1. 引言
本文所使用的符号和术语都是标准的,可参考 [1] [2] 与 [3] [4] 。
对于一个n级方阵
,其中
是实数,用
表示从A中删去第i行和第j列后形成的
阶矩阵的行列式,并称
为A的对应于的余子式,称
为
的代数余子式。已知A的行列式
.
表示A的转置,注意到
。从而,
,
这显示
等于A的行列式的平方。
对于一般的矩阵
,设
为k个行指标,
为k个列指标,行列式
称为M的k级子式。已知
是一
的方阵。可否通过M的子式来表达行列式
?本文通过M的子式给出了行列式
的表达式。事实上,我们有如下结论。
命题1设
。若
,则
。若
,则
中所有n级子式的平方和。
2. 证明
命题1的证明:若
,则
的秩
不超过M的秩
,即,
因此
不是一个满秩方阵,从而
。
若
或
,则显然定理成立(
时利用两方阵的乘积的行列式等于各自的行列式的乘积)。因此下面只需讨论
且
。首先考虑
.
因为
,所以
存在非零解。不妨设
是已正规化的解(即,
)。由此推得
记
,并用
分别表示
的代数余子式。因此,
由于
且
,故有
从而可知
。.注意到M中所有n级子式的平方和为
,从而此情形下定理成立。
现在,设
(
)。下面用归纳法证明该定理。若
,则由上面
的证明知定理成立。假设
时定理成立,下面证明当
时定理也成立。考虑
,由于
,故存在正规化的非零解
。由此可得
令
。注意到
。由归纳假设可知,
,
其中
是B的所有
级子式。
记
,且
的代数余子式分别为
,
。于是
在上式中任选一项如:
。在
中必存在一些
使得在每一个
的展开式(上式)中都存在唯一一项
满足
且有
与
对应相等。(显然此j的选择有
种从而
的选择也有
种。)因此,
。从而,
进而再由
,
可知,
注意到,
是M的所有n级子式的平方(计
次重复)。由此推得
即,
等于M的所有n级子式的平方和,故得证。
3. 推广与应用
命题2设
,
。若
,则
。若
,则
.
上式的符号含义:对任意矩阵M,及正整数
,
,将M的第
行与第
列的交叉位置的元(保证相对位置不变)所形成的行列式称为M的一个r阶子式,记作
。
对于命题2的证明与命题1证明类似(几乎不变),只不过注意:当
时,选取的正规化的非零解
可以是
的解也可以是
的解,但是若选择
的解,则对
进行分解时应对
加上一列
所形成的方阵的行列式进行最后一列展开;若选择
的解,则对
进行分解时应对
加上一行
所形成的方阵的行列式进行最后一行展开,归纳法证明时也应当如此。
应用命题1的结论可以证明Cauchy-Schwarz不等式,只需要取
,
,考虑
即可推出该不等式成立而且还可以得到等号成立的条件。
致谢
作者感谢河南工业大学理学院科教融合项目以及河南工业大学“大学生创新创业训练计划项目”的支持。作者同时感谢审稿人的宝贵意见。
基金项目
本文由河南工业大学项目(26510009),河南省教育厅项目(17A110004)以及科技厅项目(182102410049)资助。
NOTES
*通讯作者。