集值映射的Krasnoselskii型不动点

On the Krasnoselskii-Type Fixed Point of Set-Valued Mapping

摘要: 利用E. Zeidler不动点定理，证明了将Krasnoselskii不动点定理中的单值映射A推广到集值映射的情况下算子A + B的不动点的存在性。

Abstract: Using E. Zeidler fixed point theorem, the fixed point of the operator A + B has been obtained, where A is from a single value mapping to a set-valued mapping.

1. 引言

Krasnoselskii不动点定理：

若M是Banach空间X的一个非空闭凸子集， $A:M\to X,B:M\to X$ ，且满足：

1) A连续且是紧的；

2) B是压缩映射；

3) $\forall x,y\in M,Ax+By\in M$ 。

则存在 $x\in M$ ，使得 $Ax+Bx=x$ 。

此定理主要用于研究带扰动的方程的不动点的存在性，还用于求解非线性积分方程，其结果在非线性领域有很广泛的应用。

对此定理的改进主要是在确保前提的条件下，改进条件(1)，(2)和(3)，具体的改进可见文献 [1] [2] [3] [4] 。在文献 [4] 中印度学者Dhage用以下条件取代了条件(1)：在E上，A是一个有界非线性算子，且 $A^p$ 是一个非线性压缩算子， $p\in N$ 。在文献 [5] 中，作者用A是半压缩和非扩张算子替代条件(1)，并将B的紧性进一步放宽，得到了一系列新的结果，很大程度上推广了Krasnoselskii不动点定理。

本文在上述定理的基础上将A改进为集值映射，给出了算子 $A+B$ 的不动点。

2. 预备知识

定义1 [6] ：设 $X,Y$ 是两个集合，T是一种对应法则，如果每一个 $x\in X$ ，通过T有Y的一个子集与之对应，则称T是X到Y的一个集值映射。

定义2 [1] ：如果 $\underset{x\in X}{\cup }Tx$ 是相对紧的(关于Y而言)，则称T是紧的。如果对任意 $x\in X$ ，有 $Tx\subset Y$ 是闭的，则称T是闭值的。

定义3 [1] ：设X是Banach空间，对任意的 $M\subset X$ ， $P\left(M\right)=\left\{N,N\subset M,N\ne \varnothing \right\}$ ， $F:M\to P\left(X\right)$ 。若对任意的闭集 $B\subset X$ ， $F^{-1}\left(B\right)=\left\{x\in X:F\left(x\right)\cap B\ne \varnothing \right\}$ 是M中的闭集，则称 $F\left(x\right)$ 上半连续；。若对任意的闭集 $B\subset X$ ， $F^{-1}\left(B\right)=\left\{x\in X:F\left(x\right)\subseteq B\right\}$ 是M中的闭集，则称 $F\left(x\right)$ 下半连续。

定义4 [6] ：对任意的拓扑空间X，集合 $C\left(X\right)$ 表示X的所有紧子集。

定义5 [6] ：设 $X\to P_0\left(Y\right)$ 是一个集值映射，那么称集合

$graph\left(F\right)=\left\{\left(x,y\right)\in X\times Y:y\in F\left(x\right)\right\}$

为集值映射F的图。如果 $graph\left(F\right)$ 是 $X\times Y$ 中的闭集，则称集值映射F是闭的。由此定义，对 $\forall \left(x_{\alpha },y_{\alpha }\right)\in graph\left(F\right)$ ， $\left(x_{\alpha },y_{\alpha }\right)\to \left(x,y\right)$ ，必有 $\left(x,y\right)\in graph\left(F\right)$ ，即 $\forall x_{\alpha }\to x,\forall y_{\alpha }\in F\left(x_{\alpha }\right),y_{\alpha }\to y$ ，必有 $y\in F\left(x\right)$ 。

3. 主要结果及其证明

定理1 [6] ：如果集值映射 $F:X\to P_0\left(Y\right)$ 是闭的，则 $\forall x\in X,F\left(x\right)$ 是闭的。

定理2 [6] ：设 $X,Y,Z$ 是Housdorff拓扑空间， $F:X\to P_0\left(Y\right)$ 和 $G:Y\to P_0\left(Z\right)$ 是两个集值映射，如果F在X上是上半连续的，G在Y上是上半连续的，则复合映射 $GF:X\to P_0\left(Z\right)$ 在X上是上半连续的。

定理3 [1] ：设M是一Banach空间，M是X的一个非空闭凸子集。 $F:M\to P\left(M\right)$ 是一个集值映射。假设F满足以下条件：

(f1) $F\left(M\right)$ 是一相对紧集；

(f2) F在M是上半连续的；

(f3) 集合 $F\left(x\right)$ 是非空闭凸集。

那么，存在 $x\in M$ ，使得 $x\in F\left(x\right)$ 。

定理4 若M是Banach空间，X是非空有界闭凸集， $A:M\to P\left(M\right)$ 是一个集值映射， $B:M\to X$ 是单值映射。若满足以下条件：

(i) $A\left(M\right)$ 是一个相对紧集；

(ii) A在M上是上半连续的；

(iii) B是一个压缩映射，且 $Ax+Bx\in M$ ， $\forall x\in M$ ；

(iv) 集合 $A\left(x\right)$ 是非空闭集，且 $\forall y\in M$ ， $\left\{x\in M:\left(I-B\right)x\in Ay\right\}$ 是一个凸集。

则存在 $x\in M$ ，使得 $x\in Ax+Bx$ 。

证明：任取 $y\in M$ ，考虑 $Tx=Bx+y$ 。由于B是压缩映射，则 $T:M\to X$ 是压缩映射。由Banach压缩映像原理，T在M中存在唯一的不动点 $x_0$ ，使得 $x_0=B{x}_0+y$ ， $x_0\in M$ 。

即 $\left(I-B\right)x_0=y$ ，所以 $I-B$ 是可逆的。

下证 ${\left(I-B\right)}^{-1}$ 是连续的。

令 ${\left(I-B\right)}^{-1}{x}_n=y_n$ ， ${\left(I-B\right)}^{-1}x=y$ ，即证明 $y_n\to y$ 。

由

$\begin{array}{c}\Vert x_n-x\Vert =\Vert \left(I-B\right)y_n-\left(I-B\right)y\Vert \ge \Vert y_n-y\Vert -\Vert B{y}_n-By\Vert \\ \ge \Vert y_n-y\Vert -k\Vert y_n-y\Vert =\left(1-k\right)\Vert y_n-y\Vert \end{array}$ ，

因为 $x_n\to x$ ， $y_n\to y$ ，可得 ${\left(I-B\right)}^{-1}$ 是连续的。

构造复合映射： $F={\left(I-B\right)}^{-1}A$ ：

由(i)可得， $F\left(M\right)$ 是一个相对紧集。

由(ii)可知，A是上半连续的，上证 ${\left(I-B\right)}^{-1}$ 是连续的，所以由定理2可知F是上半连续的。

由(iv)，对任意的 $x\in M$ ， $F\left(x\right)$ 是非空闭凸的。

所以由定理3，存在 $x\in M$ ，使得 $x\in F\left(x\right)$ ，即 $x\in Ax+Bx$ 。

定理5 若M是Banacha空间，X是非空有界闭凸集， $A:M\to P\left(M\right)$ 是一个集值映射且是闭值的， $B:M\to X$ 是连续单值映射。若满足以下条件：

(a) $A\left(M\right)\subset \left(I-B\right)\left(M\right)$ ；

(b) $A\left(M\right)$ 包含在M的一个紧子集里面；

(c) 如果 $\left(I-B\right)x_n\to y$ ，那么存在 $\left\{x_n\right\}$ 的一个收敛子列 $\left\{x_{n_k}\right\}$ ；

(d) $\forall y\in M,\left\{x\in M:\left(I-B\right)x\in Ay\right\}$ 是一个凸集。

那么，存在 $y\in M$ ，使得 $y\in Ay+By$ 。

证明：若 $I-B$ 是可逆的：

由(c)可得， ${\left(I-B\right)}^{-1}$ 是连续的，下面给出证明。

要证明 ${\left(I-B\right)}^{-1}$ 是连续的，只要证明当 $y_n\to y_0$ 时， ${\left(I-B\right)}^{-1}{y}_n\to {\left(I-B\right)}^{-1}{y}_0$ 。

令 $x_n={\left(I-B\right)}^{-1}{y}_n$ ， $x_0={\left(I-B\right)}^{-1}{y}_0$ ，则有 $\left(I-B\right)x_n\to \left(I-B\right)x_0$ 。

任取 $\left\{x_{n^{\prime }}\right\}$ ，只要证明存在 $\left\{x_{{n^{\prime }}_n}\right\}\to x_0$ 就可以了。

因为 ${x^{\prime }}_n={\left(I-B\right)}^{-1}{y^{\prime }}_n$ ，即 $\left(I-B\right){x^{\prime }}_n={y^{\prime }}_n$ ， $\left(I-B\right){x^{\prime }}_n\to y_0$ ，由(c)，存在 $\left\{x_{{n^{\prime }}_k}\right\}\to x_1$ 。

下证 $x_1=x_0$ ，由于 $\left(I-B\right)\left\{x_{{n^{\prime }}_k}\right\}=\left(I-B\right)x_1$ ，又 $\left(I-B\right)\left\{x_{{n^{\prime }}_k}\right\}\to y_0=\left(I-B\right)x_0$ ，所以 $x_1=x_0$ ，即证 ${\left(I-B\right)}^{-1}$ 是连续的。

对任意 $y\in M$ ，构造复合映射： $F:{\left(I-B\right)}^{-1}A$ ：

由(a)可知， $F:M\to M$ 。由定理1可知，存在 $y\in M$ ，使得 $y\in Ay+By$ 。

若 $I-B$ 不是可逆的。

下面验证满足定理3的条件。

① $F\left(x\right)$ 是凸集(由(d)可得)。

② 验证F是图闭的。

即证明当 $x_n\to x_0$ ， $y_n\to y_0$ ， $\left(x_n,y_n\right)\to \left(x_0,y_0\right)$ 时， $y_0\in F\left(x_0\right)$ 。

因为 $y_n\in F\left(x_n\right)$ ，即 $y_n\in {\left(I-B\right)}^{-1}A{x}_n$ ，那么一定存在 ${x^{\prime }}_n\in A{x}_n$ ，使得 $\left(I-B\right)y_n={x^{\prime }}_n$ 。

由(b)可得， $\left\{{x^{\prime }}_n\right\}$ 存在收敛子列 ${x^{\prime }}_{n_k}\to {x^{\prime }}_0$ ，所以存在 $y_{n_k}$ ，使得 $\left(I-B\right)y_{n_k}={x^{\prime }}_{n_k}$ 。

两边同时取极限可得

$\left(I-B\right)y_0={x^{\prime }}_0$ 且 $\left(I-B\right)y_0={x^{\prime }}_0\in A\left(x_0\right)$ ，

即 $y_0\in {\left(I-B\right)}^{-1}A{x}_0$ (因为A是闭值的)，所以F在M上是图闭的。

③ 验证 $F\left(x\right)$ 是闭值的。

由(b)知F是图闭的，由定理1可知， $\forall x\in M$ ， $F\left(x\right)$ 是闭值的。

④ 验证 $F\left(M\right)$ 是相对紧集。

要验证 $F\left(M\right)$ 是相对紧集，即验证 $\forall y_n\in F\left(M\right)$ ，都有收敛子列。

对 $\left\{y_n\right\}$ ，存在 $\left\{x_n\right\}$ ，使得 $y_n\in {\left(I-B\right)}^{-1}A{x}_n$ ，那么一定存在 ${x^{\prime }}_n\in A{x}_n$ ，使得 $\left(I-B\right)y_n={x^{\prime }}_n$ 。因为 $A\left(M\right)$ 包含在M的一个紧子集里面，所以存在收敛子列 $\left\{{x^{\prime }}_{n_k}\right\}$ ， ${x^{\prime }}_{n_k}\to u$ ，即存在 $y_{n_k}$ ，使得 $\left(I-B\right)y_{n_k}={x^{\prime }}_{n_k}\to u$

由(c)可知， $\left\{y_{n_k}\right\}$ 有收敛子列 $\left\{{y^{\prime }}_{n_k}\right\}$ 。

⑤ 验证F是上半连续的。

即对任意的闭集 $B\subset M$ ， $F^{-1}\left(B\right)=\left\{x\in M:F\left(x\right)\cap B\ne \varnothing \right\}$ 是M中的闭集。

任选 $\left\{y_n\right\}\in F^{-1}\left(B\right)$ ， $y_n\to y_0$ ，验证 $y_0\in F^{-1}\left(B\right)$ 就可以了。

对 $\left\{y_n\right\}\in F^{-1}\left(B\right)$ ，存在：

$x_n\in F\left(y_n\right)\cap B\subset F\left(y_n\right)\subset F\left(M\right)$ ( $F\left(M\right)$ 是相对紧集)。

此时 $x_n$ 有收敛子列 $x_{n_k}\to x_0$ ( $x_0\in M,M$ 是闭集)。

所以必存在 ${y^{\prime }}_n\in A{y}_n$ ，使得 $\left(I-B\right)x_n={y^{\prime }}_n$ ，即 $\left(I-B\right)x_{n_k}={y^{\prime }}_{n_k}$ 。

两边同时取极限，即 $\left(I-B\right)x_0={y^{\prime }}_0\in A\left(y_0\right)$ 。

所以 $x_0\in F\left(y_0\right)\cap B$ ，即 $y_0\in F^{-1}\left(B\right)$ ，所以F是上半连续的。

由定理3可知，存在 $y\in M$ ，使得 $y\in Ay+By$ 。

基金项目

陕西省教育厅科研基金项目(17JK0145)；校级科研项目(SLGKY16-02)。