量子行列式及相关问题研究

Study on Quantum Determinant and Related Problems

摘要: 把普通矩阵乘积的行列式进行推广，得到量子矩阵乘积的量子行列式求法公式。定义了广义量子行列式，并构造了相应行列展开定理和矩阵乘积的广义量子行列式公式。

Abstract: IBy generalizing the determinant of the product of ordinary matrix, the quantum determinant formula for the product of two quantum matrices is obtained. The generalized quantum determi-nant is defined, and the corresponding row and column expansion theorem and the generalized quantum determinant for matrix product are constructed.

1. 引言

在数学和物理研究中，行列式和矩阵经常进行各种形变和推广。2000年，潘庆年 [1] 定义了量子行列式，并把经典行列式的一些性质推广到量子行列式。文献 [2] 给出了行列式乘法的一个推广公式。文献 [3] 利用行列式按一行展开的性质，定义了一般矩阵的广义行列式。文献 [4] 给出了矩阵乘积的广义行列式的一般公式。基于这些研究，本文将 [2] 的结果推广至量子行列式的情形。同时，进一步定义量子矩阵的广义量子行列式，并把 [3] [4] 的结果推广至广义量子行列式的情形，构造相应行列展开定理及矩阵乘积的广义量子行列式公式。

2. 有关定义

定义1 [1] 设A是特征为零的域k上的一个代数，A为A上一个方阵

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$

取定k上一个非零元q，定义A的量子行列式或q-行列式 ${\left|A\right|}_q$ 如下：

${\left|A\right|}_q={\displaystyle \underset{\sigma \in S_n}{\sum }{\left(-q\right)}^{-l\left(\sigma \right)}{a}_{1\sigma \left(1\right)}{a}_{2\sigma \left(2\right)}\cdots a_{n\sigma \left(n\right)}}$ ,

其中 $l\left(\sigma \right)$ 表示σ的长度，所谓σ的长度指当σ分解成对换的乘积时，有一种分解使它能包含对换的个数极小，这个极小个数就称为σ的长度。

定义2 [1] 代数A上一个n阶方阵

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$

称为n阶q-矩阵，如果对于任意的 $i<j$ ， $k<m$ ，

$\{\begin{array}{l}{a}_{ik}{a}_{im}=q^{-1}{a}_{im}{a}_{ik},\\ a_{ik}{a}_{jk}=q^{-1}{a}_{jk}{a}_{ik},\\ a_{im}{a}_{jk}=a_{jk}{a}_{im},\\ a_{ik}{a}_{jm}-a_{jm}{a}_{ik}=\left(q^{-1}-q\right)a_{im}{a}_{jk}.\end{array}$

换句话说，如果A的每一个2阶子矩阵都是q-矩阵，则称A为q-矩阵。

文献 [3] 利用行列式按一行展开的性质，定义了一般矩阵的广义行列式，类似可定义量子矩阵的广义量子行列式如下。

定义3 若矩阵 $A=\left(a_{ij}\right)$ 是量子矩阵，定义其广义量子行列式 ${\left|A\right|}_q$ 如下：

若A是 $1\times n\left(n\ge 1\right)$ 量子矩阵，则 ${\left|A\right|}_q={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(-q\right)}^{1-i}{a}_{1i}}$ ；

若矩阵A为 $2\times n\left(n\ge 2\right)$ 量子矩阵，则 ${\left|A\right|}_q={{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{1i}A}}_{\hat{1}\hat{i}}$ ，其中 $A_{\hat{1}\hat{i}}={\left(-q\right)}^{1-i}{M}_{\hat{1}\hat{i}}$ ， $M_{\hat{1}\hat{i}}$ 是 $a_{1i}$ 的余子式，即A中去掉第1行第i列后其他元素按原序组成的 $1\times \left(n-1\right)$ 矩阵的广义量子行列式；

若矩阵A为 $m\times n$ 量子矩阵，当 $n\ge m$ 时， ${\left|A\right|}_q={{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{1i}A}}_{\hat{1}\hat{i}}$ ，其中 $A_{\hat{1}\hat{i}}={\left(-q\right)}^{1-i}{M}_{\hat{1}\hat{i}}$ ， $M_{\hat{1}\hat{i}}$ 是A中去掉第1行第i列后，其他元素按原序组成的 $\left(m-1\right)\times \left(n-1\right)$ 矩阵的广义量子行列式。当 $m>n$ 时， ${\left|A\right|}_q={\left|A^{\text{T}}\right|}_q$ 。

3. 主要结果

把经典行列式的倍加性质推广，可得量子行列式的相应性质如下。

定理1 设A是代数A上的n阶量子矩阵，若A中的第 $i,i+1,\cdots ,j-1$ $\left(i<j\right)$ 行和第 $1,2,\cdots ,n$ 列组成的矩阵 $A_{i,i+1,\cdots ,j-1}^{1,2,\cdots ,n}$ 中不同行不同列的元素乘积都可交换，且b是代数A的中心元，则把A中第i行的b倍加到第j行后，量子行列式不变。

证明 由定义1得，若 $i<j$ ，把A中第i行的b倍加到第j行后的量子行列式展开为

$b{\displaystyle \underset{\sigma \in S_n}{\sum }{\left(-q\right)}^{-l\left(\sigma \right)}{a}_{1\sigma \left(1\right)}\cdots a_{i\sigma \left(i\right)}\cdots a_{i\sigma \left(j\right)}\cdots a_{n\sigma \left(n\right)}}+{\displaystyle \underset{\sigma \in S_n}{\sum }{\left(-q\right)}^{-l\left(\sigma \right)}{a}_{1\sigma \left(1\right)}\cdots a_{j\sigma \left(j\right)}\cdots a_{n\sigma \left(n\right)}}$ ,

考虑其一般项

${\left(-q\right)}^{-l\left(\sigma \right)}{a}_{1\sigma \left(1\right)}\cdots a_{i\sigma \left(i\right)}\cdots a_{i\sigma \left(j\right)}\cdots a_{n\sigma \left(n\right)}$ .

由条件得， ${\left(-q\right)}^{-l\left(\sigma \right)}{a}_{1\sigma \left(1\right)}\cdots a_{i\sigma \left(i\right)}\cdots a_{i\sigma \left(j\right)}\cdots a_{n\sigma \left(n\right)}={\left(-q\right)}^{-l\left(\sigma \right)}{a}_{1\sigma \left(1\right)}\cdots a_{i\sigma \left(i\right)}{a}_{i\sigma \left(j\right)}\cdots a_{n\sigma \left(n\right)}$ 相等。由定义2得， ${\left(-q\right)}^{-l\left(\sigma \right)}{a}_{1\sigma \left(1\right)}\cdots a_{i\sigma \left(i\right)}{a}_{i\sigma \left(j\right)}\cdots a_{n\sigma \left(n\right)}$ 与 ${\left(-q\right)}^{-l\left(\sigma \right)-1}{a}_{1\sigma \left(1\right)}\cdots a_{i\sigma \left(i\right)}{a}_{i\sigma \left(j\right)}\cdots a_{n\sigma \left(n\right)}$ 能成对抵消，则量子行列式不变，结论成立。

文献 [2] 的定理2把行列式乘法公式 $\left|AX\right|=\left|A\right|\left|X\right|$ 推广，得到了更一般的结果。实际上，若把这个结果放到量子行列式上讨论，结论在一定条件下仍成立。

定理2 设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$ ， $B=\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right)$ 是代数A上的量子矩阵，且矩阵A与B的元素可交换，设 $d_{ij}=a_{i1}{b}_{j1}+a_{i2}{b}_{j2}+\cdots +a_{in}{b}_{jn}\left(i,j=1,2,\cdots ,n\right)$ ，作一个m阶量子行列式 $D={\left|\begin{array}{ccc}{d}_{11}& \cdots & d_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ d_{m1}& \cdots & d_{mm}\end{array}\right|}_q$ ，则当 $m\le n$ 时， $D={\displaystyle \underset{1\le i_1<\cdots <i_m\le n}{\sum }{A}_{i_1{i}_2\cdots i_m}}{B}_{i_1{i}_2\cdots i_m}$ ，其中 $A_{i_1{i}_2\cdots i_m}={\left|\begin{array}{ccc}{a}_{1i_1}& \cdots & a_{1i_m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m{i}_1}& \cdots & a_{m{i}_m}\end{array}\right|}_q$ ， $B_{i_1{i}_2\cdots i_m}={\left|\begin{array}{ccc}{b}_{1i_1}& \cdots & b_{1i_m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m{i}_1}& \cdots & b_{m{i}_m}\end{array}\right|}_q$ ；当 $m>n$ 时， $D=0$ 。

证明 为方便起见，只证明 $m=2$ 时的情形，当 $m>2$ 时，证明过程类似。

设A与B为 $2\times n$ 矩阵且A与B的元素可交换， $D={\left|\begin{array}{cc}{d}_{11}& d_{12}\\ d_{21}& d_{22}\end{array}\right|}_q$ 。若 $n<2$ ，由定义1，2易得 $D=a_{11}{b}_{11}{a}_{21}{b}_{21}-q^{-1}{a}_{11}{b}_{21}{a}_{21}{b}_{11}=0$ 。若 $n\ge 2$ ，对列数n作数学归纳法。

当 $n=2$ 时，由定义1及定义2得，

${\displaystyle \underset{1\le i_1<i_2\le n}{\sum }{A}_{i_1{i}_2}}{B}_{i_1{i}_2}=a_{11}{a}_{22}{b}_{11}{b}_{22}+a_{12}{a}_{21}{b}_{12}{b}_{21}-q^{-1}{a}_{11}{a}_{22}{b}_{12}{b}_{21}-q^{-1}{a}_{12}{a}_{21}{b}_{22}{b}_{11}=D$ .

假设当 $n=k$ $\left(k>2\right)$ 时，命题成立，即

$D={\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}{b}_{11}+\cdots +a_{1k}{b}_{1k}& a_{11}{b}_{21}+\cdots +a_{1k}{b}_{2k}\\ a_{21}{b}_{11}+\cdots +a_{2k}{b}_{1k}& a_{21}{b}_{21}+\cdots +a_{2k}{b}_{2k}\end{array}\right|}_q={\displaystyle \underset{1\le i_1<i_2\le k}{\sum }{A}_{i_1{i}_2}{B}_{i_1{i}_2}}$ .

则当 $n=k+1$ 时，

$\begin{array}{c}D={\left|\begin{array}{cc}\left(a_{11}{b}_{11}+\cdots +a_{1k}{b}_{1k}\right)+a_{1k+1}{b}_{1k+1}& \left(a_{11}{b}_{21}+\cdots +a_{1k}{b}_{2k}\right)+a_{1k+1}{b}_{2k+1}\\ \left(a_{21}{b}_{11}+\cdots +a_{2k}{b}_{1k}\right)+a_{2k+1}{b}_{1k+1}& \left(a_{21}{b}_{21}+\cdots +a_{2k}{b}_{2k}\right)+a_{2k+1}{b}_{2k+1}\end{array}\right|}_q\\ ={\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}{b}_{11}+\cdots +a_{1k}{b}_{1k}& a_{11}{b}_{21}+\cdots +a_{1k}{b}_{2k}\\ a_{21}{b}_{11}+\cdots +a_{2k}{b}_{1k}& a_{21}{b}_{21}+\cdots +a_{2k}{b}_{2k}\end{array}\right|}_q+{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}{b}_{11}+\cdots +a_{1k}{b}_{1k}& a_{1k+1}{b}_{2k+1}\\ a_{21}{b}_{11}+\cdots +a_{2k}{b}_{1k}& a_{2k+1}{b}_{2k+1}\end{array}\right|}_q\\ +{\left|\begin{array}{cc}{a}_{1k+1}{b}_{1k+1}& a_{11}{b}_{21}+\cdots +a_{1k}{b}_{2k}\\ a_{2k+1}{b}_{1k+1}& a_{21}{b}_{21}+\cdots +a_{2k}{b}_{2k}\end{array}\right|}_q+{\left|\begin{array}{cc}{a}_{1k+1}{b}_{1k+1}& a_{1k+1}{b}_{2k+1}\\ a_{2k+1}{b}_{1k+1}& a_{2k+1}{b}_{2k+1}\end{array}\right|}_q\\ ={\displaystyle \underset{1\le i_1<i_2\le k}{\sum }{A}_{i_1{i}_2}{B}_{i_1{i}_2}}+A_{1k+1}{B}_{1k+1}+\cdots +A_{kk+1}{B}_{kk+1}={\displaystyle \underset{1\le i_1<i_2\le k+1}{\sum }{A}_{i_1{i}_2}{B}_{i_1{i}_2}}\end{array}$

故结论成立。

文献 [3] 的命题1给出了广义行列式的展开式，文献 [4] 进一步得出矩阵乘积的广义行列式。本文将这些结果推广至广义量子行列式情形，得定理3、4及推论1。

定理3 设矩阵A是代数A上的 $m\times n\left(n\ge m\right)$ 量子矩阵，则A的广义量子行列式为

${\left|A\right|}_q={\displaystyle \underset{1\le i_1<\cdots <i_m\le n}{\sum }{\left(-q\right)}^{-l\left(\sigma \right)-\left[i_1+i_2+\cdots +i_m-\frac{m\left(m+1\right)}{2}\right]}{a}_{1i_{\sigma \left(1\right)}}{a}_{2i_{\sigma \left(2\right)}}\cdots a_{m{i}_{\sigma \left(m\right)}}}$ ,

其中 $\sigma \in S_m$ 。

证明 对矩阵A的行数m作数学归纳法。

当 $m=1$ 时，由定义3， ${\left|A\right|}_q={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(-q\right)}^{1-i}{a}_{1i}}$ ，结论成立。

假设矩阵A的行数小于m时，结论成立。则当行数为m时，由定义3， ${\left|A\right|}_q={{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{1i}A}}_{\hat{1}\hat{i}}$ 且对任意的 $1\le i_1\le n$ ， $a_{1i_1}A\hat{1}{\hat{i}}_1={\left(-q\right)}^{1-i_1}{a}_{1i_1}M\hat{1}{\hat{i}}_1$ ，结合定义1得，

$\begin{array}{c}{a}_{1i_1}A\hat{1}{\hat{i}}_1={\left(-q\right)}^{1-i_1}{a}_{1i_1}{\displaystyle \underset{1\le i_2<\cdots <i_m\le n}{\sum }{\left(-q\right)}^{-l\left(\sigma \left(2\right),\cdots ,\sigma \left(m\right)\right)-\left[i_2+\cdots +i_m-\frac{m\left(m-1\right)}{2}-\left(m-1-m_1\right)\right]}{a}_{2i_{\sigma \left(2\right)}}\cdots a_{m{i}_{\sigma \left(m\right)}}}\\ ={\displaystyle \underset{1\le i_2<\cdots <i_m\le n}{\sum }{\left(-q\right)}^{-l\left(\sigma \right)-\left[i_1+i_2+\cdots +i_m-\frac{m\left(m+1\right)}{2}+m_1\right]}{a}_{1i_1}{a}_{2i_{\sigma \left(2\right)}}\cdots a_{m{i}_{\sigma \left(m\right)}}}\end{array}$ ,

其中 $\sigma \in S_m$ ， $i_2,\cdots ,i_m\ne i_1$ ， $i_{\sigma \left(1\right)}=i_1$ ， $m_1$ 为 $i_2,i_3,\cdots ,i_m$ 中小于 $i_1$ 的个数，则

${\left|A\right|}_q={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{1i}{A}_{\hat{1}\hat{i}}}={\displaystyle \underset{1\le i_1<\cdots <i_m\le n}{\sum }{\left(-q\right)}^{-l\left(\sigma \right)-\left[i_1+i_2+\cdots +i_m-\frac{m\left(m+1\right)}{2}\right]}{a}_{1i_{\sigma \left(1\right)}}{a}_{2i_{\sigma \left(2\right)}}\cdots a_{m{i}_{\sigma \left(m\right)}}}$ .

由定理3易得以下推论成立。

推论1 设矩阵A是代数A上的 $m\times n\left(n\ge m\right)$ 量子矩阵，则A的广义量子行列式为

${\left|A\right|}_q={\displaystyle \underset{1\le i_1<\cdots <i_m\le n}{\sum }{\left(-q\right)}^{-\left[i_1+i_2+\cdots +i_m-\frac{m\left(m+1\right)}{2}\right]}{M}_{i_1{i}_2\cdots i_m}}$ ,

其中 $M_{i_1{i}_2\cdots i_m}$ 是A的第 $1,2,\cdots ,m$ 行和第 $i_1,i_2,\cdots ,i_m$ 列组成的m阶矩阵的量子行列式。

定理4若 $A={\left(a_{ij}\right)}_{mn}$ 为代数A上 $m\times n\left(m<n\right)$ 量子矩阵， $B={\left(b_{ij}\right)}_{ns}$ 为代数A上 $n\times s\left(m<s\right)$ 量子矩阵，则乘积AB的广义量子行列式为

${\left|AB\right|}_q={\displaystyle \underset{1\le i_1<\cdots <i_m\le s}{\sum }{\left(-q\right)}^{-\left[i_1+i_2+\cdots +i_m-\frac{m\left(m+1\right)}{2}\right]}{\left|A{B}_{i_1{i}_2\cdots i_m}\right|}_q}$ ,

其中 $i_1{i}_2\cdots i_m$ 为 $1~s$ 中m个元素按自然顺序组成的m级排列， $B_{i_1{i}_2\cdots i_m}$ 为B中第 $i_1,i_2,\cdots ,i_m$ 列构成的 $n\times m$ 子矩阵。

证明 由推论1知，

${\left|AB\right|}_q={\displaystyle \underset{1\le i_1<\cdots <i_m\le n}{\sum }{\left(-q\right)}^{-\left[i_1+i_2+\cdots +i_m-\frac{m\left(m+1\right)}{2}\right]}{M}_{i_1{i}_2\cdots i_m}}$ ,

其中 $M_{i_1{i}_2\cdots i_m}$ 为乘积AB的第 $1,2,\cdots ,m$ 行和第 $i_1,i_2,\cdots ,i_m$ 列组成的m阶矩阵的量子行列式。由矩阵乘法的定义得 $M_{i_1{i}_2\cdots i_m}={\left|A{B}_{i_1{i}_2\cdots i_m}\right|}_q$ ，则结论成立。

NOTES

^*通讯作者。