3种情况的阶，矛盾。

假设N可解，则 $N\cong Z_2^r$ ， $Z_3^l$ 或者 $Z_5^k$ ，其中 $1\le r\le 24$ ， $1\le l\le 2$ ， $1\le k\le 2$ 。由引理2.1，得 $F/C_F\left(N\right)\le Aut\left(N\right)\cong GL\left(r,2\right)$ ， $GL\left(l,3\right)$ 或者 $GL\left(k,5\right)$ 。注意到 $N\le C_F\left(N\right)$ 。如果 $N=C_F\left(N\right)$ ，那么 $F/C_F\left(N\right)=F/N\cong S\le GL\left(r,2\right)$ ， $GL\left(l,3\right)$ 或者 $GL\left(k,5\right)$ 。而 $GL\left(r,2\right)$ ， $GL\left(l,3\right)$ 或者 $GL\left(k,5\right)$ 中不包含同构于A₆₃的子群，其中 $1\le r\le 24$ ， $1\le l\le 2$ ， $1\le k\le 2$ 。所以， $N<C_F\left(N\right)$ ， $1\ne C_F\left(N\right)/N⊲F/N\cong S$ 。进而得， $S=C_F\left(N\right)/N$ ，即，S中心化N。所以 $F=N\times S$ 。因此， $F_v/S_v\cong F/S\cong N$ 。这意味着 $F_v=S_v\cdot N$ ，由引理2.2， $F_v\cong F_{42}\times Z_3$ 或者 $F_{42}\times Z_6$ 。由Magma的计算，不存在具有这两种点稳定子的F-弧传递的7度Cayley图，矛盾。

因此A在顶点集V上作用是拟本原的。因为 $\left|V\right|=\left|G\right|$ 不是一个素数的方幂，所以A不是 $HA$ 型的。设M是A的基柱。则因为A在V上是拟本原的，得M在V上作用传递。又因为 $A=T{A}_v$ ，所以 $\left|T\right||\left|M\right||2^{24}\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7\cdot \left|T\right|$ 。因为 $T\cong A_{62}$ ，所以必存在一个素数p，使得p恰好整除 $\left|M\right|$ 。进而得，M不同构于 $D^d$ ，其中 $d\ge 2$ ，D为一个非交换单群。这可以推出A不是 $HS$ ， $HC$ ， $CD$ ， $$ ， $TW$ 或者型的。因此，A只能是 $AS$ 型，即A是几乎单的。因为 $M\cap S⊲S$ ，S是非交换单群，所以 $M\cap S=1$ 或者S。如果 $M\cap S=1$ ，则 $\left|M\right||\left|A\right|/\left|S\right||2^{24}\cdot 3^2\cdot 5^2$ 。这与 $\left|T\right||\left|M\right|$ 矛盾。因此， $M\cap S=S$ ，进而 $S\le M$ 。这意味着 $\left|M:S\right||\left|A:S\right||2^{24}\cdot 3^2\cdot 5^2$ 。因为 $A$ 是几乎单群，所以M是一个非交换单群。由( [8] p.135-136)，我们可以推出 $M=S$ 。因此， $A\le Aut\left(M\right)\cong S_{63}$ 。如果 $A\cong S_{63}$ ，则 $\left|A_v\right|=\left|A\right|/\left|T\right|=126$ 。由引理2.2， $A_v\cong F_{42}\times Z_3$ 。由Mamga的计算，不存在具有点稳定子 $F_{42}\times Z_3$ 的 $S_{63}$ -弧传递的7度Cayley图，矛盾。所以 $A\cong A_{63}$ 证毕。

基金项目

国家自然科学基金项目(11701503)；云南省教育厅科学研究基金项目(2017ZZX086)。

参考文献