弱双四元数矩阵方程AXA^H+BYB^H=C的反Hermite解

On Anti-Hermitian Solutions of the Reduced Biquaternion Matrix Equation AXA^H+BYB^H=C

摘要: 在本文中，我们讨论弱双四元数矩阵方程AXA^H+BYB^H=C的反Hermite解，其中矩阵A,B是已知的弱双四元数矩阵，C是已知的弱双四元数反Hermite矩阵，X,Y是未知的弱双四元数反Hermite方阵。本文的目标是建立解存在的充分必要条件和通解表达式。

Abstract: In this paper, we discuss Anti-Hermitian solutions of reduced biquaternion matrix equation AXA^H+BYB^H=C , where A,B are known reduced biquaternion matrices with suitable size, C is a known reduced biquaternion anti-Hermitian matrix with suitable size, and X,Y are unknown re-duced biquaternion anti-Hermitian square matrices with suitable size. The objective of this paper is to establish a necessary and sufficient condition for the existence of a solution and a solution expression.

1. 引言

矩阵方程是矩阵理论中的一个重要内容，在控制和系统理论、稳定性理论、神经网络等方面有着广泛的应用。例如，控制理论长期以来一直为矩阵方程提供丰富的动力来源，Lyapunov方程 $A^{H}X+XA=B$ 有唯一的Hermitian解，当且仅当对于矩阵A的所有特征值 ${\lambda }_i$ 和 ${\lambda }_j$ 有 ${\lambda }_i+{\bar{\lambda }}_j\ne 0$ [1] [2] 。由于它们的重要应用，实数、复数和四元数矩阵方程如 $AX=B$ ， $AXB=C$ ， $AXB+CYD=E$ 和

$AX{A}^H+BY{B}^H=C$ (1)

引起了许多研究者的极大关注。弱双四元数的概念最早是由Schütte和Wenzel提出的 [3] 。Sir William Rowan Hamilton在1843年引入了四元数 [4] ，弱双四元数和四元数之间的主要区别是四元数的乘法是不可交换的，而弱双四元数的乘法是可交换的。此外，四元数矩阵和弱双四元数矩阵都可以用来表示彩色图像 [5] 。

本文用 $R^{m\times n}$ 表示 $m\times n$ 阶实矩阵集合， $C^{m\times n}$ 表示 $m\times n$ 阶复矩阵集合， $S{R}^{n\times n}$ 表示 $n\times n$ 阶实对称矩阵集合， $AS{R}^{n\times n}$ 表示 $n\times n$ 阶实反对称矩阵集合， $Q_{RB}$ 表示弱双四元数矩阵集合， $Q_{RB}^n$ 表示n维弱双四元数列向量集合， $Q_{RB}^{m\times n}$ 表示 $m\times n$ 阶弱双四元数矩阵集合， $AH{Q}_{BR}^{n\times n}$ 表示 $n\times n$ 阶弱双四元数反Hermite矩阵集合。对于每一个 $A\in C^{m\times n}$ ， $\mathrm{Re}\left(A\right)$ 表示矩阵A的实部， $\mathrm{Im}\left(A\right)$ 表示矩阵A的虚部。对于 $A\in Q_{RB}^{m\times n}$ ， $\bar{A}$ 表示矩阵A的共轭矩阵， $A^{\text{T}}$ 表示矩阵A的转置矩阵， $A^H$ 表示A的共轭转置矩阵A。 $I_n$ 表示n阶单位矩阵。 $0_{m\times n}$ 表示 $m\times n$ 阶零矩阵。对于 $A\in C^{m\times n}$ ， $A^{+}$ 表示矩阵A的Moore-Penrose广义逆。

对于 $A\in Q_{RB}^{n\times n}$ ，若 $A^H=-A$ ，则称它是反Hermite的。用 $AH{Q}_{BR}^{n\times n}$ 表示 $n\times n$ 阶弱双四元数反Hermite集合。本文主要考虑方程(1)的反Hermite解，使用的工具是弱双四元数矩阵的复表示，Kronecker积，矩阵列拉直算子以及Moore-Penrose广义逆。研究的问题描述如下：

问题1：设 $A\in Q_{RB}^{m\times n}$ ， $B\in Q_{RB}^{m\times n}$ 和 $C\in AH{Q}_{RB}^{m\times m}$ ，求

$H_E=\left\{X,Y|X,Y\in AH{Q}_{RB}^{n\times n},AX{A}^H+BY{B}^H=C\right\}$ (2)

对于 $q\in Q_{RB}$ ，则q可以表示为

$q=q_0+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k$ (3)

其中 $q_0,q_1,q_2,q_3\in R$ ， $i^2=k^2=-1,j^2=1,ij=ji=k,jk=kj=i,ki=ik=-j$ 。弱双四元数q的共轭为：

$\bar{q}=q_0-q_{1}i-q_{2}j-q_{3}k$ (4)

q还可以表示为

$q=c_1+c_{2}j$ ,

其中 $c_1,c_2\in C$ ， $c_1=q_0+q_{1}i,c_2=q_2+q_{3}i$ 。对于弱双四元数 $q=c_1+c_{2}j,c_1,c_2\in C$ ，定义弱双四元数。

q的复数矩阵表示为

$f\left(q\right)=\left[\begin{array}{cc}{c}_1& c_2\\ c_2& c_1\end{array}\right]$ .

对 $q,q^{\prime }\in Q_{RB}$ ，显然有 $f\left(q{q}^{\prime }\right)=f\left(q\right)f\left(q^{\prime }\right)$ 。

若矩阵 $A\in Q_{RB}^{m\times n}$ ，则矩阵A可以唯一表示为 $A=A_1+A_{2}j$ ，其中 $A_1,A_2\in C^{m\times n}$ 。

弱双四元数矩阵A的复表示为

$F\left(A\right)=\left[\begin{array}{cc}{A}_1& A_2\\ A_2& A_1\end{array}\right]\in C^{2m\times 2n}$ .

$F\left(A\right)$ 是由A唯一决定。对于 $A\in Q_{RB}^{m\times n},B\in Q_{RB}^{n\times s}$ ，有 $F\left(AB\right)=F\left(A\right)F\left(B\right)$ 。由定义易知，矩阵A可以唯一表示为

$A=\mathrm{Re}\left(A_1\right)+\mathrm{Im}\left(A_1\right)i+\mathrm{Re}\left(A_2\right)j+\mathrm{Im}\left(A_2\right)k$ (5)

其中 $\mathrm{Re}\left(A_1\right),\mathrm{Im}\left(A_1\right),\mathrm{Re}\left(A_2\right),\mathrm{Im}\left(A_2\right)\in R^{m\times n}$ 。弱双四元数矩阵A的共轭矩阵为

$\bar{A}=\mathrm{Re}\left(A_1\right)-\mathrm{Im}\left(A_1\right)i-\mathrm{Re}\left(A_2\right)j-\mathrm{Im}\left(A_2\right)k$ .

对于 $A=\left(a_{ij}\right)\in Q_{RB}^{m\times n}$ ， $B=\left(b_{ij}\right)\in Q_{RB}^{p\times s}$ ，矩阵A与矩阵B的Kronecker积 $A\otimes B=\left(a_{ij}B\right)\in Q_{RB}^{mp\times ns}$ 。对于弱双四元数矩阵 $A,B,C,D,E,F,G,H,K$ ，有

$\left(A,B,C\right)\otimes D=\left(A\otimes D,B\otimes D,C\otimes D\right)$ ， $\left(\begin{array}{cc}E& F\\ G& H\end{array}\right)\otimes K=\left(\begin{array}{cc}E\otimes K& F\otimes K\\ G\otimes K& H\otimes K\end{array}\right)$ .

对于矩阵 $A=\left(a_{ij}\right)\in Q_{RB}^{m\times n}$ ，设 $a_j=\left(a_{1j},a_{2j},\cdots ,a_{mj}\right),\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$ ，矩阵A的列拉直算子为：

$vec\left(A\right)={\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)}^{\text{T}}$ .

对于任意弱双四元数 $q=c_1+c_{2}j\in Q_{RB}$ ，我们定义一个算子 ${\Phi }_q=\left(c_1,c_2\right)$ 。定义弱双四元数

矩阵对应的算子为

${\Phi }_A=\left[A_1,A_2\right]$ .

对于算子 ${\Phi }_A$ ，它具有以下性质：

引理1：设k是一个实数， $A,B\in Q_{RB}^{m\times n}$ ， $C\in Q_{RB}^{n\times t}$ ，有

i) $A=B$ 当且仅当 ${\Phi }_A={\Phi }_B$ ；ii) ${\Phi }_{A+B}={\Phi }_A+{\Phi }_B$ ， ${\Phi }_{kA}=k{\Phi }_A$ ；iii) ${\Phi }_{AC}={\Phi }_{A}F\left(C\right)$ 。

2. $vec\left({\Phi }_{AXB}\right)$ 的结构

对于 $A\in C^{m\times n}$ ， $B\in C^{n\times s}$ ， $C\in C^{s\times t}$ ，我们已知

$vec\left(ABC\right)=\left(C^{\text{T}}\otimes A\right)vec\left(B\right)$ (6)

在弱双四元数矩阵中，(6)式不再成立。类似文献 [6] 引理4有

引理2：设 $A=A_1+A_{2}j\in Q_{RB}^{m\times n}$ ， $B=B_1+B_{2}j\in Q_{RB}^{n\times s}$ ， $C=C_1+C_{2}j\in Q_{RB}^{s\times t}$ ，其中 $A_1,A_2\in C^{m\times n}$ ， $B_1,B_2\in C^{n\times s}$ ， $C_1,C_2\in C^{s\times t}$ 。有

$vec\left({\Phi }_{ABC}\right)=\left[\begin{array}{cc}{C}_1^{\text{T}}\otimes A_1+C_2^{\text{T}}\otimes A_2& C_2^{\text{T}}\otimes A_1+C_1^{\text{T}}\otimes A_2\\ C_2^{\text{T}}\otimes A_1+C_1^{\text{T}}\otimes A_2& C_1^{\text{T}}\otimes A_1+C_2^{\text{T}}\otimes A_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}vec\left(B_1\right)\\ vec\left(B_2\right)\end{array}\right]$ (7)

定义1：设 $A=\left(a_{ij}\right)\in Q_{RB}^{n\times n}$ ，设 $a_1=\left(a_{11},\sqrt{2}{a}_{21},\cdots ,\sqrt{2}{a}_{n1}\right)$ ， $a_2=\left(a_{22},\sqrt{2}{a}_{32},\cdots ,\sqrt{2}{a}_{n2}\right)$ ， $\cdots$ ， $a_{n-1}=\left(a_{\left(n-1\right)\left(n-1\right)},\sqrt{2}{a}_{n\left(n-1\right)}\right)$ ， $a_n=a_{nn}$ 。定义一个列向量 $ve{c}_S\left(A\right)$ ：

$ve{c}_S\left(A\right)={\left(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},a_n\right)}^{\text{T}}\in Q_{RB}^{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}$ (8)

定义2：设 $B=\left(b_{ij}\right)\in Q_{RB}^{n\times n}$ ，设 $b_1=\left(b_{21},b_{31},\cdots ,b_{n1}\right)$ ， $b_2=\left(b_{32},b_{42},\cdots ,b_{n2}\right)$ ， $\cdots$ ， $b_{n-2}=\left(b_{\left(n-1\right)\left(n-2\right)},b_{n\left(n-2\right)}\right)$ ， $b_{n-1}=b_{n\left(n-1\right)}$ ，定义一个列向量 $ve{c}_A\left(B\right)$ ：

$ve{c}_A\left(B\right)=\sqrt{2}{\left(b_1,b_2,\cdots ,b_{n-2},b_{n-1}\right)}^{\text{T}}\in Q_{RB}^{\frac{n\left(n-1\right)}{2}}$ (9)

引理3 [6] ：设 $X\in R^{n\times n}$ ，则

i)

$X\in S{R}^{n\times n}\iff vec\left(X\right)=K_{S}ve{c}_S\left(X\right)$ (10)

其中 $ve{c}_S\left(X\right)$ 定义参照(8)式定义。 $K_S\in R^{n^2\times \frac{n\left(n+1\right)}{2}}$ ，

$K_S=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ccccccccccccc}\sqrt{2}{e}_1& e_2& \cdots & e_{n-1}& e_n& 0& 0& \cdots & 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& e_1& \cdots & 0& 0& \sqrt{2}{e}_2& e_3& \cdots & e_n& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& 0& e_2& \cdots & 0& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & e_1& 0& 0& 0& \cdots & 0& \cdots & \sqrt{2}{e}_{n-1}& e_n& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& e_1& 0& 0& \cdots & e_2& \cdots & 0& e_{n-1}& \sqrt{2}{e}_n\end{array}\right]$ ,

其中 $e_i$ 是n阶单位矩阵 $I_n$ 的第i个列向量。

ii)

$X\in AS{R}^{n\times n}\iff vec\left(X\right)=K_{A}ve{c}_A\left(X\right)$ (11)

其中 $ve{c}_A\left(X\right)$ 定义参照(9)式定义。 $K_A\in R^{n^2\times \frac{n\left(n-1\right)}{2}}$ ，

$K_A=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ccccccccccc}{e}_2& e_3& \cdots & e_{n-1}& e_n& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0\\ -e_1& 0& \cdots & 0& 0& e_3& \cdots & e_{n-1}& e_n& \cdots & 0\\ 0& -e_1& \cdots & 0& 0& -e_2& \cdots & 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & 0& 0& & 0\\ 0& 0& \cdots & -e_1& 0& 0& \cdots & -e_2& 0& \cdots & e_n\\ 0& 0& \cdots & 0& -e_1& 0& \cdots & 0& -e_2& \cdots & -e_{n-1}\end{array}\right]$ ,

其中 $e_i$ 是n阶单位矩阵 $I_n$ 的第i个列向量。显然，有 $K_S^{\text{T}}{K}_S=I_{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}$ ， $K_A^{\text{T}}{K}_A=I_{\frac{n\left(n-1\right)}{2}}$ 。

对于任意 $X=X_1+X_{2}j\in Q_{RB}^{n\times n}$ ， $X_1,X_2\in C^{n\times n}$ ，有 $X\in AH{Q}_{RB}^{n\times n}\iff \{\begin{array}{l}\mathrm{Re}{\left(X_1\right)}^{\text{T}}=-\mathrm{Re}\left(X_1\right),\mathrm{Im}{\left(X_1\right)}^{\text{T}}=\mathrm{Im}\left(X_1\right)\\ \mathrm{Re}{\left(X_2\right)}^{\text{T}}=\mathrm{Re}\left(X_2\right),\mathrm{Im}{\left(X_2\right)}^{\text{T}}=\mathrm{Im}\left(X_2\right)\end{array}$ 。

设

$M=\left[\begin{array}{cccc}{K}_A& i{K}_S& 0& 0\\ 0& 0& K_S& i{K}_S\end{array}\right]$ .

引理4：对于 $X=X_1+X_{2}j\in AH{Q}_{RB}^{n\times n}$ ，那么

$\left[\begin{array}{c}vec\left(X_1\right)\\ vec\left(X_2\right)\end{array}\right]=M\left[\begin{array}{c}ve{c}_A\left(\mathrm{Re}\left(X_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(X_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Re}\left(X_2\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(X_2\right)\right)\end{array}\right]$ . (12)

证明：设 $X=X_1+X_{2}j\in AH{Q}_{RB}^{n\times n}$ ，我们有

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}vec\left(X_1\right)\\ vec\left(X_2\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}vec\left(\mathrm{Re}\left(X_1\right)\right)+ivec\left(\mathrm{Im}\left(X_1\right)\right)\\ vec\left(\mathrm{Re}\left(X_2\right)\right)+ivec\left(\mathrm{Im}\left(X_2\right)\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{K}_{A}ve{c}_A\left(\mathrm{Re}\left(X_1\right)\right)+i{K}_{S}ve{c}_S\left(\mathrm{Im}\left(X_1\right)\right)\\ K_{S}ve{c}_S\left(\mathrm{Re}\left(X_2\right)\right)+i{K}_{S}ve{c}_S\left(\mathrm{Im}\left(X_2\right)\right)\end{array}\right]\\ =M\left[\begin{array}{c}ve{c}_A\left(\mathrm{Re}\left(X_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(X_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Re}\left(X_2\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(X_2\right)\right)\end{array}\right]\end{array}$ .

由引理2和引理4得

引理5：设 $A=A_1+A_{2}j\in Q_{RB}^{m\times n}$ ， $X=X_1+X_{2}j\in AH{Q}_{RB}^{n\times n}$ ， $B=B_1+B_{2}j\in Q_{RB}^{n\times s}$ ，其中 $A_1,A_2\in C^{m\times n}$ ， $X_1,X_2\in C^{n\times n}$ ， $B_1,B_2\in C^{n\times s}$ 。

$vec\left({\Phi }_{AXB}\right)=\left[\begin{array}{cc}{B}_1^{\text{T}}\otimes A_1+B_2^{\text{T}}\otimes A_2& B_2^{\text{T}}\otimes A_1+B_1^{\text{T}}\otimes A_2\\ B_2^{\text{T}}\otimes A_1+B_1^{\text{T}}\otimes A_2& B_1^{\text{T}}\otimes A_1+B_2^{\text{T}}\otimes A_2\end{array}\right]M\left[\begin{array}{c}ve{c}_A\left(\mathrm{Re}\left(X_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(X_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Re}\left(X_2\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(X_2\right)\right)\end{array}\right]$ (13)

3. 矩阵方程(1)的解

引理6 [7] ：设 $A\in R^{m\times n}$ ， $b\in R^n$ ，则矩阵方程 $Ax=b$ 有解的充要条件是

$A{A}^{+}b=b$ (14)

当它相容时，其通解可以表示为

$x=A^{+}b+\left(I_n-A^{+}A\right)y$ (15)

其中 $y\in R^n$ 是一个任意的向量。当 $rank\left(A\right)=n$ 时， $x=A^{+}b$ 是方程 $Ax=b$ 的唯一解。

对于 $A=A_1+A_{2}j\in Q_{RB}^{m\times n}$ ， $B=B_1+B_{2}j\in Q_{RB}^{m\times n}$ 和 $C=C_1+C_{2}j\in AH{Q}_{RB}^{m\times m}$ ，令

$P_1=\left[\begin{array}{cc}\overline{A_1}\otimes A_1-A_2\otimes A_2& -A_2\otimes A_1+\overline{A_1}\otimes A_2\\ -A_2\otimes A_1+\overline{A_1}\otimes A_2& \overline{A_1}\otimes A_1-A_2\otimes A_2\end{array}\right]M$ ,

$P_2=\left[\begin{array}{cc}\overline{B_1}\otimes B_1-B_2\otimes B_2& -B_2\otimes B_1+\overline{B_1}\otimes B_2\\ -B_2\otimes B_1+\overline{B_1}\otimes B_2& \overline{B_1}\otimes B_1-B_2\otimes B_2\end{array}\right]M$ , $e=\left[\begin{array}{c}vec\left(\mathrm{Re}\left(C_1\right)\right)\\ vec\left(\mathrm{Re}\left(C_2\right)\right)\\ vec\left(\mathrm{Im}\left(C_1\right)\right)\\ vec\left(\mathrm{Im}\left(C_2\right)\right)\end{array}\right]$ .

定理7：对于 $A\in Q_{RB}^{m\times n}$ ， $B\in Q_{RB}^{m\times p}$ ， $C\in Q_{RB}^{m\times m}$ ， $X\in AH{Q}_{RB}^{n\times n}$ ， $Y\in AH{Q}_{RB}^{p\times p}$ ，设 $M_n=diag\left(K_A,K_S,K_S,K_S\right)$ ， $K_A\in R^{n^2\times \frac{n\left(n-1\right)}{2}}$ ， $K_s\in R^{n^2\times \frac{n\left(n+1\right)}{2}}$ ， $M_n\in R^{4n^2\times \left(2n^2+n\right)}$ ， $M_p=diag\left({K^{\prime }}_A,{K^{\prime }}_S,{K^{\prime }}_S,{K^{\prime }}_S\right)$ ， ${K^{\prime }}_A\in R^{p^2\times \frac{p\left(p-1\right)}{2}}$ ， ${K^{\prime }}_S\in R^{p^2\times \frac{p\left(p+1\right)}{2}}$ ， $M_p\in R^{4p^2\times \left(2p^2+p\right)}$ 。

则方程(1)有反Hermite解的充要条件是：

$\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(P_1\right)& \mathrm{Re}\left(P_2\right)\\ \mathrm{Im}\left(P_1\right)& \mathrm{Im}\left(P_2\right)\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(P_1\right)& \mathrm{Re}\left(P_2\right)\\ \mathrm{Im}\left(P_1\right)& \mathrm{Im}\left(P_2\right)\end{array}\right]}^{+}e=e$ .

在有解的条件下，记方程(1)的解集合 $A{H}_E$ 。则

$\begin{array}{l}A{H}_E=\{X,Y|\begin{array}{c}\underset{}{\overset{}{}}\\ \end{array}\\ \stackrel{\to }{X}=\left(\begin{array}{cc}{M}_n& 0\end{array}\right){\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(P_1\right)& \mathrm{Re}\left(P_2\right)\\ \mathrm{Im}\left(P_1\right)& \mathrm{Im}\left(P_2\right)\end{array}\right]}^{+}e+\left(\begin{array}{cc}{M}_n& 0\end{array}\right)\left(I_{2n^2+n+2p^2+p}+{\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(P_1\right)& \mathrm{Re}\left(P_2\right)\\ \mathrm{Im}\left(P_1\right)& \mathrm{Im}\left(P_2\right)\end{array}\right]}^{+}\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(P_1\right)& \mathrm{Re}\left(P_2\right)\\ \mathrm{Im}\left(P_1\right)& \mathrm{Im}\left(P_2\right)\end{array}\right]\right)y,\\ \stackrel{\to }{Y}=\left(\begin{array}{cc}0& M_p\end{array}\right){\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(P_1\right)& \mathrm{Re}\left(P_2\right)\\ \mathrm{Im}\left(P_1\right)& \mathrm{Im}\left(P_2\right)\end{array}\right]}^{+}e+\left(\begin{array}{cc}0& M_p\end{array}\right)\left(I_{2n^2+n+2p^2+p}+{\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(P_1\right)& \mathrm{Re}\left(P_2\right)\\ \mathrm{Im}\left(P_1\right)& \mathrm{Im}\left(P_2\right)\end{array}\right]}^{+}\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(P_1\right)& \mathrm{Re}\left(P_2\right)\\ \mathrm{Im}\left(P_1\right)& \mathrm{Im}\left(P_2\right)\end{array}\right]\right)y\}\end{array}$

y是有合适维数的任意向量。进一步，当

$rank\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(P_1\right)& \mathrm{Re}\left(P_2\right)\\ \mathrm{Im}\left(P_1\right)& \mathrm{Im}\left(P_2\right)\end{array}\right]=2n^2+n+2p^2+p$

时，

$A{H}_E=\left\{X,Y|\stackrel{\to }{X}=\left(\begin{array}{cc}{M}_n& 0\end{array}\right){\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(P_1\right)& \mathrm{Re}\left(P_2\right)\\ \mathrm{Im}\left(P_1\right)& \mathrm{Im}\left(P_2\right)\end{array}\right]}^{+}e,\stackrel{\to }{Y}=\left(\begin{array}{cc}0& M_p\end{array}\right){\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(P_1\right)& \mathrm{Re}\left(P_2\right)\\ \mathrm{Im}\left(P_1\right)& \mathrm{Im}\left(P_2\right)\end{array}\right]}^{+}e\right\}$ .

证明：矩阵方程(1)可变为

$AX{A}^H+BY{B}^H=C\iff {\Phi }_{AX{A}^H}+{\Phi }_{BY{B}^H}={\Phi }_C\iff P_1\left[\begin{array}{c}ve{c}_A\left(\mathrm{Re}\left(X_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(X_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Re}\left(X_2\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(X_2\right)\right)\end{array}\right]+P_2\left[\begin{array}{c}ve{c}_A\left(\mathrm{Re}\left(Y_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(Y_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Re}\left(Y_2\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(Y_2\right)\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}vec\left(C_1\right)\\ vec\left(C_2\right)\end{array}\right]$

$\iff \left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(P_1\right)& \mathrm{Re}\left(P_2\right)\\ \mathrm{Im}\left(P_1\right)& \mathrm{Im}\left(P_2\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}ve{c}_A\left(\mathrm{Re}\left(X_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(X_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Re}\left(X_2\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(X_2\right)\right)\end{array}\\ \begin{array}{c}ve{c}_A\left(\mathrm{Re}\left(Y_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(Y_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Re}\left(Y_2\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(Y_2\right)\right)\end{array}\end{array}\right]=e$ .

由定理7有

$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}ve{c}_A\left(\mathrm{Re}\left(X_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(X_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Re}\left(X_2\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(X_2\right)\right)\end{array}\\ \begin{array}{c}ve{c}_A\left(\mathrm{Re}\left(Y_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(Y_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Re}\left(Y_2\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(Y_2\right)\right)\end{array}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(P_1\right)& \mathrm{Re}\left(P_2\right)\\ \mathrm{Im}\left(P_1\right)& \mathrm{Im}\left(P_2\right)\end{array}\right]}^{+}e+\left[I_{2n^2+n}-{\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(P_1\right)& \mathrm{Re}\left(P_2\right)\\ \mathrm{Im}\left(P_1\right)& \mathrm{Im}\left(P_2\right)\end{array}\right]}^{+}\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(P_1\right)& \mathrm{Re}\left(P_2\right)\\ \mathrm{Im}\left(P_1\right)& \mathrm{Im}\left(P_2\right)\end{array}\right]\right]y$ .

其中 $y\in R^{2n^2+n}$ 是一个任意的向量，当

$rank\left(\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(P_1\right)& \mathrm{Re}\left(P_2\right)\\ \mathrm{Im}\left(P_1\right)& \mathrm{Im}\left(P_2\right)\end{array}\right]\right)=2n^2+n$ ,

$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}ve{c}_A\left(\mathrm{Re}\left(X_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(X_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Re}\left(X_2\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(X_2\right)\right)\end{array}\\ \begin{array}{c}ve{c}_A\left(\mathrm{Re}\left(Y_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(Y_1\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Re}\left(Y_2\right)\right)\\ ve{c}_s\left(\mathrm{Im}\left(Y_2\right)\right)\end{array}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Re}\left(P_1\right)& \mathrm{Re}\left(P_2\right)\\ \mathrm{Im}\left(P_1\right)& \mathrm{Im}\left(P_2\right)\end{array}\right]}^{+}e$

是方程矩阵方程(1)的唯一解。

4. 结论

本文利用弱双四元数矩阵的复数表示，Kronecker积，矩阵列拉直算子以及Moore-Penrose广义逆研究了矩阵方程 $AX{A}^H+BY{B}^H=C$ 的解。本论文没有解决弱双四元数矩阵方程的最小二乘解，它是我们未来研究的一个方向。

基金项目

本研究得到广东省自然科学基金项目(No. 2015A030313646, 2018A030313063)资助。