PM  >> Vol. 8 No. 4 (July 2018)

    集值映射的Krasnoselskii型不动点
    On the Krasnoselskii-Type Fixed Point of Set-Valued Mapping

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作者:  

曲广军:陕西理工大学数学与计算机科学学院,陕西 汉中

关键词:
集值映射不动点Set-Valued Mapping Fixed Point

摘要:

利用E. Zeidler不动点定理,证明了将Krasnoselskii不动点定理中的单值映射A推广到集值映射的情况下算子A + B的不动点的存在性。

Using E. Zeidler fixed point theorem, the fixed point of the operator A + B has been obtained, where A is from a single value mapping to a set-valued mapping.

1. 引言

Krasnoselskii不动点定理:

若M是Banach空间X的一个非空闭凸子集, A : M X , B : M X ,且满足:

1) A连续且是紧的;

2) B是压缩映射;

3) x , y M , A x + B y M

则存在 x M ,使得 A x + B x = x

此定理主要用于研究带扰动的方程的不动点的存在性,还用于求解非线性积分方程,其结果在非线性领域有很广泛的应用。

对此定理的改进主要是在确保前提的条件下,改进条件(1),(2)和(3),具体的改进可见文献 [1] [2] [3] [4] 。在文献 [4] 中印度学者Dhage用以下条件取代了条件(1):在E上,A是一个有界非线性算子,且 A p 是一个非线性压缩算子, p N 。在文献 [5] 中,作者用A是半压缩和非扩张算子替代条件(1),并将B的紧性进一步放宽,得到了一系列新的结果,很大程度上推广了Krasnoselskii不动点定理。

本文在上述定理的基础上将A改进为集值映射,给出了算子 A + B 的不动点。

2. 预备知识

定义1 [6] :设 X , Y 是两个集合,T是一种对应法则,如果每一个 x X ,通过T有Y的一个子集与之对应,则称T是X到Y的一个集值映射。

定义2 [1] :如果 x X T x 是相对紧的(关于Y而言),则称T是紧的。如果对任意 x X ,有 T x Y 是闭的,则称T是闭值的。

定义3 [1] :设X是Banach空间,对任意的 M X P ( M ) = { N , N M , N } F : M P ( X ) 。若对任意的闭集 B X F 1 ( B ) = { x X : F ( x ) B } 是M中的闭集,则称 F ( x ) 上半连续;。若对任意的闭集 B X F 1 ( B ) = { x X : F ( x ) B } 是M中的闭集,则称 F ( x ) 下半连续。

定义4 [6] :对任意的拓扑空间X,集合 C ( X ) 表示X的所有紧子集。

定义5 [6] :设 X P 0 ( Y ) 是一个集值映射,那么称集合

g r a p h ( F ) = { ( x , y ) X × Y : y F ( x ) }

为集值映射F的图。如果 g r a p h ( F ) X × Y 中的闭集,则称集值映射F是闭的。由此定义,对 ( x α , y α ) g r a p h ( F ) ( x α , y α ) ( x , y ) ,必有 ( x , y ) g r a p h ( F ) ,即 x α x , y α F ( x α ) , y α y ,必有 y F ( x )

3. 主要结果及其证明

定理1 [6] :如果集值映射 F : X P 0 ( Y ) 是闭的,则 x X , F ( x ) 是闭的。

定理2 [6] :设 X , Y , Z 是Housdorff拓扑空间, F : X P 0 ( Y ) G : Y P 0 ( Z ) 是两个集值映射,如果F在X上是上半连续的,G在Y上是上半连续的,则复合映射 G F : X P 0 ( Z ) 在X上是上半连续的。

定理3 [1] :设M是一Banach空间,M是X的一个非空闭凸子集。 F : M P ( M ) 是一个集值映射。假设F满足以下条件:

(f1) F ( M ) 是一相对紧集;

(f2) F在M是上半连续的;

(f3) 集合 F ( x ) 是非空闭凸集。

那么,存在 x M ,使得 x F ( x )

定理4 若M是Banach空间,X是非空有界闭凸集, A : M P ( M ) 是一个集值映射, B : M X 是单值映射。若满足以下条件:

(i) A ( M ) 是一个相对紧集;

(ii) A在M上是上半连续的;

(iii) B是一个压缩映射,且 A x + B x M x M

(iv) 集合 A ( x ) 是非空闭集,且 y M { x M : ( I B ) x A y } 是一个凸集。

则存在 x M ,使得 x A x + B x

证明:任取 y M ,考虑 T x = B x + y 。由于B是压缩映射,则 T : M X 是压缩映射。由Banach压缩映像原理,T在M中存在唯一的不动点 x 0 ,使得 x 0 = B x 0 + y x 0 M

( I B ) x 0 = y ,所以 I B 是可逆的。

下证 ( I B ) 1 是连续的。

( I B ) 1 x n = y n ( I B ) 1 x = y ,即证明 y n y

x n x = ( I B ) y n ( I B ) y y n y B y n B y y n y k y n y = ( 1 k ) y n y

因为 x n x y n y ,可得 ( I B ) 1 是连续的。

构造复合映射: F = ( I B ) 1 A

由(i)可得, F ( M ) 是一个相对紧集。

由(ii)可知,A是上半连续的,上证 ( I B ) 1 是连续的,所以由定理2可知F是上半连续的。

由(iv),对任意的 x M F ( x ) 是非空闭凸的。

所以由定理3,存在 x M ,使得 x F ( x ) ,即 x A x + B x

定理5 若M是Banacha空间,X是非空有界闭凸集, A : M P ( M ) 是一个集值映射且是闭值的, B : M X 是连续单值映射。若满足以下条件:

(a) A ( M ) ( I B ) ( M )

(b) A ( M ) 包含在M的一个紧子集里面;

(c) 如果 ( I B ) x n y ,那么存在 { x n } 的一个收敛子列 { x n k }

(d) y M , { x M : ( I B ) x A y } 是一个凸集。

那么,存在 y M ,使得 y A y + B y

证明:若 I B 是可逆的:

由(c)可得, ( I B ) 1 是连续的,下面给出证明。

要证明 ( I B ) 1 是连续的,只要证明当 y n y 0 时, ( I B ) 1 y n ( I B ) 1 y 0

x n = ( I B ) 1 y n x 0 = ( I B ) 1 y 0 ,则有 ( I B ) x n ( I B ) x 0

任取 { x n } ,只要证明存在 { x n n } x 0 就可以了。

因为 x n = ( I B ) 1 y n ,即 ( I B ) x n = y n ( I B ) x n y 0 ,由(c),存在 { x n k } x 1

下证 x 1 = x 0 ,由于 ( I B ) { x n k } = ( I B ) x 1 ,又 ( I B ) { x n k } y 0 = ( I B ) x 0 ,所以 x 1 = x 0 ,即证 ( I B ) 1 是连续的。

对任意 y M ,构造复合映射: F : ( I B ) 1 A

由(a)可知, F : M M 。由定理1可知,存在 y M ,使得 y A y + B y

I B 不是可逆的。

下面验证满足定理3的条件。

F ( x ) 是凸集(由(d)可得)。

② 验证F是图闭的。

即证明当 x n x 0 y n y 0 ( x n , y n ) ( x 0 , y 0 ) 时, y 0 F ( x 0 )

因为 y n F ( x n ) ,即 y n ( I B ) 1 A x n ,那么一定存在 x n A x n ,使得 ( I B ) y n = x n

由(b)可得, { x n } 存在收敛子列 x n k x 0 ,所以存在 y n k ,使得 ( I B ) y n k = x n k

两边同时取极限可得

( I B ) y 0 = x 0 ( I B ) y 0 = x 0 A ( x 0 )

y 0 ( I B ) 1 A x 0 (因为A是闭值的),所以F在M上是图闭的。

③ 验证 F ( x ) 是闭值的。

由(b)知F是图闭的,由定理1可知, x M F ( x ) 是闭值的。

④ 验证 F ( M ) 是相对紧集。

要验证 F ( M ) 是相对紧集,即验证 y n F ( M ) ,都有收敛子列。

{ y n } ,存在 { x n } ,使得 y n ( I B ) 1 A x n ,那么一定存在 x n A x n ,使得 ( I B ) y n = x n 。因为 A ( M ) 包含在M的一个紧子集里面,所以存在收敛子列 { x n k } x n k u ,即存在 y n k ,使得 ( I B ) y n k = x n k u

由(c)可知, { y n k } 有收敛子列 { y n k }

⑤ 验证F是上半连续的。

即对任意的闭集 B M F 1 ( B ) = { x M : F ( x ) B } 是M中的闭集。

任选 { y n } F 1 ( B ) y n y 0 ,验证 y 0 F 1 ( B ) 就可以了。

{ y n } F 1 ( B ) ,存在:

x n F ( y n ) B F ( y n ) F ( M ) ( F ( M ) 是相对紧集)。

此时 x n 有收敛子列 x n k x 0 ( x 0 M , M 是闭集)。

所以必存在 y n A y n ,使得 ( I B ) x n = y n ,即 ( I B ) x n k = y n k

两边同时取极限,即 ( I B ) x 0 = y 0 A ( y 0 )

所以 x 0 F ( y 0 ) B ,即 y 0 F 1 ( B ) ,所以F是上半连续的。

由定理3可知,存在 y M ,使得 y A y + B y

基金项目

陕西省教育厅科研基金项目(17JK0145);校级科研项目(SLGKY16-02)。

文章引用:
曲广军. 集值映射的Krasnoselskii型不动点[J]. 理论数学, 2018, 8(4): 426-430. https://doi.org/10.12677/PM.2018.84056

参考文献

[1] Liu, Y.C. and Li, Z.X. (2008) Kraasnolelskii Fixed Point Theorems and Applications. Proceedings of the American Mathematical Society, 136, 1213-1220.
https://doi.org/10.1090/S0002-9939-07-09190-3
[2] Burton, T. (1998) A Fixed-Point Theorem of Kraasnolelskii. Applied Mathematics Letters, 11, 85-88.
https://doi.org/10.1016/S0893-9659(97)00138-9
[3] Ok, E.A. (2009) Fixed Set Theorems of Kraasnolelskii Type. Proceedings of the American Mathematical Society, 137, 511-518.
https://doi.org/10.1090/S0002-9939-08-09332-5
[4] Dhage, B.C. (2003) Remarks on Two Fixed-Point Theorems Involving the Sum and the Product of Two Operators. Computers & Mathematics with Applications, 46, 1779-1785.
https://doi.org/10.1016/S0898-1221(03)90236-7
[5] Henry, D. (1981) Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Springer-Verlag, Berlin-New York.
https://doi.org/10.1007/BFb0089647
[6] 俞建. 博弈论与非线性分析[M]. 北京: 科学出版社, 2007.