准素数阶子群的弱Φ-可补

Weakly Φ-Supplemented Subgroups of Prime Power Order

摘要: 设G是一个群，H是G的子群。称H在G中弱Φ-可补，若G中存在一个子群T使得G = HT且H ∩ T ≤ Φ(H), 其中Φ(H)为H的Frattini子群。本文给出弱Φ-可补的概念并利用群G的某些素数幂阶子群的弱Φ-可补子性给出群G的一些性质和结构。

Abstract: Let G be group and H a subgroup of G. We say H is weaklyΦ-supplemented in G if G has a subgroup T such that G = HT and H ∩ T ≤ Φ(H), where Φ(H) is Frattini subgroup of H. In this paper, new results of the structure and properties of a finite group G are given, providing that some subgroups of prime power order are weakly Φ-supplemented in G.

2. 预备知识

定义1 设G是一个群，H是G的子群。称H在G中弱Φ-可补，若G中存在一个子群T使得G = HT且H ∩ T ≤ Φ(H)。

引理1 假设H是群G的子群，N, E是G的正规子群且H在G中弱Φ-可补。则下列的断言成立。

1) 若H ≤ M ≤ G，则H在M中弱Φ-可补。

2) 若N ≤ H，则H/N在G/N弱Φ-可补。

3) 若 $\left(\left|H\right|,\left|E\right|\right)=1$ ，则HE/E在G/E弱Φ-可补。

证明 由H在G中弱Φ-可补，可知G中有子群T使得G = HT且H ∩ T ≤ Φ(H)。

1) 因为H ≤ M，所以 $H\left(M\cap T\right)=HM\cap MT=HM=M$ 且 $H\cap \left(M\cap T\right)=\left(H\cap T\right)\cap M\le \Phi \left(H\right)\cap M=\Phi \left(H\right)$。故H在M中弱Φ-可补。

2) 因为 $\left(H\text{/}N\right)\cap \left(TN\text{/}N\right)=\left(H\cap TN\right)\text{/}N=\left(H\cap T\right)N\text{/}N\le \Phi \left(H\right)N\text{/}N\le \Phi \left(H\text{/}N\right)$ 且 $\left(H\text{/}N\right)\left(TN\text{/}N\right)=G\text{/}N$。因此H/N在G/N弱Φ-可补。

3) 因为G = HT，所以 $\left(HE\text{/}E\right)\left(TE\text{/}E\right)=HTE\text{/}E=G\text{/}E$。因为 $\left(\left|H\right|,\left|E\right|\right)=1$ ，所以 $\left(HE\text{/}E\right)\cap \left(TE\text{/}E\right)=\left(HE\cap TE\right)\text{/}E=\left(HE\cap T\right)E\text{/}E=\left(H\cap T\right)E\text{/}E\le \Phi \left(H\right)E\text{/}E\le \Phi \left(HE\text{/}E\right)$。故HE/E在G/E弱Φ-可补。

引理2 ( [11] ，引理3)设p是群G阶的素因子，n是正整数且满足pⁿ⁺¹不整除|G|。若 $\left(\left|G\right|,\left(p-1\right)\left(p^2-1\right)\cdots \left(p^n-1\right)\right)=1$ ，则G为p-幂零群。

3. 主要结论

定理1 设G是一个群，p是|G|的素因子且 $\left(\left|G\right|,\left(p-1\right)\left(p^2-1\right)\cdots \left(p^n-1\right)\right)=1$。如果G中存在一个Sylow p-子群P，使其每个阶为p^t (其中t为正整数且t ≤ n)或者2p^t (P是非交换2-群且|P|/p^t > 2)子群H在G中弱Φ-可补，则G为p-幂零群。

证明 设结论不成立，并令G是极小阶反例。由引理2得pⁿ⁺¹||P|。通过下列断言完成定理1的证明。

1) G是极小非p-幂零群。

设L是G的真子群。因为|L|整除|G|，所以 $\left(\left|L\right|,\left(p-1\right)\left(p^2-1\right)\cdots \left(p^n-1\right)\right)=1$。如果pⁿ⁺¹不整除|L|，那么由引理2得L为p-幂零群。如果pⁿ⁺¹||L|。令L_p是包含在P中L的Sylow p-子群，H是L_p的p^t或者2p^t(M是非交换2-群且|L_p|/p^t > 2)阶子群。则对应的H是P的p^t或者2p^t (P是非交换2-群且|P|/p^t > 2)阶子群。由定理1的条件及引理1，H在L中弱Φ-可补。从而L满足定理1的条件。由G的选择得L为p-幂零群。

2) G = [P]Q，其中P是G的正规Sylow p-子群， $Q\in Sy{l}_q\left(G\right)$ ，P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群。

由1) 及( [10] ，定理3.4)得，2) 成立。

3) 设N是G的一个极小正规子群，则N为初等交换p-群。

因为G是P和Q的半直积，所以G为可解群。从而G的极小正规子群为初等交换r群。如果pⁿ⁺¹不整除|G/N|，由引理2得G/N为p-幂零群。当pⁿ⁺¹整除|G/N|时。如果r = q。设M/N是PN/N的子群且满足|M/N| = p^t或者2p^t (PN/N是非交换2-群且|PN/N|/p^t > 2)，则存在P的子群H且|H| = p^t或者2p^t使得M = HN。若PN/N是非交换2-群。因为P同构于PN/N，所以P是非交换2-群。由定理1的条件及引理1，M/N在G/N中弱Φ-可补。由G的极小选择得G/N为p-幂零群。由于N为q-群，所以G为p-幂零群。这一矛盾说明r ≠ q。从而N为初等交换p-群。

4) G/N为p-幂零群。

对|N|分三种情况考虑。①|N| > p^t。设H是N的真子群且|H| = p^t。因为N为初等交换群，所以H为初等交换群，从而Φ(H) = 1。由定理1的条件，存在G的子群T使得G = HT且H ∩ T ≤ Φ(H) = 1。因为N为交换群，所以N ∩ T正规于N。由N的正规性得N ∩ T正规于T。而G = HT = NT，故N ∩ T正规于G。由N的极小正规性得N ∩ T = 1或者N ∩ T = N。如果N ∩ T = 1。由H ∩ T = 1且H ≤ N，故H = N。这与H是N的真子群矛盾。如果N ∩ T = N。则G = NT = T。故H ∩ T = H。这与H ∩ T ≤ Φ(H)矛盾。②|N| < p^t。设H/N是P/N的子群且|H/N| = p^t/|N|或者|H/N| = 2p^t/|N| (如果P/N是非交换2-群且 $\left|P\text{/}N\right|\text{/}\left(p^t\text{/}\left|N\right|\right)>\text{2}$ )。则H是P的子群且|H| = p^t或者|H| = 2p^t (相应地P是非交换2-群且|P|/p^t > 2)。由定理1的条件及引理1，H/N在G/N中弱Φ-可补。又因为 $\left(G\text{/}N\right)\text{/}\left(P\text{/}N\right)\cong G\text{/}P$ 为p-幂零群，所以G/N满足定理1的条件。由G的极小选择，G/N为p-幂零群。③|N| = |D|。因为N为初等交换群，所以Φ(N) = 1。由定理1的条件知，N在G中弱Φ-可补。即存在G的子群T使得G = NT且N ∩ T ≤ Φ(N) = 1。故T是G的真子群。由1)知，T为p-幂零群。因为G/N同构于T，所以G/N为p-幂零群。

5) 最后的矛盾。

因为N正规于G，所以NΦ(P)/Φ(P)正规于G/Φ(P)。由2)和3)得N ≤ P。P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群，所以NΦ(P)/Φ(P) = P/Φ(P)或者NΦ(P)/Φ(P) = 1。若NΦ(P)/Φ(P) = P/Φ(P)，则P = NΦ(P) = N为初等交换群。设H是P的p^t阶子群。则H为初等交换群，从而Φ(H) = 1。由定理1的条件，存在G的子群T使得G = HT且H ∩ T ≤ Φ(H) = 1。因为P为交换群，所以P ∩ T正规于P。由P的正规性得P∩T正规于T。而G = HT = PT，故P ∩ T正规于G。由P = N的极小正规性得P ∩ T = 1或者P ∩ T = P。如果P ∩ T = 1，由于H ∩ T = 1且H ≤ P，故H = N。这与|H| = p^t < pⁿ⁺¹且pⁿ⁺¹整除|P|矛盾。如果P ∩ T = N，则G = PT = T。故H ∩ T = H。这与H ∩ T ≤ Φ(H)矛盾。若NΦ(P)/Φ(P) = 1，则N ≤ Φ(P)。由P的正规性得，Φ(P) ≤ Φ(G)。由4) G/Φ(G)为p-幂零群，故G为p-幂零群。这一最后的矛盾完成定理1的证明。

推论1 设G是一个群，p是|G|的素因子且 $\left(\left|G\right|,p-1\right)=1$。如果G的某个Sylow p-子群P的每个p-阶子群和4阶子群(如果P是非交换2-群且|P| > 4)在G中弱Φ-可补，则G为p-幂零群。

注1 在推论1中，条件 $\left(\left|G\right|,p-1\right)=1$ 不可以去掉。比如三次对称群S₃，p = 3时。每个p阶子群在S₃弱Φ-可补，但S₃不是p-幂零群。

注2 在推论1中，G的每个p阶子群和4阶循环子群在G中弱Φ-可补是G为p-幂零群的充分条件不必要条件。比如群G = [A]B，其中|A| = 5， $B=\langle a\rangle$ ， $a\in Aut\left(A\right)$。则G是2-幂零的且 $\left(\left|G\right|,2-1\right)=1$。假设T是 $\langle a^{\text{2}}\rangle$ 在G中弱Φ-可补。即 $G=\langle a^{\text{2}}\rangle T$ 且 $\langle a^{\text{2}}\rangle \cap T\le \Phi \left(\langle a^{\text{2}}\rangle \right)$。因为 $\Phi \left(\langle a^{\text{2}}\rangle \right)=1$ ，所以 $\langle a^{\text{2}}\rangle$ 在G中可补充的。故 $\langle a^{\text{2}}\rangle$ 在B中可补充的，这与B是4阶循环群矛盾。所以 $\langle a^{\text{2}}\rangle$ 在G中不是Φ-可补的。

推论2 群G的每个极小子群和4阶子群(如果存在)在G中弱Φ-可补，则G为超可解群。

证明 设p₁是|G|的最小素因子，则G的每个p₁阶子群和4阶子群在G中弱Φ-可补。由推论1得，G为p₁-幂零群。设T为G的一个正规Hall ${p^{\prime }}_1$ 子群且p₂是|T|的最小素因子。则T对p₂来说满足推论2的条件。故T有正规Hall -子群。依次类推下去，所以G是具有Sylow塔的群。故G为可解群，从而G的极小正规子群N为初等交换p群，其中p为|G|的素因子。从而N的任意非单位子群的Frattini子群为1。假设推论2结论不成立，并设G为极小阶反例。设L是G的真子群，由推论2的条件及引理1，L的每个极小子群和4阶子群(如果存在)在L中弱Φ-可补。即L满足推论2的条件。由G的极小选择，L为超可解群。对|N|分两种情况考虑。①|N| > p，设H是N的真子群且|H| = p。由推论2的条件知，H在G中弱Φ-可补。即存在G的子群T使得G = HT且H ∩ T ≤ Φ(H) = 1。因为N为交换群，所以N ∩ T正规于N。由N的正规性得N ∩ T正规于T。而G = HT = NT，故N ∩ T正规于G。由N的极小正规性得N ∩ T = 1或者N ∩ T = N。如果N ∩ T = 1，由于H ∩ T = 1且H ≤ N，故H = N。这与H是N的真子群矛盾。如果N ∩ T = N，则有G = NT = T。故H ∩ T = H。这与H ∩ T ≤ Φ(H)矛盾。②|N| = p。由推论2的条件知，N在G中弱Φ-可补。即存在G的子群T使得G = NT且N ∩ T ≤ Φ(N) = 1。故T是G的真子群。从而T为超可解的。故 $G\text{/}N\cong T$ 为超可解群。由( [12] ，引理2.3)，G为超可解群。

定理2 设G是一个群，p是|G|的素因子且 $\left(\left|G\right|,\left(p-1\right)\left(p^2-1\right)\cdots \left(p^n-1\right)\right)=1$。F为包含p-幂零群系的饱和群系。如果存在G的一个正规子群E使得 $G\text{/}E\in F$ 且E中存在一个Sylow p-子群P，使其每个阶为p^t (其中t为正整数且t ≤ n)或者2p^t (P是非交换2-群且|P|/p^t > 2)子群H在G中弱Φ-可补，则 $G\in F$。

证明 假设结论不成立，G为极小阶反例。由引理1知，P的每个阶为p^t (其中t为正整数且t ≤ n)或者2p^t (P是非交换2-群且|P|/p^t > 2)子群H在E中弱Φ-可补。由定理1知，E为p-幂零群。设T为E的正规Hall p'-子群。则T特征于E。由E的正规性，得T正规于G。下面对T分两种情况讨论。

T ≠ 1。因为(G/T)/(E/T)同构于G/E且 $G\text{/}E\in F$ ，所以 $\left(G\text{/}T\right)\text{/}\left(E\text{/}T\right)\in F$。因为P是E的Sylow p-子群且T是E的正规Hall p'-子群，所以E = PT且E/T同构于P。设M/T是E/T的子群且|M/T| = p^t或者2p^t (如果E/T是非交换2-群且|PT/T|/p^t > 2)。则存在P的子群H且|H| = p^t或者2p^t (如果P是非交换2-群且|P|/p^t > 2)使得M = HT。由定理2的条件及引理1，M/T在G/T中弱Φ-可补。由G的极小选择， $G\text{/}T\in F$。而T是p'-子群，故 $G\in F$。

T = 1。则E = P为p-群。于是PQ是G的一个子群，其中Q为G的任一Sylow q-子群(q ≠ p)。由引理1及定理1知，PQ是p-幂零的。从而Q正规于PQ。设N是包含在P中的G的任一非单位正规子群，则 $O^p\left(G\right)\le C_G\left(P\right)\le C_G\left(N\right)$。从而 $\left[N,G\right]=\left[N,G_p{O}^p\left(G\right)\right]=\left[N,G_p\right]$ ，其中G_p为G的任一Sylow p-子群。故[N, G] < G_p。从而存在G的正规子群L使得N/L是G的主因子且[N, G] ≤ L。由此得到N/L ≤ Z(G/L)。由N的选择、 $G\text{/}P\in F$ 及F为包含p-幂零群系的饱和群系，所以 $G\in F$。

这一最后的矛盾完成了定理2的证明。

基金项目

河南省高等学校青年骨干教师培养计划(2016GGJS-204)。