PM  >> Vol. 8 No. 5 (September 2018)

    有限生成剩余有限群的素数阶自同构
    Finitely Generated Residually Finite Groups with Automorphisms of Prime Order

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作者:  

王志海,徐 涛:河北工程大学数理学院,河北 邯郸

关键词:
有限生成剩余有限群无不动点自同构Finitely Generated Residually Finite Group Fixed-Point-Free Automorphism

摘要:

是有限生成剩余有限群G的素数p阶自同构,映射 是满射,则G是幂零类至多为h(p)的幂零群,其中h(p)是与素数p有关的函数。特别地,如果 是2阶自同构,那么G是交换群。

Let be an automorphism of prime order p of a finitely generated residually finite group G. If the map defined by is surjective, then G is nilpotent of class at most h(p), where h(p) is a function depending only on p. In particular, if is of order 2, then G is abelian.

1. 引言

本文采用的符号和术语都是标准的,按照 [1] 。

在群论中,如果群G的自同构 α 只有平凡的不动点,那么称 α 是无不动点自同构。

Burnside [2] 证明了:具有2阶无不动点自同构的有限群是奇阶交换群。这是有限群中的一个经典的结论。随后,Neumann [3] 考虑了任意群的3阶无不动点自同构,得到了下面的结果。

命题1.1:设 α 是群G的3阶无不动点自同构,如果映射 φ : G G ( g [ g , α ] ) 是满射,那么G是幂零类2的幂零群。

在 [4] 中,我们研究了有限秩的剩余有限可解群的素数p阶无不动点自同构,证明了下面的结论。

命题1.2:设 α 是有限秩的剩余有限可解群G的素数p阶无不动点自同构,如果映射 φ : G G ( g [ g , α ] )

是满射,那么G是幂零类至多为 h ( p ) 的幂零群,其中 h ( p ) 是与素数p有关的函数。

在 [5] 中,我们舍去无不动点自同构的假设,在满射的条件下,仅考虑自同构的阶数对群结构的影响,研究了有限生成无挠幂零群的素数p阶自同构,得到了下面的命题。

命题1.3:设 α 是有限生成无挠幂零群G的素数p阶自同构,映射 φ : G G ( g [ g , α ] ) 是满射,则G是幂零类至多为 h ( p ) 的幂零群,其中 h ( p ) 是与素数p有关的函数。

在本文中,我们考虑更一般的有限生成剩余有限群的素数p阶自同构,得到了下面的定理,推广了命题1.3。

定理1.1:设 α 是有限生成剩余有限群G的素数p阶自同构,映射 φ : G G ( g [ g , α ] ) 是满射,则G是幂零类至多为 h ( p ) 的幂零群,其中 h ( p ) 是与素数p有关的函数。特别地,如果 α 是G的2阶自同构,那么G是交换群。

2. 定理的证明及推论

引理2.1 [4] :设 α 是任意群G的自同构,H是群G的指数有限的特征子群,如果映射 φ : G G ( g [ g , α ] ) 是满射,那么 α 诱导了G/H的无不动点自同构。

引理2.2 [6] :设 α 是有限群G的素数p阶无不动点自同构,则G是幂零群。

引理2.3 [7] :设 α 是局部幂零群G的素数p阶无不动点自同构,则G是幂零类至多为 h ( p ) 的幂零群,其中 h ( p ) 是与素数p有关的函数。

定理1.1的证明:因为G是有限生成剩余有限群,任取 1 g G ,存在 g N g G ,使得 G / N g 是有限群并且 g N g = 1 。不妨设 | G : N g | = m ,则 g G m N g ,于是

m G m g N g = 1

因为 G / G m 是幂指数有限的有限生成群,所以 G / G m 是有限群。由引理2.1可知 α 诱导了 G / G m 的无不动点自同构,再由引理2.2可知 G / G m 是幂零群,最终由引理2.3可知 G / G m 是幂零类至多为 h ( p ) 的幂零群,其中 h ( p ) 是与素数p有关的函数。记 G ¯ = G / G m ,则对任意的 ,有 [ g ¯ 1 , g ¯ 2 , , g ¯ h ( p ) + 1 ] = 1 ¯ ,从而

[ g 1 , g 2 , , g h ( p ) + 1 ] G m

进而

[ g 1 , g 2 , , g h ( p ) + 1 ] m G m = 1

因此G是幂零类至多为 h ( p ) 的幂零群。如果 α 是G的2阶自同构,那么 α 诱导了 G / N g 的2阶无不动点自同构。由Burnside的经典结果得到 G / N g 是交换群。所以任取 h ¯ 1 , h ¯ 2 G / N g ,都有 [ h ¯ 1 , h ¯ 2 ] = 1 ,从而

[ h 1 , h 2 ] N g

进而

[ h 1 , h 2 ] g N g = 1

这表明G是交换群。

应用定理1.1,我们可以得到如下推论。

推论2.1:设G是有限生成剩余有限群的有限扩张且 α 是G的素数p阶自同构,如果映射 φ : G G [ g [ g , α ] ] 是满射,那么G是幂零类至多为 h ( p ) 的幂零群,其中 h ( p ) 是与素数p有关的函数。特别地,如果 α 是2阶自同构,那么G是交换群。

证明:设G是有限生成剩余有限群N的有限扩张,则G/N是有限群且N是有限剩余有限群。不妨设G/N的幂指数为n,则 G n N ,注意到 G / G n 为幂指数有限的有限生成群,所以 G / G n 为有限群。因为 G n N 为有限生成剩余有限群,由定理1.1的证明可知,任取 1 g G n G n 包含指数有限的正规子群 H g ,使得 g H g = 1 。容易验证 G / H g 为有限群。由定理1.1的证明可知,G是幂零类至多为 h ( p ) 的幂零群,其中 h ( p ) 是与素数p有关的函数。特别地,如果 α 是2阶自同构,那么G是交换群。

推论2.2:设 α 是多重循环群G的素数p阶自同构,如果映射 φ : G G [ g [ g , α ] ] 是满射,那么G是幂零类至多为 h ( p ) 的幂零群,其中 h ( p ) 是与素数p有关的函数。特别地,如果 α 是2阶自同构,那么G是交换群。

证明:由 [8] 可知多重循环群是有限生成的并且是剩余有限群,因此由定理1.1可得推论2.1。

推论2.3:设 α 是有限生成交换群被幂零群的扩张G的素数p阶自同构,如果映射 φ : G G [ g [ g , α ] ] 是满射,那么G是幂零类至多为 h ( p ) 的幂零群,其中 h ( p ) 是与素数p有关的函数。特别地,如果 α 是2阶自同构,那么G是交换群。

证明:由 [9] 的定理1可知有限生成的交换群被幂零群的扩张是剩余有限的。因此由定理1.1可得推论2.3。

推论2.4:设 α 是有限生成线性群G的素数p阶自同构,如果映射 φ : G G [ g [ g , α ] ] 是满射,那么G是幂零类至多为 h ( p ) 的幂零群,其中 h ( p ) 是与素数p有关的函数。特别地,如果 α 是2阶自同构,那么G是交换群。

证明:由 [10] 的定理 VII 和定理 VIII 可知有限生成线性群是剩余有限的,因此由定理1.1可得推论2.4。

推论2.5:设 α 是有限生成无挠幂零群G的素数p阶自同构,映射 φ : G G [ g [ g , α ] ] 是满射,则G是幂零类至多为 h ( p ) 的幂零群,其中 h ( p ) 是与素数p有关的函数。特别地,如果 α 是2阶自同构,那么G是交换群。

证明:由 [1] 的定理5.2.21可知有限生成无挠幂零群是剩余有限群,因此由定理1.1可得推论2.5。

基金项目

国家自然科学基金(11801129),河北省教育厅拔尖人才项目(BJ2018025),邯郸市科学技术研究与发展计划项目(1723208068-5)资助。

文章引用:
王志海, 徐涛. 有限生成剩余有限群的素数阶自同构[J]. 理论数学, 2018, 8(5): 576-579. https://doi.org/10.12677/PM.2018.85076

参考文献

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https://doi.org/10.1007/978-1-4419-8594-1
[2] Burnside, W. (1955) Theory of Groups of Finite Order. 2nd Edition, Dover Publications Inc., New York.
[3] Neumann, B.H. (1956) Group with Automorphisms that Leave Only the Neutral Element Fixed. Archiv der Mathematik, 7, 1-5.
https://doi.org/10.1007/BF01900516
[4] 徐涛, 刘合国. 有限秩的可解群的正则自同构[J]. 数学年刊, 2014, 35A(5): 543-550.
[5] Xu, T. and Liu, H. (2016) Finitely Generated Torsion-Free Nilpotent Groups Admitting an Automorphism of Prime Order. Communications in Mathematical Sciences, 32, 167-172.
[6] Thompson, J. (1959) Finite Groups with Fixed-Point-Free Automorphisms of Prime Order. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 45, 578-581.
https://doi.org/10.1073/pnas.45.4.578
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https://doi.org/10.1112/jlms/s1-32.3.321
[8] Smelkin, A.L. (1968) Polycyclic Groups. Siberian Mathematical Journal, 9, 234-235.
https://doi.org/10.1007/BF02196676
[9] Hall, P. (1959) On the Finiteness of Certain Soluble Groups. Proceedings of the London Mathematical Society, 9, 595-622.
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[10] Mal´cev, A.I. (1940) On the Faithful Representation of Infinite Groups by Matrices. Mat. sb., 8, 405-422.