关于完全p-椭圆积分的一个函数

On a Function Involving the Complete p-Elliptic Integrals

摘要: 本文中我们研究了由第一类和第二类完全p-椭圆积分k_p和ε_p定义的函数 的单调性和凹凸性。我们也证明了函数 的几个精确不等式。

Abstract: In this paper, we investigate the monotonicity and convexity properties of the function involving the complete p-elliptic integrals of the first and second kind, k_p and ε_p, respectively. We also provide several sharp inequalities for the function .

1. 引言

令 $1<p<\infty$ ，定义函数

${\arcsin }_p\left(x\right)\equiv {\displaystyle {\int }_0^x\frac{1}{{\left(1-t^p\right)}^{1/p}}\text{d}t}$ , $0\le x\le 1$ ,

$\frac{{\pi }_p}{2}={\arcsin }_p\left(1\right)\equiv {\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{{\left(1-t^p\right)}^{1/p}}\text{d}t}=\frac{\pi /p}{\sin \left(\pi /p\right)}=\frac{1}{p}B\left(1/p,1-1/p\right)$ ,

这里B是熟知的Beta函数。函数 ${\arcsin }_p$ 在区间 $\left[0,{\pi }_p/2\right]$ 上的反函数称为广义正弦函数，记为 ${\sin }_p$ 。当 $p=2$ 时sin₂就是通常的正弦函数sin。广义正弦函数和其它的广义三角函数已经被广泛地研究，见文献 [1] - [6] 。

令 $r\in \left(0,1\right)$ ，第一类和第二类完全p-椭圆积分分别由如下公式定义

$k_p=k_p\left(r\right)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{{\pi }_p}{2}}\frac{\text{d}\theta }{{\left(1-r^p{\sin }_p^p\theta \right)}^{1-\frac{1}{p}}}}$ , ${k^{\prime }}_p={k^{\prime }}_p\left(r\right)=k\left(r^{\prime }\right)$ ,

${\epsilon }_p\left(r\right)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{{\pi }_p}{2}}{\left(1-r^p{\sin }_p^p\theta \right)}^{\frac{1}{p}}}\text{d}\theta$ , ${{\epsilon }^{\prime }}_p={{\epsilon }^{\prime }}_p\left(r\right)={\epsilon }_p\left(r^{\prime }\right)$ ,

这里 $r^{\prime }={\left(1-r^p\right)}^{1/p}$ 。当 $p=2$ ，这些函数就退化为经典的完全椭圆积分 $k=k_2$ 和 $\epsilon ={\epsilon }_2$ 。经典的完全椭圆积分还有其它的一些推广形式，这些推广的椭圆积分在几何函数论、拟共形映射和Ramanujan模方程理论中有广泛的应用 [7] [8] [9] [10] 。

给定实数 $a,b,c\left(c\ne 0,-1,-2,\cdots \right)$ ，高斯超几何函数是如下定义的函数

$F\left(a,b;c;z\right)={}_{2}F{}_1\left(a,b;c;z\right)\equiv {\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(a\right)}_n{\left(b\right)}_n}{{\left(c\right)}_n}\frac{z^n}{n!}}$ , $\left|z\right|<1$

这里，当 $a\ne 0$ 时， ${\left(a\right)}_0=1$ ；当 $n\in N$ (自然数集)时， ${\left(a\right)}_n$ 是如下定义的移位阶乘

${\left(a\right)}_n\equiv a\left(a+1\right)\cdots \left(a+n-1\right)$ .

完全p-椭圆积分可由高斯超几何函数表示出来( [11] , Proposition 2.8)：

$k_p\left(r\right)=\frac{{\pi }_p}{2}F\left(\frac{1}{p},1-\frac{1}{p};1;r^p\right)$ (1)

${\epsilon }_p\left(r\right)=\frac{{\pi }_p}{2}F\left(-\frac{1}{p},\frac{1}{p};1;r^p\right)$ (2)

作为广义三角函数的一个重要应用，Takeuchi在2014年引入了完全p-椭圆积分。Takeuchi的完全p-椭圆积分是含有广义三角函数的Legendre-Jacobi的标准形式。完全p-椭圆积分已被用于由算术几何平均来表示的广义的π常数的快速计算方法和Ramanujan三次变换的初等证明中 [11] [12] 。经典的椭圆积分的一些熟知的性质已被推广到完全p-椭圆积分中。例如，许多这些函数的组合和复合函数的单调性和凹凸性，以及一些精确的函数不等式在最近的文献 [13] 中获得了证明。

在文 [14] 中，作者研究了如下函数

$f\left(r\right)=\frac{\epsilon -{r^{\prime }}^{2}k}{r^2}:\frac{{\epsilon }^{\prime }-r^2{k}^{\prime }}{{r^{\prime }}^2}$

的单调性和凹凸性。受文 [14] 的启发，Alzer和Richards [15] 研究了

$\Delta \left(r\right)=\frac{\epsilon -{r^{\prime }}^{2}k}{r^2}-\frac{{\epsilon }^{\prime }-r^2{k}^{\prime }}{{r^{\prime }}^2}$

的对应的性质，并获得了完全椭圆积分的精确的初等估计。

本文中，我们研究了函数

${\Delta }_p\left(r\right)=\frac{{\epsilon }_p-{r^{\prime }}^p{k}_p}{r^p}-\frac{{{\epsilon }^{\prime }}_p-r^p{k^{\prime }}_p}{{r^{\prime }}^p}$

的单调性和凹凸性，并将Alzer和Richards的结果推广到完全p-椭圆积分上。另外，我们还获得了 ${\Delta }_p\left(r\right)$ 的精确不等式。本文的主要结果如下定理所述.

定理：对 $$ ，令 $a=1-\frac{1}{p}$ 。函数 ${\Delta }_p\left(r\right)$ 在区间 $\left(0,1\right)$ 上是严格递增且是严格凸函数，值域为 $\left(\frac{a{\pi }_p}{2}-1,1-\frac{a{\pi }_p}{2}\right)$ 。特别地，对所有的 $r\in \left(0,1\right)$ ，有如下不等式成立：

$\frac{a{\pi }_p}{2}-1+\alpha r<{\Delta }_p\left(r\right)<\frac{a{\pi }_p}{2}-1+\beta r$ .

这里常数 $\alpha =0$ 和 $\beta =2-a{\pi }_p$ 是最佳的。

2. 定理的证明

高斯超几何函数的如下导数公式和变换公式是众所周知的 [16] ：对 $\left|x\right|<1$

$\frac{\text{d}}{\text{d}r}F\left(a,b;c;x\right)=\frac{ab}{c}F\left(a+1,b+1;c+1;x\right)$ (3)

$\left(1-x\right)F\left(a\text{+}1,b+1;a+b+1;x\right)=F\left(a,b;a+b+1;x\right)$ (4)

$\left(c-b\right)F\left(a,b;c+1;x\right)=cF\left(a,b;c;x\right)-bF\left(a,b+1;c+1;x\right)$ (5)

2.1. 凹凸性

首先，我们证明 ${\Delta }_p\left(r\right)$ 在区间 $\left(0,1\right)$ 上是严格凸的。令 $r\in \left(0,1\right)$ ，并且令

$\begin{array}{l}{H}_a\left(r\right)=\frac{{\epsilon }_p-{r^{\prime }}^p{k}_p}{r^p}\\ =\frac{{\pi }_p}{2r^p}\left[F\left(a-1,1-a;1;r^p\right)-{r^{\prime }}^{p}F\left(a,1-a;1;r^p\right)\right]\end{array}$ .

那么

$\begin{array}{c}{H}_a\left(r\right)=\frac{{\pi }_p}{2r^p}\left[{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(a-1\right)}_n{\left(1-a\right)}_n}{1_n}}\frac{{\left(r^p\right)}^n}{n!}-{r^{\prime }}^p{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{a_n{\left(1-a\right)}_n}{1_n}\frac{{\left(r^p\right)}^n}{n!}}\right]\\ =\frac{{\pi }_p}{2}\left[{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\left(\frac{{\left(a-1\right)}_{n+1}{\left(1-a\right)}_{n+1}}{{\left(\left(n+1\right)!\right)}^2}-\frac{a_{n+1}{\left(1-a\right)}_{n+1}}{{\left(\left(n+1\right)!\right)}^2}\right)r^{pn}}+{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{a_n{\left(1-a\right)}_n}{{\left(n!\right)}^2}{r}^{pn}}\right]\\ =\frac{{\pi }_p}{2}{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{a_n{\left(1-a\right)}_n}{{\left(\left(n+1\right)!\right)}^2}}\left[\left(a-1\right)\left(n+1-a\right)-\left(n+a\right)\left(n+1-a\right)+{\left(n+1\right)}^2\right]r^{pn}\\ =\frac{{\pi }_p}{2}{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{a_n{\left(1-a\right)}_n}{{\left(\left(n+1\right)!\right)}^2}a\left(n+1\right)r^{pn}}=\frac{a{\pi }_p}{2}{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{a_n{\left(1-a\right)}_n}{2_n}}\frac{{\left(r^p\right)}^n}{n!}\\ =\frac{a{\pi }_p}{2}F\left(a,1-a;2;r^p\right)\end{array}$

所以

${\Delta }_p\left(r\right)=H_a\left(r\right)-H_a\left(r^{\prime }\right)=\frac{a{\pi }_p}{2}\left[F\left(a,1-a;2;r^p\right)-F\left(a,1-a;2;1-r^p\right)\right]$ .

由此可知

$\frac{\text{d}}{\text{d}r}{\Delta }_p\left(r\right)\text{=}\frac{a^2\left(1-a\right){\pi }_{p}p{r}^{p-1}}{4}\left[F\left(a+1,2-a;3;r^p\right)+F\left(a+1,2-a;3;1-r^p\right)\right]$ ,

并且

$\begin{array}{c}\frac{{\text{d}}^2}{\text{d}{r}^2}{\Delta }_p\left(r\right)=\frac{a^2\left(1-a\right){\pi }_{p}p\left(p-1\right)r^{p-2}}{4}\{F\left(a+1,2-a;3;r^p\right)+F\left(a+1,2-a;3;1-r^p\right)\begin{array}{c}\\ \end{array}\\ +\frac{\left(a+1\right)\left(2-a\right)p{r}^p}{3\left(p-1\right)}\left[F\left(a+2,3-a;4;r^p\right)-F\left(a+2,3-a;4;1-r^p\right)\right]\}\end{array}$ .

根据变换公式(4)和(5)，得到

$\begin{array}{c}\frac{{\text{d}}^2}{\text{d}{r}^2}{\Delta }_p\left(r\right)=\frac{a^2\left(1-a\right){\pi }_{p}p\left(p-1\right)r^{p-2}}{4}\{F\left(a+1,2-a;3;r^p\right)+F\left(a+1,2-a;3;1-r^p\right)\begin{array}{c}\\ \end{array}\\ +\frac{\left(a+1\right)\left(2-a\right)p{r}^p}{3\left(p-1\right)}\left[F\left(a+2,3-a;4;r^p\right)-\frac{F\left(a+1,2-a;4;1-r^p\right)}{r^p}\right]\}\\ =\frac{a^2\left(1-a\right){\pi }_{p}p\left(p-1\right)r^{p-2}}{4}[F\left(a+1,2-a;3;r^p\right)+\frac{\left(a+1\right)\left(2-a\right)p{r}^p}{3\left(p-1\right)}F\left(a+2,3-a;4;r^p\right)\\ +\frac{ap-p-1}{p-1}F\left(a+1,2-a;3;1-r^p\right)+\frac{{\left(2-a\right)}^{2}p}{3\left(p-1\right)}F\left(a+1,3-a;4;1-r^p\right)]\end{array}$ 。

记

$W=\frac{a^2\left(1-a\right){\pi }_{p}p\left(p-1\right)r^{p-2}}{4}>0$ .

那么

$\begin{array}{c}\frac{1}{W}\frac{{\text{d}}^2}{\text{d}{r}^2}{\Delta }_p\left(r\right)>1+\frac{ap-p-1}{p-1}F\left(a+1,2-a;3;1-r^p\right)+\frac{{\left(2-a\right)}^{2}p}{3\left(p-1\right)}F\left(a+1,3-a;4;1-r^p\right)\\ =1+{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(2-\frac{1}{p}\right)}_n{\left(1+\frac{1}{p}\right)}_n}{3_n}}\frac{n\left(p-1\right)+p+\frac{1}{p}-4}{\left(p-1\right)\left(3+n\right)}\frac{{\left(1-r^p\right)}^n}{n!}\\ >1+{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{1}{\sum }}\frac{{\left(2-\frac{1}{p}\right)}_n{\left(1+\frac{1}{p}\right)}_n}{3_n}}\frac{n\left(p-1\right)+p+\frac{1}{p}-4}{\left(p-1\right)\left(3+n\right)}\frac{{\left(1-r^p\right)}^n}{n!}\\ =\frac{20p^4-36p^3-p^2+6p-1}{12p^3\left(p-1\right)}-\frac{4p^4-8p^3-5p^2+6p-1}{12p^3\left(p-1\right)}{r}^p\end{array}$

由

$\frac{n\left(p-1\right)+p+\frac{1}{p}-4}{\left(p-1\right)\left(3+n\right)}>0$

可知上面的第二个不等号成立。对于 $p\ge 2$ ，由于

$\frac{20p^4-36p^3-p^2+6p-1}{12p^3\left(p-1\right)}>0$ ， $-\frac{4p^4-8p^3-5p^2+6p-1}{12p^3\left(p-1\right)}>0$

易知

$\frac{{\text{d}}^2}{\text{d}{r}^2}{\Delta }_p\left(r\right)>0$ .

从而可知 ${\Delta }_p\left(r\right)$ 在区间 $\left(0,1\right)$ 上是严格凸的。

2.2. 单调性

由上节可知

$H_{\alpha }\left(r\right)=\frac{{\epsilon }_p-{r^{\prime }}^p{k}_p}{r^p}=\frac{a{\pi }_p}{2}F\left(a,1-a;2;r^p\right)=\frac{a{\pi }_p}{2}{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{a_n{\left(1-a\right)}_n}{2_n}}\frac{{\left(r^p\right)}^n}{n!}$

求导数得到

$\frac{\text{d}}{\text{d}r}{H}_{\alpha }\left(r\right)=\frac{a{\pi }_p}{2}{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{a_n{\left(1-a\right)}_n}{2_n}}\frac{{\left(r^p\right)}^{n-1}p{r}^{p-1}}{\left(n-1\right)!}$

所以 $H_{\alpha }\left(0\right)=\frac{a{\pi }_p}{2}$ 和 ${H^{\prime }}_{\alpha }\left(0\right)=0$ 。根据已知极限

$\underset{r\to 1^{-}}{\lim }\left(k_p\left(r\right)+\log r^{\prime }-\frac{R\left(1/p\right)}{p}\right)=0$

我们可得

$\underset{r\to 1^{-}}{\lim }{H}_{\alpha }\left(r\right)=\underset{r\to 1^{-}}{\lim }\frac{{\epsilon }_p-{r^{\prime }}^p{k}_p}{r^p}=\frac{1-0}{1}=1$

令 $Q_p\left(r\right)=\frac{{\Delta }_p\left(r\right)-{\Delta }_p\left(0\right)}{r-0}$ ，则有

$\begin{array}{c}\underset{r\to 0^{+}}{\lim }{Q}_p\left(r\right)=\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{H_{\alpha }\left(r\right)-H_{\alpha }\left(r^{\prime }\right)-\left[H_{\alpha }\left(0\right)-H_{\alpha }\left(1\right)\right]}{r-0}\right)\\ =\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{H_{\alpha }\left(r\right)-H_{\alpha }\left(0\right)}{r-0}-\frac{H_{\alpha }\left(r^{\prime }\right)-H_{\alpha }\left(1\right)}{r-0}\right)\\ ={H^{\prime }}_{\alpha }\left(0\right)-\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{H_{\alpha }\left(x\right)-1}{x^{\prime }}=-\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x-1}{x^{\prime }}\frac{H_{\alpha }\left(x\right)-1}{x}\\ =-\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x-1}{{\left(1-x^p\right)}^{\frac{1}{p}}}{H^{\prime }}_{\alpha }\left(1\right)=-\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{\frac{1}{p}{\left(1-x^p\right)}^{\frac{1}{p}-1}\left(-p{x}^{p-1}\right)}{H^{\prime }}_{\alpha }\left(1\right)\\ =\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{{\left(1-x^p\right)}^{1-\frac{1}{p}}}{x^{p-1}}=0\end{array}$

因为 ${\Delta }_p\left(r\right)$ 是严格凸的，所以 $\frac{\text{d}}{\text{d}r}{\Delta }_p\left(r\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 上递增。因此

$\frac{\text{d}}{\text{d}r}{\Delta }_p\left(r\right)>\frac{\text{d}}{\text{d}r}{\Delta }_p\left(0\right)=Q_p\left(0\right)=0$ ,

这就证明了函数 ${\Delta }_p\left(r\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 上严格递增。

2.3. 不等式

显然地，

${\Delta }_p\left(0\right)=H_{\alpha }\left(0\right)-H_{\alpha }\left(1\right)=\frac{a{\pi }_p}{2}-1$

${\Delta }_p\left(1\right)=H_{\alpha }\left(1\right)-H_{\alpha }\left(0\right)=1-\frac{a{\pi }_p}{2}$

由函数 ${\Delta }_p\left(r\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 上严格递增，可知

$Q_p\left(r\right)=\frac{{\Delta }_p\left(r\right)-{\Delta }_p\left(0\right)}{r-0}$

在 $\left(0,1\right)$ 上严格递增。从而

$Q_p\left(1\right)>Q_p\left(r\right)>Q_p\left(0\right)$ .

由此即得

$\alpha =0=Q_p\left(0\right)<Q_p\left(r\right)<Q_p\left(1\right)=2-a{\pi }_p=\beta$

$0<\frac{{\Delta }_p\left(r\right)-{\Delta }_p\left(0\right)}{r-0}<2-a{\pi }_p$

以及

${\Delta }_p\left(0\right)+0\cdot r<{\Delta }_p\left(r\right)<{\Delta }_p\left(0\right)+\left(2-a{\pi }_p\right)\cdot r$

因此

$\frac{a{\pi }_p}{2}-1+\alpha r<{\Delta }_p\left(r\right)<\frac{a{\pi }_p}{2}-1+\beta r$ .

推论：当 $p\ge 2$ 时，对所有的 $r,s\in \left(0,1\right)$ ，有如下精确不等式成立：

$\frac{a{\pi }_p}{2}-1<{\Delta }_p\left(rs\right)-{\Delta }_p\left(r\right)-{\Delta }_p\left(s\right)<1-\frac{a{\pi }_p}{2}$ .

证明：记

$G\left(r,s\right)={\Delta }_p\left(rs\right)-{\Delta }_p\left(r\right)-{\Delta }_p\left(s\right)$ .

求导数得

$\frac{\partial }{\partial r}G\left(r,s\right)=s{{\Delta }^{\prime }}_p\left(rs\right)-{{\Delta }^{\prime }}_p\left(r\right)$ ,

以及

$\frac{{\partial }^2}{\partial r\partial s}G\left(r,s\right)={{\Delta }^{\prime }}_p\left(rs\right)+rs{{\Delta }^{″}}_p\left(r\right)$ .

由于 ${{\Delta }^{\prime }}_p\left(r\right)>0$ 且 ${{\Delta }^{″}}_p\left(r\right)>0$ ，我们可得

$\frac{{\partial }^2}{\partial r\partial s}G\left(r,s\right)>0$ .

因此 $\frac{\partial }{\partial r}G\left(r,s\right)$ 关于变量s严格递增，从而有

$\frac{\partial }{\partial r}G\left(r,s\right)<{\frac{\partial }{\partial r}G\left(r,s\right)|}_{s=1}={{\Delta }^{\prime }}_p\left(r\right)-{{\Delta }^{\prime }}_p\left(r\right)=0$ .

所以 $G\left(r,s\right)$ 关于r严格递减，从而有

$\frac{a{\pi }_p}{2}-1=-{\Delta }_p\left(1\right)=G\left(1,s\right)<G\left(r,s\right)<G\left(0,s\right)=-{\Delta }_p\left(s\right)<-{\Delta }_p\left(0\right)=1-\frac{a{\pi }_p}{2}$ .

推论得证。

基金项目

本研究得到浙江理工大学科研启动基金(项目编号16062023-Y)和理学院学生科研项目的资助。

NOTES

^*通讯作者。