概率论与数理统计在生活及教学中的应用

Probability Theory and Mathematical Statistics Apply in the Life and Teaching

摘要: 在现实生活中许多问题都可以通过概率论的知识解决，如保险行业、彩票行业以及教学过程．本篇论文主要在实际的小事中运用概率论的知识进行简要地计算来展示概率在现实生活中的重要性．并且本文还就教学中运用概率解题的过程进行了简要的举例概括。

Abstract: In real life, many problems can be solved through knowledge of probability theory, such as insurance industry, lottery industry and teaching process. In this paper, we mainly use some cases to show the importance of probability theory in practical applications and then give a brief calculation process. The paper also briefly summarizes teaching process for solving probability problem.

1. 引言

概率论与数理统计是很有意思的学科，是数学的一个分支。在日常生活中我们会遇到股票投资，如何投资，如何使经济利益最大，保险行业，不等式；保险行业中如何实现风险规避，实现收益等等一系列问题等等一系列的问题。这些问题我们都可以通过概率的知识解决，本文在这些方面进行了计算使人们知道和了解概率在生活中是怎样应用的。

2. 股票投资

现在很多人都把钱用于投资或炒股以求更高的回报，那么怎样投资能保障得到回报就成为人们越来越关注的问题。这时我们就可以用概率的可加性这一性质来计算一下。

有三支相互独立股票。如果投资的话获利的概率分别为0.8、0.6、0.5。那么我们应该怎样投资获利更大。

解：根据题意可知，三支股票获利是独立的，设A、B、C分别代表这三支股票，那么单独投资这三支股票获利的概率 [1] 为

$P\left(A\right)=0.8,P\left(B\right)=0.6,P\left(C\right)=\mathrm{0.5.}$

在这些股票当中对两个投资

$\begin{array}{c}P\left(AB+AC+BC\right)=P\left(AB\right)+P\left(AC\right)+P\left(BC\right)-2P\left(ABC\right)\\ =P\left(A\right)P\left(B\right)+P\left(A\right)P\left(C\right)+P\left(B\right)P\left(C\right)-2P\left(A\right)P\left(B\right)P\left(C\right)\\ =0.8\times 0.6+0.8\times 0.5+0.6\times 0.5-2\times 0.8\times 0.6\times 0.5=\mathrm{0.7.}\end{array}$

三支股票都投资能获利的概率

$\begin{array}{c}P\left(A+B+C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(AB\right)-P\left(AC\right)-P\left(BC\right)+P\left(ABC\right)\\ =0.8+0.6+0.5-0.8\times 0.6-0.8\times 0.5-0.6\times 0.5+0.8\times 0.6\times 0.5=\mathrm{0.96.}\end{array}$

经过计算就能知道怎样投资获利的可能大从而理性投资 [2] 。

3. 随机事件与保险

在保险的经营过程中，人们常常用概率的知识来在保险理赔中各种损失发生的次数或发生的可能性的大小。我们将用概率论中的二项分布的知识解决问题。

例如，根据一项调查大约有20%的美国人没有参保任何的保险，如果现在随机抽取15个人，设x为这15个人中没有参保的人数。那么x服从什么分布律？这15个人中有3人没有参保的概率，大于两个人没有参保的概率。

解：由题意可知，随机变量x服从二项分布 $B\left(15,0.2\right)$ 且满足

$\begin{array}{l}p\left(x=k\right)=C_{15}^k\times {0.2}^k\times {0.8}^{15-k},k=0,1,2,\cdots ,15.\\ p\left(x=3\right)=C_{15}^3\times {0.2}^3\times {0.8}^{12}=\mathrm{0.2501.}\\ p\left(x\ge 2\right)=1-p\left(x=1\right)-p\left(x=0\right)=\mathrm{0.8329.}\end{array}$

所以在15个人中没有参保的比例还是很大的 [3] 。

4. 极限计算中的应用

求 $\underset{a\to \infty }{\lim }\frac{6^a}{a!}$ 的极限。

我们将用泊松分布及级数收敛的必要性解决问题 [4] 。

解：设 $\xi$ 服从 $\lambda =6$ 的泊松分布；

所以 $P\left(\xi =a\right)=\frac{6a}{a!}{e}^{-6}$ ，即 ${\displaystyle \underset{\lambda =1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{6^a}{a！}=1\Rightarrow {\displaystyle \underset{\lambda =1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{6^a}{a!}=e^6}},$

又由级数收敛的必要性可知： $\underset{a\to \infty }{\lim }\frac{6^a}{a!}=0$ 。

参考文献