AAM  >> Vol. 7 No. 7 (July 2018)

    一类非线性椭圆型边界值问题的正解
    Positive Solutions for a Class of Nonlinear Elliptic Boundary Value Problem

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作者:  

曲广军:陕西理工大学,数学与计算机科学学院,陕西 汉中

关键词:
欧拉变分原理变形的山路引理正解Ekeland’s Variantional Principle Variant Version Mountain Pass Lemma Positive Solutions

摘要:

利用欧拉变分原理以及一个变形的山路引理,证明了一类非线性椭圆型边界值问题至少存在两个正解。

Using the Ekeland’s variantional principle and a variant version mountain pass lemma, two positive solutions are obtained for a class of nonlinear elliptic boundary value problem.

1. 引言

考虑以下非线性椭圆型边界值问题

{ Δ p u = λ f ( x , u ) , x Ω . u = 0 , x Ω . (1)

其中, Δ p u 是p-拉普拉斯算子且 p > 1 Ω R n ( n 1 ) 中带有光滑边界的有界区域, λ > 0 是参数,函数 f ( x , t ) C ( Ω ¯ × R , R ) 满足以下条件:

f1) lim t 0 + f ( x , t ) t p 1 = + a.e. x Ω ¯

f2) lim t + f ( x , t ) t p 1 = + a.e. x Ω ¯

f3) 存在常数 θ 1 , θ 0 > 0 使得 θ G ( x , s ) G ( x , t ) θ 0 x Ω ¯ 0 t s 都成立。其中, G ( x , t ) = f ( x , t ) t p F ( x , t ) F ( x , t ) = 0 t f ( x , s ) d s

f4) 当 n > p 时, q ( p , n p n p ) ;当 n p 时, q ( p , + ) ,s. t. lim t + f ( x , t ) t q 1 = 0 a.e. x Ω ¯

f5) 当 t 0 x Ω ¯ 时, f ( x , t ) 0 ;当 t 0 x Ω ¯ 时, f ( x , t ) 0

方程(1)是一类重要的非线性椭圆问题,因此被广泛研究,如文献 [1] - [6] 。文献 [1] 在以下条件下讨论了方程(1)解的存在性;

f2') lim t + f ( x , t ) t p 1 = l a.e. x Ω ¯ ,其中l是常数。

f ( x , t ) 满足条件(f2'),则称 f ( x , t ) 在无穷远处是渐近线性的;若 f ( x , t ) 满足条件(f2),则称 f ( x , t ) 在无穷远处是超线性的;很明显(f2)和(f2')是不相容的。

文献 [2] [3] 在 p = 2 f ( x , t ) 在无穷远处是超线性的情况下讨论了方程(1)的非平凡解。文献 [4] [5] [6] 针对一般的 p > 1 以及超线性条件证明了方程(1)的正解的存在性。其中文献 [6] 给出了以下条件:

f1') b 0 lim t 0 + inf f ( x , t ) t p 1 lim t 0 + sup f ( x , t ) t p 1 a ( x ) a. e. x Ω ¯ ,其中 b 0 为常数, a ( x ) L ( Ω ) 满足

x Ω ¯ ,都有 a ( x ) λ 1 ,且存在某正测集 Ω 1 Ω 使得 a ( x ) λ 1 a. e. x Ω ¯ λ 1 Δ p 的第一个特征值。

明显地,条件(f1)和(f1')是矛盾的。本文将在(f1)~(f5)的条件下,证明方程(1)至少存在两个正解。

2. 预备知识

定义:设E为实Banach空间, I C 1 ( E , R ) 。如果使得 { I ( u k ) } 有界,且

( 1 + u k ) I ( u k ) 0 ( k )

的任一序列 { u k } ( u k E ) 都有一个收敛子列,则称泛函I满足(C)条件。

以下是本文将要用到的一个变形的山路引理,其证明见文献 [7] 。

山路引理:设E为实Banach空间,其对偶空间为 E I C 1 ( E , R ) ,且存在 α < β , ρ > 0 e E ( e > ρ ) ,使得

max { I ( 0 ) , I ( e ) } α < β inf u = ρ I ( u )

c = inf γ Γ max 0 t 1 I ( γ ( t ) ) ,其中 Γ = { γ C ( [ 0 , 1 ] , E ) : γ ( 0 ) = 0 , γ ( 1 ) = e } 为连结0与e的道路的集合。则存

在序列 { u n } E ,使得

I ( u n ) c β ,且 ( 1 + u n ) I ( u n ) E 0 ( n )

3. 主要结果及其证明

定义如下的 C 1 泛函:

J λ ( u ) = 1 p Ω | u | p d x λ Ω F ( x , u ) d x u W 0 1 , p ( Ω )

J λ C 1 ( W 0 1 , p ( Ω ) , R ) ,且寻找方程(1)的非平凡解等价于寻找泛函 J λ 的非零临界点。

命题1:设函数 f ( x , t ) 满足条件(f4),(f5),则 β , ρ > 0 , s. t. u W 0 1 , p ( Ω ) ( u = ρ ) ,有 J λ ( u ) β > 0

证:由 f ( x , t ) C ( Ω ¯ × R , R ) 及条件(f4),(f5)成立,则存在常数 c 1 > 0 ,使得

f ( x , t ) c 1 | t | q 1 , ( x , t ) Ω ¯ × R

F ( x , t ) c 1 q | t | q , ( x , t ) Ω ¯ × R (2)

所以由(2)式及Sobolev不等式,有

J λ ( u ) = 1 p u p λ Ω F ( x , u ) d x 1 p u p λ Ω c 1 q | u | q d x 1 p u p λ c 2 u q (3)

其中 c 2 > 0 为常数。因为 p < q , λ > 0 ,令 ρ > 0 足够小,使

β = 1 p ρ p λ c 2 ρ q > 0

则由(3)式, J λ ( u ) | B ρ ( 0 ) β > 0

命题2:设函数 f ( x , t ) 满足条件(f2),(f5),则存在 e λ W 0 1 , p ( Ω ) e λ > ρ ,使得 J λ ( e λ ) < 0

证:由条件(f2),(f5),则 ε > 0 , m = m ( ε ) > 0 ,s. t.

f ( x , t ) t p 1 ε m ( x , t ) Ω ¯ × R

F ( x , t ) 1 p ε t p m t ( x , t ) Ω ¯ × R

ϕ 1 > 0 ( ϕ 1 = 1 ) λ 1 对应的正则特征函数,则

Ω F ( x , t ϕ 1 ) t p d x Ω ( 1 p ε ϕ 1 p m ϕ 1 t p 1 ) d x . (4)

在(4)式中令 t + ,则

lim t + inf Ω F ( x , t ϕ 1 ) t p d x Ω 1 p ε ϕ 1 p d x

ε > 0 是任意的,故当 ε 0 + 时,可得

lim t + Ω F ( x , t ϕ 1 ) t p d x = +

从而,

J λ ( t ϕ 1 ) t p = 1 p Ω F ( x , t ϕ 1 ) t p d x ( t + )

所以当 t 0 > 0 充分大时, e λ = t 0 ϕ 1 W 0 1 , p ( Ω ) e λ > ρ ,s. t. J λ ( e λ ) < 0

命题3:设函数 f ( x , t ) 满足条件(f2),(f3),(f5),则 J λ ( u ) 满足(C)条件。

证:令 { u n } W 0 1 , p ( Ω ) 满足

J λ ( u n ) c ,且 ( 1 + u n ) J λ ( u n ) 0 ( n ) . (5)

1 p J λ ( u n ) , u n = o ( 1 ) ,从而

Ω ( λ p f ( x , u n ) u n λ F ( x , u n ) ) d x = c + o ( 1 ) . (6)

下证 { u n } 有界。若不然,假设存在 { u n } 的子序列(仍记为 { u n } ),使得当 n 时, u n 。令 W n = u n u n ,则 W n = 1 。从而存在 W W 0 1 , p ( Ω ) { W n } 的子序列(仍记为 { W n } ),使得当 n 时,有

W n W W 0 1 , p ( Ω ) 中;有 W n W L q ( Ω ) 中; W n ( x ) W ( x ) a.e. x Ω . (7)

易见, W + W 有类似于(7)的收敛性,其中 W ± = max { ± W , 0 }

W + 0 。选取一个实数序列 { t n } ,使得 J λ ( t n u n ) = max t [ 0 , 1 ] J λ ( t u n ) 。对任意的正整数k,定义 V n = ( 2 p k ) 1 p W n + ,因为 W + 0 ,则

lim n Ω F ( x , V n ) d x = 0 (8)

因为 c u n + ( n ) ,则当n充分大时, ( 2 p k ) 1 p u n [ 0 , 1 ] 。由 t n 的定义及(8)式,得

J λ ( t n u n ) J λ ( ( 2 p k ) 1 p u n u n + ) = J λ ( ( 2 p k ) 1 p W n + ) = J λ ( V n ) 2 K λ Ω F ( x , V n ) d x K

J λ ( t n u n ) + ( n ) (9)

由条件(f5)知, f ( x , 0 ) = 0 ,则 J λ ( 0 ) = 0 。又因为 J λ ( u n ) c ( n ) ,则当n充分大时, 0 < t n < 1 。因此

Ω | ( t n u n ) | p d x λ Ω f ( x , t n u n ) t n u n d x = J λ ( t n u n ) , t n u n = t n d J λ ( t u n ) d t | t = t n = 0 (10)

但由 0 t n 1 ,则 | t n u n | | u n | 。从而由(9),(10)式及条件(f3),有

Ω ( λ p f ( x , u n ) u n λ F ( x , u n ) ) d x = λ p Ω ( f ( x , u n ) u n p F ( x , u n ) ) d x = λ p Ω G ( x , u n ) d x λ p θ Ω ( G ( x , t n u n ) θ 0 ) d x = 1 θ Ω ( λ p f ( x , t n u n ) t n u n λ F ( x , t n u n ) ) d x λ θ 0 p θ | Ω | = 1 θ Ω ( 1 p | ( t n u n ) | p λ F ( x , t n u n ) ) d x λ θ 0 p θ | Ω | = 1 θ J λ ( t n u n ) λ θ 0 p θ | Ω | + ( n )

这与(6)矛盾。

W + > 0 ,由 u n + ( n ) ,则当 n 时, u n + + a.e. x Ω + = { x Ω : W + > 0 } 。由条件(f2),则

lim n f ( x , u n + ) ( u n + ) p 1 ( W n + ) p = + a.e. x Ω + (11)

由条件(f5)及(5)式,有

o ( 1 ) = J λ ( u n ) , u n = u n p λ Ω f ( x , u n ) u n d x u n p λ Ω + f ( x , u n + ) u n + d x = u n p ( 1 λ Ω + f ( x , u n + ) ( u n + ) p 1 ( W n + ) p d x )

o ( 1 ) 1 λ Ω + f ( x , u n + ) ( u n + ) p 1 ( W n + ) p d x

λ > 0 ,Fatou引理及(11)式,有

1 λ lim n inf Ω + f ( x , u n + ) ( u n + ) p 1 ( W n + ) p d x = +

这显然是一个矛盾。

综上, { u n } 有界。由Sobolev紧嵌入及标准化方法,可知 { u n } 存在一个收敛子列,即 J λ ( u ) 满足(C)条件。

定理4:设函数 f ( x , t ) 满足条件(f1)~(f5),则对每一个 λ > 0 ,方程(1)至少存在两个正解。

证:由命题1~3及变形的山路引理,可知 J λ 有一个临界点 u 0 λ 满足 J λ ( u 0 λ ) β > 0

J λ ( 0 ) = 0 ,则 u 0 λ 0 。又因为

0 = J λ ( u 0 λ ) , ( u 0 λ ) = ( u 0 λ ) p λ Ω f ( x , u 0 λ ) ( u 0 λ ) d x = ( u 0 λ ) p 0

( u 0 λ ) = 0 ,故 u 0 λ 0 。从而由强极大值原理知 u 0 λ > 0 a.e. x Ω 。由命题1,s. t. β , ρ > 0 inf B ρ ( 0 ) J λ β > 0

下证 < inf B ρ ( 0 ) ¯ J λ < 0 。事实上,由条件(f1)及 λ > 0 知,当 t ( 0 , ρ ) 足够小时,有

J λ ( t ϕ 1 ) t p = 1 p λ Ω F ( x , t ϕ 1 ) t p d x < 0

< inf B ρ ( 0 ) ¯ J λ < 0 < inf B ρ ( 0 ) J λ .

从而由欧拉变分原理,

{ V n λ } B ρ ( 0 ) W 0 1 , p ( Ω )

s . t . J λ ( V n λ ) 0 , J λ ( V n λ ) inf u B ρ ( 0 ) ¯ J λ ( u )

所以 V 0 λ B ρ ( 0 ) ¯ W 0 1 , p ( Ω ) , s t : V n λ V 0 λ J λ ( V 0 λ ) = inf u B ρ ( 0 ) ¯ J λ ( u ) , J λ ( V 0 λ ) = 0

因此, V 0 λ J λ B ρ ( 0 ) ¯ 上的一个局部极小值,从而是方程(1)的解。由于

J λ ( V 0 λ ) = inf u B ρ ( 0 ) ¯ J λ ( u ) < 0 = J λ ( 0 ) < β J λ ( u 0 λ ) .

V 0 λ u 0 λ V 0 λ 0 。由条件(f5)及极大值原理知, V 0 λ > 0 a. e. x Ω 。故方程(1)至少有两个正解 u 0 λ V 0 λ

基金项目

国家自然科学基金项目(11401357);陕西省教育厅科研基金项目(17JK0145)。

文章引用:
曲广军. 一类非线性椭圆型边界值问题的正解[J]. 应用数学进展, 2018, 7(7): 857-862. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.77103

参考文献

[1] Zhou, H.S. (1998) Positive Solution for a Semilinear Elliptic Equations Which Is Almost Linear at Infinity. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik, 49, 896-906.
https://doi.org/10.1007/s000330050128
[2] Miyagaki, O.H. and Souto, M.A.S. (2008) Super-Linear Problems without Ambrosetti and Rabinowitz Growth Condition. Differential Equations, 245, 3628-3638.
https://doi.org/10.1016/j.jde.2008.02.035
[3] Willem, M. and Zou, W. (2003) On a Schrodinger Equation with Periodic Potential and Spectrum Point Zero. Indiana University Mathematics, 52, 109-132.
https://doi.org/10.1512/iumj.2003.52.2273
[4] Chen, Z.H., Shen, Y.T. and Yao, Y.X. (2003) Some Existence Results of Solutions for p-Laplacian. Acta Mathematica Scientia, 23B, 487-496.
https://doi.org/10.1016/S0252-9602(17)30492-7
[5] Li, G.B. and Zhou, H.S. (2001) Asymptotically Linear Dirichlet Problem for p-Laplacian. Nonlinear Analysis, 43, 1043-1055.
https://doi.org/10.1016/S0362-546X(99)00243-6
[6] 高婷梅. 含有一个参数的p-拉普拉斯方程正解的存在性[J]. 郑州大学学报(理学版), 2014, 46(3): 9-12.
[7] Schechter, M. (1991) A Variation of the Mountain Pass Lemma and Applications. Journal of the London Mathematical Society. Second Series, 44, 491-502.
https://doi.org/10.1112/jlms/s2-44.3.491