不具备Nagumo条件的二阶微分方程两点边值问题解的存在性

Existence of Solutions of Two Points Boundary Value Problem for Second Order Differential Equations Which Doesn’t Satisfy Nagumo’s Condition

摘要: 本文研究一类不具备Nagumo条件但满足某种替代性条件的二阶微分方程两点边值问题的解的存在性，并在一定附加条件下证明解的唯一性。

Abstract: In this paper, we study the existence of solutions of two points boundary value problems for second order differential equations without Nagumo condition but satisfying some alternative conditions, and prove the uniqueness of solutions under certain additional conditions.

1. 引言

Nagumo于20世纪30年代开创性地提出了二阶微分方程的边值问题的微分不等式理论，给出了Nagumo条件和Nagumo定理，奠定了微分不等式理论的基础 [1] 。其后Howes和Jackson系统地总结发展并简化了该理论 [2] ，使这种简单而有效的理论与方法成为处理各类微分方程的边值问题的解的存在性或唯一性的一种简单而有效的手段。许多学者利用微分不等式理论成功地研究了二阶、三阶乃至高阶微分方程以及微分系统的各类边值问题解的存在性和唯一性 [3] [4] [5] 。但在微分不等式理论中，有一个较强的限制性条件，即Nagumo条件。以二阶微分方程的两点边值问题

$\{\begin{array}{l}{y}^{″}=f\left(t,y,y^{\prime }\right)(1)\\ y\left(a\right)=A,py\left(b\right)+q{y}^{\prime }\left(b\right)=B,\left(p\ge 0,q>0\right)(2)\end{array}$

为例，若下列条件成立：

<1> $f\left(t,y,y^{\prime }\right)$ 具有 $C^2\left[a,b\right]$ 的下解 $\alpha \left(t\right)$ 与上解 $\beta \left(t\right)$ ；

<2> $f\left(t,y,y^{\prime }\right)$ 在 $\left[a,b\right]\times \left[\alpha \left(t\right),\beta \left(t\right)\right]\times R$ 上连续且关于 $y^{\prime }$ 满足Nagumo条件，则边值问题(1) (2)存在解 $y\left(t\right)\in C^2\left[a,b\right]$ 满足 $\alpha \left(t\right)\le y\left(t\right)\le \beta \left(t\right)$ ，且有 $\left|y^{\prime }\left(t\right)\right|\le N$ ， $t\in \left[a,b\right]$ ，这里N为仅依赖于 $\underset{t\in \left[a,b\right]}{\max }\beta \left(t\right)-\underset{t\in \left[a,b\right]}{\min }\alpha \left(t\right)$ 的正常数 [6] 。这里的上解与下解函数，Nagumo条件定义如下：

定义1：若函数 $\alpha \left(t\right),\beta \left(t\right)$ 满足：

① $\alpha \left(t\right),\beta \left(t\right)\in C^2\left[a,b\right]$ ，即 $\alpha \left(t\right),\beta \left(t\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上二阶连续可微；

② $\alpha \left(t\right)\le \beta \left(t\right)$ ， $a\le t\le b$ ；

③ $\alpha \left(a\right)\le A\le \beta \left(a\right)$ ， $p\alpha \left(b\right)+q{\alpha }^{\prime }\left(b\right)\le B\le p\beta \left(b\right)+q{\beta }^{\prime }\left(b\right)$ ；

④ ${\beta }^{″}\left(t\right)\le f\left[t,\beta \left(t\right),{\beta }^{\prime }\left(t\right)\right]$ ， ${\alpha }^{″}\left(t\right)\ge f\left[t,\alpha \left(t\right),{\alpha }^{\prime }\left(t\right)\right]$ ， $t\in \left[a,b\right]$ 。

则称 $\alpha \left(t\right)$ 和 $\beta \left(t\right)$ 为边值问题(1)(2)的下解与上解。

定义2：若函数， $f\left(t,y,y^{\prime }\right)$ 满足以下条件：

① 在 $\left[a,b\right]$ 上 $\alpha \left(t\right)\le \beta \left(t\right)$ ；

② 在 $\left[a,b\right]\times \left[\alpha \left(t\right),\beta \left(t\right)\right]\times R$ 上， $f\left(t,y,y^{\prime }\right)$ 连续且有 $\left|f\left(t,y,y^{\prime }\right)\right|\le h\left(\left|y^{\prime }\right|\right)$ 。这里 $h\left(s\right)$ 是在 $\left[0,\infty \right)$ 上连续且单调不减的函数，满足 ${\displaystyle {\int }_{\lambda }^N\frac{s\text{d}s}{h\left(s\right)}}\ge \underset{t\in \left[a,b\right]}{\max }\beta \left(t\right)-\underset{t\in \left[a,b\right]}{\min }\alpha \left(t\right)$ ， $N>\lambda =\max \left\{\left|\beta \left(b\right)-\alpha \left(a\right)\right|,\left|\alpha \left(b\right)-\beta \left(a\right)\right|\right\}$ ，则称 $f\left(t,y,y^{\prime }\right)$ 在 $\left[a,b\right]\times \left[\alpha \left(t\right),\beta \left(t\right)\right]\times R$ 上关于 $y^{\prime }$ 满足Nagumo条件。

满足Nagumo条件的二阶微分方程边值(1) (2)有如上的重要结论，但是显然有许多二阶微分方程不满足Nagumo条件，如 $f\left(t,y,y^{\prime }\right)=h\left(t\right){\left(y^{\prime }\right)}^{2n+1}+g\left(t,y\right)$ ，当 $h\left(t\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上连续且大于零时，就无法满足Nagumo条件。因此，我们必然会提出这个问题：对于不满足Nagumo条件的边值问题，是否也有如此的结论？我们提出下面的代替Nagumo条件的条件，并在此基础上研究相关的微分不等式理论与解的存在性和唯一性。

2. 引理及证明

考察边值问题

$\{\begin{array}{l}{y}^{″}=f\left(t,y,y^{\prime }\right)(1)\\ y\left(a\right)=A,py\left(b\right)+q{y}^{\prime }\left(b\right)=B,\left(p\ge 0,q>0\right)(2)\end{array}$

在不具备Nagumo条件下解的存在性与唯一性。

提出如下形式的Nagumo条件的替代条件：

H： $t\in \left[a,b\right],y\in \left[\alpha \left(t\right),\beta \left(t\right)\right]$ ，当 $y^{\prime }\ge N_0$ 时， $f\left(t,y,y^{\prime }\right)>0$ ，当 $y^{\prime }\le -N_0$ 时， $f\left(t,y,y^{\prime }\right)<0$ ，这里 $N_0$ 为存在的某正常数。

引理1：若 $f\left(t,y,y^{\prime }\right)$ 在 $\left[a,b\right]\times R\times R$ 上连续且有界，则边值问题(1)(2)必存在解 $y\left(t\right)\in C^2\left[a,b\right]$ 。

证明：通过构造格林函数 $G\left(t,s\right)=\{\begin{array}{l}\frac{\left(b-t\right)\left(s-a\right)}{a-b},a\le s\le t\le b\\ \frac{\left(b-s\right)\left(t-a\right)}{a-b},a\le t\le s\le b\end{array}$ ，边值问题的解可转化为积分方程 $y\left(t\right)={\displaystyle {\int }_a^{b}G\left(t,s\right)f\left[s,y\left(s\right),y^{\prime }\left(s\right)\right]\text{d}s}+\phi \left(t\right)$ ，其中 $G\left(t,s\right)$ 为 $\{\begin{array}{l}{y}^{″}=f\left(t,y,y^{\prime }\right)\\ y\left(a\right)=0,y\left(b\right)=0\end{array}$ 的Green函数。而 $\phi \left(t\right)$ 为满足 ${\phi }^{″}\left(t\right)=0,\phi \left(a\right)=A,p\phi \left(b\right)+q{\phi }^{\prime }\left(b\right)=B,p\ge 0,q>0$ 的一次多项式。

定义映射T： $C^2\left[a,b\right]\to C^2\left[a,b\right]$ ， $T\left[y\left(t\right)\right]={\displaystyle {\int }_a^{b}G\left(t,s\right)f\left[s,y\left(s\right),y^{\prime }\left(s\right)\right]\text{d}s+\phi \left(t\right)}$ ，可验证T为 $C^2\left[a,b\right]$ 上的某个有界凸闭集到其自身的全连续映射。由Schauder不动点定理 [7] 可得：存在 $y\left(t\right)\in C^2\left[a,b\right]$ ，使得 $T\left[y\left(t\right)\right]=y\left(t\right)$ ，即边值问题存在解 $y\left(t\right)\in C^2\left[a,b\right]$ 。

引理2：对于任何在 $\left[a,b\right]\times \left[\alpha \left(t\right),\beta \left(t\right)\right]\times R$ 上连续且满足替代条件H的函数 $f\left(t,y,y^{\prime }\right)$ ，以及满足边值问题(1) (2)的任一解 $y\left(t\right)$ ，只要 $\alpha \left(t\right)\le y\left(t\right)\le \beta \left(t\right)$ ，则必有 $\left|y^{\prime }\left(t\right)\right|\le N$ ，这里 $N=1+\max \left\{N_0,\frac{pk+\left|B\right|}{q}\right\}$ ， $k=\max \left\{\underset{t\in \left[a,b\right]}{\max }\left|\alpha \left(t\right)\right|,\underset{t\in \left[a,b\right]}{\max }\left|\beta \left(t\right)\right|\right\}$ 。

证明：由 $py\left(b\right)+q{y}^{\prime }\left(b\right)=B$ 及 $\left|y^{\prime }\left(b\right)\right|\le \frac{pk+\left|B\right|}{q}\le N-1$ ，同时若 $y^{\prime }\left(a\right)>N-1$ 或 $y^{\prime }\left(a\right)<-\left(N-1\right)$ ，则 $y^{\prime }\left(a\right)>N_0$ 或 $y^{\prime }\left(a\right)<-N_0$ 。由条件H及 $y^{\prime }\left(t\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上单调增加或单调减少，从而 $y^{\prime }\left(b\right)>N-1$ 或 $y^{\prime }\left(b\right)<-\left(N-1\right)$ ，这与 $\left|y^{\prime }\left(b\right)\right|\le N-1$ 矛盾。所以 $\left|y^{\prime }\left(a\right)\right|\le N-1$ 。

下证： $\left|y^{\prime }\left(t\right)\right|\le N,t\in \left[a,b\right]$ 。

假设若存在 $t\in \left(a,b\right)$ ，使 $\left|y^{\prime }\left(t\right)\right|>N$ ，当 $y^{\prime }\left(t\right)>N$ 时，则 $y^{\prime }\left(t\right)$ 可在 $\left(a,b\right)$ 上某点 $t_0$ 处取到正的最大值，当然有 $y^{″}\left(t_0\right)=0$ 。但由条件H知 $y^{″}\left(t_0\right)=f\left(t_0,y\left(t_0\right),M\right)>0$ ，这导致矛盾。因此 $y^{\prime }\left(t\right)\le N,t\in \left[a,b\right]$ 。

同理可证 $y^{\prime }\left(t\right)\ge -N,t\in \left[a,b\right]$ 。故引理得证。

3. 主要结论及证明

定理1：若边值问题(1) (2)具有下解 $\alpha \left(t\right)$ 和上解 $\beta \left(t\right)$ ， $f\left(t,y,y^{\prime }\right)$ 在 $\left[a,b\right]\times \left[\alpha \left(t\right),\beta \left(t\right)\right]\times R$ 上连续且关于 $y^{\prime }$ 满足替代条件H，则边值问题(1) (2)具有解 $y\left(t\right)\in C^2\left[a,b\right]$ ，满足 $\alpha \left(t\right)\le y\left(t\right)\le \beta \left(t\right)$ ， $t\in \left[a,b\right]$ ，且有 $\left|y^{\prime }\left(t\right)\right|\le \bar{N}$ ，这里 $\bar{N}=\max \left\{N,\underset{t\in \left[a,b\right]}{\max }\left|{\beta }^{\prime }\left(t\right)\right|,\underset{t\in \left[a,b\right]}{\max }\left|{\alpha }^{\prime }\left(t\right)\right|\right\}$ ，N即为引理2中的正常数。

证明：在引理1，2的基础上证明定理1。

构造截断函数 $F\left(t,y,y^{\prime }\right)=f\left[t,r\left(y\right),s\left(y^{\prime }\right)\right]+\frac{y-r\left(y\right)}{1+{\left[y-r\left(y\right)\right]}^2}$ ，

$r\left(y\right)=\{\begin{array}{l}\alpha \left(t\right),y<\alpha \left(t\right);\\ y,\alpha \left(t\right)\le y\le \beta \left(t\right);\\ \beta \left(t\right),y>\beta \left(t\right).\end{array}$ $s\left(y^{\prime }\right)=\{\begin{array}{l}-\bar{N},y^{\prime }<-\bar{N}\\ y^{\prime },\left|y^{\prime }\right|\le \bar{N}\\ \bar{N},y^{\prime }>\bar{N}\end{array}$

这里 $\bar{N}=\max \left\{N,\underset{t\in \left[a,b\right]}{\max }\left|{\beta }^{\prime }\left(t\right)\right|,\underset{t\in \left[a,b\right]}{\max }\left|{\alpha }^{\prime }\left(t\right)\right|\right\}$ 。显然 $F\left(t,y,y^{\prime }\right)$ 在 $\left[a,b\right]\times R^2$ 上有界且连续。

由引理知边值问题

$\{\begin{array}{l}{y}^{″}=F\left(t,y,y^{\prime }\right),a<t<b(3)\\ y\left(a\right)=A,py\left(b\right)+q{y}^{\prime }\left(b\right)=B,\left(p,q>0\right)(4)\end{array}$

必有解 $y\left(t\right)\in C^2\left[a,b\right]$ 。

下证 $\alpha \left(t\right)\le y\left(t\right)\le \beta \left(t\right)$ ， $t\in \left[a,b\right]$ 。

先证 $y\left(t\right)\le \beta \left(t\right)$ 。若不然存在某些点 $t\in \left[a,b\right]$ ，使 $y\left(t\right)-\beta \left(t\right)>0$ 。令 $\phi \left(t\right)=y\left(t\right)-\beta \left(t\right)$ ，显然 $\phi \left(t\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上有正的最大值M [8] 。由于 $\phi \left(a\right)=y\left(a\right)-\beta \left(a\right)\le 0$ ， $\phi \left(b\right)\le 0$ ，这里只能在 $\left(a,b\right)$ 内取得正的最大值M，不妨设为 $t_0$ 点。即 $\phi \left(t_0\right)=y\left(t_0\right)-\beta \left(t_0\right)=M>0$ ， ${\phi }^{\prime }\left(t_0\right)=y^{\prime }\left(t_0\right)-{\beta }^{\prime }\left(t_0\right)=0$ ， ${\phi }^{″}\left(t_0\right)=y^{″}\left(t_0\right)-{\beta }^{″}\left(t_0\right)\le 0$ 。但由上解 $\beta \left(t\right)$ 及 $F\left(t,y,y^{\prime }\right)$ 的定义必有 ${\phi }^{″}\left(t_0\right)=y^{″}\left(t_0\right)-{\beta }^{″}\left(t_0\right)\ge f\left(t_0,\beta \left(t_0\right),{\beta }^{\prime }\left(t_0\right)\right)+\frac{M}{1+M^2}-f\left(t_0,\beta \left(t_0\right),{\beta }^{\prime }\left(t_0\right)\right)=\frac{M}{1+M^2}>0$ ，这就导致矛盾。因此必有 $y\left(t\right)\le \beta \left(t\right)$ 。

同理可证 $y\left(t\right)\ge \alpha \left(t\right)$ 。

对于 $\alpha \left(t\right)\le y\left(t\right)\le \beta \left(t\right)$ ，当然有 $r\left(y\left(t\right)\right)=y\left(t\right)$ 。从引理的证明可知 $\left|y^{\prime }\left(t\right)\right|\le N\le \bar{N}$ ，从而 $y\left(t\right)$ 就是边值问题(1) (2)的解，且有 $\alpha \left(t\right)\le y\left(t\right)\le \beta \left(t\right)$ ， $\left|y^{\prime }\left(t\right)\right|\le \bar{N},t\in \left[a,b\right]$ 。

定理2：若定理1的条件成立，且 $f\left(t,y,y^{\prime }\right)$ 在 $\left[a,b\right]\times \left[\alpha \left(t\right),\beta \left(t\right)\right]\times \left[-N,N\right]$ 上关于y严格单调增加，则边值问题(1) (2)存在唯一解 $y\left(t\right)\in C^2\left[a,b\right]$ ，满足 $\alpha \left(t\right)\le y\left(t\right)\le \beta \left(t\right)$ ， $\left|y^{\prime }\left(t\right)\right|\le \bar{N},t\in \left[a,b\right]$ 。

证明：若有两个不同的解 $y_1\left(t\right)$ ， $y_2\left(t\right)$ 。令 $\phi \left(t\right)=y_1\left(t\right)-y_2\left(t\right)$ ， $t\in \left[a,b\right]$ ，于是 $\phi \left(t\right)=y_1\left(t\right)-y_2\left(t\right)$ 必在 $\left[a,b\right]$ 上取得正的最大值M。

若 $\phi \left(a\right)=y_1\left(a\right)-y_2\left(a\right)=A-A<M$ 则导致矛盾，所以 $\phi \left(a\right)=M$ 是不可能的。

若 $\phi \left(b\right)=M$ ，则必有 ${\phi }^{\prime }\left(b\right)\ge 0$ ，因而 $p\phi \left(b\right)+q{\phi }^{\prime }\left(b\right)>0$ ，但另一方面 $p\phi \left(b\right)+q{\phi }^{\prime }\left(b\right)=p\left[y_1\left(b\right)-y_2\left(b\right)\right]+q\left[{y^{\prime }}_1\left(b\right)-{y^{\prime }}_2\left(b\right)\right]=p{y}_1\left(b\right)+q{y^{\prime }}_1\left(b\right)-\left[p{y}_2\left(b\right)+q{y^{\prime }}_2\left(b\right)\right]=B-B=0<M$ ，所以 $\phi \left(b\right)=M$ 也是不可能的。

这样 $\phi \left(t\right)$ 只能于点 $t_0\in \left(a,b\right)$ 取得正的最大值M，即有

$\phi \left(t_0\right)=y_1\left(t_0\right)-y_2\left(t_0\right)=M>0$ ， ${\phi }^{\prime }\left(t_0\right)={y^{\prime }}_1\left(t_0\right)-{y^{\prime }}_2\left(t_0\right)=0$ ， ${\phi }^{″}\left(t_0\right)={y^{″}}_1\left(t_0\right)-{y^{″}}_2\left(t_0\right)<0$ ，

但另一方面 ${\phi }^{″}\left(t_0\right)={y^{″}}_1\left(t_0\right)-{y^{″}}_2\left(t_0\right)=f\left[t_0,y_1\left(t_0\right),{y^{\prime }}_1\left(t_0\right)\right]-f\left[t_0,y_2\left(t_0\right),{y^{\prime }}_2\left(t_0\right)\right]>0$ ，这就导致了矛盾。因此唯一性得证。

4. 应用举例

下面将定理1应用于方程 $y^{″}=f\left(t\right){\left(y^{\prime }\right)}^3+g\left(t,y\right)$ ，这里 $f\left(t\right)>0,t\in \left[a,b\right]$ 。

显然它不满足Nagumo条件，但可满足替代性的条件，因此不难得到如下结果：

命题1：对于超二次边值问题

$\{\begin{array}{l}{y}^{″}=f\left(t\right){\left(y^{\prime }\right)}^3+g\left(t,y\right)\text{}\text{}(5)\\ y\left(a\right)=A,py\left(b\right)+q{y}^{\prime }\left(b\right)=B\text{}\text{}(6)\end{array}$

其中 $p,q>0$ 。若下列条件成立：

1) 存在上解 $\beta \left(t\right)$ 与下解 $\alpha \left(t\right)$ ，

2) $f\left(t\right)\in C^2\left[a,b\right]$ 且 $f\left(t\right)>0,t\in \left[a,b\right]$ ，同时 $g\left(t,y\right)$ 在 $\left[a,b\right]\times \left[\alpha \left(t\right),\beta \left(t\right)\right]$ 连续

则边值问题(5) (6)必存在解 $y\left(t\right)\in C^2\left[a,b\right]$ ，满足 $\alpha \left(t\right)\le y\left(t\right)\le \beta \left(t\right),t\in \left[a,b\right]$ 。

证：只需证边值问题(5) (6)满足条件H。

由于 $f\left(t\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上连续， $g\left(t,y\right)$ 在 $\left[a,b\right]\times \left[\alpha \left(t\right),\beta \left(t\right)\right]$ 上连续，故 $\exists M_1,M_2$ ，使 $0<M_1\le f\left(t\right)\le M_2,\left|g\left(t,y\right)\right|\le M_3$ 。存在充分大的 $N_1$ ，使得当 $y^{\prime }>N_1$ 时， $f\left(t\right){\left(y^{\prime }\right)}^3+g\left(t,y\right)\ge M_1{N}_1^3-M_3>0$ ；当 $y^{\prime }<-N_1$ 时， $f\left(t\right){\left(y^{\prime }\right)}^3+g\left(t,y\right)\le M_3-M_1{N}_1^3<0$ ，故 $f\left(t\right){\left(y^{\prime }\right)}^3+g\left(t,y\right)$ 符合条件H，故由定理1得，BVP(5)(6)存在解 $y\left(t\right)\in C^2\left[a,b\right]$ ，满足 $\alpha \left(t\right)\le y\left(t\right)\le \beta \left(t\right),t\in \left[a,b\right]$ 。

当然，我们还可给出更多的不满足Nagumo条件的方程类型，但它们都满足该文提到的替代条件。因此在具有上下解的条件下，也可得到解的存在性，这充分说明了替代性条件的应用价值。

基金项目

福建省中青年教师教育科研项目(项目编号：JA15030)。