PM  >> Vol. 8 No. 6 (November 2018)

    弱双四元数矩阵方程AXAH+BYBH=C的反Hermite解
    On Anti-Hermitian Solutions of the Reduced Biquaternion Matrix Equation AXAH+BYBH=C

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作者:  

田 勇,袁仕芳,李明照:五邑大学数学与计算科学学院,广东 江门

关键词:
矩阵方程弱双四元数矩阵Kronecker积Matrix Equation Reduced Biquaternion Matrices Kronecker Product

摘要:

在本文中,我们讨论弱双四元数矩阵方程AXAH+BYBH=C的反Hermite解,其中矩阵A,B是已知的弱双四元数矩阵,C是已知的弱双四元数反Hermite矩阵,X,Y是未知的弱双四元数反Hermite方阵。本文的目标是建立解存在的充分必要条件和通解表达式。

In this paper, we discuss Anti-Hermitian solutions of reduced biquaternion matrix equation AXAH+BYBH=C , where A,B are known reduced biquaternion matrices with suitable size, C is a known reduced biquaternion anti-Hermitian matrix with suitable size, and X,Y are unknown re-duced biquaternion anti-Hermitian square matrices with suitable size. The objective of this paper is to establish a necessary and sufficient condition for the existence of a solution and a solution expression.

1. 引言

矩阵方程是矩阵理论中的一个重要内容,在控制和系统理论、稳定性理论、神经网络等方面有着广泛的应用。例如,控制理论长期以来一直为矩阵方程提供丰富的动力来源,Lyapunov方程 A H X + X A = B 有唯一的Hermitian解,当且仅当对于矩阵A的所有特征值 λ i λ j λ i + λ ¯ j 0 [1] [2] 。由于它们的重要应用,实数、复数和四元数矩阵方程如 A X = B A X B = C A X B + C Y D = E

A X A H + B Y B H = C (1)

引起了许多研究者的极大关注。弱双四元数的概念最早是由Schütte和Wenzel提出的 [3] 。Sir William Rowan Hamilton在1843年引入了四元数 [4] ,弱双四元数和四元数之间的主要区别是四元数的乘法是不可交换的,而弱双四元数的乘法是可交换的。此外,四元数矩阵和弱双四元数矩阵都可以用来表示彩色图像 [5] 。

本文用 R m × n 表示 m × n 阶实矩阵集合, C m × n 表示 m × n 阶复矩阵集合, S R n × n 表示 n × n 阶实对称矩阵集合, A S R n × n 表示 n × n 阶实反对称矩阵集合, Q R B 表示弱双四元数矩阵集合, Q R B n 表示n维弱双四元数列向量集合, Q R B m × n 表示 m × n 阶弱双四元数矩阵集合, A H Q B R n × n 表示 n × n 阶弱双四元数反Hermite矩阵集合。对于每一个 A C m × n Re ( A ) 表示矩阵A的实部, Im ( A ) 表示矩阵A的虚部。对于 A Q R B m × n A ¯ 表示矩阵A的共轭矩阵, A T 表示矩阵A的转置矩阵, A H 表示A的共轭转置矩阵A。 I n 表示n阶单位矩阵。 0 m × n 表示 m × n 阶零矩阵。对于 A C m × n A + 表示矩阵A的Moore-Penrose广义逆。

对于 A Q R B n × n ,若 A H = A ,则称它是反Hermite的。用 A H Q B R n × n 表示 n × n 阶弱双四元数反Hermite集合。本文主要考虑方程(1)的反Hermite解,使用的工具是弱双四元数矩阵的复表示,Kronecker积,矩阵列拉直算子以及Moore-Penrose广义逆。研究的问题描述如下:

问题1:设 A Q R B m × n B Q R B m × n C A H Q R B m × m ,求

H E = { X , Y | X , Y A H Q R B n × n , A X A H + B Y B H = C } (2)

对于 q Q R B ,则q可以表示为

q = q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k (3)

其中 q 0 , q 1 , q 2 , q 3 R i 2 = k 2 = 1 , j 2 = 1 , i j = j i = k , j k = k j = i , k i = i k = j 。弱双四元数q的共轭为:

q ¯ = q 0 q 1 i q 2 j q 3 k (4)

q还可以表示为

q = c 1 + c 2 j ,

其中 c 1 , c 2 C c 1 = q 0 + q 1 i , c 2 = q 2 + q 3 i 。对于弱双四元数 q = c 1 + c 2 j , c 1 , c 2 C ,定义弱双四元数。

q的复数矩阵表示为

f ( q ) = [ c 1 c 2 c 2 c 1 ] .

q , q Q R B ,显然有 f ( q q ) = f ( q ) f ( q )

若矩阵 A Q R B m × n ,则矩阵A可以唯一表示为 A = A 1 + A 2 j ,其中 A 1 , A 2 C m × n

弱双四元数矩阵A的复表示为

F ( A ) = [ A 1 A 2 A 2 A 1 ] C 2 m × 2 n .

F ( A ) 是由A唯一决定。对于 A Q R B m × n , B Q R B n × s ,有 F ( A B ) = F ( A ) F ( B ) 。由定义易知,矩阵A可以唯一表示为

A = Re ( A 1 ) + Im ( A 1 ) i + Re ( A 2 ) j + Im ( A 2 ) k (5)

其中 Re ( A 1 ) , Im ( A 1 ) , Re ( A 2 ) , Im ( A 2 ) R m × n 。弱双四元数矩阵A的共轭矩阵为

A ¯ = Re ( A 1 ) Im ( A 1 ) i Re ( A 2 ) j Im ( A 2 ) k .

对于 A = ( a i j ) Q R B m × n B = ( b i j ) Q R B p × s ,矩阵A与矩阵B的Kronecker积 A B = ( a i j B ) Q R B m p × n s 。对于弱双四元数矩阵 A , B , C , D , E , F , G , H , K ,有

( A , B , C ) D = ( A D , B D , C D ) ( E F G H ) K = ( E K F K G K H K ) .

对于矩阵 A = ( a i j ) Q R B m × n ,设 a j = ( a 1 j , a 2 j , , a m j ) , ( j = 1 , 2 , , n ) ,矩阵A的列拉直算子为:

v e c ( A ) = ( a 1 , a 2 , , a n ) T .

对于任意弱双四元数 q = c 1 + c 2 j Q R B ,我们定义一个算子 Φ q = ( c 1 , c 2 ) 。定义弱双四元数

矩阵对应的算子为

Φ A = [ A 1 , A 2 ] .

对于算子 Φ A ,它具有以下性质:

引理1:设k是一个实数, A , B Q R B m × n C Q R B n × t ,有

i) A = B 当且仅当 Φ A = Φ B ;ii) Φ A + B = Φ A + Φ B Φ k A = k Φ A ;iii) Φ A C = Φ A F ( C )

2. v e c ( Φ A X B ) 的结构

对于 A C m × n B C n × s C C s × t ,我们已知

v e c ( A B C ) = ( C T A ) v e c ( B ) (6)

在弱双四元数矩阵中,(6)式不再成立。类似文献 [6] 引理4有

引理2:设 A = A 1 + A 2 j Q R B m × n B = B 1 + B 2 j Q R B n × s C = C 1 + C 2 j Q R B s × t ,其中 A 1 , A 2 C m × n B 1 , B 2 C n × s C 1 , C 2 C s × t 。有

v e c ( Φ A B C ) = [ C 1 T A 1 + C 2 T A 2 C 2 T A 1 + C 1 T A 2 C 2 T A 1 + C 1 T A 2 C 1 T A 1 + C 2 T A 2 ] [ v e c ( B 1 ) v e c ( B 2 ) ] (7)

定义1:设 A = ( a i j ) Q R B n × n ,设 a 1 = ( a 11 , 2 a 21 , , 2 a n 1 ) a 2 = ( a 22 , 2 a 32 , , 2 a n 2 ) a n 1 = ( a ( n 1 ) ( n 1 ) , 2 a n ( n 1 ) ) a n = a n n 。定义一个列向量 v e c S ( A )

v e c S ( A ) = ( a 1 , a 2 , , a n 1 , a n ) T Q R B n ( n + 1 ) 2 (8)

定义2:设 B = ( b i j ) Q R B n × n ,设 b 1 = ( b 21 , b 31 , , b n 1 ) b 2 = ( b 32 , b 42 , , b n 2 ) b n 2 = ( b ( n 1 ) ( n 2 ) , b n ( n 2 ) ) b n 1 = b n ( n 1 ) ,定义一个列向量 v e c A ( B )

v e c A ( B ) = 2 ( b 1 , b 2 , , b n 2 , b n 1 ) T Q R B n ( n 1 ) 2 (9)

引理3 [6] :设 X R n × n ,则

i)

X S R n × n v e c ( X ) = K S v e c S ( X ) (10)

其中 v e c S ( X ) 定义参照(8)式定义。 K S R n 2 × n ( n + 1 ) 2

K S = 1 2 [ 2 e 1 e 2 e n 1 e n 0 0 0 0 0 0 0 e 1 0 0 2 e 2 e 3 e n 0 0 0 0 0 0 0 0 e 2 0 0 0 0 0 0 e 1 0 0 0 0 2 e n 1 e n 0 0 0 0 e 1 0 0 e 2 0 e n 1 2 e n ] ,

其中 e i 是n阶单位矩阵 I n 的第i个列向量。

ii)

X A S R n × n v e c ( X ) = K A v e c A ( X ) (11)

其中 v e c A ( X ) 定义参照(9)式定义。 K A R n 2 × n ( n 1 ) 2

K A = 1 2 [ e 2 e 3 e n 1 e n 0 0 0 0 e 1 0 0 0 e 3 e n 1 e n 0 0 e 1 0 0 e 2 0 0 0 0 0 0 0 0 e 1 0 0 e 2 0 e n 0 0 0 e 1 0 0 e 2 e n 1 ] ,

其中 e i 是n阶单位矩阵 I n 的第i个列向量。显然,有 K S T K S = I n ( n + 1 ) 2 K A T K A = I n ( n 1 ) 2

对于任意 X = X 1 + X 2 j Q R B n × n X 1 , X 2 C n × n ,有 X A H Q R B n × n { Re ( X 1 ) T = Re ( X 1 ) , Im ( X 1 ) T = Im ( X 1 ) Re ( X 2 ) T = Re ( X 2 ) , Im ( X 2 ) T = Im ( X 2 )

M = [ K A i K S 0 0 0 0 K S i K S ] .

引理4:对于 X = X 1 + X 2 j A H Q R B n × n ,那么

[ v e c ( X 1 ) v e c ( X 2 ) ] = M [ v e c A ( Re ( X 1 ) ) v e c s ( Im ( X 1 ) ) v e c s ( Re ( X 2 ) ) v e c s ( Im ( X 2 ) ) ] . (12)

证明:设 X = X 1 + X 2 j A H Q R B n × n ,我们有

[ v e c ( X 1 ) v e c ( X 2 ) ] = [ v e c ( Re ( X 1 ) ) + i v e c ( Im ( X 1 ) ) v e c ( Re ( X 2 ) ) + i v e c ( Im ( X 2 ) ) ] = [ K A v e c A ( Re ( X 1 ) ) + i K S v e c S ( Im ( X 1 ) ) K S v e c S ( Re ( X 2 ) ) + i K S v e c S ( Im ( X 2 ) ) ] = M [ v e c A ( Re ( X 1 ) ) v e c s ( Im ( X 1 ) ) v e c s ( Re ( X 2 ) ) v e c s ( Im ( X 2 ) ) ] .

由引理2和引理4得

引理5:设 A = A 1 + A 2 j Q R B m × n X = X 1 + X 2 j A H Q R B n × n B = B 1 + B 2 j Q R B n × s ,其中 A 1 , A 2 C m × n X 1 , X 2 C n × n B 1 , B 2 C n × s

v e c ( Φ A X B ) = [ B 1 T A 1 + B 2 T A 2 B 2 T A 1 + B 1 T A 2 B 2 T A 1 + B 1 T A 2 B 1 T A 1 + B 2 T A 2 ] M [ v e c A ( Re ( X 1 ) ) v e c s ( Im ( X 1 ) ) v e c s ( Re ( X 2 ) ) v e c s ( Im ( X 2 ) ) ] (13)

3. 矩阵方程(1)的解

引理6 [7] :设 A R m × n b R n ,则矩阵方程 A x = b 有解的充要条件是

A A + b = b (14)

当它相容时,其通解可以表示为

x = A + b + ( I n A + A ) y (15)

其中 y R n 是一个任意的向量。当 r a n k ( A ) = n 时, x = A + b 是方程 A x = b 的唯一解。

对于 A = A 1 + A 2 j Q R B m × n B = B 1 + B 2 j Q R B m × n C = C 1 + C 2 j A H Q R B m × m ,令

P 1 = [ A 1 ¯ A 1 A 2 A 2 A 2 A 1 + A 1 ¯ A 2 A 2 A 1 + A 1 ¯ A 2 A 1 ¯ A 1 A 2 A 2 ] M ,

P 2 = [ B 1 ¯ B 1 B 2 B 2 B 2 B 1 + B 1 ¯ B 2 B 2 B 1 + B 1 ¯ B 2 B 1 ¯ B 1 B 2 B 2 ] M , e = [ v e c ( Re ( C 1 ) ) v e c ( Re ( C 2 ) ) v e c ( Im ( C 1 ) ) v e c ( Im ( C 2 ) ) ] .

定理7:对于 A Q R B m × n B Q R B m × p C Q R B m × m X A H Q R B n × n Y A H Q R B p × p ,设 M n = d i a g ( K A , K S , K S , K S ) K A R n 2 × n ( n 1 ) 2 K s R n 2 × n ( n + 1 ) 2 M n R 4 n 2 × ( 2 n 2 + n ) M p = d i a g ( K A , K S , K S , K S ) K A R p 2 × p ( p 1 ) 2 K S R p 2 × p ( p + 1 ) 2 M p R 4 p 2 × ( 2 p 2 + p )

则方程(1)有反Hermite解的充要条件是:

[ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + e = e .

在有解的条件下,记方程(1)的解集合 A H E 。则

A H E = { X , Y | X = ( M n 0 ) [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + e + ( M n 0 ) ( I 2 n 2 + n + 2 p 2 + p + [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] ) y , Y = ( 0 M p ) [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + e + ( 0 M p ) ( I 2 n 2 + n + 2 p 2 + p + [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] ) y }

y是有合适维数的任意向量。进一步,当

r a n k [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] = 2 n 2 + n + 2 p 2 + p

时,

A H E = { X , Y | X = ( M n 0 ) [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + e , Y = ( 0 M p ) [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + e } .

证明:矩阵方程(1)可变为

A X A H + B Y B H = C Φ A X A H + Φ B Y B H = Φ C P 1 [ v e c A ( Re ( X 1 ) ) v e c s ( Im ( X 1 ) ) v e c s ( Re ( X 2 ) ) v e c s ( Im ( X 2 ) ) ] + P 2 [ v e c A ( Re ( Y 1 ) ) v e c s ( Im ( Y 1 ) ) v e c s ( Re ( Y 2 ) ) v e c s ( Im ( Y 2 ) ) ] = [ v e c ( C 1 ) v e c ( C 2 ) ]

[ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] [ v e c A ( Re ( X 1 ) ) v e c s ( Im ( X 1 ) ) v e c s ( Re ( X 2 ) ) v e c s ( Im ( X 2 ) ) v e c A ( Re ( Y 1 ) ) v e c s ( Im ( Y 1 ) ) v e c s ( Re ( Y 2 ) ) v e c s ( Im ( Y 2 ) ) ] = e .

由定理7有

[ v e c A ( Re ( X 1 ) ) v e c s ( Im ( X 1 ) ) v e c s ( Re ( X 2 ) ) v e c s ( Im ( X 2 ) ) v e c A ( Re ( Y 1 ) ) v e c s ( Im ( Y 1 ) ) v e c s ( Re ( Y 2 ) ) v e c s ( Im ( Y 2 ) ) ] = [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + e + [ I 2 n 2 + n [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] ] y .

其中 y R 2 n 2 + n 是一个任意的向量,当

r a n k ( [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] ) = 2 n 2 + n ,

[ v e c A ( Re ( X 1 ) ) v e c s ( Im ( X 1 ) ) v e c s ( Re ( X 2 ) ) v e c s ( Im ( X 2 ) ) v e c A ( Re ( Y 1 ) ) v e c s ( Im ( Y 1 ) ) v e c s ( Re ( Y 2 ) ) v e c s ( Im ( Y 2 ) ) ] = [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + e

是方程矩阵方程(1)的唯一解。

4. 结论

本文利用弱双四元数矩阵的复数表示,Kronecker积,矩阵列拉直算子以及Moore-Penrose广义逆研究了矩阵方程 A X A H + B Y B H = C 的解。本论文没有解决弱双四元数矩阵方程的最小二乘解,它是我们未来研究的一个方向。

基金项目

本研究得到广东省自然科学基金项目(No. 2015A030313646, 2018A030313063)资助。

文章引用:
田勇, 袁仕芳, 李明照. 弱双四元数矩阵方程AXAH+BYBH=C的反Hermite解[J]. 理论数学, 2018, 8(6): 624-631. https://doi.org/10.12677/PM.2018.86083

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